REAL OPTIONER VED LEAST-SQUARES

Transkript

1 REAL OPTIONER VED LEAST-SQUARES MONTE CARLO METODEN REAL OPTIONS USING LEAST-SQUARES MONTE CARLO MARTIN SCHULTZ-NIELSEN VEJLEDER: CLAUS MUNK SCHOOL OF ECONOMICS AND MANAGEMENT UNIVERSITY OF AARHUS 4. DECEMBER 2009 OPGAVEN MÅ OFFENTLIGGØRES

2 Abstract It is an often overlooked fact that firms have a lot of flexibility with regard to their projects and investments. Firms have the inherent possibility to engage in one of many different possible courses of action, with one of several possible outcomes to follow. This flexibility has value. The problem is how to value this flexibility, and how to decide on which course of action is the best. As it turns out, a lot of the firms flexibility can be modelled through the use of traditional call and put options. Options used for this purpose are called real options. Real options have usually been valued through specific real option models. The problem with these models is that it isn t possible to change much in the underlying assumptions, before a new specific real option model has to be developed. The advantage of such models is that they are fast and easy to compute once they have been set up. The disadvantage is that they are very cumbersome to develop. Recently a more general model has been proposed. The model is so general, that most problems are easy to set up within the framework of the model. The model is developed by Gamba (2003), and is an extension of the Least- Squares Monte Carlo method by Longstaff & Schwartz (2001). It is this model which is the subject of the paper. The first part of the paper analyzes why it is relevant to value investments through the use of real options. Although there is a close link between real options and financial options, there are some fundamental differences between the two - real options contribute with actual value, financial options do not. One of the consequences of using real options, is that an investment should not be initiated before its net present value is well above zero the reason being that the company will usually have an option to wait for better conditions. This real option is analyzed through a specific real option model. For the Monte Carlo method to be used in valuation, it is necessary to take a closer look at the different methods of analysis. This is because the Monte Carlo method cannot be built using the usual Contingent Claims analysis. Instead it is necessary to use Dynamic Programming. Both of these methods of analysis are reviewed. Options can be valued using three general methods: The binomial method, the finite difference method and the Monte Carlo method. The advantage of the Monte Carlo method is that most problems can easily be set up within the framework of the method, and it can be used to value problems with more than 2-3 state variables. This makes it a formidable candidate to be used for real options. The problem with the classic Monte Carlo method is that it can only be used to value European options, where the option is exercised at a specified date. To value American options, it is necessary to make extensions to the 1

3 method. Five possible ways to extend the Monte Carlo method are analyzed. Of the possible ways to extend the Monte Carlo method, one in particular has proven effective. This is the Least-Squares Monte Carlo method. The method is first given a thorough analysis. It is proven that the method converges to the true option value. The method is then implemented in a specific model. This model is used to value a series of put and maximum call options. Possible ways to improve the efficiency of the Least-Squares Monte Carlo are then analyzed. For the method to be used for real options, it is necessary to allow for dependencies to be formed between the options. The consequence of this is that the value of the portfolio of options might be different from the sum of the value of the individual options. The reason for this is analyzed. An extension of the Least-Squares Monte Carlo method is suggested by Gamba (2003) and Rodrigues & Armada (2006). This extension is implemented in the model. The model is used to solve three real option problems. The first problem looks at the option to wait with the investment in a project, with the following option to expand the project. The second problem looks at the value of the option to either drop or expand an on-going project, depending on the conditions. The third real option problem combines the option to invest in a project, with the following option to either expand or drop the project. It is concluded that the method based on the extended Least-Squares Monte Carlo is well suited to value real options. 2

4 Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 4 2 HVORDAN OPTIONER SKABER VÆRDI VÆRDIFASTSÆTTELSE SIMPELT EKSEMPEL I DISKRET TID MCDONALD & SIEGEL (1986) MODEL 12 3 ANALYSEMETODER DYNAMISK PROGRAMMERING CONTINGENT CLAIMS ANALYSE 26 4 NUMERISKE METODER BINOMIALTRÆMETODEN FINITE DIFFERENCE-METODEN MONTE CARLO SIMULATION SAMMENLIGNING AF DE NUMMERISKE METODER 41 5 MONTE CARLO METODER TIL AMERIKANSKE OPTIONER STATE AGGREGATION SIMULATION AF TRÆ ESTIMATION AF UDNYTTELSESGRÆNSEN DEN BETINGEDE FORVENTNING BESTEMT VED REGRESSION DUAL METODEN 57 6 LEAST-SQUARES MONTE CARLO METODEN FREMGANGSMÅDEN I LSM-METODEN KONVERGENS RESULTATER OPBYGNING AF MODEL VALIDERING AF MODEL OG METODE MULIGE FORBEDRINGER 81 7 LSM-METODEN TIL REAL OPTIONER TYPER AF REAL OPTIONER PORTEFØLJE AF REAL OPTIONER POTENTIALET VED EN LSM-METODE TIL REAL OPTIONER UDVIDELSE AF LSM-METODEN TIL PORTEFØLJER AF REAL OPTIONER IMPLEMENTERING AF DEN UDVIDEDE LSM-MODEL ESTIMERING AF REALOPTIONSPROBLEMER VED LSM-METODEN 104 KONKLUSION 114 LITTERATURLISTE 117 BILAG 123 3

5 1 Indledning Siden finansielle optioner første gang blev handlet på børsen i 1973, har det været igennem en rivende udvikling. På markederne verden over bliver der idag handlet med optioner for milliarder. Siden Black-Scholes formlen blev udviklet samme år, er metoderne til værdifastsættelse af optioner også nået lang. Den seneste udvikling viser dog, at man kun har skrabet overfladen på disse metoders potentiale. Efterhånden som metoderne til værdifastsættelse af finansielle optioner er blevet mere og mere udviklet, er forskellen mellem de finansielle og reale investeringer blevet mindre og mindre. Som det bliver analyseret i Kapitel 2, følger der en vis grad af fleksibilitet med mange investeringer og projekter. Denne fleksibilitet har en værdi, som man er nød til at medtage ved værdifastsættelse af projekter og investeringer. For at kunne drage de optimale ledelsesmæssige beslutninger er det desuden nødvendigt at kunne håndtere disse fleksibiliteter og kende værdien ved at udnytte de forskellige muligheder, som fleksibiliteterne giver. I mange situationer er det ofte muligt at drage en parallel imellem fleksibiliterne og optioner. Optioner, der benyttes til at modellere et selskabs fleksibilitet på denne måde, kaldes for real optioner. Selvom der er en tæt sammenhæng mellem finansielle og reale optioner, så er der dog også nogle forskelle. Dette vil blive analyseret i afsnit 2.1. Real optioner værdifastsættes typisk i specifikke realoptionsmodeller. Et eksempel på en sådan model bliver givet i afsnit 2.3. Sådanne problemer med real optioner kan dog løses på flere forskellige måder. Især viser en metode af nyere dato stort potentiale. For at kunne komme frem til denne metode, er det dog nødvendigt med en analyse af de analysemetoder, der benyttes som fundament til opbygning af værdifastsættelsesmetoder. Dette gives i Kapitel 3. Den analysemetode, der oftest benyttes som fundament, er Contingent Claims analysen. Da denne analysemetode er simpel, intuitiv og bygger på et stærkt argument om fravær af arbitrage, er det ikke nogen overraskelse, at denne analysemetode er blevet det foretrukne valg til at underbygge mange argumenter og metoder. Denne analysemetode gennemgås i afsnit 3.2. I mange situationer er det dog muligt at komme frem til samme resultater og konklusioner, ved hjælp af en mere generel analysemetode, nemlig Dynamisk Programmering. Dynamisk Programmering gennemgås i afsnit 3.1. Ved hjælp af Dynamisk Programmering er det muligt at skabe fundamentet for binomialtræ og Finite Difference metoden, der ellers typisk bygger på argumenter hentet fra Contingent Claims analysen. Derudover skaber Dynamisk Programmering også fundamentet for en ny slags metoder, der ikke kan opbygges med Contingent Claims analysen. Nemlig metoder der bygger på Monte Carlo simulation. Binomialtræ, Finite Difference og den klassiske Monte Carlo metode gennemgås i Kapitel 4. Metodernes styrker og svagheder gennemgås i afsnit 4.4. Fordelen ved metoder der bygger på Monte Carlo er, at optionsproblemerne er forholdsvist nemme at opsætte, og metoden kan bruges på komplekse og alsidige problemer. Specielt er metoderne egnet til problemer med flere tilstandsvariable. Da realoptionsproblemer ofte er komplekse, og 4

6 afhængig af flere tilstandsvariable, viser Monte Carlo metoden derfor potentiale for at kunne være en god metode til værdifastsættelse af real optioner. Problemet ved den klassiske Monte Carlo metode er dog, at den kun kan benyttes til at værdifastsætte europæiske optioner, hvor der er en fast dato for optionens udnyttelse. For amerikanske og bermuda optioner, hvor det løbende er nødvendigt at vurdere, hvornår optionen skal udnyttes, er det nødvendigt med udvidelser af Monte Carlo metoden. Flere metoder er blevet udviklet til dette formål. I Kapitel 5 analyseres de fem primære tilgange til udvidelser af Monte Carlo metoden. Af de forskellige udvidelser af Monte Carlo metoden der bliver foreslået, er der især en metode, der har vundet anderkendelse, nemlig Least-Squares Monte Carlo (LSM) metoden af Longstaff & Schwartz (2001). Denne metode er både intuitiv og pålidelig, og kan bruges på meget alsidige optionsproblemer. LSM-metoden gennemgås i Kapitel 6. Da denne metode er fokus for resten af opgave, giver afsnit 6.1 en grundig gennemgang af LSM-metoden. Longstaff & Schwartz (2001) giver ikke noget dybdegående bevis på, at metodens estimater konvergerer imod den sande værdi. Afsnit 6.2 analyserer derfor de artikler, der efterfølgende har bevist metodens konvergens. Da målet er at ende med en model, der kan bruges til at værdifastsætte real optioner, bliver der i afsnit 6.3 opbygget en model, der implementerer LSMmetoden. For at validere den opbyggede model, benyttes modellen til at værdifastsætte en række put og maximum call optioner i afsnit 6.4. Disse resultater tjekkes med resultaterne af andre forfattere. Resultaterne sammenlignes også med resultaterne fra binomialtræ og finite difference metoden. Der er blevet udviklet flere teknikker med hvilke, det er muligt at forbedre den klassiske Monte Carlo metode. I afsnit 6.5 gennemgås mulige forbedringer specifikt i forhold til LSM-metoden. Problemet ved den traditionelle LSM-metode er, at den er udviklet til værdifastsættelse finansielle optioner. Selvom der kan drages paralleler mellem et selskabs fleksibilitet og optioner, så er real optioner dog mere komplekse, og det er derfor ikke direkte muligt at bruge LSM-metoden til værdifastsættelse af real optioner. For at kunne forstå hvorfor dette er tilfældet, giver afsnit 7.1 en analyse af de realoptionsproblemer og realoptionsmodeller, der er blevet udviklet. Som det vil fremgå af analysen, kan meget af et selskabs fleksibilitet modelleres som porteføljer af put og call optioner. Problemet ved real optioner er, at der modsat finansielle optioner ofte vil være et afhængighedsforhold imellem optionerne i porteføljen. Dette afhængighedsforhold opstår som konsekvens af den komplekse dynamik, real optionerne skal modellere. De forskellige typer afhængighedsforhold, og hvordan de påvirker værdien på porteføljen, bliver analyseret i afsnit 7.2. Udvidelser af metoden, der kan tage hensyn til disse afhængighedsforhold, er udviklet af Gamba (2003) og Rodrigues & Armada (2006). Disse udvidelser analyseres i afsnit 7.4. Den udvidede LSM-metode implementeres i en model i afsnit 7.5. Vha. denne model, er det muligt at løse flere forskellige realoptionsproblemer. I afsnit 7.6 analyseres tre af sådanne problemer. Dette analyserer muligheden for at kunne investere i et projekt, udvide 5

7 projektet, og droppe projektet. Da den udviklede model giver adgang til en nogle interessante mellemberegninger og resultater, gives der en nærmere analyse af problemerne. En sådan analyse vil bl.a. kunne bistå i ledelsesmæssige beslutninger, så optionerne udnyttes optimalt. 6

8 2 Hvordan optioner skaber værdi For at forstå hvorfor real optioner er relevante, er det først nødvendigt at fastlægge, hvorfor det er vigtigt at kunne værdifastsætte korrekt. Dette kapitel lægger derfor ud med at argumentere for, hvorfor dette er tilfældet. Denne argumentation efterfølges af en kort gennemgang af ulemperne ved de traditionelle værdifastsættelsesmetoder, mens det opsummeres, hvilke underliggende antagelser den mest brugte af disse metoder, nutidsværdimetoden, bygger på. Da disse antagelser ikke altid er opfyldte, gives en overordnet forklaring på begrebet real optioner, og hvordan disse kan benyttes til at løse for dette. Real optioner dækker over flere forskellige anvendelser, afhængig af problemets karakter. Real options tankegangen er derfor ikke blot en matematisk øvelse. Den kan udvides og bør inddrages i ledelsesmæssige beslutninger. Da real optioner har sit udspring i finansielle optioner, er det relevant at gennemgå, hvad forskellen er på de to typer optioner. For at give læseren en intuitiv forståelse af real optioner inden der påbegyndes mere avancerede matematiske analyser, gives der et simpelt illustrativt eksempel på, hvordan real optioner er værdiskabene. Dette følges op af et mere komplekst eksempel, der illustrerer hvordan problemer ved real optioner kan løses analytisk. 2.1 Værdifastsættelse Hvis finansieringsfeltet skal beskrives med en enkelt sætning, må det være, hvordan individer og selskaber optimalt kan allokere deres ressourcer blandt konkurrerende alternativer for bedst muligt at udnytte de knappe ressourcer, der er til rådighed. Dette kræver, at alternativerne kan værdisættes, så de kan rangordnes, og give de rigtige alternativer adgang til ressourcerne. Dette har brede anvendelsesmuligheder. Det gælder for børsspekulanten, der skal værdisætte aktierne på forskellige selskaber, og for direktøren, der skal vurdere hvilke projekter, der skal igangsættes. Det er dog også noget, der kan bruges i non-profit organisationer som f.eks. sundhedsvæsenet, hvor optimal udnyttelse af ressourcerne kan betyde forskellen på liv og død. Værdifastsættelse kan altså ske på flere forskellige niveauer, under flere forskellige forhold. Da værdifastsættelse er så vigtigt, kan det ikke undre, at der er blevet udviklet flere forskellige værdifastsættelsesteknikker. Man kan f.eks. bruge aktivets bogførte værdi, værdien ved øjeblikkelig likvidation, eller omkostningerne ved at skulle genafskaffe aktivet. Problemet ved denne type værdifastsættelse er, at udgangspunktet er omkostninger og ikke værdi. Det kan nemlig i princippet være lige meget, hvor meget et aktiv i sin tid har kostet, hvad man kan få for det i dag, eller hvad det ville koste at erhverve i dag. Det, der er vigtigt, er, hvordan man bruger aktivet, og den værdi aktivet kan tilføre ved bedst mulig anvendelse. En af de mest brugte metoder i praksis er Discounted Cash Flow (DCF) metoden, der netop fastsætter den værdi, som et selskab, projekt eller aktiv vil skabe over tid. Metoden finder nutidsværdien (NPV) på de free cashflow, som et alternativ giver. Når forskellige alternative investeringer skal stilles op imod hinanden, er det vigtigt, at alle alternativ omkostninger også medtages. Alternativ omkostningen er den værdi, aktivet har ved alternativ anvendelse. Her- 7

9 med er det muligt at finde ud af, hvordan aktiverne bruges optimalt, på tværs af de forskellige alternativer. De forskellige værdifastsættelsesmetoder bygger implicit på nogle forskellige underliggende antagelser. Problemet ved metoder der bygger på NPV, er, at de, jvf. Dixit & Pindyck (1994), bygger på en antagelse om, at en investering enten kan fortrydes, eller at investeringen er en nu eller aldrig beslutning. Det betyder, at der ikke ses på muligheden ved at kunne vente med at investere. Imidlertid kan der være en stor værdi forbundet med denne mulighed, da man så kan afvente, til man har nærmere kendskab til om udviklingen går imod bedre eller værre tider. Denne mulighed er, hvad der betegnes en real option. Er det en nu eller aldrig beslutning, har man naturligvis ikke nogen mulighed for at vente med at investere. Kan investeringen fortrydes, har optionen på at kunne vente ikke nogen værdi, da man altid kan fortryde det senere, hvis omstændighederne ikke viser sig at være favorable. For de fleste investeringer, hvor det underliggende aktiv er et real aktiv, gælder disse antagelser dog ikke. Investeringer kan ofte træffes over et tidsrum, og de fleste investeringer vil have et element af sunk cost, der ikke kan fortrydes. Når man vælger at investere, mister man værdien af denne option, da man så har valgt ikke at vente længere. Dette kan derfor ses som en alternativ omkostning ved at investere i dag. Værdien af real optionerne kan i nogle tilfælde være betydelig, og det ville derfor være forkert ikke at medtage dette i værdifastsættelsen. Real optioner kan altså bruges til at værdifastsætte den fleksibilitet, selskabet har. Optionen på at kunne vente med at investere er ikke den eneste måde, et selskab er fleksibelt på. Når selskabet har truffet valget om at investere, opstår nye real optioner. Før blev det antaget, at en investering ikke kan fortrydes. Dette hindrer imidlertid ikke et selskab i midlertidigt at lukke for et projekt eller helt droppe det. Det vil selvfølgelig være forbundet med visse omkostninger, men det kan i visse tilfælde stadig være at foretrække, frem for at holde et projekt kørende. De muligheder kan ses som to forskellige optioner. I den ene droppes projektet helt. Man lukker projektet ned til en given omkostning, hvilket betyder, at der ikke længere skal afholdes omkostninger i forbindelse med den løbende drift. Derved afskriver man sig dog også muligheden for at genstarte projektet igen. Dette kan undgås, såfremt man blot laver en midlertidig lukning. I stedet for at gøre rent bord betyder dette, at der stadig skal afholdes faste månedlige omkostninger for at holde projektet klart til at operere. I længden kan dette blive dyrere end helt at droppe projektet, men derved beholdes muligheden for at kunne genstarte projektet, hvis forholdene forbedrer sig. Dette leder til endnu en fleksibilitet, som selskabet har. Hvis forholdene udvikler sig specielt gunstigt, har selskabet den fleksibilitet, at den kan lave yderligere investeringer i projektet, for derved at høste mere profit. Dette kan være med til at øge projektets værdi. I ovenstående fremgik det, at nutidsværdien på projektet skal værre større end nul med en vis margin, inden det er optimalt at investere. Dette er dog ikke altid tilfældet, da visse forhold i stedet kan betyde, at det er fordelagtigt at starte projekter med negativ nutids- 8

10 værdi. Dette er f.eks. tilfældet for projekter, der består af en række faser eller trin, og hvor hver fase kan bidrage med information omkring hvor mange omkostninger eller hvor meget profit, selskabet kan få af projektet som helhed. Herved er der informationsværdi i projektets faser, hvilket kan gøre det fordelagtigt at investere, selvom fasen i sig selv er en negativ investering. Denne værdi betegnes shadow value, da den ikke kan måles direkte i de almindelige cashflows. Dvs. at man i stedet for at vente for at få mere information om forholdene, så investerer man for at få mere information. Dette kan f.eks. bruges til at værdisætte R&D projekter. Dette viser, hvordan realoptionsteori ikke alene kan bruges til værdifastsættelse, men at den også kan bruges til at træffe ledelsesmæssige beslutninger. Realoptioner vejleder omkring værdien ved forskellige projekter, timingen af investeringen, og hvornår det kan være fordelagtigt med efterfølgende beslutninger såsom at droppe projektet igen, udvide det eller midlertidigt lukke det. Et af de centrale budskaber i realoptionsteorien er, at en strategi skal være dynamisk og ikke statisk. Dvs. ledelsen bør ikke allerede i dag sætte sig fast på, hvilke investeringer den bør foretage i fremtiden. I stedet bør investeringerne være betinget af, hvordan forholdene udvikler sig, så strategierne i stedet udformes ved sætninger som: Hvis prisen på olie når $120 så byg endnu en olieboreplatform. På samme måde kan realoptionstankegangen være med til at udvide ledelsens horisont, så der ikke kun investeres i projekter der isoleret set har en forventet positiv profit. Bestemte projekter kan nemlig i stedet ses som erhvervelse af nye optioner, der kan bidrage med stor værdi hvis forholdene udvikler sig gunstigt. Som det fremgår af navnet, bruges real optioner på real investeringer. Det kan anvendes både på selskabs-, projekt- og aktivniveau. Fokus i denne opgave vil være på projektniveau. Som det også fremgår af navnet, er der en sammenhæng mellem real optioner og finansielle optioner. De to deler samme konceptuelle ramme. Når først denne sammenhæng er etableret, åbnes der op for et stort udvalg af værktøjer beregnet til at værdisætte finansielle optioner, som nu kan anvendes på real investeringer. Der er imidlertid væsentlige forskelle imellem reale og finansielle optioner. I standardlitteraturen for finansielle optioner, er en af de oftest anvendte analysemetoder til værdifastsættelse af en finansiel option, Contingent Claims analysen fremført i Black & Scholes (1973). Heri argumenteres der for, at optionens mulige payoff kan replikeres ved en portefølje bestående af det underliggende aktiv og det risikofri aktiv. For at der ikke kan være en arbitragemulighed, må værdien på optionen svare til værdien af porteføljen. Det betyder, at finansielle optioner i teorien er redundante. Som følge af at de kan replikeres ved simple finansielle instrumenter, tilfører de ikke nogen værdi, da de finansielle markeder er efficiente. Det eneste, finansielle optioner derfor gør, er at ændre på forholdet mellem risiko og afkast, hvilket en aktionær enten selv kan gøre ved at ændre på porteføljesammensætningen eller ved selv at erhverve optioner på de finansielle markeder. Jvf. Gamba (2005), er dette ikke tilfældet for real optioner, idet de rent faktisk tilfører værdi, og effekten ikke kan annulleres ved at ændre på porteføljesammensætningen. Synes en 9

11 aktionær, at selskabet har investeret i et projekt alt for tidligt, er der ingen instrumenter på det finansielle marked, hvormed aktionæren kan annullere effekten herfra. Det samme er tilfældet, hvis aktionæren mener, at selskabet har lukket en afdeling alt for tidligt. Det er ikke muligt at annullere effekten fra lukningen vha. finansielle instrumenter. Desuden hjælper det ikke at sælge aktierne i selskabet, da skaden allerede er sket, og aktierne vil blive solgt til nedsat værdi. Dvs. der er decideret værdi at hente ved at have en god realoptionspolitik, mens værdi også kan ødelægges, hvis real optionerne ikke forvaltes ordentligt. Af ovenstående argumentation følger også, at man ikke kan bruge Contingent Claims-analysen til at værdifastsætte real optioner, idet der i de fleste tilfælde ikke vil være et marked for det konkrete underliggende aktiv. Dette kan muligvis tilnærmes ved at sammensætte en portefølje af de faktorer, som det underliggende aktiv eller projekt, er afhængig af. Der er dog to problemstillinger i forhold til dette. For det første, vil en real option være afhængig af mange tilstandsvariable, hvis der sammenlignes med en finansiel option. Sammenhængen mellem de underliggende variable kan også være mere kompleks, end den er for de finansielle optioner. Dette er derfor ikke nogen helt nem øvelse. For det andet, vil meget af den risiko, et selskab skal håndtere, ikke kun være relateret til priser, men også mængder. Der er kun meget få finansielle instrumenter, der tillader handel med risiko forbundet med mængder, hvilket altså yderligere gør det svært at replikere det underliggende aktiv. 2.2 Simpelt eksempel i diskret tid I det følgende gennemgås et simpelt introducerende eksempel inden, der dykkes ned i den underliggende matematik ved et mere avanceret eksempel. Eksemplet er fra Dixit & Pindyck (1994), hvor beslutningen om at investere enten skal træffes nu eller om et år. Projektet kræver en initial investering på I = $1.600 og har ingen efterfølgende omkostninger til produktion. Omsætningen går derfor lige ned i lommen som profit. Faciliteterne kan bygges øjeblikkeligt og kan derefter producere et produkt om året i al uendelighed. Profitten er derfor alene afhængig af de fremtidige priser. Prisen på produktet er $200 i dag, men vil ændre sig til næste år. Dette er dog forbundet med noget usikkerhed, og prisen vil derfor med sandsynlighed p = 0,5 stige til $300 eller med sandsynlighed 1-p = 0,5 falde til $100. Hvad enten den stiger eller falder, vil prisen derefter forblive den samme i al uendelighed. Hvorvidt prisen stiger eller falder, har intet at gøre med hvordan den generelle økonomi udvikler, hvorfor der ikke er nogen systematisk risiko. Al risiko kan derfor bortdiverficeres. Som diskonteringsrente bruges derfor den risikofrie rente, der antages at være konstant på 10%. Investeringen kan ses afbildet i Figur 1: 10

12 t = 1 t = 2... p X 0 = $200 X 1 = $300 X 2 = $300 1-p X 1 = $100 X 1 = $100 Figur 1 Simpel illustration af real options tankegangen Spørgsmålet, ledelsen står overfor, er, hvorvidt det overhovedet er en profitabel investering, og om det er bedst at træffe beslutningen om at investere i dag eller først til næste år. Nutidsværdien af projektet i dag kan udregnes til: NPV = " t=0 200 # = = $600 (1) (1,1) t Ifølge den traditionelle nutidsværdimetode, ville man derfor investere i projektet med det samme. Dette tager dog ikke højde for muligheden for at kunne vente med investeringen. Det undersøges derfor, om man også ville igangsætte projektet til næste år, når prisen hhv. falder og stiger. Når prisen falder, er nutidsværdien af projektet: NPV = " ,1 # $ = = -$455 (2) (1,1) t t=1 Skulle prisen falde til $100, ville man ikke foretage investeringen, og nutidsværdien ville derfor være lig med $0. Man ville derimod stadig foretage investeringen, hvis prisen steg til $300. Nutidsværdien af projektet når investeringsbeslutningen udskydes til næste år, kan derfor beregnes til: &#1.600 NPV = 0,5" ( + ' 1,1 $ % t=1 ) = 0,5 [ ] = $773 (3) (1,1) t * Nutidsværdien ved at vente et år er altså højere end ved at investere med det samme. Forskellen på de to skyldes 3 faktorer. Da projektet først igangsættes næste år, modtager man ikke profitten på $200 ved at holde projektet kørende det første år. Dette taler for at starte investeringen med det samme, i stedet for at vente. Ved at vente med investeringen udskyder man derimod også tidspunktet for udbetalingen. Da renten er positiv, betyder det at jo længere du kan udskyde betalingerne, jo bedre, hvilket taler for at vente med investeringen. Sidst, og formentligt vigtigst af alt, betyder muligheden for at vente at man kan optimere investeringsbeslutningen til hvert af de to forhold, mens beslutningen om at investere med det samme bygger på et gennemsnit af de to. 11

13 Dette eksempel er naturligvis noget forsimplet. I de fleste tilfælde, vil projektet ikke bare kunne udnyttes i en af to perioder, og usikkerheden vil ikke kun bestå i, hvorvidt prisen falder eller stiger en enkelt gang, og derefter være fast. I stedet vil man løbende have mulighed for at udnytte optionen, og prisen vil løbende stige eller falde, selv efter at der er blevet investeret. Dette kan modelleres ved at tilføje flere perioder og flere skilleveje i Figur 1, for derved at bygge et binomialtræ. Dette vil dog stadig kun være en tilnærmelse til den kontinuerte investeringsmulighed. I det følgende gennemgås der derfor en af de første modeller, der giver en præcis lukket løsning for en investering, hvor selskabet kan vælge, hvornår det vil foretage investeringen. 2.3 McDonald & Siegel (1986) model I det følgende findes en analytisk løsning til optionen på at kunne investere i et projekt, ved modellen af McDonald & Siegel (1986). Der gives en grundig gennemgang af modellen i denne klassiske artikel, da eksemplet er en god illustration, af hvordan realoptionsproblemer kan løses analytisk, og giver i sidste ende en god intuition, af hvordan real optioner skaber værdi, selvom om optionen ikke er in-the-money. Eksemplet gennemgås med hjælp fra gennemgangen i Dixit & Pindyk (1994; kapitel 5 og kapitel 6) og i noterne Flor (2009). Det antages, at de finansielle markeder er tilstrækkeligt komplette til, at real optionen kan replikkeres ved finansielle instrumenter, så det er muligt at gøre brug af Contingent Claims analysen. Eksemplet består af et selskab, der har muligheden for at investere i et projekt. Denne mulighed for at investere er tidsubegrænset. For at investere i projektet skal selskabet betale en fast omkostning I. Når selskabet har investeret i projektet, giver projektet hvert år til uendelighed en profitstrøm, der følger processen X t. Den mulige profitstrøm X t afhænger af forholdene og følger en geometrisk Brownian Motion, der under de sande sandsynligheder er givet ved: dx t = αx t dt + σx t dw t P (4) Hvor α er driften, σ er variansen, dw t P er Wiener processen under de sande sandsynlighed, og den initiale værdi for profitstrømmen er givet ved X 0. Opgaven er nu at fastlægge projektets værdi, og hvornår det er optimalt at udnytte optionen og investere i projektet. Analysen kan deles op i to. For at finde ud af hvilken værdi der er knyttet ved muligheden for at investere i projektet, er det nødvendigt at kende nutidsværdien på projektet. Denne vil være afhængig af profitniveauet, og projektets bruttoværdi skal derfor findes som funktion af profitstrømmen, så det kan udtrykkes ved V(X). Nettoværdien af projektet, dvs. når investeringsomkostningerne er trukket fra, ses som payoffet af investeringen, og udtrykkes ved Z(X). Vha. V(X) og bibetingelserne til V(X), er det muligt at finde værdien på optionen, θ(x), og hvornår det er optimalt at udnytte optionen. Hvornår det er 12

14 optimalt at udnytte, afhænger af niveauet på profitstrømmen, hvor det optimale niveau benævnes X *. Forholdet imellem de forskellige niveauer er illusteret i Figur 2: Udnyt option θ(x) V(X)-I X Figur 2 Illustration over afhængighedsforholdet imellem de forskellige niveauer. Den nederste graf illustrerer en proces for profitstrømmen X, henover tid t. Denne profitstrøm påvirker værdien af projektet. I den øvre graf, fremgår nettoværdien af projektet Z(X) = V(X)-I i sort. Nettoværdien af projektet påvirker optionsværdien θ(x), der er afbildet i rød. For at kunne finde værdien af projektet, V(X), er det først nødvendigt at udtrykke projektets afkast under de risikoneutrale sandsynligheder, Q. Udover væksten i profitstrømmen, α, antages det også at der er en marginal convenience yield, udtrykt ved δ > 0, så det samlede forventede afkast som følge af profitstrømmen er µ P = α + δ. Convenience yield kan typisk observeres på råvaremarkederne, og opstår som resultat af, at der kan være nogle direkte fordele knyttet til at have det faktiske fysiske aktiv på lager. Se Pindyck (1993) for en empirisk analyse af konsekvenserne af sådanne convenience yields. Hvis det antages at processen for X kan replikkeres ved processen for et handlet aktiv, er det muligt at udtrykke markedsprisen for risiko ved: λ = µp " r # (5) Hvor r angiver den risikofri rente, der antages at være konstant. Denne markedspris på risiko kan nu bruges til at ændre sandsynlighedsmål. Jvf. Girsanov Theoremet betyder en ændring i sandsynlighedsmål at det udelukkende er nødvendigt at korrigere i driften på diffusionsprocessen og ikke i variansen. Driften for profitstrømmen vil under de risikoneutrale sandsynligheder derfor være: 13

15 µ µ Q = α - λσ = α - µp " r # σ = α - (µp - r) = α - (α + δ - r) = r - δ (6) Processen for profitstrømmen under de risikoneutrale sandsynligheder kan derfor skrives som: dx t = µx t dt + σx t dw t (7) Hvor dw t er Wiener procesen under Q. Det er herved muligt at opstille en differential ligning for projektets værdi ved Contigent Claims analyse efter samme princip, som når der senere vil blive opstillet en differential ligning for optionens værdi. Dette skyldes at ligesom optionens værdi er afhængig af projektets værdi, så projektets værdi afhængig af profitstrømmen. Ved at tage kombinationer af aktivet der skal værdifastsættes i dette tilfælde projektet - og det underliggende aktiv - i dette tilfælde profitstrømmen - er det muligt at opbygge en risikofri portefølje, som derfor også må have et risikofrit afkast. Det gør det muligt at opsætte en differential ligning, med projektets værdi som ukendt variabel, der kan løses givet de rette bibetingelser. Vi starter med at antage, at vi til tid t opbygger en portefølje med en enhed af projektet, og en kort position i n enheder af profitstrømmen. Variablen n er i første omgang vilkårlig, men det vil senere være muligt at fastlægge den, så porteføljen kan gøres risikofri. Denne portefølje holdes i tidsintervallet dt. Ved at eje projektet i tidsintervallet dt fås profitten Xdt. Ved at gå kort i profitstrømmen, er det dog modsat nødvendigt at betale den convience yield, nδxdt, som modparten til transaktionen ellers ville have fået ved at eje profitstrømmen. Udover nettoafkastet, er porteføljeværdien også afhængig af, hvordan værdien af projektet ændrer sig, dvs. dv(x), og hvordan profitstrømmen ændrer sig, dvs. ndx. Dette kan ses som et slags kapitalafkast. Hele afkastet kan derfor skrives som: Porteføljeafkast = Xdt - nδxdt + dv(x) ndx (8) Ved Ito s Lemma er det muligt at udtrykke diffusionsprocessen for projektets værdi ved diffusionsprocessen for profitstrømmen: dv(x) = V (X)dX + ½V (X)(dX) 2 (9) Ved at indsætte udtrykket for diffusions processen under de sande sandsynligheder ind i stedet for dx, og benytte sig af ovenstående resultat ved Ito s Lemma, bliver kapitalafkastet: 14

16 dv ndx = V (X) αxdt (10) + V (X)σXdW P + ½V (X)[α 2 X 2 dt 2 + σ 2 X 2 (dw P ) 2 + 2αX 2 σdw P dt] - nαxdt - nσx dw P Ved at bruge regnereglerne dt 2 = 0, dw P dt = 0 og (dw P ) 2 = dt og samle variablene fås: dv ndx = {αx[v (X) - n]+ ½σ 2 X 2 V (X)}dt + X[V (X) - n]σ dw P (11) Det fremgår, at det er muligt at få det stokastiske led til at forsvinde ved at sætte n = V (P). Da der ikke indgår nogle stokastiske led i nettodividenden, må dette porteføljeafkast altså være lig risikofri afkast, hvorfor porteføljeafkastet kan skrives som: Porteføljeafkast = [X V (X)δX + ½σ 2 X 2 V (X)]dt = r[v(x) - nx]dt (12) Ved også at sætte n = V (X) på højresiden for det risikofri afkast og samle ledene, fås følgende differential ligning: ½σ 2 X 2 V (X) + (r - δ)x V (X) rv(x) + X = 0 (13) ½σ 2 X 2 V (X) + µx V (X) rv(x) + X = 0 Projektets værdi som funktion af profitstrømmen skal altså kunne være løsning i ovenstående differential ligning. For at kunne finde en løsning, er det nødvendigt med to antagelser omkring projektet. For det første, er det rimeligt at antage, at projektet ikke har nogen værdi, hvis profitstrømmen forsvinder, dvs. V(0) = 0. Fordi profitstrømmen følger en Geometrisk Brownian Motion, vil den altid forblive nul, når den først har ramt nul. For det andet antages det, at der ikke er nogle spekulative bobler, hvilket betyder, at værdien af projektet må være lig projektets fundamentale komponent. Projektets fundamentale komponent består af den nutidsværdi, der stammer fra at få profitstrømmen i en uendelighed. Det er en rimelig antagelse at, det kun er nødvendigt at se på projektets fundamentale komponent, hvis der ikke er nogle efterfølgende real optioner forbundet med projektet, som f.eks. optionen på at lukke projektet, hvis profitten bliver negativ. Værdien på den fundamentale komponent, og derved projektet, kan da udregnes til: V(X) = E Q # e " rt # [ $ X t dt 0 ] = $ Xe (µ"r )t dt = 0 X r " µ = X " (14) Et tjek viser, at denne løsning kan løse ovenstående differential ligning. Hermed kan projektets værdi findes som funktion af profitstrømmen. 15

17 Næste trin er, at beregne værdien af optionen på at kunne investere i dette projekt. I samme anledning ønskes det at finde hvilket niveau profitstrømmen skal være på inden der investeres, hvilket vil udtrykkes ved X *. På samme måde som med projektets værdi, er det muligt at opsætte en differential ligning for optionsværdien. Til at opsætte differential ligningen, kan samme argumenter som før bruges. Den eneste forskel på de to er, at profitstrømmen før opstod som konsekvens af, at man havde projektet. Her har man muligheden for at igangsætte projektet, og projektet er altså ikke igangsat endnu. Derfor modtager man ikke profitstrømmen Xdt. Differential ligningen bliver derfor: ½σ 2 X 2 θ (X) + µx θ (X) rθ(x) = 0 (15) Til at løse denne differential ligning, er det dog ikke tilstrækkeligt med en heuristisk forklaring som før. I stedet er det nødvendigt med en dybere analyse af antagelserne og egenskaberne ved funktionerne, for at kunne opstille tre bibetingelser med hvilke det er muligt at løse ovenstående differential ligning. Til at løse for projektets værdi fandt vi, at fordi profitstrømmen følger en Geometrisk Brownian Motion, bliver profitstrømmen 0 i al uendelighed, når den først har ramt nul. Rammer profitstrømmen nul, må værdien af projektet nødvendigvis også blive 0, hvilket betyder, at der ikke kan være nogle værdi i at holde på optionen ved at kunne investere. Dette er en teknisk bibetingelse, der kan udtrykkes ved følgende: θ(x) 0, X 0 (16) Når værdien på optionen er større end nettoværdien på projektet, er det, fordi der er værdi ved at kunne vente med at investere. Når der ikke længere er nogen værdi i at vente, bliver det optimalt at udnytte optionen. Værdien på optionen må på dette tidspunkt derfor være lig med nettoværdien af projektet, da den ekstra værdi, optionen har ved at kunne vente, er 0. Dette kaldes value-matching betingelsen og kan udtrykkes ved: θ(x * ) = V(X * ) I (17) Af dette følger endnu en bibetingelse kaldet smooth-pasting betingelsen. Følgende er en simpel intuitiv forklaring, mens den mere komplekse tekniske forklaring kan ses i Dixit & Pindyk (1994). Da optionen på at kunne investere i et projekt kun er en mulighed, og ikke et krav, kan det kun tilføre positiv værdi. Det betyder også, at θ(x) aldrig vil være mindre end nettoværdien ved at investere i projektet. For at value-matching betingelsen skal være opfyldt, må det derfor gælde at, θ(x) lige så stille tilnærmer sig V(X) I for derefter at tangere den. Det betyder, at det er muligt at opskrive følgende bibetingelse: θ (X) X = X* = V (X) X = X* (18) 16

18 Dvs. at omkring punktet, hvor det er optimalt at udnytte optionen er hældningen på optionens værdi den samme som hældningen på projektets værdi. Som differential ligningen i (15) er opstillet, hører den under kategorien af anden ordens lineær homogen differential ligninger med lineære koefficienter. Løsningerne på denne type differential ligninger har følgende form: θ(x) = A 1 X β 1 + A 2 X β 2 (19) Hvor der gælder, at β 1 og β 2 er løsning til følgende ligning: ½σ 2 β i (β i - 1) + µβ i - r = 0 for i = 1, 2 (20) Hvilket er tilfældet når 1 : β 1 = β 2 = $ & % $ & % " 2 ' 2 # µ ) + µ # " 2 & 2 " 2 ( ' $ % " 2 2 # µ ) # µ # " 2 & 2 ( $ % " 2 ' ) ( ' ) ( r" 2 + 2r" 2 (21) Det kan vises at β 1 > 1 og at β 2 < 0. Dermed mangles der blot at løse for koefficienterne A 1 og A 2. For at finde disse, gøres der brug af bibetingelserne. Først ses der nærmere på den tekniske betingelse i ligning (16). Da β 2 er negativ, vil θ(x) konvergere imod, når X går imod 0, medmindre A 2 = 0. Denne bibetingelse betyder altså at A 2 sættes lig med 0. Dette betyder, at value matching betingelsen i ligning (17) kan skrives som: θ(x * ) = V(X * ) - I A 1 (X * ) β 1 = X * r " µ - I (22) Og at smooth pasting betingelsen i ligning (18) kan skrives som: θ (X) X = X* = V (X) X = X* β 1 A 1 (X * ) β 1-1 = 1 r " µ (23) 1 Det bemærkes at der er en fejl i noterne Flor (2009), så fortegnene i de to første led skal vendes om. Derved passer det også med løsningen i Dixit & Pindyck, hvor løsningen er givet som: β 1 = ½ - µ/σ 2 + {[µ/σ 2 - ½] 2 + 2r/σ 2 } 0,5. 17

19 Ved at dividere value matching betingelsen med smooth pasting betingelsen, er det muligt at isolere X *, der er det niveau for profitstrømmen, som resulterer i, at det er optimalt at investere: A 1 ( X " ) # 1 = $ X " ' & )(r - µ) 1 (X * ) β - β + 1 # 1 A 1 ( X " ) # 1 1 = X * - I(r µ) (24) 1$1 % r # µ ( " 1 X * 1 (! - 1) = -I(r µ) $ X* " # 1 ' 1 & ) = I(r µ) X * = % " 1 ( 1 " 1 I(r µ) " 1 # 1 Dermed er der løst for, hvornår det er optimalt at investere, nemlig når profitstrømmen rammer X *. Værdien af projektet, når der investeres på det optimale investeringstidspunkt, kan vha. ligning (14) findes til: V(X * ) = X" r # µ V(X* ) = " 1 " 1 # 1 I (25) Det kan ses, at højresiden er større end I, dvs. V(X * ) > I, hvilket betyder, at der ikke blot skal investeres i projektet, lige så snart projektet har en positiv nutidsværdi, men at værdien skal være tilstrækkelig stor til at kompensere for den alternativ omkostning, der er forbundet ved at kunne investere senere, dvs. V(X * ) = I + θ(x * ). For at udtrykke θ(x) som funktion af X, bemærkes det desuden, at A 1 kan isoleres, og udtrykkes ved: A 1 = $ X " & % r # µ # I ' )(X * ) -β 1 = ( $ (" 1 # 1) " 1 I # ( " 1#1) ' & ) [( r # µ )" 1 ] " 1 & ) % ( (26) Vha. dette er det muligt at beregne optionsværdien som funktion af profitstrømmen. Af Figur 3 fremgår både optionsværdien og nettoværdien ved at investere i projektet som funktion af profitstrømmen P. 18

20 θ(x) Z(X) = max(v(x) I, 0) X * Figur 3 Illustration af optionsværdien, θ(x), og værdien ved at investere med det samme, som funktion profitstrømmen X. Dette er givet for parametrene µ = 1%, r = 4%, σ 2 = 0,2 og I = 20. X * angiver det niveau profitstrømmen skal nå før det bliver optimalt at udnytte optionen Figuren bekræfter altså, hvordan man ikke blot skal investere, lige så snart nutidsværdien er positiv. Som det kan ses af figuren, er værdien af optionen på at vente større end nettoværdien ved at investere et godt stykke efter, at nettoværdien af investeringen er positiv. Figuren bygger på et eksempel, hvor µ = 1%, r = 4%, σ 2 = 0,2 og I = 20. Investerer man efter den traditionelle nutidsværdi metode, bør man investere når profitstrømmen rammer X = 0,6. Når man værdifastsætter ved real optioner, skal der dog først investeres når profitstrømmen rammer X * = 3, Denne gennemgang har benyttet sig af Contingent Claims-analysen som analysemetode, der fungerer som en teoretisk ramme med hvilken, man kan komme frem til pålidelige resultater. Contingent Claims-analysen er den mest brugte analysemetode, men som der vil blive gjort rede for i næste kapitel, er der også et alternativ. 19

21 3 Analysemetoder For at kunne løse problemer med real optioner er det nødvendigt med en analysemetode, hvorfra der kan trækkes de nødvendige matematiske teknikker og beviser for at kunne opnå resultater, der bygger på et solidt fundament. Inden for real optioner anvendes typisk to analysemetoder: Dynamisk programmering og Contingent Claims-analysen. Contingent Claims-analysen har indtil nu været den mest brugte af disse analysemetoder. Det er bl.a. den analysemetode, der er benyttet i den traditionelle fremstiling af binomialtræ-metoden, der vil blive analyseret i næste kapitel. Det er desuden den analysemetode, der oftest refereres til, når der opstilles differential ligninger i mange realoptionsmodeller. Et eksempel på dette er realoptionsmodellen i afsnit 2.3. Når det ikke er muligt at finde en analytisk løsning til disse differential ligninger, gøres der typisk brug af finite difference metoden, der vil blive analyseret i næste kapitel. Finite difference metoden kommer derfor også ofte indirekte til at bygge på Contingent Claims-analysen. Dette er på trods af, at dynamisk programmering er en mere generel analysemetode, der finder anvendelse under mindre restriktive antagelser. Analysemetoden er desuden forskellig fra Contingent Claims-analysen, hvilket betyder, at den kan bruges til at udvikle en ny slags metoder til værdifastsættelse af optioner, nemlig metoder der bygger på Monte Carlo. Det er netop disse metoder, der er fokus for denne opgave. Dynamisk programmering kan desuden benyttes til at opstille de samme differential ligninger for real options problemer, som der kan opstilles med Contingent Claims-analysen. Fremgangsmåden og delresultaterne ved de to analysemetoder minder i dette henseende meget om hinanden. Årsagen til at dynamisk programmering ikke rigtig er blevet brugt før nu skyldes to faktorer: 1) De ekstra antagelser i Contingent Claims analysen gør muligt at specificere diskonteringsrenten endogent, der er en eksogen parameter i dynamisk programmering. 2) De nye metoder, der kan udvikles under dynamisk programmering, er forholdsmæssigt beregningstunge, og er derfor først for nylig blevet et praktisk alternativ, pga. udviklingen i computerkraft. For at kunne forstå de forskellige metoder og modeller, der vil blive gennemgået i resten af opgaven, er det derfor nødvendigt at have kendskab til disse to analysemetoder. Følgende gennemgang vil bygge på Dixit & Pindyck (1994; kapitel 4) og noterne af Flor (2009). 3.1 Dynamisk programmering Real optioner kan være specificeret på flere forskellige måder, blandt andet omkring hvornår det skal være muligt at udnytte optionen. Visse optioner kan kun udnyttes på et enkelt tidspunkt, hvilket kan sammenlignes med en europæisk option. Andre kan udnyttes på en række forudbestemte tidspunkter, hvilket kan sammenlignes med bermuda optioner. Desuden eksisterer der en række optioner, hvor man på kontinuerlig basis har mu- 20

22 lighed for at udnytte optionen. Dette kan sammenlignes med en amerikansk option. Det mest dækkende vil være at gennemgå problemstillingen for en option med kontinuert mulighed for at udnytte optionen. Dynamisk programmering vil dog blive gennemgået i diskret tid, dvs. med diskret mulighed for at udnytte optionen, da egenskaberne ved dynamisk programmering er nemmere at vise på denne måde. Kontinuert tid kan ses som et grænsetilfælde af diskret tid, der tilnærmes jo mindre tidsintervaller, man vælger. Dette undersøges til sidst. Det antages derfor, at optionen kan udnyttes på K diskrete tidspunkter, 0 < t 1 t 2... t k... t K = T, hvor t k angiver den periode, man nu er nået til i algoritmen. Det antages yderligere, at hver periode er af samme længde Δt, så t 0 = 0, t 1 = Δt,..., t k = kδt,..., t K = KΔt. Den generelle Bellman ligning For at kunne udregne selskabets værdi og værdien af de muligheder selskabet har, introduceres først to variable. Virksomhedens nuværende situation vil blive kendetegnet ved variablen X, også benævnt tilstandsvariablen. I denne analyse vil X blive betragtet som et reelt tal, men det er også muligt at udvide analysen, så X er en vektor. Variablen X t(k) er kendt til tid t k, mens de fremtidige værdier X t(k+1), X t(k+2) osv. kan ses som stokastiske. Det antages, at X erne følger en Markov proces, så al relevant info om de mulige fremtidige værdier for X indgår i X t(k). I eksemplet fra afsnit 2.3, svarer profitstrømmen til tilstandsvariablen. Til hver periode har selskabet en række valg, som konsekvens af den fleksibilitet selskabet har. Dette kan ses som de real optioner selskabet er i besiddelse af. Disse valg er repræsenteret ved variablen u. I eksemplet fra afsnit 2.3, var denne variabel binær; skulle der investeres med det samme, eller var det bedst at vente til senere? Afhængig af hvilket problem man forsøger at løse, kan u også betragtes som et reelt tal, hvilket kan være anvendeligt, hvis det er et spørgsmål om grad, f.eks. hvor stor man skal lave en fabrik. I mange tilfælde vil man desuden ikke kun have en slags muligheder, men flere. Dvs. selskabet er indehaver af flere real optioner. Det er da muligt at udtrykke u som en vektor, hvor variablene i vektoren angiver valgene til hver af real optionerne. Som følge af at X følger en Markov proces, antages det, at beslutningen omkring de forskellige muligheder selskabet har, alene bygger på de nuværende tilstandsvariable, dvs. X t(k). Selskabets nuværende tilstand, X t(k), har indflydelse på de fremtidige tilstande, men også de valg selskabet træffer i denne periode, u t(k), kan få en indflydelse. Sandsynlighedsfordelingen for tilstandsvariablen til næste periode er derfor givet som Φ t(k) (X t(k+1) X t(k), u t(k) ). Payoffet ved beslutningerne truffet i forbindelse med de forskellige optioner er også afhængig af u t(k) og X t(k). Payoffet udtrykkes ved Z t(k) (X t(k), u t(k) ). Diskonteringsfaktoren er givet ved ρ og kan ift. eskemplet i afsnit 2.3 ikke bare sættes lig den risikofri rente, da der ikke gøres brug af Contingent Claims analysen. Opgaven består i at løse det dynamiske optimeringsproblem, og vælge den til enhver tid optimale sekvens af u er, der maksimerer nutidsværdien ved de tilsvarende payoff. Optioner kan enten være specificeret, så de skal udnyttes inden for en endelig eller uendelig tidsrække. Dette kræver typisk forskellige måder at finde en løsning på. Ydermere kan der 21

23 desuden være tilfælde, hvor sluttidspunktet ikke er kendt med sikkerhed, selvom man ved at optionen har en endelig tidshorisont. Dette kan f.eks. være stokastisk bestemt. Dette er dog ikke en problemstilling, der vil blive behandlet yderligere i denne opgave. Denne opgave vil fokusere på optionsproblemer med en endelig tidshorisont, og for løsning af det dynamiske problem med en uendelig tidshorisont henvises til Dixit & Pindyck (1994). Det bemærkes dog, at problemet parakdoksalt nok bliver nemmere at løse med en uendelig tidshorisont. Når man har en option, der skal udnyttes inden for en bestemt tidsrække, vil den sidste periode benævnes T. Payoffet til denne periode vil blive udtrykt ved Z T (X T, u T ) på dette tidspunkt er det for sent at træffe flere beslutninger ift. fremtiden, og man gør derfor bare, hvad der er optimalt ift. tilstanden X T for at få det maksimale payoff. Vi ønsker da at finde θ t(0) (X t(0) ), der er den forventede nutidsværdi af projektets cashflow, når selskabet træffer de optimale beslutninger givet forholdene til hver af de fremtidige perioder. Den grundlæggende idé ved dynamisk programmering er at dele problemet til hver periode op i to dele: 1) Værdien for den nuværende periode, og 2) den samlede værdi for alle de efterfølgende perioder. At problemstillingen kan opstilles på denne måde, kan udledes ved følgende simple argumentation: Når selskabet træffer en beslutning, u t(k), om hvordan det vil bruge sin muligheder, har det en effekt på det øjeblikkelige payoff Z t(k) (X t(k), u t(k) ). Den forventede nutidsværdi af projektets cashflow til tidspunkt t k+1 og alle de fremtidige tidspunkter er givet ved θ t(k+1) (X t(k+1) ). Set fra tidspunkt t k er denne værdi endnu ikke kendt, og man er derfor nødsaget til at tage forventningen til denne værdi, dvs. E t(k) [θ t(k+1) (X t(k+1) )]. Ved at tilbagediskontere denne værdi får man, hvad der vil blive benævnt som fortsættelsesværdien. Værdien ved en bestemt beslutning kan ses som summen af den øjeblikkelige profit og den tilbagediskonterede værdi af projektet i næste periode som følge af beslutningen. Da optionsværdien θ t(0) (X t(0) ) er et udtryk for værdien af optionerne, når de udnyttes optimalt, må der til ethvert tidspunkt t k gælde, at værdien af optionen til tidspunkt t k kan findes ved: θ t(k) (X t ) = max u t( k) {Z t(k) (X t(k), u t(k) ) " E t(k)[θ t(k+1) (X t(k+1) )]} (27) Denne ligning kaldes for Bellman ligningen. Dvs. de optimale beslutninger mht. de muligheder selskabet har i dag afhænger af, hvad der samlet set maksimerer det øjeblikkelige payoff og den forventede nutidsværdi af de fremtidige cashflow. Hvordan denne ligning bruges til at finde frem til en løsning for θ t(0) (X t(0) ) afhænger af, om det er en problemstilling med en endelig eller uendelig tidshorisont. Da der i dette tilfælde analyseres på tilfældet med en endelig tidshorisont, har vi et udtryk for det endelige payoff til tidspunkt T. Til tidspunktet før, t (K-1), kan værdien af projektet udtrykkes ved: 22

24 θ t(k-1) (X t(k-1) ) = max u t( K"1 ) {Z t(k-1) (X t(k-1), u t(k-1) ) " E t(k-1)[z T (X T, u T )]} (28) Da fortsættelsesværdien er kendt, er det muligt at værdifastsætte værdien af hver af beslutningerne u og evaluere, hvilken der maksimerer værdien optionen til tidspunkt t K-1. Dette kan benyttes i ligning (27) til at finde værdien af optionen på tidspunkt t K-2. Ved at benytte ligning (27) iterativt tilbage til tidspunkt t 0, er det muligt at finde værdien af optionen idag. Binære valg Indtil nu er analysen foretaget for en så generel option som muligt. De fleste optioner er dog specificeret på en sådan måde, at de giver et valg imellem to muligheder. Selvom dette måske lyder som en forsimpling, så vil der i kapitel 7 blive analyseret, hvordan man ved at kombinere flere af sådanne simple optioner ofte kan løse selv meget komplekse problemer. Det er denne type optioner, der vil være fokus for resten opgaven. Det er derfor relevant at analysere, hvordan det dynamiske problem bliver opstillet i dette tilfælde. Da optionen til hver periode giver et valg mellem to muligheder, kan beslutningsvariablen u ses som en binær variabel. Dette er f.eks. tilfældet i eksemplet fra afsnit 2.3, hvor der til hver periode skal besluttes, om der skal investeres i dag, eller om det er bedre at vente. Et andet eksempel er beslutningen om at lukke virksomheden imod til gengæld at få virksomhedens scrapværdi. Forskellen på de to eksempler er, at man ved beslutningen om hvornår der skal investeres ikke har nogen profitstrøm inden man udnytter optionen, mens man med optionen på at kunne lukke virksomheden, modtager en profitstrøm indtil denne option udnyttes. Dette illustrerer, at forskellige optioner kan have specificeret payoffet, Z, på forskellige måder. Fælles for optionerne er at de forskellige u er i hvert fald i mindst i en af perioderne, skal give et forskelligt payoff alt efter hvilket valg, der træffes. Ellers er valget irrelevant. Sammenligningen af de to real optioner illustrerer også, at optioner med binære valg ofte giver anledning til en engangsbeslutning. Skal optionen udnyttes nu eller senere. Dette opstår som følge af, at optionen er specificeret, så den kun kan udnyttes en enkelt gang. Dette betyder til gengæld, at man ved udnyttelse af optionen frasiger sig muligheden for at kunne udnytte optionen senere. Denne typer optioner vil derfor være kendetegnet ved, at det er nødvendigt at vælge imellem: 1) Et øjeblikkeligt payoff, hvis optionen udnyttes nu, eller 2) et evt. payoff, samt den forventede værdi ved at holde optionen i live. Payoffet ved at udnytte optionen udtrykkes ved Z t(k) (X t(k) ). Hvis der modtages et payoff ved at holde optionen i live, vil det typisk være den profit, der modtages ved at holde projektet kørende. Fremfor at angive dette payoff ved Z t(k) (X t(k), udnyt ikke ) udtrykkes det i stedet ved π t(k) (X t(k) ). Hvis det er optionen på, hvornår der skal investeres, der analyseres, 23

25 sættes denne profit lig 0. På denne måde bliver Bellman-ligningen til hver periode, som følger: θ t(k) (X t(k) ) = max{z t(k) (X t(k) ), π t(k) (X t(k) ) " E t(k)[θ t(k+1) (X t(k+1) )]} (29) Generelt set kan fordelingen, af hvilke X er der leder til en beslutning om at udnytte optionen, og hvilke X er der leder til en beslutning om at vente med investeringen, være helt arbitrær, så X'er med udnyttelse kan ligge side om side med tilstandsvariable, hvor det bedst kan betale sig at vente. For de fleste problemer vil det dog være mere struktureret. Der vil typisk være et cut-off punkt, hvor X er der når over et bestemt niveau vil betyde udnyttelse, mens det for X er, der ligger under dette niveau, bedst vil kunne betale sig at vente eller vice versa. I ovenstående ligning er det antaget, at både payoff-funktionen og profitstrømmen er afhængig af tiden t. Dette betyder, at cut-off punktet bliver afhængig af tiden t, dvs. X * (t). Antages det i stedet for, at disse funktioner er uafhængige af t, så de kun er afhængige af tilstandsvariablen X, bliver dette cut-off punkt fast over tid, dvs. X *. Kernen er, at når optimeringsproblemet har med en binær beslutning at gøre, så kan optimeringsproblemet løses ved at finde det niveau, tilstandsvariablen skal nå for, at det er optimalt at udnytte. I kontinuert tid Resten af opgaven vil primært se på problemer med binære beslutninger, der løses i diskret tid. Det betyder, at der primært vil blive gjort brug af ligning (29). Da mange af de problemstillinger, der skal løses for, er problemstillinger med kontinuert mulighed for udnyttelse, men som approksimeres ved diskret tid, er det relevant at analysere Bellmanligningen i kontinuert tid. Det viser sig, at der desuden opnås en vis intuition ved at opstille ligningen på denne måde, der ikke straks kan ses af ovenstående. Målet er derfor at opnå Bellman-ligningen i kontinuert tid, hvilket opnås ved Hamilton-Jacobi-Bellman ligningen. Måden at komme frem til denne på går som følger. Først skal der ændres på målet for optionspayoffet. Da målet er at ende med et udtryk for Bellman-ligningen i kontinuert tid, giver det ikke længere mening at se på payoffet til hver af perioderne. I stedet formuleres payoffet Z som en rate. Det samlede payoff i et tidsinterval kan derfor findes ved at gange tidsintervallet på raten for payoffet. Derudover er det også nødvendigt at ændre på renten, så problemet kan opstilles i kontinuert tid. Renten ρ er derfor nu diskonteringsrenten i kontinuert tid. Bellman-ligningen kommer da til at se ud, som følger: θ t(k) (X t(k) ) = max u t( k ) {Z t(k) (X t(k), u t(k) )Δt + e -ρδt E t(k) [θ t(k+1) (X t(k+1) )]} (30) Hvor Δt angiver tidsintervallet. Opgaven er nu at undersøge, hvad der sker, når man lader dette tidsinterval blive uendeligt lille. For at kunne undersøge dette er det dog først nødvendigt med et par omskrivninger. 24

26 Ved at gange med e ρδt og fratrække θ t(k) (X t(k) ) på begge sider af ligning (30), opnås følgende ligning: (e ρδt -1) θ t(k) (X t(k) ) = max u t( k ) { e ρδt Z t(k) (X t(k), u t(k) )Δt + E t(k) [θ t(k+1) (X t(k+1) ) - θ t (X t )]} (31) Der divideres derefter med Δt på begge sider af ligningen, hvorefter der så opnås følgende: e "#t $ 1 θ #t t(k) (X t(k) ) = max{ e ρδt Z t(k) (X t(k), u t(k) ) + 1 u t( k ) "t E t(k)[θ t(k+1) (X t(k+1) ) - θ t(k) (X t(k) )]} (32) Jo mindre tidsintervallet bliver, jo mere tilnærmer problemet sig kontinuert tid, og det analyseres derfor hvad ligningen konvergerer imod når Δt 0. Dette leder til Hamilton- Jacobi-Bellman ligningen: ρθ t( (X t ) = max u t {Z t (X t, h t ) + 1 dt E t[dθ t ]} (33) Ved at udtrykke ligningen på denne måde er det muligt at få noget intuition ud af den bagvedliggende matematik i resultatet. Venstre siden, ρθ t (X t ), kan betragtes som det øjeblikkelige forventede afkast, en investor med diskonteringsrente ρ kræver for at holde investeringen θ t (X t ). På højresiden ses det øjeblikkelige afkast på projektet, når projektets værdi maksimeres ved beslutningerne u t. Dette totale afkast er delt op i to dele. Det øjeblikkelige payoff Z t (X t, u t ) og det forventede kapitalafkast. Hamilton-Jacobi-Bellman ligningen udtrykker, hvad man ville forvente i ligevægt, nemlig at det afkast, investor forventer af en sådan type investeringer er, lig projektets forventede afkast. Ved at se nærmere på Hamilton-Jacobi-Bellman ligningen viser det sig, at ligningen kan udskrives yderligere. På højresiden er kapitalafkastet givet som driften på diffusionsprocessen for optionsafkastet. Dette er som sagt afhængigt af den underliggende variabel X t og tiden t. Hvis det antages, at den underliggende variabel følger en Ito process, givet ved: dx t = µ(x t, u t, t)dt + σ(x t, u t, t)dw t (34) Så er det muligt at udskrive dθ t (X t ) ved at bruge Ito s Lemma. Ved desuden at gøre det eksplicit at funktionen er afhængig af t, kan dθ t (X t ) derfor skrives som: $ dθ(x t, t) = "#( X t,t ) & + µ(x % "t t, u t, t) "#( X,t ) t "X + σ(x t, u t, t) "#( X t,t ) dw "X t + ½σ 2 (X t, u t, t) "2 #( X t,t ) & dt (35) "X 2 $ % 25

27 E t [dθ t ] kan ses som driften i dette udtryk, og Hamilton-Jacobi-Bellman ligningen bliver derfor: ρθ(x t, t) = max u t {Z(X t, u t, t) + "#(X t, t) "t + ½σ 2 (X t, u t, t) "2 #(X t, t) "X 2 } + µ(x t, u t, t) "#(X t, t) "X (36) Dette udtryk kan bruges til at finde lukkede løsninger for problemer i kontinuert tid. F.eks. er det muligt at benytte denne ligning til problemer, der bygger på binære valg. Dermed er det muligt at opstille en differential ligning til problemet omkring, hvornår det er optimalt at investere, ligesom den der typisk udledes i Contingent Claims analysen. Dette vil blive analyseret i næste afsnit. Disse differential ligninger finder primært anvendelse, hvis man vil finde en analytisk løsning, eller hvis man vil benytte sig af finite difference metoden som i afsnit 4.2. Ønsker man derimod at finde en løsning ved simulation, er det i stedet ligning (29), der vil være udgangspunktet. Dette viser, at problemer med real optioner kan løses på flere forskellige måder. De forskellige tilgange analyseres i Kapitel Contingent Claims analyse I afsnit 2.1 blev det fastslået, at det er tvivlsomt, hvorvidt de underliggende antagelser er opfyldt, så det er muligt at benytte sig af Contingent Claims analysen på real optioner. Dynamisk programmering lider ikke under samme restriktive antagelser og kan derfor benyttes, hvor Contingent Claims analysen ikke kan. Problemet ved dynamisk programmering er, at den ikke specificerer, hvordan diskonteringsrenten ρ skal bestemmes. Det betyder at mange modeller, der benytter sig af dynamisk programmering som den overordnede ramme, alligevel må ty til Contingent Claims analysen for fastslå diskonteringsrenten. Det er derfor nødvendigt med en gennemgang af denne for at kunne give en fyldestgørende beskrivelse af de underliggende antagelser, der ligger bag resultaterne i resten af opgaven. I afsnit 2.3 så vi, at hvis tilstandsvariablen blev handlet på markedet, så var muligt at danne en portefølje ved at gå lang i 1 enhed af optionen og gå n kort i tilstandsvariablen. Handles tilstandsvariablen ikke på markedet, er det naturligvis ikke muligt at gå kort i den. Ved at vælge forskellige n er det derved muligt at replikkere forskellige afkast- & risikoprofiler. En mulighed er at fastsætte n, så det deterministiske led udgår og derved gøre porteføljen risikofri. Hovedbudskabet i Contingent Claims analysen er, at hvis den replikkerede portefølje er risikofri, at den så også nødvendigvis må give det risikofrie afkast. Ved desuden at have brugt Ito s Lemma for at finde n, leder dette frem til en differential ligning med hvilken, man kan finde en løsning. Det viser sig, at sådanne replikkerende porteføljer kan bygges på to måder: 1) Som i ovenstående, ved at gå 1 lang i optionen og n kort i tilstandsvariablen, og 2) gå en 1 lang i det risikofri aktiv og n lang i til- 26

28 standsvariablen. De efterfølgende beregninger er derefter i princippet de samme for begge måderne at sammensætte porteføljen på. Spørgsmålet er så, hvad der sker når tilstandsvariablen ikke handles? For at kunne opbygge en portefølje der indeholder optionen, og som derefter skal kunne replikkere det risikofri aktiv, er det nødvendigt på en eller anden måden at kunne eliminere det stokastiske led fra optionen. For at kunne gøre dette er det nødvendigt med det stokastiske led i tilstandsvariablen, som optionen er afhængig af. Handles tilstandsvariablen ikke, er det dog stadig muligt at opbygge sådan en replikkerende portefølje, hvis det i stedet antages, at det er muligt at opbygge en såkaldt spanning portefølje, der kan imitere det stokastiske led i tilstandsvariablen. Derved kan spanning porteføljen blot benyttes i stedet for tilstandsvariablen. Lad os derfor se på hvordan det er muligt at udlede en differential ligning på denne måde samtidig med, at det vil blive gjort for det mere generelle tilfælde, hvor det blot antages, at tilstandsvariablen følger en generel Ito proces. Dette følger i høj grad samme argumentation som i afsnit 2.3, og der vil derfor blive sprunget let henover udledeningen af differentialligningen, der følger samme måde som i udledningen af ligning (13) og (15). Det antages, at diffusionsprocessen for tilstandsvariablen er givet ved følgende Ito proces: dx t = α(x t, t)dt + σ(x t, t)dw t (37) I afsnit 2.3 var tilstandsvariablen givet ved profitstrømmen X, der blev antaget at følge en geometrisk Brownian Motion, hvilket er en af de mulige specifikationer for ovenstående Ito proces. Lad S angive markedsprisen for spanning porteføljen der imiterer det stokastiske led i X og lad den stokastiske proces for S været givet ved: ds t = A(X t, t)s t dt + σ S (X t, t)s t dw t (38) Det antages desuden, at spanning porteføljen giver et dividende afkast på D(X t, t), hvorfor det totale forventede afkast for spanning porteføljen er lig med µ S (X t, t) = D(X t, t) + A(X t, t). Ved at benytte n enheder af spanning porteføljen i stedet for n enheder af tilstandsvariablen og ved ellers at benytte samme argumentation som i afsnit 2.3 kommer man frem til følgende differential ligning: ½σ 2 (X, t)θ XX (X, t) + [α(x, t) - µ S (X, t)" r σ(x, t)]θ # S (X, t) X (X, t) (39) rθ(x, t) + θ t (X, t) + π(x, t) = 0 Dette kan omskrives yderligere, ved at observere at markedsprisen på risiko er defineret ved: 27

29 λ = µ S (X, t)" r # S (X, t) (40) Hvor differential ligningen kan skrives som: ½σ 2 (X, t)θ XX (X, t) + [α(x, t) - λσ(x, t)]θ X (X, t) rθ(x, t) (41) + θ t (X, t) + π(x, t) = 0 Markedsprisen på risiko er den samme for alle aktiver, når alle aktiver er afhængig af den samme kilde til usikkerhed. Da det antages, at der i dette tilfælde kun er et enkelt stokatisk led, nemlig dw t, angives λ ikke med hensyn til noget bestemt aktiv. Det betyder til gengæld også, at differential ligningen kan skrives som: ½σ 2 (X, t)θ XX (X, t) + µ Q θ X (X, t) rθ(x, t) + θ t (X, t) + π(x, t) = 0 (42) Hvor µ Q altså er driften for tilstandsvariablen under de risikoneutrale sandsynligheder. Denne differential ligning kan da benyttes til enten at finde en analytisk løsning eller en løsning ved finite difference metoden. Finite difference metoden vil blive gennemgået i afsnit 4.2. Som illustrativt eksempel vil dette blive gjort for situationen, hvor det antages, at tilstandsvariablen X følger en geometrisk brownian motion. Lad os derfor igen analysere hvad ovenstående differential ligning reduceres til i dette tilfælde. For en geometrisk brownian motion gælder der, at µ(x t, t) = µx t og σ(x t, t) = σx t. Ved at sætte den løbende profit lig 0 og benytte, at det forventede afkast under de risikofrie sandsynligheder er givet ved µ Q = r - δ, bliver differential ligningen: ½σ 2 X 2 θ XX (X, t) + (r - δ)xθ X (X, t) rθ(x, t) + θ t (X, t) = 0 (43) Det bemærkes, at det ved hjælp af dynamisk programmering er muligt at komme frem til stort set samme differential ligninger som i ovenstående dog med undtagelse af diskonteringsrenten. Som vi vil se med de nummeriske metoder, der gennemgås senere i opgaven, vil mange af metoderne, der egentligt har dynamisk programmering som overordnet ramme, alligevel låne lidt fra Contingent Claims analysen og fastsætte diskonteringsrenten til den risikofri rente (evt. korrigeret for convenience yield). Da de fleste af metoderne egentligt er udviklet til optioner på det finansielle marked, hvor det underliggende aktiv bliver handlet på markedet, er dette ikke urimeligt. Man kan dog ikke på samme måde helt ukritisk benytte sig af Contingent Claims for real optioner. Det ligger dog uden for rammerne af denne opgave at finde diskonteringsrenten på alternative måder. Det vil derfor blive antaget, at Contingent Claims-analysen på sin vis kan benyttes, så det er muligt at benytte diskonteringsrenten herfra. Grunden til at dynamisk programmering benyttes på trods af mere restriktive antagelser er, at det med dynamisk programmering er mu- 28

30 ligt at udvikle en type af metoder, der er hensigtsmæssige til at løse meget komplekse optionsproblemer. Disse metoder kan ikke udledes vha. Contingent Claims-analysen. Det bemærkes, at ovenstående analyse er foretaget under antagelse af, at tilstandsvariablen følger en Ito proces. Indenfor finansiering modelleres processer typisk ved to typer processer: Ito processer og Poisson processer. Generelt er det dog lang mere usikkert, om det også er muligt at sammensætte en spanning portefølje for en tilstandsvariabel, der følger en Poisson proces. Dette skyldes, at måden tilstandsvariablen spannes på typisk er ved en dynamisk portefølje, der ændrer sig over tid som kompensation for ændringer i tilstandsvariablen. Dette er dog ikke muligt med en Poisson proces, der tager diskrete spring. Derfor kan man enten benytte sig af dynamisk programmering med en eksogen diskonteringsrente ρ, eller antage at Poisson processen er ukorreleret med markedsporteføljen, så det ikke er nødvendigt med nogle risikojustering. I dette kapitel er der blevt gjort rede for de to analysemetoder Contingent Claims-analyse og dynamisk programmering. De to analysemetoder skaber fundamentet for alle metoder og modeller, der nævnes i denne opgave. Fokus for denne opgave er en metode, der bygger på Monte Carlo metoden. For at integrere Monte Carlo metoden i en værdifastsættelsesmetode er det nødvendigt at benytte dynamisk programmering som analysemetode. For at kunne benytte sig af diskonteringsrenten fra Contingent Claims-analysen er det dog nødvendigt at begrænse analysemetoden til kun at gælde under antagelserne herfra. Næste kapitel vil analysere nogle af de metoder, der kan benyttes til at værdifastsætte optioner på basis af de to analysmetoder i dette kapitel. Blandt disse vil Monte Carlo metoden blive introduceret. 29

31 4 Numeriske metoder Til visse optionsproblemmer er det muligt at finde en analytisk løsning, der kan benyttes til værdifastsættelse. Eksempler på dette er de Europæiske put og call optioner i Black- Scholes, og Bermuda optionerne i Geske & Johnson (1984). Et eksempel på en analytisk løsning til et mere kompliceret realoptionsproblem fremgik af eksemplet i afsnit 2.3. Der skal dog ikke ændres meget på antagelserne, inden problemet ikke længere kan løses analytisk. Mange problemer kræver derfor nummeriske metoder for at finde en løsning. I dette kapitel vil tre af sådanne nummeriske metoder blive analyseret. Først bliver de traditionelle binomialtræ og finite difference metoder gennemgået, og derefter gennemgås Monte Carlo metoden, der viser et stort potentiale. Fælles for alle tre metoder er, at de kun løser problemerne i diskret tid. Dette kan dog bruges til at approksimere problemet i kontinuert tid ved at gøre tidsintervallet tilstrækkeligt småt. I det følgende vil binomialtræmetoden og finite difference metoden blive perspektiveret til Bellman-ligningen i dynamisk programmering. På denne måde vil det fremgå, at disse metoder også kan udledes ved dynamisk programmering, selvom det f.eks. i den traditionelle fremstilling af binomialtræmetoden er Contingent Claims-analysen, der benyttes som analysemetode. Metoderne er oprindeligt udviklet med det formål at blive anvendt på finansielle optioner, men de kan i de fleste tilfælde også sagtens bruges til real optioner. En af de begrænsninger det dog medfører er, at den løbende profit π t (x t ) ved f.eks. at holde projektet kørende endnu en periode ikke medtages i beregningerne, når metoderne gennemgås. I mange tilfælde er det dog muligt at korrigere for dette. 4.1 Binomialtræmetoden I eksemplet i afsnit 2.2 så vi på optionsværdien, der er forbundet med at kunne vente med en investering til man ved, om næste periode er en god eller dårlig tilstand. I eksemplet blev det antaget, at denne tilstand efterfølgende ville forblive den samme i al uendelighed. Dette er naturligvis en stærk forsimpling, da forholdene ikke kun ændrer sig en enkelt gang, men hele tiden. Hvis forholdene i en periode er blevet gunstige, kan de sagtens forværres i næste periode eller omvendt blive endnu bedre. Dette kan modelleres ved at udvide modellen og tilføje flere mulige stier i de efterfølgende perioder. Dette kaldes binomialtræ metoden. Der er dog flere teknikker, som benytter den grundlæggende idé bag binomialtræ metoden, og det er derfor nødvendigt at træffe nogle valg omkring hvilken model, der vælges. Som det fremgår af navnet binomialtræ metoden, vil der i dette afsnit blive fokuseret på metoden, hvor der til hver periode kan vælges mellem en af to stier. Det er dog imidlertidigt også muligt at lave træer, hvor der kan vælges mellem tre mulige stier, dvs. trinomialtræer. Et andet valg er, hvorvidt man skal lade stierne rekombinere eller ej. Binomialtræer der rekombinerer kaldes også for binomialgitter (lattice) metoden. Fordele og ulemper ved de forskellige valg vil blive gennemgået senere. Denne gennemgang vil bygge på Cox, Ross & Rubinstein (1979), der først udviklede metoden og gennemgangen af Hull (2008). 30

32 Første trin i metoden er at modellere processen for den underliggende variabel ved et binomialtræ. Denne underliggende variabel kan ses som værdien på det underliggende projekt. I de fleste gennemgange af metoden gøres dette for en underliggende variabel, der antages at følge en eksponentiel geometrisk Brownian Motion. Dvs. at værdien af projektet under de risikoneutrale sandsynligheder følger: dv V = exp[(r - δ)dt + σ dt dw] (44) Variansen for Wiener processen er her bestemt ved dw P N(0,1), og ikke dt, hvilket der korrigeres for ved at gange dt på det stokastiske led. Denne model er en approksimation i diskret tid, og dt approksimeres derfor ved Δt, der afhænger af hvor mange tidsintervaller, der vælges at modellere for. I binomialtræet modelleres variansen for det stokastiske led ved at fastsætte, hvor meget den underliggende variabel enten skal stige eller falde ved hvert knudepunkt, og hvad sandsynligheden er for hver af disse. Dette fastsættes ved parametrene: u, der angiver, hvor meget værdien skal stige med, d, hvor meget værdien skal falde med, p, sandsynligheden for at værdien stiger og (1 p), sandsynligheden for at værdien falder. Parametrene bestemmes, så binomialtræet modellerer processens to første momenter, driften og variansen. For at driften skal modelleres rigtigt, må følgende derfor gælde: E(V) = Ve (r - δ)δt = pvu + (1 p)vd p = e(r"#)$t " d u " d (45) For at matche anden moment anvendes, at variansen kan beregnes ved E(V 2 ) [E(V)] 2 og gøre brug af ovenstående udtryk for driften. Variansen for en lognormal proces som denne er V 2 σ 2 Δt. For at binomialtræet skal matche processens varians, skal der findes en løsning til følgende ligning: pu 2 + (1 p)d 2 e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt e (r - δ)δt (u + d) ud e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt (46) Hvordan dette er udledt fremgår af Bilag 1. For at kunne løse for de tre parametre er det nødvendigt med endnu en ligning. For at stierne i binomialtræet skal rekombinere sig, er det nødvendigt med følgende ligning, der derfor også kan bruges som sidste ligning: u = 1 d (47) Løsningen til dette ligningssystem er jvf. Hull (2008): p = e(r"#)$t " d u " d (48) 31

33 u = e " #t (49) d = e "# $t (50) Da træet er et træ der rekombineres, er det tilstrækkeligt blot at vide, hvor mange gange værdien er steget, og hvor mange gange den er faldet for at vide, hvad værdien af projektet er til ethvert tidspunkt i binomialtræet, da rækkefølgen for hhv. stigningerne og faldene er ligegyldige. Det betyder, at værdien til hvert tidspunkt kan bestemmes ved: V t(k) = V t(0) u j d k-j (51) Hvor V 0 er startværdien, t tidspunktet man ønsker at finde værdien for, og j er antallet af gange, værdien er steget. Det er herved muligt at danne et binomial træ, der modellerer værdien af det underliggende projekt. Figur 4 illustrerer et binomialtræ med V t(0) = $50, r = 0,2, δ = 0,1 og σ = 0,6931, hvilket leder til parametre for binomialtræet på u = 2, d = 0,5 og p = 0,4: ,5 Figur 4 Binomialtræ for værdien af det underliggende projekt med 4 perioder, startværdi V t(0) = $50, r = 0,2, δ = 0,1 og σ = 0,6931, hvilket leder til parametre for binomialtræet på u = 2, d = 0,5 og p = 0, , ,5 3,12 Nu hvor værdierne for det underliggende projekt er plottet ind i et binomialtræ, er det muligt at beregne optionsværdierne enten i samme binomial træ, eller som det vil blive gjort her, af hensyn til overskueligheden, i et nyt binomialtræ. For at kunne beregne værdierne af optionen til hver periode i hver tilstand er det nødvendigt at starte ved sidste periode T og arbejde sig tilbage til i dag. Til tidspunkt T udnyttes optionen kun hvis det har en positiv værdi, dvs.: θ T,j = Z T,j = max(vu j d T-j I, 0) (52) For alle de perioder, der leder op til tidspunkt T, er det nødvendigt at vurdere, om det er optimalt at udnytte optionen med det samme, eller om der er en højere forventet værdi ved at vente med at udnytte optionen til senere. Værdien ved at holde optionen i live beregnes ved at tage den samlede forventning af de to mulige optionsværdier i næste periode. For at gøre dette sammenligenligt med det mulige optionspayoff på tidspunkt t, tilbagediskonteres denne værdi. Optionsværdien til hver af disse perioder i hver tilstand kan derfor skrives som: 32

34 θ t(k),j = max(z t(k),j, e -rδt [pθ t(k+1),j+1 + (1-p)θ t(k+1),j ] (53) = max(vu j d t-j I, e -rδt [pθ t(k+1),j+1 + (1-p)θ t(k+1),j ] Af denne formel er det tydeligt at se sammenhængen til Bellman-ligningen, og hvordan problemet til hver periode kan opstilles som en beslutning mellem den øjeblikkelige payoff værdi og den samlede værdi ved at holde optionen i live. Binomialtræet for de tilhørende optionsværdier til Figur 4 for et projekt der kræver en investering på I = $75, kan derfor skrives som: 18,31 48,78 4,5 127,5 13,64 0 Figur 5 Binomialtræ for optionsværdierne med 4 perioder, startværdi V t(0) = $50, r = 0,2, δ = 0,1 og σ = 0,6931, hvilket leder til parametre for binomialtræet på u = 2, d = 0,5 og p = 0, , Værdien på optionen i dag er altså $18,31. Sådanne binomialtræer kan konstrueres for flere forskellige typer processer. Dette kræver i så fald, at parametrene u, d og p specificeres, så de passer overens med den nye proces. Binomialtræer giver også mulighed for at tillade pludselig spring i den underliggende værdi for projektet. Det kan f.eks. være, fordi at ejerne af et bestemt projekt vil få udbetalt en præmie, eller omvendt at ejerne af et projekt skal afholde en omkostning. Dette kan perspektiveres til dividender for finansielle optioner. Det er her nødvendigt at differentiere mellem to typer af pludselige ændringer i værdien: ændringer der er forholdsmæssige i forhold til den nuværende underliggende værdi, og ændringer med en fast værdi uanset værdien af det underliggende projekt. Forholdsmæssige ændringer leder til, at binomialtræet stadig vil kunne rekombinere efter at det pludselige spring i værdien. Det vil ændringer, der ikke er forholdsmæssige derimod ikke. Binomialtræer vil heller ikke rekombinere for processer med stokastisk volatilitet eller processer, der er afhængige af flere stokastiske led. Binomialtræer, der ikke rekombinerer, er altså mere generelle. Jvf. Smith (2005) gør dette dem til gengæld også meget mere komplekse og beregningstunge. For et binomialtræ, der rekombinerer, er antallet af slutpunkter i binomialtræet lig med antallet af perioder, når periode 0 medtages, dvs. K = K+1. Hvis der betragtes et eksempel med K = 10, bliver dette altså lig med K = 11 slutpunkter. Antallet af stier i modellen er lig K (K +1)/2, dvs. lig med 66 stier for K = 10. Dette er forholdsvist nemt at have med at gøre. For binomialtræer, der ikke rekombinerer, er antallet af slutpunkter derimod lig med 2 K -1, dvs i dette tilfælde. Antallet af stier er lig med 2 K 1, dvs stier for K = 10. Der er altså forskelle på problemets kompleksitet afhængig af, om det er muligt at opstille problemet som et binomialtræ, der rekombinerer eller ej. 33

35 4.2 Finite difference-metoden Finite difference metoden er en generel numerisk metode til at løse differential ligninger. For at kunne bruge metoden til at løse for real optioner kræves det, at problemet kan formuleres som en differential ligning, som det f.eks. var tilfældet i afsnit 2.3. Dette gøres typisk ved brug af Contingent Claims analyse. Selvom det er muligt at opstille problemet som en differential ligning, er det dog ikke ensbetydende med, at det er muligt at finde en analytisk løsning til differential ligningen. Derfor er det nødvendigt med en numerisk metode til at løse differential ligningen. Finite difference metoden blev for førte gang anvendt på optioner i Schwartz (1977). Denne gennemgang bygger på Hull (2008). For at kunne benytte finite difference metoden er første trin at opstille problemet som en differential ligning enten vha. dynamisk programmering eller Contingent Claims analyse. I afsnit 3.2 brugte vi Contingent Claims analyse til at opstille en differential ligning for tilfældet, hvor tilstandsvariablen følger geomtrisk brownian motion. Hvis det antages, at tilstandsvariablen svarer til projektets bruttoværdi, bliver differential ligningen: "# "t + ½σ 2 V 2 "2 # "# + (r - δ)v 2 "V "V rf = 0 (54) Hvis det ikke er muligt at finde en analytisk løsning til denne differential ligning, kan finite difference metoden bruges til at finde en løsning. Finite difference metoderne bygger da på at approksimere de differentierede udtryk i differential ligningen ved endelige differenser. Deraf kommer navnet. Princippet er illustreret i Figur 6, hvor den differentierede værdi for f(x) i x 0 svarer til tangenten i punktet P. Denne kan approksimeres ved hældningen mellem punkterne A-P, B-P eller A-B. f(x) P B A x 0 - Δx x 0 x 0 + Δx Figur 6 Illustration af hvordan den differentierede værdi af f(x) i punktet P, kan findes ved forward, backward og central differences x Hver af disse hældninger benævnes hhv. backward difference, forward difference og central difference. Af figuren fremgår det, at disse approksimerede differenser kan beregnes ved: 34

36 Backward difference (A-P): f (x 0 ) f(x )" f(x + #x) 0 0 #x Forward difference (B-P): f (x 0 ) f(x + "x)# f(x ) 0 0 "x Central difference (A-B): f (x 0 ) f(x + "x)# f(x # "x) 0 0 2"x (55) (56) (57) Disse differencer kan også udledes ved at approksimere f(x 0 + Δx) og f(x 0 - Δx) ved en Taylor approksimation. Ved en Taylor approksimation op til tredje orden fås: f(x 0 + Δx) = f(x 0 ) + Δxf (x 0 ) + 1 2! (Δx)2 f (x 0 ) + 1 3! (Δx)3 f (x 0 ) + O(Δx) 4 (58) f(x 0 - Δx) = f(x 0 ) - Δxf (x 0 ) + 1 2! (Δx)2 f (x 0 ) - 1 3! (Δx)3 f (x 0 ) + O(Δx) 4 (59) Hvor O(Δx) 4 angiver fejlledet i approksimationen ved at begrænse Taylor serien til tredje orden. Ved at fratrække Taylor serien for f(x 0 - Δx) fra f(x 0 + Δx), fås: f(x 0 + Δx) - f(x 0 - Δx) = 2Δxf (x 0 ) + O(Δx) 3 (60) Hvor O(Δx) 3 angiver fejlledet, der opstår ved at se bort fra tredje ordens polynomiet. Ovenstående kan omskrives, og hældningen isoleres, så: f (x 0 ) f(x 0 + "x)# f(x 0 # "x) 2"x + O(Δx) 2 (61) Hvilket er ligningen for central differencen. Backward differencen og forward differencen kan findes ved at omskrive ligning (58) og (59). For at kunne løse differential ligningerne, kræver det at det også er muligt at finde et udtryk for f (x 0 ). Dette kan gøres ved at summere (58) og (59) i stedet for at trække de to fra hinanden. Derved opnås: f(x 0 + Δx) + f(x 0 - Δx) = 2f(x 0 ) + (Δx) 2 f (x 0 ) + O(Δx) 4 (62) Hvilket kan omskrives til: f (x 0 ) f(x 0 + "x)+ f(x 0 # "x)# 2f(x 0 ) ("x) 2 + O(Δx) 2 (63) Disse approksimationer kan derved bruges til at erstatte de differentierede udtryk i differential ligningen for optionspayoffet. Optionspayoffet er både afhængig af projektets underliggende værdi, V, og tiden t. For at udtrykke dette kan hele tidsforløbet for t deles op i K intervaller af størrelsen Δt = (T-t)/K. På samme måde vil optionspayoffet blive ana- 35

37 lyseret for en række værdier for det underliggende projekt. Disse betragtes op til værdien V max, og inddeles i N intervaller med størrelsen ΔV = V max /N. Herved er det muligt at danne et gitter med dimensionerne (N+1)x(K+1), der definerer optionspayoffet under alle de forskellige mulige specifikationer: T T-Δt... t 0 +3Δt t 0 +2Δt t 0 +Δt t 0 V max V max - ΔV... 3ΔV 2ΔV ΔV 0 Tabel 1 Gitter med de forskellige mulige værdier for optionspayoffet Hvert af disse punkter vil nu kunne identificeres ved et koordinat (k,ω), der vil svare til optionsværdien θ k,ω givet en projektværdi på V = ω ΔV, til tiden t k = t 0 +k Δt. Ved at bruge central differencen er det derved muligt at opskrive de differentierede værdier som: "# "V = " t(k),#+1 $ " t( k),#$1 2%V (64) " 2 # "V 2 = " t(k),#+1 + " t( k),#$1 $ 2" t(k),# (%V) 2 (65) For den differentierede værdi ift. tiden t bruges forward differensen: "# "t = " t(k+1),# $ " t( k),# %t (66) Disse kan nu indsættes ind i differential ligningen som erstatning. Vha. dette er det muligt at fortsætte og beregne optionsværdien ved den implicitte finite difference metode. Ved denne metode kommer man frem til et ligningssystem med N-1 ligninger og N-1 ubekendte, hvilket kan løses for til sidst at finde en løsning for optionsværdien til tidspunkt t 0. Fordelen ved den implicitte finite difference metode er, at den altid konvergerer imod den sande løsning for differential ligningen, når ΔV og Δt går mod nul. En af ulemperne ved den implicitte metode er løsningen af ligningssystemet med N-1 ligninger, der kan være svær at håndtere udregningsmæssigt. Det kan man komme uden om ved i stedet at benytte sig af den eksplicitte finite difference metode. For at kunne benytte sig af denne metode kræver det, at det antages, at den differentierede værdi til den underliggende værdi er den samme, når man ser på funktionen for optionspayoffet til tid t k som til t k+1. Det betyder altså, at måden optionspayoffet bliver beregnet på ift. den 36

38 underliggende variabel, ikke må ændre sig. På den måde kan differential ligningen skrives som: " t(k+1),# $ " t( k),# %t + ½σ 2 (ω ΔV) 2 " t(k+1),#+1 + " t( k+1),#$1 $ 2" t(k+1),# (%V) 2 (67) + (r - δ)(ω ΔV) " t(k+1),#+1 $ " t( k+1),#$1 2%V r θ t(k),ω = 0 Ved at omskrive på dette, se Bilag 2, er det muligt at komme frem til følgende: Hvor: θ t(k),ω = a ω θ t(k+1),ω-1 + b ω θ t(k+1),ω + c ω θ t(k+1),ω+1 (68) 1 a ω = 1+ r"t [-½(r - δ)ωδt + ½σ2 ω 2 Δt] (69) 1 b ω = 1+ r"t [1 - σ2 ω 2 Δt] (70) 1 c ω = 1+ r"t [½(r - δ)ωδt + ½σ2 ω 2 Δt] (71) Dvs. at værdien af optionen på tidspunkt t k er givet ved et forhold mellem tre værdier af funktionen på tidspunkt t k+1. Ift. den implicitte finite difference metode er der her byttet om på tidsperspektivet, hvor venstresiden i stedet er givet til tidspunkt t k+1, mens de tre udtryk på højresiden er givet til tidspunkt t k. Brennan & Schwartz (1978) gjorde den observation, at den eksplicitte finite difference metode faktisk er ækvivalent med metoden for et trinomial træ, der rekombinerer sig. Udover at sørge for at de tre led tilbagediskonteres, er det muligt at tolke på de tre koefficienter a ω, b ω og c ω. Koefficienten a ω kan tolkes som sandsynligheden for, at værdien af projektet falder fra værdien ωδv til (ω-1)δv i tiden mellem tidspunkt t k og t k+1. På samme måde kan b ω tolkes som sandsynligheden for, at den underliggende værdi forbliver den samme, mens c ω kan tolkes som sandsynligheden for, at den underliggende værdi stiger fra ωδv til (ω+1)δv. Algoritmen til at gøre brug af denne ligning bygger på samme iterationer tilbage i tid, som kendes fra Bellman-ligningen. Da værdien på optionen til tidspunkt T er θ T = max(v T I, 0), er det disse værdier, der bruges som udgangspunkt, hvorefter ligning (68) bruges til hver af perioderne tilbage til t 0. Problemet med finite difference metoderne er, at de er meget svære at ændre på, så de kan benyttes på problemer med stiafhængighed eller for problemer med flere stokastiske led. 4.3 Monte Carlo simulation Simulation bygger på at simulere et muligt hændelsesforløb for en stokastisk variabel givet en bestemt proces. Da variablen er stokastisk, er det ikke muligt på forhånd at vide, hvordan den vil udvikle sig. På samme måde er det ikke muligt præcist at vide, hvordan 37

39 variablen vil udvikle sig i simulationen, da det stokastiske led i processen vil blive bestemt ved udtrækning af tilfældige tal. En enkelt simulation er ikke anvendelig, da den kun viser en enkelt af de mange mulige hændelsesforløb og kan derfor ikke uden videre bruges til at vurdere, hvor sandsynligt et givent hændelsesforløb er. For at kunne lave en sådan analyse er det derfor nødvendigt med mange simulationer. Da hver simulation bygger på processen for den sande udvikling i tilstandsvariablen, vil slutværdierne for simulationerne samlet set konvergere imod den sande sandsynlighedsfordeling for tilstandsvariablen, jo flere simulationer der foretages. Dette er princippet bag en række metoder, der gør brug af Monte Carlo simulation. Boyle (1977) var den første, der foreslog brugen af Monte Carlo simulation til værdifastsættelse af optioner. Han foreslog, at europæiske finansielle optioner kunne løses ved at lave simulationer for prisudviklingen af det underliggende aktiv, og i hvert af disse tilfælde tilsvarende beregne hvad optionspayoffet ville være. Ved at tage gennemsnittet af alle disse optionspayoffs og tilbagediskontere dem, får man et estimat på optionsværdien. Hvor binomialtræ og finite difference metoderne bygger på udregninger, bygger denne metode på sandsynlighedsregning for tilfældige tal. Dette giver en række fordele. Bl.a. betyder det, at standard error en ikke direkte er afhængig af, hvor kompleks processen for den underliggende variabel er, eller hvordan optionspayoffet er defineret. Til at se dette betragtes følgende integrale, der beregner den forventede optionsværdi givet tilstandsvariablen X: θ(x)φ(x)dx = θ (72) Hvor θ(x) angiver en funktion for den nutidsværdi man opnår af optionen, givet tilstandsvariablen X. Φ(X) angiver sandsynlighedsfordelingen for de forskellige værdier af X. Da sandsynlighederne må summere til en, gælder der at Φ(X)dX = 1. Funktionen for optionsværdien er bestemt som nutidsværdien af optionspayoffet, der er afhængig af, hvordan optionen er specificeret. Spørgsmålet er, hvor sandsynligt det er at opnå de forskellige værdier for tilstandsvariablen. Dette estimeres ved at simulere tilstandsvariablen givet en specifik proces. For at estimere det stokastiske led dw i processen udtrækkes et tilfældigt tal i intervallet (0,1), der benyttes som input i standardnormalfordelingen for det stokastiske led. Ved at simulere en række stier på denne måde er det muligt at få en repræsentation af sandsynlighedsfordelingen Φ(X). Disse stier viser, hvordan der er større sandsynlighed for at udtrække X er i visse intervaller end andre. Det betyder, at det ikke er nødvendigt at tage yderligere højde for sandsynlighedsfordelingen, og et estimat på optionsværdien kan findes ved at tage gennemsnittet af nutidsværdien for optionspayoffene, givet de simulerede tilstandsvariable: " = 1 N ) $ "(X N ω ) (73) #=1 38

40 Hver af de forskellige simulerede stier udtrykkes ved ω. Hvor god ovenstående estimation er afhænger af den fejlmargin, der er forbundet med estimatet. For at kunne sige noget om dette, er det nødvendigt at beregne standard afvigelsen på estimaterne. Standard afvigelsen er givet ved: ) s 2 = N 1 % #(X N " 1 $ )" #) 2 (74) $=1 Estimatets standard error er dermed givet som ) s / N. Fejlmarginen mellem estimatet og den sande forventede værdi nærmer sig normalfordelingen jo flere simulationer, der foretages, dvs.: ( ) " - θ N(0, ) s ) når N (75) N Princippet af ovenstående er illustreret i Figur 7, hvor en Genereal Brownian motion med startværdi X t(0) = $1, en årlig drift på µ = 0,1 og volatilitet på σ = 0,5 er simuleret med N= 50 simulationer over 10 år, modelleret med K = 10 perioder. Det antages, at den risikofri rente er lig 0. Ved Monte Carlo er det nu muligt at estimere, hvad den forventede værdi af processen er efter de 10 år. Hvis dette var for at estimere prisen på et finansielt aktiv, antages det altså, at θ(x) = X. I figuren angiver den stiplede sorte linje, hvad den tilsvarende deterministiske proces er til hver af perioderne. Dette er et udtryk for processens sande forventede værdi. Heraf fremgår det, at den sande forventede værdi til periode 10 er θ = $2. Ved Monte Carlo metoden estimeres den forventede værdi til at være " = $2,33. Dette er illustreret i figuren ved den røde streg på aksen til højre i figuren. Standard afvigelsen beregnes til ) s = 1,66. Hvis det antages, at 50 simulationer er nok til at fejlmarginen tilnærmer sig normalfordelingen, bliver 95% konfidensintervallet på [$1,87 ; $2,79]. 39

41 Figur 7 En Genereal Brownian motion, med startværdi X 0 = $1 og en årlig drift og volatilitet på µ = 0,1, σ = 0,5, for en proces der løber over 10 år, modelleret med 10 perioder simuleret med 50 simulationer. Det antages at den risikofri rente er lig r f = 0. Den stiplede sorte linje angiver den tilsvarende deterministiske proces, der angiver at den forventede værdi må være lig med $2. Den røde streg på aksen til højre angiver estimatet ved Monte Carlo metoden, der estimerer den forventede værdi til at være $2,33. Kurven helt til højre i figuren illustrerer normalfordelingen for fejlmarginen på estimatet, hvor 95% konfidensintervallet ligger på [$1,87 ; $2,79]. Det bemærkes, at ovenstående resultater ikke bygger på, at det underliggende aktiv skal følge nogen specifik fordeling, eller at optionspayoffet skal specificeres på en bestemt måde. Metoden bygger kun på Law of Large Numbers og Central Limit Theoremet og kan bruges generelt på alle fordelinger og optionsspecifikationer. Det betyder, at simulation finder praktisk anvendelse til værdifastsættelse af europæiske optioner, på trods af at man ofte benytter Black-Scholes formlen til at værdifastsætte europæiske optioner. Black- Scholes formlen kræver nemlig, at det underliggende aktiv følger en lognormal fordelt proces (dvs. en geometrisk brownian motion). Ved simulation er det derimod ikke alene muligt at antage, at det underliggende aktiv følger en vilkårlig proces, men man er også frit stillet til at gøre optionen afhængig af flere tilstandsvariable. Visse fordelinger og optionsspecifikationer kan give anledning til en større standard afvigelse på estimaterne, hvis de er meget komplekse. Dette kan derfor skabe behov for flere simulationer, hvis ikke fejlmarginen skal være for stor. Men derfor kan metoden stadig benyttes, uanset hvordan optionen er specificeret. På samme måde er det forholdsvist nemt at beregne værdien på europæiske optioner, der er stiafhængige. I stedet for udelukkende at simulere stierne for en enkelt periode, simuleres flere perioder ligesom i Figur 7, hvor optionspayoffet så kan gøres afhængig af de tidligere værdier i stien. Den klassiske Monte Carlo metode, der er beskrevet i ovenstående, er udelukkende egnet til at værdifastsætte europæiske optioner, da de har en fast dato hvor optionen kan udnyttes. Årsagen til, at Monte Carlo metoden kun er egnet til at værdifastsætte sådanne optioner, er, at den i sin klassiske fremstilling kun bygger på en fremadrettet algoritme. Dvs. at de underliggende aktiver simuleres ved at beregne frem i tiden. Det at metoden kun er fremadrettet, betyder, at fremtidige værdier ikke kan få indflydelse på tidligere værdier. Dette er intet problem i forbindelse med værdifastsættelse af europæiske optioner, hvor optionen kun kan udnyttes ved udløb. Her skal der blot tages stilling til, om payoffet til 40

42 den tid er positivt eller ej og derefter tilbagediskontere det. For at metoden kan anvendes på amerikanske optioner, er det dog nødvendigt med udvidelser af metoden. Det skyldes, at optionen kan udnyttes løbende. Det er derfor nødvendigt hele tiden at vurdere, hvorvidt værdien ved at holde optionen i live er større end værdien ved øjeblikkelig udnyttelse. For at kunne vurdere dette er det generelt nødvendigt at starte ved sidste periode og arbejde sig tilbage. Det er derfor nødvendigt at udvide metoden, så den udover at være fremadrettet, når den laver simulationer for tilstandsvariablene, også har en tilbagerettet algoritme, der kan beregne, hvornår det er optimalt at udnytte optionen. Udfordringen ved at skabe en sådan udvidelse er, hvordan de to typer algoritmer skal kombineres, så man skaber en tilbagerettet algoritme, der passer sammen med den fremadrettede Monte Carlo metode. Jvf. Fu et al. (2001) kan man ikke blot benytte den tilbagerettede algoritme, der benyttes i binomialtræ metoden. Dette skyldes, at der til hvert tidspunkt kun bliver simuleret en enkelt sti videre, hvorfor gennemsnittet til denne værdi må være lig med den sande værdi ved at holde optionen i live. Værdien beregnes derfor som havde man perfekt forudseenhed. Den beregnede forventede værdi ved at holde optionen i live er derfor faktisk ikke en forventning. Den er kendt med sikkerhed. Optionsværdien vil derfor blive overvurderet. Forskellige måder, hvorpå den tilbagerettede algoritme kan kombineres med den fremadrettede Monte Carlo metode, gennemgås i næste kapitel. 4.4 Sammenligning af de nummeriske metoder De tre metoder har forskellige styrker og svagheder. Finite Difference metoden er yderst egnet til problemer, hvor man nemt og intuitivt kan opstille problemet som løsning af en differential ligning. Løsningen af dette problem er i såfald hurtig og robust. Problemet er, at der ikke skal ændres meget på de underliggende antagelser, inden det er nødvendigt at opstille en ny differential ligning for problemet. For mange problemer kan det desuden være svært at opstille en differential ligning for problemet. Selvom det derfor er hurtigt og nemt at løse problemet, når først en differential ligning er opstillet, så kan det dog være problematisk at opstille sådanne differential ligninger. For visse problemer er det slet ikke muligt. Fordelen ved binomialtræ og Monte Carlo metoden er, at det er nemmere og mere intuitivt at opstille en model for optionsproblemet, der derefter kan løses. I forhold til de forskellige processer denne model kan være afhængig af, har Monte Carlo metoden en fordel overfor binomialtræ metoden. I Monte Carlo metoden simulerer man blot tilstandsvariablene ved hjælp af de forskellige processer. Ved binomialtræ metoden er man nød til at specificere binomialtræet alt efter hvilken proces, der bruges. Gennemgangen i afsnit 4.1 byggede på, at det underliggende aktiv fulgte en geometrisk brownian motion. Hvis det underliggende aktiv i stedet følger en anden proces, er det være nødvendigt at specificere parametrene u, d og p, så de passer overens med denne proces. Monte Carlo metoden har desuden en fordel i forhold til specifikationen af en helt bestemt type optionsproblemer. Nemlig for problemer hvor optionspayoffet er stiafhængigt. Dette er forholdsvist svært med binomialtræ metoden og løses typisk ved at indføre en ekstra tilstandsvariabel, der tager højde for stiafhængigheden. Ved simulation løses dette blot ved at indføre stiafhængigheden i simulationen af tilstandsvariablen eller ved specifikationen 41

43 af optionspayoffet. Dernæst kan optionen blot beregnes, som var det en almindelig option, da værdifastsættelse ved Monte Carlo simulation hverken er afhængig af, hvordan sandsynlighedsfordelingen eller optionspayoffet er specificeret. Den primære parameter der kan ændres på i binomialtræ metoden er, hvor mange diskrete tidspunkter den kontinuerte tid skal approksimeres med. Det er denne parameter der bestemmer hvor præcist estimatet bliver. Dette gælder også for en europæisk option, selvom den kun kan udnyttes ved udløbsdatoen. Dette skyldes at flere perioder vil skabe et finere net af binomialgrene, der leder til et mere præcist estimat. Black-Scholes formlen udregner den præcise værdi på optionen, ved at lade tidsintervallet i et sådan binomialtræ gå imod 0. For metoder der bygger på Monte Carlo, er det også muligt at approksimere den kontinuerte tid med et antal diskrete tidspunkter. Men for europæiske optioner der ikke er stiafhængige, kan man nøjes med en enkelt periode. Dette skyldes at antallet af simulerede stier kan bestemmes uafhængigt af antallet af perioder. Når antallet af simulationer går imod uendeligt, vil estimatet også konvergere imod den sande optionsværdi. Er man ikke i grænsetilfældet, er det ikke sikkert at de to metoder vil give præcist samme estimat. Faktisk er man ikke sikret at to estimationer ved Monte Carlo på det samme optionsproblem, giver det samme resultat. Da simulering af de forskellige stier bygger på udtrækning af tilfældige tal, er dette ikke nogen overraskelse. Binomialmetoden deler ikke dette problem, da de forskellige grene i binomialtræet ikke er stokastiske. Approksimationen i Monte Carlo metoden opstår på to fronter. For den almindelige Monte Carlo metode, bliver sandsynlighedsfordelingen Φ(X) approksimeret af de simulerede stier. Da denne sandsynlighedsfordeling kun er approksimation, vil estimatet på optionsværdien også kun være en approksimation. For estimationen af amerikanske optioner, der analyseres i næste kapitel, er det også nødvendigt at approksimere fortsættelsesværdien på basis af de simulerede stier. Da fortsættelsesværdien er en approksimationen, bliver optionsværdien det også. For begge approksimationer gælder der, at jo flere stier der simuleres, jo bedre bliver approksimationen. Binomialtræ metoden og finite difference metoden er hurtigere til at beregne simple optioner med en enkelt tilstandsvariabel, end metoder der bygger på Monte Carlo. For at kunne nå pålidelige resultater med Monte Carlo metoden, er det nødvendigt med flere tusinde simulerede stier. Denne er derfor meget mere beregningstung, end binomialtræ og finite difference metoden. Simple problemer, der kan beregnes på brøkdele af et sekund med binomialtræ metoden og finite difference metoden, kræver minuter i Monte Carlo metoden. Problemet med disse metoder er til gengæld, at de ikke er særlig velegnet til problemer med flere stokastiske faktorer, som f.eks. stokastiske renter, dividender, volatilitet eller flere underliggende aktiver. For finite difference metoden er det ganske enkelt ikke muligt at opstille differentialligninger med mere end to (i nogle tilfælde tre) stokastiske variable. For binomial metoden betyder problemer med i stokastiske variable, at der for hvert knudepunkt er 2 i stier, hvilket betyder, at antallet af knudepunkter stiger eksponentielt med antallet af stokastiske variable. Dette kaldes for the curse of dimensionality. Metoder der bygger på Monte Carlo deler ikke dette problem. Ved at bruge simulation 42

44 modelleres hver stokastisk variabel blot med hver sit sæt simulationer for den stokastiske variabel. Det betyder, at det totale antal værdier, der benyttes til at modellere tilstandsvariablene, kun stiger lineært med antallet af stokastiske variable; for en enkelt stokastisk variabel simuleres N stier, for to stokastiske variable simuleres 2 N stier, osv. op til i stokastiske variable, hvor der simuleres i N stier. Da realoptionsproblemer ofte er meget komplekse, idet flere forhold påvirker optionens værdi, vil der i resten af denne opgave fokuseres på metoder, som bygger på Monte Carlo Metoden. 43

45 5 Monte Carlo metoder til amerikanske optioner Som det blev nævnt afslutningsvist omkring simulation i afsnit 4.3, så er det nødvendigt med udvidelser af den klassiske Monte Carlo metode for at kunne benytte simulation til at værdifastsætte optioner, hvor der løbende er mulighed for udnyttelse. Dette gælder både for amerikanske og bermuda optioner. Det er derfor nødvendigt med metoder, der er en kombination af fremadrettede og tilbagerettede algoritmer. Dette er der blevet gjort flere forsøg på. I det følgende vil de fem primære tilgange blive belyst. Dette har til formål at give et overblik over de mulige måder, Monte Carlo kan benyttes til at værdifastsætte optioner. Af disse fem tilgange er der specielt en, der har vundet anderkendelse, og som benyttes i praksis. Nemlig en tilgang der bygger på at estimere den betingede forventede værdi ved lineær regression. At denne metode har vundet anerkendelse skyldes, at metoden kan benyttes til at løse meget alsidige og komplekse problemer samtidig med, at metoden er forholdsvist intuitiv. Det er bevist, at metoden konvergerer imod den sande værdi, og metoden giver tilfredsstillende estimater inden for en overskuelig beregningstid. Det er derfor også den tilgang, der vil blive brugt senere i opgaven. Gennemgangen af alle fem tilgange vil give en forståelse for de problemer, der opstår ved værdifastsættelse af optioner ved Monte Carlo simulation. 5.1 State aggregation Den første der kom med et forslag til, hvordan en sådan metode kunne laves, og som viste at det faktisk var muligt at anvende Monte Carlo simulation til løsning af amerikanske optioner, var Tilley (1993). Tilley (1993), Barraquand & Martineau (1995) og Raymar & Zwecher (1997) anvender en tilgang, hvor problemet løses ved såkaldt state aggregation. Følgende vil bygge på metoden af Tilley (1993). Efter at have simuleret stier for tilstandsvariablene som ved den traditionelle Monte Carlo metode, består metoden af 8 trin, der gentages for hver periode: 1) Først sorteres simulationerne for tilstandsvariablene fra den laveste til den højest værdi, og hver af stierne for tilstandsvariable indekseres tilsvarende. 2) For hver sti beregnes optionspayoffet, Z(ω, t k ), hvis optionen blev udnyttet i den periode. 3) Derefter inddeles simulationerne i L grupper, med N L = N/L stier i hver. Det første bundt stier kommer i den første L gruppe, det næste bundt i den næste L grupper osv. Princippet hertil er illustreret i Figur 8. Den grundlæggende idé er, at stier, hvor de underliggende variable ligger tæt på hinanden, også vil have ca. samme forventede værdi ved at holde optionen i live. Idéen er, at estimatet på fortsættelsesværdien derved ikke beregnes ved antagelse om perfekt forudseenhed, men beregnes ved et gennemsnit af flere mulige udfald. Dermed bliver der introduceret noget usikkerhed, der passer bedre overens med de virkelige forhold. 44

46 L 1 Figur 8 Illustration af tilgangen af Tiley (1993), der bygger på at inddele simulationer i grupper L 10 Næste trin er 4) at beregne fortsættelsesværdien, Q, for hver af simulationerne. Dette gøres ved at tage nutidsværdien af gennemsnittet på optionsværdierne til næste periode i hver gruppe: Q(ω, t k ) = B t k+1 B tk 1 N L N L #"(i, t k+1 ) (76) i=1 Hvor B t(k+1) angiver prisen på en nulkuponobligation, der ved division med B t(k) giver en tilbagediskontering fra tidspunkt t k+1 til t k. Optionsværdien θ(ω, t k ) fastsættes i trin 8, som vi vil se nedenfor, mens den ved udløb, T, er defineret som optionspayoffet. 5) For hver sti sammenlignes værdien ved at holde optionen i live med værdien, hvis optionen i stedet blev udnyttet med det samme. Til dette benyttes beslutningsvariablen u(ω, t k ), der har værdien 1 i de perioder, hvor optionen udnyttes og 0 i alle andre perioder: 1 hvis Z(ω, t k ) > Q(ω, t k ) u(ω, t k ) = (77) 0 hvis Z(ω, t k ) Q(ω, t k ) Herved fås en sekvens af 0 er og 1 er. Da forventningen om fortsættelsesværdien afhænger af værdien af de underliggende variable, må det gælde for den sekvens, at når man først har fundet ud af, hvor høj (eller lav, afhængig af hvordan optionen er specificeret) værdierne på de underliggende variable skal være for, at optionen bør udnyttes med det samme, bør alle højere værdier for de underliggende variable også resultere i udnyttelse af optionen. Dette er et krav for, at der skal være konsistens i forventningen. I den nuværende sekvens er det dog imidlertid ikke tilfældet. Ser man f.eks. på to tilstødende stier, hvor værdierne på de underliggende næsten er lig med hinanden, kan den ene sti godt stige tilstrækkeligt i næste periode til, at det er optimalt at udnytte i dag, mens værdien i den tilstødende sti godt kan falde, så det er optimalt at holde optionen i live. Dermed vil der ikke være nogen klar grænse, men i stedet en blanding af indbyrdes 0 er og 1 er. Dette vil kun ske i en delmængde af sekvensen, som Tilley (1993) kalder for transitions zonen. Dette kan illustreres ved følgende sekvens: 45

47 Skarp grænse Transitions zone Det er derfor nødvendigt at omdanne sekvensen, så den bliver konsistent. 6) Første trin er at finde grænsen for hvilke stier, der skal udnyttes med det samme, og hvilke der ikke skal. Stien hvor denne grænse er, kaldes for ω * (t k ). I Tilley (1993) sættes denne, hvor rækken af 1 ere i sekvensen første gang er større end den forudgående uafbrudte række af 0 er. Transitionszonen består så af den række af tal, der starter fra det første 1-tal til det sidste 0. 7) Denne grænse bruges til at danne en ny sekvens af variable, u (ω, t k ), der indikerer, hvorvidt variablen skal udnyttes eller ej ved at sætte alle værdierne for stierne efter grænsen lig med 1 og alle før lig med 0. 8) Optionsværdien for hver sti kan derved beregnes som: 1 hvis ω > ω u (ω, t k ) = * (t k ) (78) 0 hvis ω ω * (t k ) Z(ω, t θ(ω, t k ) = k ) hvis u (ω, t k ) = 1 (79) Q(ω, t k ) hvis u (ω, t k ) = 0 Disse 8 trin gennemføres for hver periode tilbage til i dag. Værdien af optionen findes derefter ved at tage gennemsnittet af alle disse optionsværdier for stierne til i dag. Problemet ved metoden af Tilley (1993) er, at den kun kan håndtere en enkelt underliggende variabel, og at det ikke er bevist, at metoden giver et estimat, der konvergerer imod den sande værdi. Barraquand & Martineau (1995) og Raymar & Zwecher (1997) bruger samme princip med grupper af stier, men udvider metoden, så den også kan bruges med flere underliggende variable. 5.2 Simulation af træ En anden metode er udviklet af Broadie & Glasserman (1997), der har en lidt anden tilgang til simulation. Her foretages simulationerne ikke som enkelte stier, men i stedet som et slags træ, der kan sammenlignes med træerne fra binomial træ metoden. Forskellen er dog, at træet her ikke udvikles ved beregning som ved binomial træ metoden, men ved simulation. Modsat værdierne i binomialtræet der er deterministisk, er værdierne i træet her stokastiske. I stedet for at bestemme en enkelt værdi til næste periode, som danner en sti, bestemmes flere. Dette kan gøres for et vilkårligt antal grene per periode, der benævnes ved parameteren b. Princippet er illustreret i Figur 9. 46

48 Figur 9 Simuleret sti for underliggende variabel Ifølge Broadie & Glasserman (1997) er det ikke muligt at finde et unbiased estimat ved simulation, derfor estimerer de i stedet to estimater; et der er low biased, og som derved giver en nedre grænse for estimatet, og et der er high biased, og som derved giver en øvre grænse for estimatet. Begge estimater konvergerer imod den sande værdi jo flere perioder der vælges og jo flere grene der vælges pr. periode. I stedet for et enkelt estimat fås der på den måde et interval for, hvad optionsværdien er. Det high biased estimat estimeres på følgende måde. Efter at have simuleret værdierne for tilstandsvariablene, starter man ved optionens udløb, hvor optionspayoffet kendes. Til hver af de foregående perioder bliver optionsværdien bestemt som enten værdien ved at udnytte optionen straks, eller værdien ved at holde optionen i live. Værdien ved at holde optionen i live bestemmes som gennemsnittet af de tilbagediskonterede optionsværdier til den efterfølgende periode i træet. Dette er illustreret i Figur 10: 11, ,7 Figur 10 Træ med high biased estimatet for en call option, med en udnyttelsespris på I = 100, og en risikofri rente på r f = I den øverste gren vælges til periode 1 optionsværdien ved at udnytte med det samme, da denne er højere end optionsværdien ved at vente: > ⅓(1, , ,0 2) (80) I den nederste gren vælges derimod værdien ved at holde optionen i live, da: < ⅓(1, , ,0 16) (81) 47

49 Dette gøres tilbage til tidspunkt 0, hvor high biased estimatet i sidste ende bliver på 11,9. Grunden, til at estimatet er et high biased estimat, kan ses, hvis b sættes lig med en. Herved simuleres træerne, som vi traditionelt kender dem med en masse stier. Værdien ved at holde optionen i live bliver derved baseret på perfekt forudseenhed. Problemet bliver mindre ved at danne flere grene, men det er stadig kun i mindre grad forudseenhed, og det er således ikke en rigtig forventning. Dette er under antagelse om, at det enten er en bermuda option eller at antallet af perioder K, da approksimationen af den kontinuerte mulighed for at udnytte ellers vil gøre det til en blanding af et high biased og et low biased estimat således, at man ikke kender den endelige effekt. Low biased estimatet bestemmes ved, at man til hvert knudepunkt i træet deler grenene op i to sæt. Det ene sæt grene består af alle grene med undtagelse af en. Disse grene benyttes til at beregne værdien ved at holde optionen i live, som derefter kan bruges til at træffe en beslutning om, hvorvidt optionen skal udnyttes eller ej. Optionsværdien ved denne beslutning udregnes dernæst på basis af den sidste gren. Den endelige optionsværdi ved dette knudepunkt bestemmes som et gennemsnit af alle optionsværdierne, når hver af grenene bruges til at beregne optionsværdien på basis af en beslutning baseret på de andre grene i knudepunktet. Princippet er illustreret i Figur 11: 8, ,3 Figur 11 Træ med low biased estimatet for en call option, med en udnyttelsespris på I = 100, og en risikofri rente på r = Ser vi på den nederste gren, ses det at den endelige optionsværdi bliver på 10,3. Denne værdi fastlægges på følgende måde: Først beregnes optionsværdien, når den øverste gren bruges til at beregne optionsværdien, og den nederste og midterste gren bruges til at træffe beslutningen, om optionen skal udnyttes eller ej. Her beregnes fortsættelsesværdien til 32,5 (= 0, ,5 16), hvilket er større end 15 (= ), hvorfor beslutningen er at holde optionen i live. Værdien ved denne beslutning bestemmes ud fra den øverste gren, hvilket er lig med 0. Dette gøres for hver gren, hvor beslutningen til hver af grene bliver hhv. ikke-udnytte, udnytte og ikke-udnytte optionen. Den endelige optionsværdi bliver derfor lig 10,3 (= ⅓[ ] ). Da den underliggende variabel, på hvilken optionsværdien beregnes, ikke inddrages i beslutningen, bliver det en suboptimal beslutning, og værdien er derfor low-biased. På denne måde udregner metoden to estimater, der kan benyttes til at vurdere, hvilket interval den sande optionsværdi ligger inden for. 48

50 5.3 Estimation af udnyttelsesgrænsen En anden tilgang benyttes af Garcia (2003) og Ibañez & Zapatero (2004), hvor problemet løses ved at finde, hvilket niveau de underliggende variable til hver periode skal være på, så det bliver optimalt at udnytte optionen på det pågældende tidspunkt. Dette kaldes for den såkaldte udnyttelsesgrænse. Denne grænse kan bruges til at bestemme, hvornår stierne i Monte Carlo simulationen skal udnyttes. ξ t (G (i) ) X g(t) udnyttelsesgrænsen t Figur 12 Illustration af princippet bag tilgangen hvor udnyttelsesgrænsen estimeres I Garcia (2003) gøres dette på følgende måde. 1) Til hver periode skabes en parameter G 1, G 2, osv., der samlet udtrykkes ved vektoren G (i). Disse parametre vil løbende blive ændret, hvor hvert af de forskellige bud vil blive identificeret ved indeks i. Disse parametre sættes til en vilkårlig værdi, så der startes ud med parametrene G 0. Disse diskrete parametre skal angive udnyttelsesgrænsen for den underliggende variabel - dvs. når den underliggende variabel får en værdi, der er større (eller mindre, afhængig af hvordan optionen er specificeret) end udnyttelsesgrænsen, udnyttes optionen. Parametrene i det endelige G bestemmer udnyttelsesgrænsen, der danner udnyttelsesregionen ξ t,. Til sidst vil disse diskrete parametre blive approksimeret ved en kontinuert funktion g(t). 2) Næste trin er at danne N stier af den underliggende variabel X. Værdien X(ω, t k ) angiver værdien for simulation ω til tidspunkt t k. 3a) For hver af disse stier for tilstandsvariablen, fastlægges det, hvornår den underliggende variabel for første gang kommer ind i udnyttelsesregionen ξ t. Til dette specificeres variablen τ ω = min{t k : X(ω, t k ) ξ t(k) (G (i) )}. 3b) Ved hjælp af disse udnyttelsestidspunkter beregnes værdien på optionen ved: N θ N (G (i) ) = 1 # N B τ(ω) Z[ X(ω, τ ω ), τ ω ] (82) "=1 Dvs. at værdien på optionen med de pågældende parametre beregnes ved at tilbagediskontere optionspayoffene for alle stierne, givet det udnyttelsestidspunkt som parametrene G (i) giver anledning til. 4) Næste trin er at ændre på parametrene i G og udregne optionsværdien igen. Dette gentages, indtil der findes et maksimum for θ N (G (i) ). Der er flere optimerings algoritmer, der kan bruges til at finde dette maksimum, men Garcia (2003) fremhæver simplex metoden af George Dantzig som en egnet metode. Parametrene, der ) er løsning til dette maksimeringsproblem, udtrykkes ved G. Ifølge Garcia (2003) vil θ N (G (i) ) være et high biased estimat, dvs. et estimat som er biased imod værdier, der er 49

51 højere end den sande værdi, men at estimatet vil være konsistent og asymptotisk konvergere imod den sande værdi. 5) Ligesom i de foregående metoder laver Garcia (2003) derfor også et low biased estimat, der bruges til at danne et konfidensinterval. Dette gøres ved at danne N 2 nye stier af den underliggende variabel. Ved hjælp af disse beregnes igen et estimat på optionsværdien, med nye stier, men med de samme parametre til at bestemme udnyttelsesregionen. Low biased estimatet beregnes derfor ved: " N,N 2 (G (i) ) = 1 N 2 ) ) $ Z[ X(ω, τ ω ( G N )), τ ω ( G N ) ] (83) N 2 B "# ( G ) N ) #=1 Herved giver metoden to estimater på hvilke, der kan dannes et interval for den sande optionsværdi. Ønsker man at udtrykke udnyttelsesgrænsen ved mere end blot nogle diskrete parametre G (i), er det muligt at bruge disse parametre og estimere en funktion, g(t), for udnyttelsesgrænsen, f.eks. ved spline interpolation. 5.4 Den betingede forventning bestemt ved regression En fjerde tilgang er metoderne udviklet af Carriére (1996), Longstaff & Schwartz (2001) og Tsitsiklis & Van Roy (2001). Disse metoder omdanner problemet, så den betingede forventede værdi ved at holde optionen i live kan løses ved lineær regression, og sammenlignes med det alternative øjeblikkelige optionspayoff. Følgende gennemgang vil bygge på Tsitsiklis & Van Roy (2001), mens en detaljeret gennemgang af Longstaff & Schwartz (2001) kan findes i afsnit 6.1. Gennemgangen af afsnit 6.1 vil drage nytte af at analysere på ligheder og forskelle mellem metoden af Tsitsiklis & Van Roy (2001) og Longstaff & Schwartz (2001). Som udgangspunkt observeres det, at værdien af en option kan udtrykkes som det forventede tilbagediskonterede optionspayoff, når optionen udnyttes på de optimale tidspunkter. Dvs: θ t(0) = sup "#T E Q t(0) (B τ Z τ ) (84) Hvor T [t 0, T], τ er det optimale udnyttelsestidspunkt for optionen, Z τ er optionspayoffet og B τ er prisen på en nulkupon obligation til tidspunkt τ. Denne måde at formulere problemet på kaldes også for the Snell envelope. Dette kan løses ved dynamisk programmering, så problemet i stedet kan opstilles som: θ T = Z(X T ) (85) θ t(k) = max( Z(X t(k) ), B t(k+1) B t(k) E Q t(k) [θ t(k+1) (X t(k+1) ) X t = X] ), for t = T-1,..., 0 (86) 50

52 På denne måde kan man altså ved iteration finde optionsværdien, hvis man kender den forventede værdi af optionen til næste periode. Problemet er at det ikke er muligt at udlede den sande forventede værdi, og det er derfor nødvendigt med approksimationer. En mulighed er til hver periode at foretage en direkte approksimation af optionsværdien θ t(k), på baggrund af de underliggende variable. Tsitsiklis & Van Roy (2001) foreslår at det kan være mere hensigtsmæssigt med en mere indirekte approksimation i stedet. For at komme frem til denne realisation, er det først nødvendigt at gennemgå tilfældet, hvor optionsværdien approksimeres direkte. Derefter gennemgås tilfældet, hvor approksimationen foretages indirekte igennem fortsættelsesværdien. Til sidst ses der på, hvordan tilstandsrummet i de to ovenstående tilfælde kan modelleres mere hensigtsmæssigt, hvilket er med til at reducere fejlmarginen på estimatet for optionsværdien markant. Målet ved denne trinvise gennemgang af metoden er at give et overblik over de forskellige approksimationer, der er i metoden, og hvordan de kan foretages mest hensigtsmæssigt for at opnå en metode, der kan give pålidelige resultater. Først ses der derfor på tilfældet, hvor θ t(k) approksimeres direkte. Det antages først, at det er muligt at repræsentere optionsværdien ved et sæt parametre r t(k). Hvis det antages, at dette sæt parametre kan være uendelig stort, er dette ikke nogen urimelig antagelse. Hvis det derimod antages, at det er nødvendigt at benytte sig af et endeligt antal parametre, er det kun muligt at approksimere optionsværdien. Lad dette antal parametre være givet ved M. Lad derfor approksimationen af optionsværdien være givet ved: θ t(k) (X) " ) M (X, r t( k ) ) (87) M Hvor r t( k ) er en vektor af M parametre. Spørgsmålet er da, hvordan man skal specificere denne approksimation. Til at vurdere dette kan det være nyttigt at anvende, hvad der benævnes ved features eller basisfunktioner, som er funktioner, der kan hjælpe med at kortlægge funktionsrummet. I afsnit 6.1 gives der en nærmere analyse af de mulige basisfunktioner. Afhængig af problemet kan det være nødvendigt med flere basisfunktioner, φ(x) = (φ 1 (X),..., φ M (X)). På denne måde kommer approksimationen " ) (X, r M t(k) ) kun til at afhænge af de tilstandsvariablene X igennem φ(x). Dvs. for en given funktion f kan approksimationen skrives som: ) M "(X, r t( k ) ) = f(φ(x), M rt(k) ) (88) Årsagen, til at dette kan være fordelagtigt, er, at værdifunktionen kan være meget kompleks, og der kan derfor være fordele ved at dele den op i de knap så komplekse f og φ. Valget af basisfunktioner φ bygger typisk på erfaringer, mens valget af f kaldes for valget af approksimationens arkitektur. I metoderne i de førnævnte artikler er arkitekturen en lineær funktion på følgende form: 51

53 ) M M "(X, r t( k ) ) = " [ r t(k),m φ m (X)] (89) m=1 Dvs. værdifunktionen er approksimeret ved en lineær kombination af de forskellige basis funktioner. Det er også muligt at benytte arkitekturer, der bygger på ikke-lineære funktioner, men det vil ikke blive behandlet i denne opgave. På denne måde estimeres der ved M hver iteration et sæt parametre, så man ender med en række af parametervektorer r t( K"1 ), M M r t( K"2 ),..., r t( 0 ) "(X, r t( K"1 ) "(X, r t( K"2 ) ),..., " ) M (X, r t( 0 ) ). På denne måde er det muligt at beregne optionsværdier under alle tilstande ved blot at gemme M parametre til hver periode. M, der leder til approksimationerne af optionsværdien ) For at kunne bestemme parametrene r t( k ) M ), ) M er det nødvendigt med en række diskrete optionsværdier på hvilke, man kan foretage den lineære regression. En mulighed er til hver periode at udtage en såkaldt repræsentativ sample af tilstande og udtage N 1 tilstande x 1, x 2,..., x N(1) efter en vilkårlig sandsynlighedsfordeling ) " t(0) (x t(k) x t(0) ). Dette kunne f.eks. være efter en uniform eller normal fordeling, der kan være forskellig fra periode til periode, udtrykt ved ) " 1, ) " 2,..., ) " t(k-1). Det vil senere vise sig, at denne måde at repræsentere tilstandssrummet på, ved en vilkårlig sandsynlighedsfordeling ) ", ikke er særlig hensigtsmæssig. Jo flere N 1 tilstande der samples, jo bedre approksimerer samplet sig den valgte fordeling for tilstandsrummet. Dernæst er det muligt at begynde beregningerne. For at kunne vurdere optionsværdien til hver af tilstandene ved: θ t(k),ω = max( Z(x ω ), B t(k+1) B t(k) E Q t(k) [θ(x t(k+1) ) X t(k) = x ω ] ) (90) Er det nødvendigt at kunne beregne E Q t(k) [θ(x t(k+1) ) X t(k) = x ω ]. En mulighed er at beregne denne forventning ved Monte Carlo simulation. For hver enkelt x ω, simuleres N 2 uafhængige variable z ω,1, z ω,2,..., z ω,n(2) ved diffussionsprocessen for X, betinget af tilstanden x ω. Derved kan den betingede forventning findes ved et gennemsnit: E Q t(k) [θ(x t(k+1) ) X t(k) = x ω ] N 1 2 ) " N 2 # M (z ω,j, r t( k+1 ) ) (91) j=1 Princippet er illustreret i Figur 13: 52

54 z ω,j x ω Figur 13 Illustration af estimationen af E Q (V(X t+1) X t = x ω ) ved Monte Carlo simulation, hvor N 1 = 12 og N 2 = 3. Tilstandsrummet er samplet ved en standardnormalfordeling. Herved er alle elementerne klar til, at man kan foretage en lineær estimation af værdifunktionen. På basis af det repræsentative sample af tilstande x 1, x 2,..., x N(1), kan der til hver tilstand beregnes en optionsværdi: ( " (x ω ) = max( Z(x ω ), B t(k+1) 1 B t(k) l l ) M #"(z ω,j, r t( k+1 ) ) ) (92) j=1 M Med disse værdier er det muligt at estimere parametrene r t( k ) i udtrykket "[ r t(k),m φ m (x ω )]. Det kan f.eks. gøres med en almindelig Ordinary Least Squares (OLS) regression. Denne regression er illustreret i Figur 14 for en put option: M m=1 ( " (x ω ) x ω Figur 14 Illustration af OLS regression ved basisfunktioner bestående af almindelige polynomier op til anden ) ordens polynomiet. Resultatet af regressionen er følgende approksimation af værdifunktionen V (X t, r t) = 0, ,6509X + 0,139X 2. Estimaterne bygger på x ω erne og z ωj erne fra Figur 13, for en put option med udnyttelspris på 0,5, dvs. Z(x ω ) = max(0,5 x ω, 0) Herved forlægger en klar algoritme for, hvordan det er muligt at finde værdien på en option. Man starter ved periode t K-1. Her dannes der en repræsentativ sample ved at udtrække N 1 x ω er på basis af en sandsynlighedsfordeling " ) t(k-1). Med udgangspunkt i hver af de forskellige x ω er simuleres en række z ω,j er med hvilke, man finder optionspayoffet Z(z ω,j ). Vha. disse er det muligt at approksimere værdien ved at holde optionen i live til hver af 53

55 tilstandene x ω. Denne værdi tilbagediskonteres og sammenlignes med payoffet i dag, Z(x ω ). Derved opnås der en række optionsværdier for forskellige værdier af x ω. Vha. af disse estimeres parametrene r M t(k). Til tidspunkt t K-2 er det ikke muligt at finde optionsvær- M dien til næste periode direkte vha. optionspayoffet. Men vha. parametrene r t(k"1) kan optionsværdien til periode t K-1 findes, uanset hvilke værdier z ω,j tager. Derved er det igen muligt at finde værdier for hver x ω, så der også kan estimeres nogle parametre r t(k"2) M for denne periode. Dette foretages iterativ tilbage til tidspunkt t 0, hvor optionsværdien derved kan beregnes. Problemet ved ovenstående teknik er, at det implementeringsmæssigt kan være svært at vurdere, hvordan man bedst afbalancerer valget mellem størrelsen på den repræsentative sample af N 1 x ω er og antallet af N 2 simulationer z ω,j for hver x ω. Det viser sig, at problemet kan ændres, så det i stedet kun er nødvendigt at benytte en enkelt z ω,j for hver enkelt x ω og i stedet kompensere ved en større sample af x ω er. Dette er ikke muligt med den ovenstående metode, da approksimationen af E Q t(k) [θ(x t(k+1) ) X t(k) = x ω ] ved gennemsnit ikke indtræder lineært i modellen, men i stedet er afhængig af løsningen på maksimeringsproblemet mellem det øjeblikkelige payoff og fortsættelsesværdien. Dette vil fremgå klarere efter at have gennemgået, hvordan metoden kan ændres, så den tager højde for dette. Princippet bygger på at approksimere fortsættelsesværdien i stedet for optionsværdien. Derfor opskrives fortsættelsesværdien ved Q-variablen: Q t(k) (X t(k) ) = E Q t(k) [ B t(k+1) θ B t(k+1) (X t+1 )] (93) t(k) Ved at opskrive fortsættelsesværdien på denne måde kan værdifunktionen til tidspunkt t k+1 skrives som: θ t(k+1) (X t(k+1) ) = max[ Z(X t(k+1) ), Q t(k+1) (X t(k+1) ) ] (94) Derved kan Q t(k) (X t(k) ) skrives som: Q t(k) (X t(k) ) = E Q t(k) ( B t(k+1) max[ Z(X B t(k+1) ), Q t(k+1) (X t(k+1) ) ]) (95) t(k) På den måde er det også muligt at bestemme Q t(k) (X t(k) ) ved iteration, som det er muligt med θ t(k). At omformulere problemet med Q-værdier ændrer dog ikke på, at det ikke er muligt at finde en analytisk løsning for problemer med flere stokastiske led. Det er derfor stadig nødvendigt med approksimationer. Men i stedet for direkte at approksimere θ, approksimerer man i stedet Q. Algoritmen kommer således til at se ud på følgende måde. Man starter ved tidspunkt t K-1 og danner en repræsentativ sample ved at udtrække N 1 x ω er på basis af sandsynligheds- 54

56 fordelingen " ). Til hver af x ω erne simuleres en enkelt z ω,j, der benyttes til at finde optionspayoffet Z(z ω,j ). Da det er ved optionens udløb, er der ikke nogle fortsættelsesværdi at vælge imellem, og det er derfor vha. disse muligt at approksimere Q t(k-1) til hver af tilstandene x ω. Vha. af disse estimeres parametrene r t(k"1) M ved lineær regression. Til tidspunkt t K-2 dannes et nyt sample af x ω er og nye simulationer af z ω,j er, med hvilke man finder optionspayoffet Z(z ω,j ). Dette optionspayoff sammenlignes med Q ) M (z ω,j, r t(k"1) ), hvor den højeste af disse værdier vælges og tilbagediskonteres. Ved simulation af flere z ω,j ville man her tage den gennemsnitlige værdi af disse værdier. Herved opnår man en række fortsættelsesværdier Q t(k-2) til hver af tilstandene x ω. Vha. af disse estimeres parametrene r t(k"2) M ved lineær regression. Dette foretages iterativ tilbage til tidspunkt t 0. Det bemærkes, at på intet tidspunkt er optionsværdien θ t(k) blevet beregnet direkte. Til hvert af tidspunkterne er det derfor muligt at beregne værdien på optionen vha. Q t(k), mens den på tidspunkt t 0 beregnes vha. Q t(0) ved: ) " t(0) (X t(0) ) = max[ Z(X t(0) ), Q ) (X t(0), r M t(0) ) ] (96) Forklaringen, på hvorfor det ved denne metode, er muligt at nøjes med en enkelt z ω,j for hver x ω, går som følger. Givet en tilstand x ω ved vi, at der gælder for gennemsnitsoperatoren, at den forventede værdi af N 1 2 ) " N 2 # M (z ω,j, r t(k"1) j=1 ) er lig med E Q t(k) [θ(x t(k+1) ) X t(k) = x ω ] for enhver funktion θ og er derved et unbiased estimat. Af samme grund er: ( Q t(k) (x ω ) = 1 l l B " t(k+1) max[ Z(z j=1 B ω,j ), ) t(k) M Q (z ω,j, r t(k"1) ] (97) Et unbiased estimat på: Q t(k) (x ω ) = E Q t(k) ( B t(k+1) max[ Z(X B t(k+1) ), Q t(k+1) (X t(k+1) ) ]) (98) t(k) Det er tilfældet, fordi gennemsnitsoperatoren nu indgår lineært i estimationen af Q, så støjen i næste tilstand z ω,j forsvinder ved Law of Large Numbers. Da der simuleres en z ω,j for hver x ω, er det altså tilstrækkeligt med en stor repræsentativ sample af x ω er, for at opnå et unbiased estimat. Et sådan unbiased estimat opnås ikke i estimationen med værdifunktionen θ fra før, da gennemsnitsoperatoren indgår i max-funktionen, hvilket ville lede til et biased estimat. Dermed er det med Q-værdierne udelukkende nødvendigt med en enkelt simulation af z ω,j for hver tilstand x ω. Problemet ved den foreløbige metode er, at tilstandsrummet bliver approksimeret ved en vilkårlig sandsynlighedsfordeling ) ", hvilket Tsitsiklis & Van Roy (2001) viser kan føre til, 55

57 at fejlledet stiger eksponentielt med hensyn til optionens tidshorisont. Dette er et problem. Løsningen viser sig at være at simulere hele stier, der følger processen for de underliggende variable X. På denne måde kan X(ω, t(k)) benyttes som tilstand x ω, hvilket er en meget bedre approksimation af sandsynlighedsfordelingen for tilstandsrummet end den vilkårlige sandsynlighedsfordeling " ). Samtidig kan X(ω, t(k+1)) benyttes som simulationen z i. Princippet er illustreret i Figur 15: x ω z ω Figur 15 Illustration af princippet med at benytte sig af simulerede stier i stedet for en repræsentativ sample, til at estimere optionsværdien Ved at approksimere tilstandsrummet på denne måde vil fejlmarginen ikke stige med mere end K ε, når antallet af simulationer N 1, hvor ε er den mindst mulige approksimationsfejl under den valgte approksimationsarkitektur. Læseren henvises til Tsitsiklis & Van Roy (2001) for det konkrete bevis. En gennemgang af approksimationerne i metoden giver altså følgende 3 approksimationer. 1) En approksimation af tilstandsrummet. Her viser det sig at være hensigtsmæssigt at gøre dette ved at simulere hele stier for de underliggende variable. 2) En approksimation af E Q t(k) ( B t(k+1) max[ Z(X B t(k+1) ), Q t(k+1) (X t(k+1) ) ]) ved gennemsnitsoperatoren. Her blev t(k) det vist, hvordan det kun er nødvendigt med en enkelt efterfølgende sti for hver enkelt periode, hvis problemet omformuleres ved Q-variable. Og sidst men ikke mindst 3) en approksimation af Q ved lineær regression. Estimatet vil tendere til at være et low-biased estimat, da den sande værdi vil bygge på den optimale udnyttelsesstrategi, mens den her kun approksimeres med parametrene fra den lineære regression. Ifølge Longstaff & Schwartz (2001) er fordelen ved at have et low-biased estimat, at man kan bruge dette til at bestemme hvor mange simulationer og basis funktioner der er nødvendige for at opnå et pålideligt resultat øg nemlig blot antallet af simulationer og basis funktioner, indtil estimatet ikke øges mere. Da estimatet er low-biased, vil det ikke stige til mere end den sande optionsværdi. Problemet ved metoderne i Tsitsiklis & Van Roy (2001) og Longstaff & Schwartz (2001) er imidlertid, at estimatet ikke nødvendigvis er low-biased. Da stierne, der benyttes til at estimere udnyttelsesstrategien, er de samme stier der benyttes til at beregne optionsværdien, indføres der en opadrettet bias. Dette følger af problematikken med perfekt forudseenhed. For at sikre sig at man har et low-biased estimat, 56

58 kan man derfor ligesom i Garcia (2003) benytte sig af udnyttelsesstrategien estimeret på basis af det første sæt stier og i stedet beregne værdien med et nyt sæt stier med udnyttelsesstrategien baseret på det første sæt stier. Dette konkluderer på metoden af Tsitsiklis & Van Roy (2001). 5.5 Dual metoden Problemet ved ovenstående tilgang er, at den kun giver mulighed for at estimere et low biased estimat, dvs. et estimat på den nedre grænse for optionsværdien, og metoden kan ikke umiddelbart modificeres til ligeledes at give et high biased estimat. Det er ellers ønskeligt, da det for det første er svært at få et estimat, der ikke er biased på den ene eller anden vis, og for andet kan det være utrolig svært at finde frem til en konvergens rate for estimatet, der kan bruges til at danne konfidensinterval for et unbiased estimat. Det er derfor ikke umiddelbart muligt at sige noget om, hvor godt estimatet er og den fejlmargin, der kan være til den sande værdi. Til at beregne sådanne øvre grænser har Rogers (2002), Haugh & Kogan (2004), Andersen & Broadie (2004) udviklet såkaldte dual metoder, der kan bruges til dette formål. Dette opnås ved at udnytte nogle af de egenskaber, der opstår, når der introduceres supermartingales 2 i værdifastsættelsen af optionen. Det viser sig, at hvis denne supermartingale sættes lig en approksimation af en funktion for optionsværdien, som vi forsøger at fastlægge, at dette så danner en øvre grænse for approksimationen. Da det jo netop er optionsværdien, man forsøger at finde, kan en sådan approksimation, af mangel på bedre, være værdifunktionen for den tilsvarende europæiske option. Forklaringen, på hvordan dette kan være med til at estimere et øvre estimat, vil blive forklaret med baggrund i Haugh (2004). Ligesom før er udgangspunktet, at værdien for en option kan udtrykkes som det forventede tilbagediskonterede optionspayoff, når optionen udnyttes på de optimale tidspunkter. Dvs: θ t(0) = sup E Q t(0) (B τ Z τ ) (99) "#T Hvor T [t 0, T], τ er det optimale udyttelsestidspunk for optionen, Z τ er optionspayoffet og B τ er prisen på en nulkupon obligation til tidspunktet τ. Ved at indsætte en vilkårlig supermartingale, π τ, er det muligt at foretage følgende omregninger: θ t(0) = sup E Q t(0) (B τ Z τ - π τ + π τ ) (100) "#T sup "#T sup "#T E Q t(0) (B τ Z τ - π τ ) + sup E Q t(0) (π τ ) (101) "#T Q (B τ Z τ - π τ ) + π t(0) (102) E t(0) 2 Læseren mindes om at en martingale defineres som en proces hvor E(X n+1 X 1,..., X n ) = X n, mens en supermartingale defineres som proces hvor E(X n+1 X 1,..., X n ) X n og en submartingale som en proces hvor E(X n+1 X 1,..., X n ) X n 57

59 E Q t(0) ( max t"t (B τ Z τ - π τ )) + π t(0) (103) Det er nu muligt at definere en ny funktion U t(0) ved at tage infimum over alle supermartingales π τ i ovenstående funktion: θ t(0) U t(0) := inf E Q t(0) " ( max t"t (B τ Z τ - π τ )) + π t(0) (104) Det bemærkes, at processen θ t B t selv er en supermartingale. Dette skyldes, at hvis det forventes, at optionværdien vil stige til næste periode, er det ensbetydende med, at optionens fortsættelsesværdi stiger. Hvis denne er større end det øjeblikkelige payoff, vil værdien på optionen i dag også stige tilsvarende så den er lig med fortsættelsesværdien. Hvis derimod det øjeblikkelige payoff er højere, vil værdien på optionen forblive den samme. Derved kan den forventede fremtidige værdi aldrig være højere end optionsværdien i dag. Det viser sig derfor at være interessant at analysere effekten af at indsætte denne proces som supermartingalen π τ. Da det ikke vides, om netop denne er den mindste af de forskellige supermartingales, må denne funktion nødvendigvis være større eller lig med U t(0) : U 0 E 0Q ( max t"t (B τ Z τ - θ t B t )) + θ t(0) (105) Deraf følger det, at U t(0) θ t(0), idet det første led på højre side er negativt, da optionsværdien selvfølgelig aldrig kan blive mindre end det optionspayoff, man har mulighed for at få i samme periode, dvs. Z t θ t. Men det betyder, at det både må gælde, at θ t(0) U t(0), og U t(0) θ t(0), hvorfor det må gælde, at U t(0) = θ t(0), når den sande optionsværdi bruges som proces for supermartingale π τ. Faktisk viser det sig, at for enhver supermartingale, der opfylder, at Z t π t, vil ovenstående argument med de to uligheder kunne benyttes, dvs. θ t(0) U t(0) og U t(0) π t(0), hvorfor π t(0) må være et øvre estimat på optionsværdien. Da vi lige har beregnet, at den øvre grænse er lig optionsværdien, når værdiprocessen θ t B t benyttes som supermartingale, tyder det på, at det er muligt at opnå en øvre grænse, der ligger tæt på den sande værdi ved at benytte gode approksimationer af optionsværdien, ) " t, som π t. Spørgsmålet er da, hvordan man finder sådan en supermartingale. Haugh & Kogan (2004) giver et eksempel, på hvordan værdien for en europæisk option kan bruges til dette formål. De giver dog også et bud på en supermartingale, der kan være med til at give et bedre estimat. Her defineres π t på følgende måde: π t(0) = " ) t(0) (106) π t(k+1) = π t(k) + " ) t(k+1) B t(k+1) - " ) t(k) B t(k) - E t(k) [ " ) t(k+1) B t(k+1) - " ) t(k) B t(k) ] (107) 58

60 Når π t er defineret på denne måde, er π t en almindelig martingale, men almindelige martingales er som bekendt også supermartingales. Ved denne definition af π t bliver det øvre estimat: " t(0) = " ) t(0) + E Q t(0) [ max (B t(k) Z t(k) - ) k Q " t(k) B t(k) + # E t(j"1) [" ) t(j) B t(j) - " ) t(j#1) B t(j-1) ])] (108) t(k)"t j=1 For at det øvre estimat kan beregnes på denne måde, kræver det dog stadig en approksimation af optionsværdien ) " t(k). Til dette kan resultaterne fra estimatet på den nedre grænse benyttes, dvs. ) " t(0) = θ t(0). Optionsværdien beregnet på denne måde opfylder stadig, at optionsværdien aldrig kan være mindre end optionspayoffet, og betingelsen Z t ) " t er derfor opfyldt. Det øvre estimat bliver derfor: " t(0) = θ t(0) + E Q t(0) [ max (B t(k) Z t(k) - ) t(k)"t k Q " t(k) B t(k) + # E t(j"1) [" ) t(j) B t(j) - " ) t(j#1) B t(j-1) ])] (109) Hvor ) " t(k) bestemmes ved de estimerede parametre for Q fra estimationen af det nedre estimat, der så kan sammenlignes med optionspayoffet Z t. Det betyder, at det derfor ikke er noget problem at foretage nye simulationer til at estimere forventningerne i ovenstående ligning, da ) Q t jo som bekendt kan findes for enhver værdi af de underliggende variable ved hjælp af parametrene r t. j=1 59

61 6 Least-Squares Monte Carlo metoden Kapitel 5 gav et overordnede overblik over de Monte Carlo metoder, der kan benyttes til at beregne værdien på amerikanske og bermuda optioner. Af metoderne, der blev nævnt i dette kapitel, er der specielt en, der har skilt sig ud, og som har fået mest opmærksomhed efterfølgende. Nemlig Least-Squares Monte Carlo (LSM) metoden af Longstaff & Schwartz (2001). Denne metode bygger på tilgangen i afsnit 5.4, hvor den betingede forventning udregnes ved lineær regression. Afsnittet byggede dog på fremgangsmåden i Tsitsiklis & Van Roy (2001). Forskellen på de to artikler er, at Tsitsiklis & Van Roy (2001) er en mere teoretisk artikel, der fokuserer på at give en god og grundig gennemgang af de underliggende dynamikker i metoden, mens Longstaff & Schwartz (2001) har en mere praktisk vinkel, der illustrerer anvendelsen af metoden på mange finansielle instrumenter, og som også leverer en metode, der er mere efficient end den af Tsitsiklis & Van Roy (2001). Årsagen, til at metoden er blevet så populær, er sandsynligvis en blanding af, at metoden er intuitiv og ikke alt for svær at implementere, samtidig med at den er hurtig og giver pålidelige resultater. Dette kapitel lægger ud med en gennemgang af Least-Squares Monte Carlo metode (LSM-metoden) af Longstaff & Schwartz (2001). Her berøres det bl.a. hvordan metoden adskiller sig fra metoden af Tsitsiklis & Van Roy (2001), og der vil blive givet en mere detaljeret gennemgang af valget af basis funktioner. I afsnit 6.2 undersøges metodens konvergensresultater. Dette vil både bestå af konvergensresulaterne i den oprindelige artikel samt mere dybdegåede resultater, der efterfølgende er blevet udgivet af andre forfattere. I afsnit 6.3 gives en beskrivelse af de forskellige valg, der er truffet i opbygningen af en model til implemetering af LSM-metoden. I afsnit 6.4 valideres modellen og metoden ved at tjekke modellens resultater op imod resultaterne fra andre metoder. Til dette vil der både blive løst for optionsproblemmer med en enkelt og op til fem tilstandsvariable. I afsnit 6.5 gennemgås nogle af de mulige måder, metoden og modellen kan forbedres på. 6.1 Fremgangsmåden i LSM-metoden Første trin i LSM-metoden er på basis af en på forhånd specificeret proces at simulere en række stier for tilstandsvariblene fra tidspunkt 0 og frem til tidspunkt T. Den kontinuerte tid approksimeres med diskret tid. Ligesom det har været tilfældet indtil nu, antages det at optionen kan udnyttes på K diskrete tidspunkter, 0 < t 1 t 2... t k... t K = T, hvor t k angiver den periode, man nu er nået til i algoritmen. Det antages yderligere, at hver periode er af samme længde Δt, så t 0 = 0, t 1 = Δt,..., t k = kδt,..., t K = KΔt. Værdierne i hver af disse tilstandsvariable udtrykkes ved X i (ω, t k ), der angiver værdien for tilstandsvariabel i, for den simulerede sti ω, til tidspunkt t k. Til hver af stierne er det muligt at udregne en tilhørende sti, der angiver payoffet ved at udnytte optionen. Dette optionspayoff afhænger naturligvis af, hvordan optionen er specificeret. Optionspayoffet udtrykkes ved Z(ω, t k ), der angiver payoffet for den simulerede sti ω, til tidspunkt t k. LSM-metoden ligner i den forstand den klassiske Monte Carlo metode. 60

62 I næste trin, starter metoden på en iterativ algortime, der starter på tidspunkt t K-1, og arbejder sig tilbage til tidspunkt t 0. Først dannes et subset bestående af alle stierne, hvor optionen er in-the-money til tidspunkt t K-1. For stierne i dette subset vil det blive vurderet, hvorvidt optionen skal udnyttes eller holdes i live. For at vurdere dette er det nødvendigt at beregne det betingede forventede payoff ved at holde optionen i live. Til at fastlægge dette benyttes det, at payoffene ved at holde optionen i live er kendte. Da næste periode er udløbsperioden, T, er dette nemlig lig med optionspayoffene til tidspunkt T, hvor optionen udnyttes, såfremt hvis den er in-the-money. Dette sæt diskrete værdier kan dog ikke ukritisk benyttes, da det forudsætter perfekt forudseenhed. I stedet er man nød til at finde fortsættelsesværdien som en forventning til det fremtidige payoff. Da denne forventning vil være forskellig afhængig af, hvilken værdi tilstandsvariablen har til tidspunkt t K-1, skal forventningen være betinget af værdierne for tilstandsvariablen. Denne forventning kan estimeres vha. den krydssektionelle information, der er i stierne. Til hver af stierne er der nemlig givet en værdi for tilstandsvariablen og en værdi ved at holde optionen i live. Ved at benytte værdierne for tilstandsvariablene til at danne regressionsvariable og de beregnede værdier ved at holde optionen i live som uafhængige variable er det ved regression muligt at estimere parametrene til en funktion for fortsættelsesværdien. I LSM-metoden gøres dette ved Least-Squares regression. Som regressionsvariable bruges basis funktioner bestående af polynomier, der bygger på tilstandsvariablene. Er der flere tilstandsvariable, er det desuden muligt at medtage krydsprodukterne til disse basis funktioner. Antallet af regressionsvariable udtrykkes ved M. Som afhængige variable i denne regression benyttes de tilbagediskonterede cashflow fra at udnytte optionen på tidspunkt T. På denne måde er det ved lineær regression muligt at finde et sæt regressionsparametre, der er løsning til: M ) N,M r tk"1 = arg min "( r m φ m (X) - B t(k ) Z(ω, t B K )) 2 (110) t(k"1) m=1 Hvor ) N,M r er sættet af regressionsvariable til tidspunkt t K-1 baseret på N simulationer og tk"1 M regressionsvariable, og r m angiver hvert af de forskellige regressionsparametre i sættet. Regressionsvariablene angives ved φ m (X), der er afhængig af en vektor af tilstandsvariable X. B t angiver prisen på en nulkuponobligation til hhv. tidspunkt t K-1 og t K. Disse regressionsparametre benyttes til at beregne fortsættelsesværdien ved at gange regressionsparametrene på basisfunktionerne givet tilstandsvariablene for hver sti på tidspunkt t K-1. Denne fortsættelsesværdi udtrykkes ved Q MN ) (ω, t K-1 ). Fortsættelsesværdien sammenlignes med det øjeblikkelige payoff, og der træffes en beslutning om, hvorvidt optionen skal udnyttes eller ej. Denne beslutning gemmes, hvilket kan gøres på flere måder. I Longstaff & Schwartz (2001) benyttes en matrice med binære variable, u ω,t(k), med dimensionerne KxN. På det tidspunkt, hvor stien udnyttes, sættes værdien lig 1, mens den sættes lig 0 i alle andre perioder for den pågældende sti. Det optimale udnyttelsestidspunkt kan også formuleres på anden vis. Dette ses bl.a. i Stentoft (2004a). Her udtrykkes udnyttelsestids- 61

63 punktet ved en vektor, der angiver tidspunktet for den optimale udnyttelse. Værdierne i denne vektor specificeres ved: τ(t K ) = T τ(t k ) = t k 1 {Z(ω, t k) E[C(ω, τ(t k+1)) X(ω, t k)]} + τ(t k+1 )1 {Z(ω, t k) < E[C(ω, τ(t k+1)) X(ω, t k)]} (111) Hvor udtrykket for τ(t k ) gælder for k K-1. I modellen der bliver opbygget i afsnit 6.3, vil der blive gjort brug af en matrice som i Longstaff & Schwartz (2001). Fordelen ved denne fremgangsmåde er, at det gør det nemmere med senere udvidelser af modellen, for problemer der ikke blot er afhængige af en binær beslutning, men hvor det f.eks. også er et spørgsmål om grad, eller hvor optionen kan udnyttes flere gange. Ved problemer, hvor det er et spørgsmål om grad, f.eks. i tilfælde hvor der ikke alene skal analyseres om man skal investere, men også med hvor meget, kan denne matrice i stedet indeholde værdier på en kontinuert skala, der angiver hvor meget, der skal investeres. På basis af optionspayoffene og udnyttelsesbeslutningen dannes en ny variabel. Denne variabel kaldes for optionscashflowet, der defineres som det payoff, der modtages, når optionen til hver sti udnyttes på det optimale tidspunkt. Cashflowvariablen udtrykkes ved C(ω, s ; t k, T), der angiver optionspayoffet for den simulerede sti ω, når optionen er udnyttet på det optimale tidspunkt s, i tidsrummet t k til T. For optioner, der kun giver et payoff i den periode, hvor optionen udnyttes, vil cashflowet kun have en positiv værdi en enkelt gang mellem tid t k og T og være lig nul til alle andre perioder. Optionscashflowet kan til hver periode beregnes som: C(ω, t k ; t k, T) Z(ω, t k ) hvis Z(ω, t k ) > Q ) MN (ω, t k ) 0 hvis Z(ω, t k ) Q ) MN Q ) MN (ω, t k ) (112) Mens der samtidig gælder, at cashflowet sættes lig nul i alle de efterfølgende perioder, hvis optionen udnyttes til tidspunkt t k. Dvs. C(ω, j ; t k, T) = 0 for j = t k+1, t k+2,..., T. Metoden begynder nu på samme beregninger for periode t K-2. Men nu hvor næste periode ikke er perioden ved udløb, er det ikke muligt blot at benytte optionspayoffet i næste periode til at vurdere værdien ved at holde optionen i live. I såfald ville man nemlig undervurdere værdien af at holde optionen i live, der kan være højere ved at holde optionen i live helt frem til udløb i stedet for kun til tidspunkt t K-1. I stedet for benyttes cashflow variablen, der netop angiver værdien ved optimal udnyttelse. Denne værdi skal dog tilbagediskonteres til tidspunkt t K-2. Tilbagediskonteringen er ikke den samme for alle stierne, da optionscashflowet for visse stier stammer fra tidspunkt t K-1, mens den for andre stier stammer fra tidspunkt t K. For at generalisere til periode t k findes nutidsværdien af optionscashflowet ved: 62

64 K B t(j) " C(ω, t j ; t k, T) (113) j=k+1 B t(k) Disse tilbagediskonterede optionscashflows benyttes nu i den lineære regression i stedet for de tilbagediskonterede optionspayoff Z(ω, t K ). På samme måde opnås et sæt regressionsparametre ) N,M r, der kan benyttes til at estimere fortsættelsesværdien til hver af stierne tk"2 og derved vurdere, hvorvidt optionen skal udnyttes eller ej. Matricen med de binære beslutningsvariable og matricen for optionscashflowet opdateres tilsvarende. Princippet i metoden er illustreret i Figur 16 og Figur 17. I Figur 16 illustreres optionspayoffene for en amerikansk put option baseret på tilstandsvariablen i Figur 17. Metoden er nået til tidspunkt 0,6, hvor der for hver stierne skal vurderes, om optionen skal udnyttes eller holdes i live. I de tidligere perioder er det blevet beregnet, at de optimale udnyttelsestidspunkter fører til cashflowene illustreret ved de hvide cirkler i stierne. Hvordan optionspayoffene udvikler sig efterfølgende er irrelevant, hvorfor de er angivet med en stiplet linje. Disse optionscashflow tilbagediskonteres tilbage til tidspunkt 0,6, hvor de benyttes som uafhængige variable i den lineære regression. Figur 16 Illustration af optionspayoffet for en amerikansk put option, med udnyttelsespris på I = 1,1, baseret på tilstandsvariablen illustreret i Figur 17. De hvide prikker angiver optionscashflowet, dvs. hvor det er optimalt at udnytte optionen, betinget af at optionen ikke udnyttes inden tidspunkt 0,6. Figuren illustrerer, at disse optionscashflow tilbagediskonteres, og benyttes som uafhængige variable i Least Squares regressionen 63

65 Figur 17 Illustration af tilstandsvariablene for en Geometrisk Brownian Motion, med T = 1, simuleret ved 20 perioder. Basis funktionerne i least-squares regressionen dannes kun på basis af de stier hvor tilstandsvariablen er in-the-money, dvs. dem markeret med cirklen. Disse basis funktioner benyttes som afhængige variable i least-squares regressionen Som regressionsvariable benyttes basis funktioner, der er baseret på tilstandsvariablene. Som det fremgår af Figur 17, benyttes kun de stier, hvor tilstandsvariablen er in-themoney. En sådan regression er illustreret i Figur 14. Dette gøres iterativt tilbage til tidspunkt 0, indtil cashflow matricen er estimeret for hele perioden. Hvert af disse cashflow repræsenterer nu optionspayoffet, når optionen udnyttes optimalt givet tilstandsvariablene i hver periode. Disse optionscashflows tilbagediskonteres tilbage til tidspunkt t 0 : ) K " # = " B t(k) C(ω, t k ; t 0, T) (114) k=1 Dette tilbagediskonterede cashflow repræsenterer et estimat på optionsværdien. Det endelige estimat opnås ved at tage gennemsnittet af estimaterne for alle stierne, dvs.: " = 1 N ) $ " N # (115) Som det blev bemærket i Tsitsiklis & Van Roy (2001), er det nødvendigt at beregne disse estimater ved et nyt sæt stier, for at sikre at estimatet er low-biased. Herved benyttes regressionsparametrene, der blev fundet ved det første sæt stier, til at finde cashflow matricen på det nye sæt stier. Disse cashflows tilbagediskonteres og bruges til at danne et gennemsnit ligesom i ovenstående. LSM-metoden adskiller sig fra metoden i Tsitsiklis & Van Roy (2001) på to måder: 1) Ved at den ikke benytter alle stierne til at estimere fortsættelsesværdien ved regression, og 2) at den i regressionen ikke benytter sig af Q-værdien i næste periode som uafhængig variabel. I stedet benyttes de cashflow, der opstår af den optimalle udnyttelsesstrategi, der #=1 64

66 til gengæld estimeres på basis af Q-værdierne. Begge disse forskelle er med til at gøre LSM-metoden mere efficient. Ved udelukkende at benytte sig af stier, hvor optionen er in-the-money, fokuserer man regressionen, så regressionen kun foretages i det tilstandsrum, hvor det er relevant. Er optionen ikke in-the-money, vil man selvfølgelig altid holde optionen i live, hvis det er muligt, i håb om et payoff i fremtiden. Det er derfor ikke relevant at træffe nogen beslutninger i dette tilfælde. Ved at frasortere out-of-the-money stierne kan regressionen derfor i stedet benytte sig af regressionsparametrene til at give et endnu bedre estimat på fortsættelsesværdien i det relevante område. Ifølge Longstaff & Schwartz (2001) er det nødvendigt med mellem 2 til 3 gange så mange basis funktioner for at opnå regressioner, der er lige så præcise, for regressioner hvor alle stier medtages, ift. regressioner hvor de ikke medtages. Den anden forskel på de to metoder består i, hvordan fortsættelsesværdien bliver estimeret. I Tsitsiklis & Van Roy (2001) blev fortsættelsesværdierne, der benyttes som uafhængige variable i regressionen, beregnet ved: ( Q t(k) [X(ω,t k )] = B t(k+1) max{ Z[X(ω,t B k+1 )], Q ) [X(ω,t k+1 ), ) N,M r t(k+1) ] } (116) t(k) Dvs. for at beregne fortsættelsesværdien bruges estimatet af fortsættelsesværdien fra iterationen før. Problemet ved denne metode er, at det kan føre til en opadgående bias, hvilket betyder, at metoden af Tsitsiklis & Van Roy (2001) ikke nødvendigvis er et lowbiased estimat. En sådan opadgående bias var ellers netop det man forsøgte at minimere ved brug af Q-værdier i stedet for at beregne direkte med optionsværdien θ. Problemet skyldes max-operatoren. Fortsættelsesværdien bestemmes som den største værdi mellem fortsættelsesværdien og optionspayoffet til næste periode. Skulle den fremtidige Q- variabel være estimeret for højt, vil dette føres videre til estimationen af Q-variablen idag. Dette vil påvirke den lineære regression, der også vil estimere fortsættelsesværdien for højt. Når fortsættelsesværdien beregnes i næste iteration, vil dette fejlagtige estimat igen indgå i max operatoren. På den måde vil en fejlestimation blive ført videre til hver iteration. Et fejlestimat i nedadgående retning vil ikke få de samme efterfølgende konsekvenser, da det vil blive stoppet af optionspayoffet Z[X(ω,t k+1 )] i max-operatoren. Problemet ved metoden er, at beregningen af fortsættelsesværdien bygger på beregningen af fremtidige fortsættelsesværdier. Derved kan et fejlestimat blive ført videre til alle de efterfølgende perioder. Denne tankegang følger direkte af Bellman ligningen i dynamisk programmering. Problemet er, at denne type iterationer ikke egner sig til metoder, hvor værdierne bygger på approksimationer i stedet for de sande værdier. For at undgå dette bias undgår Longstaff & Schwartz (2001) at lade fortsættelsesværdien være direkte beregnet på basis af de tidligere fortsættelsesværdier. I stedet bygger fortsættelsesværdien kun på optionspayoffene, der vil forblive de samme uanset beregningerne. Hvilke optionspayoffs der bliver til optionscashflows, er afhængig af beregningen af de tidligere fortsættelsesværdier, men hvis disse estimeres forkert, vil det udelukkende føre til en nedadgående bias. 65

67 Valg af basis funktioner I både Longstaff & Schwartz & Tsitsiklis & Van Roy (2001) bliver det antaget, at funktionsrummet kan repræsenteres ved lineære kombinationer af basis funktioner. Der bliver dog ikke gjort nærmere rede for dette. Denne egenskab er en konsekvens af teorien om Hilbert rum, som det f.eks. fremgår af Royden (1968). Dette kræver imidlertid en antagelse om, at optionspayoffenes kvadrat er differentiabel i hele tilstandsrummet, dvs.: E(Z 2 ) = Ω Z(ω, t k ) 2 dp(ω) < (117) Dette rum, hvor funktioners kvadrat er differentiable, benævnes ofte ved L 2 (Ω, F, P) og er et eksempel på et Hilbert rum. Ved denne antagelse er det muligt at repræsentere tilstandsrummet ved lineære kombinationer af basis funktioner. Disse basis funktioner kan defineres på flere forskellige måder. I Longstaff & Schwartz (2001) antages det, at det eneste man har behov for at kende for at kunne danne disse basis funktioner, er værdien af tilstandsvariablene på det pågældene tidspunkt. Heri ligger implicit en antagelse om, at tilstandsvariablene følger en Markov proces, så alt om forventningen til den fremtidige optionsværdi kan udledes fra de nuværende tilstandsvariable. De tidligere værdier for tilstandsvariablene er derfor ikke af nogen betydning. Basis funktioner kan opbygges på mange forskellige måder. For at tilstandsrummet skal kunne repræsenteres præcist, kræves det, at antallet af basis funktioner er uendelig stort. Derfor er det hensigtsmæssigt med basis funktioner, der kan udvides til en uendelig serie. Teoretisk set kan der også være en fordel i at benytte sig af basis funktioner, der er orthonormale, dvs. har egenskaben at: b # " i(x)φ j (X)dX = a 0 for i j 1 for i = j (118) Orthonormale funktioner er orthogonale funktioner der er normeret til 1. Ved valg af basis funktioner der opfylder denne egenskab, sikrer man sig derfor, at regressionsvariablene ikke er linært afhængige. Faktisk sikrer man sig regressionsvariable, der er så forskellige, at de bør føre til efficiente regressioner. Det bemærkes, at de forskellige basis funktioner er orthogonale inden for forskellige intervaller, hvilket kan betyde, at det kan være nødvendigt med en vægtning af tilstandsvariablene, så de forbliver i intervallet, hvor basis funktionen er orthogonal. Eksempler på funktioner, der opfylder de to ovenstående egenskaber, er serier af polynomier og Fourier serier. Longstaff & Schwartz (2001) vælger at fokusere på polynomierne som mulige basis funktioner. Her oplister forfatterene at både Hermite, Legendre, Chebyshev, Gegenbauer og Jacobi polynomier kan bruges til formålet. Forfatterne fremhæver dog de vægtede Laguerre polynomier som specielt egnet, men at endda simple al- 66

68 mindelige polynomier giver pålidelige resultater. Jvf. Moreno & Navas (2003) er det muligt at udtrykke polynomierne på tre forskellige måder. De kan udtrykkes eksplicit ved: J c j j=1 φ n (X) = d n " g j (X) (119) Hvor J, d n, c j, g j (X) tager forskellige værdier for de forskellige polynomier. Et alternativ er at udtrykke polynomierne ved: φ n (X) = 1 a n g(x) " n "X n [ρ(x)(g(x))n ] (120) Eller ved polynomiernes lov om gentagelse er det også muligt at udtrykke dem ved: a n+1 φ n+1 (X) = (a n + b n X)φ n (X) a n-1 φ n-1 (X) (121) For specifikationerne for de forskellige polynomier under de tre former, henvises til Tabel 1-3 i Moreno & Navas (2003). Da Longstaff & Schwartz (2001) især fremhæver Laguerre polynomierne, oplistes de tre første Laguerre polynomier her: # φ 0 (X) = exp % "X $ 2 # φ 1 (X) = exp % "X $ 2 # φ 2 (X) = exp % "X $ 2 & ( (122) ' & ((1-X) ' (123) & ((1 2X + X 2 ' 2 ) (124) Hvordan disse polynomier udvikler sig fremgår af venstresiden på Figur 18, hvor udviklingen af de almindelige opløftede polynomier er givet på højresiden: Figur 18 TV: Udviklingen for Laguerre polynomier. TH: Udviklingen for almindelige simple polynomier Rent implementeringsmæssigt er problemet ved de vægtede Laguerre polynomier, at tilstandsvariablene ikke skal blive meget store, inden polynomierne kommer meget tæt på 0, s.f.a. det eksponentielle del af funktionen. Det betyder, at det kan være svært at skelne mellem de forskellige funktioner. Af denne grund normaliserer Longstaff & Schwartz 67

69 (2001) værdierne for tilstandsvariablene ved at dividere tilstandsvariablene med udnyttelsesprisen. Dette ændres tilbage igen til sidst, så det beregnede estimat og standard error er for de unormaliserede værdier. Moreno & Navas (2003) tester, hvor robust LSM-metoden er overfor valg af forskellige basis funktioner. De konkluderer, at LSM-metoden er meget robust overfor valg af forskellige polynomier, og de forskellige polynomier stort set giver de samme estimater. Men som de bemærker, er dette måske heller ikke så underligt, da alle polynomierne kan udtrykkes som en lineær kombination af de andre. De almindelige opløftede polynomier er derfor lige så gode til at approksimere fortsættelsesværdien som alle andre. Forskellene skyldes nummeriske fejl. Moreno & Navas (2003) finder også, at estimatet ikke nødvendigvis altid stiger ved øge antallet af basis funktioner, som man ellers kan fristes til at udlede af Proposition 1 i Longstaff & Schwartz (2001). Proposition 1 i Longstaff & Schwartz (2001) gennemgås nærmere i afsnit 6.2. Ifølge propositionen vil estimatet altid være mindre end den sande optionsværdi ved et endeligt antal basis funktioner, og man bør derfor blot øge antallet af basis funktioner indtil, estimatet ikke stiger længere. Men som det vil fremgå i konvergensresultaterne i næste afsnit, kræver dette, at antallet af simulationer er uendelig stort. Da dette ikke er tilfældet, vil der være en fejlmargin forbundet med estimationen af fortsættelsesværdien og derved det endelige estimat. Det betyder, at det bliver vilkårligt, hvor estimaterne ender inden for denne fejlmargin, og et estimat kan derfor godt blive mindre end det første på trods af, at antallet af basis funktioner er øget. Dette betyder alt andet lige, at det ikke kan betale sig at øge antallet af regressionsvariable for meget uden at øge antallet af simulationer. Som både Moreno & Navas (2003) og Rasmussen (2002b) bemærker, er der desuden en anden mulig fejlkilde, der betyder, at resultatet ligefrem kan blive forværret ved at inkludere for mange regressionsvariable i regressionen. Det kan nemlig være med til at gøre regressionen ustabil, så regressionen indfører unaturlige svingninger i estimationen af fortsættelsesværdien, der imod hensigten ender med at forværre estimationen. 6.2 Konvergens resultater Estimatet fra LSM-metoden er ikke en præcis løsning på optionens værdi, men en approksimation. For at metoden skal kunne anvendes, er det derfor nødvendigt at sikre sig, at metoden konvergerer imod optionens sande værdi, når man øger antallet af parametre. Som det netop er blevet forklaret, er dette muligvis ikke altid tilfældet. Standard Error fra Monte Carlo algoritmen Som det også vil fremgå i Tabel 2 i afsnit 6.4, supplerer Longstaff & Schwartz (2001) hvert af deres estimater med en standard error. Artiklen gør dog ikke yderligere rede for, hvad denne standard error fanger. Faktisk er denne standard error kun den standard error, der opstår som følge af Monte Carlo simulationen, dvs. ved i sidste ende at gøre brug af Law of Large Numbers og tage gennemsnittet af alle de tilbagediskonterede cashflow 68

70 værdier til hver af simulationerne. Men herved tages der ikke højde for alle de andre approksimationer, der er i metoden, og hvordan disse kan komme til at påvirke estimatet. Så selvom denne standard error muligvis kan være med til at give et fingerpeg om, hvorvidt antallet af simulationer er stort nok, kan det dog ikke bruges ukritisk. Af samme grund er det heller ikke umiddelbart muligt at konkludere, at metoden konvergerer imod den sande værdi med den konvergens rate, der følger af Law of Large Numbers som ved almindelig Monte Carlo simulation for europæiske optioner. Longstaff & Schwartz (2001) Propositioner Metodens konvergens resultater består i Longstaff & Schwartz (2001) af to propositioner. I Proposition 1 postuleres det, at når man lader antallet af simulationer i metoden gå imod uendelig, vil estimatet fra metoden altid være mindre eller lig med den sande optionsværdi. Forklaringen på dette er, at fejlen, der opstår som følge af Monte Carlo approksimationen, i såfald går imod 0, da standard error en i princippet bliver lig med 0 ved Law of Large Numbers, når N. Metoden konvergerer derfor imod den værdi, algoritmen i LSM-metoden giver anledning til. Denne algoritme bygger dog på en approksimation af hhv. den kontinuerte tid ved et antal diskrete tidspunkter, og af funktionsrummet med M basis funktioner. Ved approksimationen i diskret tid, fjernes der muligheder for at udnytte optionen, og da ekstra muligheder kun kan have positiv værdi, bliver estimatet altså alt andet lige mindre end den sande værdi. Ved at begrænse repræsentationen af funktionssrummet til kun M basisfunktioner opnår man kun en approksimation af fortsættelsesværdien. Fejl i estimationen af fortsættelsesværdien kan føre til fejl i forhold til beslutningen om at udnytte optionen og derfor lede til, at optionen bliver udnyttet på suboptimale tidspunkter. Ved værdifastsættelse af den sande options værdi vil man imidlertid antage, at optionen bliver udnyttet optimalt. Med dette argumenterer Longstaff & Schwartz (2001) for, at estimatet altid vil være mindre end den sande options værdi. Ligesom der blev argumenteret for i Tsitsiklis & Van Roy (2001), er dette dog ikke nødvendigvis tilfældet, da stierne, som bruges til at estimere parametrene i udnyttelsesbeslutningen, er de samme stier, der benyttes til at estimere værdien af optionen. Derved opstår der et opadrettet bias. For at sikre at estimatet bliver et low-biased estimat, er det nødvendigt at simulere et nyt sæt stier, på hvilke man estimerer optionsværdien, vha. af parametrene fra den første regression. Longstaff & Schwartz (2001) foretager faktisk sådanne estimationer, men benytter det blot som en diagnostisk test, for at tjekke at metodens resultater er robuste. I Proposition 2 viser forfatterne, hvordan estimatet fra LSM-metoden konvergerer imod den sande værdi, i det mest simple tilfælde. Nemlig tilfældet hvor der kun er en enkelt tilstandsvariabel, og optionen kun kan udnyttes i en af to perioder. Det betyder altså, at der kun er en mulig periode for tidlig udnyttelse. I propositionen lyder det at, metodens estimat med sikkerhed kan komme til at ligge inden for en fejlmargin af ε, afhængig af antallet af basis funktioner M, når N. Det bemærkes, at propositionen ikke leder til noget resultat om, hvordan ε kan findes som funktion af M. 69

71 Bevis ved sekventiel konvergens Disse to propositioner efterlader dog stadig spørgsmålet om, hvorvidt LSM-metoden konvergerer imod den sande værdi under mere generelle antagelser, bl.a. under antagelse om flere perioder og/eller flere tilstandsvariable. Et andet problem er, at propositionerne slet ikke giver nogen idé om metodens konvergens rate, dvs. hvor hurtigt metoden konvergerer imod de sande værdier. Clément, Lamberton & Protter (2002) er en af de første til delvist at give svar på dette. Artiklen deler beviset op i to dele, der under meget generelle betingelser viser, at metoden næsten med sikkerhed konvergerer imod den sande værdi. Først bevises det, at hvis man lader den sande fortsættelsesværdi blive approksimeret med M basis funktioner, vil estimatet på optionsværdien fra denne approksimation konvergere imod den sande værdi, når antallet af basis funktioner går imod uendelig. Dvs. det vises, hvordan θ M (t 0 ) θ(t 0 ) når M. Beviset bygger på induktion. Problemet er dog imidlertid, at vi ikke kender den sande fortsættelsesværdi. I LSMmetoden approksimeres denne ved brug af Monte Carlo og Least Squares. I næste trin i beviset, viser Clément, Lamberton & Protter (2002) derfor, hvordan metodens estimat konvergerer imod den sande approksimation med M basisfunktioner, når antallet af Monte Carlo simulationer går imod uendelig. Dvs. det bevises, hvordan " MN (ω, t k ) θ M (ω, t k ) når N. Dette bevis bygger på, at parametrene fra Least Squares regressionen konvergerer imod de sande værdier for parametrene, når N. Clément, Lamberton & Protter (2002) analyserer derefter på metodens konvergens rate. Dette gøres ved at komme med et resultat for, hvordan approksimationen af fortsættelsesværdien ved Monte Carlo og Least Squares konvergerer imod approksimationen med M basis funktioner, når antallet af simulationer øges. Dvs. konvergens raten for ) Q MN (ω, t k ) Q M (ω, t k ) når N. For sekvenser der konvergerer, gælder der, at de alle er tight. Første trin, når det skal vises, at en sekvens konvergerer, er derfor at vise, at den er tight. At en sekvens er tight, kan tolkes som, at sekvensen skal være kompakt i det metriske rum og sikrer, at sekvensen ikke driver imod uendelig. Først beviser artiklen derfor, hvordan afvigelsen mellem de estimerede regressionsparametre og de sande regressionsparametre er tight, hvilket ved induktion betyder, at forskellen mellem ) Q MN (ω, t k ) og Q M (ω, t k ) også er tight. Under nogle lidt strengere antagelser, vises det dernæst, at når N, at fejlen mellem metodens optimale cashflow og cashflowene fra den sande approksimation ved M basisfunktioner, følger en normalfordeling. Dvs at følgende udtrykt er normalfordelt: N 1 # ( C(ω, τ ω ; t 0, T) E(Z τ(ω),[m] )) (125) N "=1 Hvor C( ) er det optimale cashflow fra LSM-metoden, og E(Z τ(ω),[m] ) er det forventede optimale cashflow, når den sande fortsættelsesværdi approksimeres ved M basis funktioner. 70

72 Bevis ved simultan konvergens Problemet ved beviset i Clément, Lamberton & Protter (2002) er den sekventielle tilgang, der anvendes. Beviset bygger på, at θ M (t 0 ) θ(t 0 ), når M. Men beviset er da afhængig af, at θ M (t 0 ) kan findes. Clément, Lamberton & Protter (2002) forsøger at løse dette ved anden del i beviset, hvor de viser, at " MN (t 0 ) θ M (t 0 ), når N. Men dette efterlader spørgsmålet om metoden kun konvergerer imod den sande værdi i grænsetilfældet N, eller om metoden også konvergerer ved blot at øge det endelige antal N og M. Ellers vil beviset af Clément, Lamberton & Protter (2002) kun være af ren teoretisk betydning, der viser, at metoden konvergerer imod den sande værdi i grænsetilfældet. Der er nemlig ikke noget i beviset, der beskriver, om estimatet overhovedet konvergerer og i så fald imod hvad, når antallet af simulationer er endeligt. Dette er derfor af relevant og praktisk betydning, for at vide om estimatet konvergerer imod den sande værdi, når man øger det endelige antal simulationer og regressionsvariable. Stentoft (2004a) og Glasserman & Yu (2004) kommer med et svar på dette. Det viser sig, at forholdet mellem M og N her er af betydning, da det ikke kan betale sig at øge antallet af regressionsvariable med mere end en vis andel i forhold til antallet af simulationer, da estimatet i så fald under alle omstændigheder vil konvergere imod en forkert værdi som følge af approksimationen af θ M (t 0 ). Først viser Stentoft (2004a) i Proposition 1, at " MN (t 0 ) konvergerer imod θ(t 0 ), hvis ) r MN (t k ) konvergerer imod r(t k ). I Theorem 1 vises det hvordan i to-periode tilfældet, at fejlen på forskellen mellem approksimationen af fortsættelsesværdien og den sande fortsættelsesværdi konvergerer imod 0, når N og M øges, ved brug af almindelige opløftede polynomier som basis funktioner. Ikke alene vises det, at fejlen konvergerer, men der findes også et udtryk for konvergens raten. Det viser sig, at denne konvergens rate er afhængig af antallet M og N og desuden er afhængig, hvor glat funktionen for den betingede forventning er, samt hvor mange tilstandsvariable der er. Hvor glat funktionen er, udtrykkes ved, hvor mange gange funktionen er differentiabel, s. Jo mere glat funktionen for fortsættelsesværdien er, og jo færre tilstandsvariable funktionen er afhængig af, desto nemmere vil det alt andet lige være at estimere funktionen for fortsættelsesværdien, og derfor kan det måske ikke undre, at disse også skal indgå i konvergensraten. Konvergensraten findes da som: [Q(ω, t k ) - ) Q MN (ω, t k )] 2 dq 0 (X) = O p (M/N + M -2s/r ) (126) Hvor Q 0 (X) angiver den kumulative distribution for X. Beviset bygger på, at de simple opløftede polynomier tilnærmes ved en vægtet udgave af Legendre polynomierne, og bruger så nogle af de egenskaber, der opstår derved. Resultatet bliver da afhængig af den tekniske betingelse, at M som funktion af N stiger i en sådan grad, at når M, at M 3 /N 0. Det bemærkes, at dette konvergensresultat ikke gælder for Laguerre polynomierne, der foretrækkes af Longstaff & Schwartz (2001). I Theorem 2 udvider Stentoft (2004a) Theorem 1 til flerperiode tilfældet. Her er det dog ikke muligt at vise, at resultatet 71

73 konvergerer i en mean square forstand, men kun at resultatet konvergerer med sandsynlighed. Dette skyldes, at det i flerperiode tilfældet er meget svært at bevise, hvordan mean square af fejlen konvergerer imod 0, pga. afhængigheden af de tidligere estimationer af fortsættelsesværdien. Teorem 2 sammen med Proposition 1 viser, at estimatet fra LSM metoden konverger imod den sande værdi i det mere generelle multiperiode tilfælde. Det bemærkes, at dette ikke blev bevist i Longstaff & Schwartz (2001). Teorem 1 sammen med Proposition 1 viser at LSM-metoden konvergerer imod den sande værdi i to-periode tilfældet. I forhold til Proposition 2 i Longstaff & Schwartz (2001) giver Teorem 1 tre forbedringer: 1) Den understreger, at både M og N skal gå imod uendelig for at opnå konvergens. 2) Teoremet gælder meget mere generelt end i Longstaff & Schwartz (2001), der kun gælder under antagelserne fra Black-Scholes. Teoremet gælder ikke alene med flere tilstandsvariable, men tillader også at volatilitet, dividender og renter kan være stokastiske, og gælder for mange options specifikationer, deriblandt stiafhængige optioner. 3) Og sidst men ikke mindst bidrager teoremet med en konvergensrate. Herfra er det muligt at udlede det optimale forhold imellem M og N. Denne rate er dog ikke alene afhængig af M og N, men også af hvor glat funktionen for den betingede forventning er. Det betyder, at det optimale forhold bliver afhængig af, hvordan optionsproblemet er specificeret. Stentoft (2004a) kom dog som sagt kun frem til dette resultat i toperiode tilfældet, men til gengæld under meget generelle betingelser. Glasserman & Yu (2004) beregner, hvor meget M skal stige i forhold til N i både to-periode og fler-periode tilfældet, for en amerikansk option der er afhængig af en enkelt tilstandsvariabel, der følger hhv. en almindelig Brownian Motion og en Geometrisk Brownian Motion. Beviset benytter sig af Hermite polynomier og slipper uden om problemet i flerperiode tilfældet, hvor regressionen er afhængig af de forrige regressioner, ved at simulere nye stier for hver regression. For en almindelig Brownian Motion finder artiklen derved, at antallet af regressionsvariable M skal stige med O(logN). Dvs. antallet af simulationer skal stige eksponentielt med antallet af regressionsvariable for at sikre konvergens. For en Geometrisk Brownian Motion skal M stige med O( log N ), dvs. at antallet af simulationer skal stige endnu mere end eskponentielt for at sikre konvergens. Det er altså bevist, at LSM-metoden konvergerer imod den sande værdi, såfremt M og N øges i et bestemt forhold. Men hvad med konvergensraten for LSM-estimatet? Stentoft (2004a) erkender, at det ikke har været muligt at finde en egentligt konvergensrate for værdiestimatet. Problemet er det samme som i Teorem 2, dvs. at fortsættelsesværdien er afhængig af regressionerne for de fremtidige perioder. Stentoft (2004a) viser derfor i stedet hvilke antagelser, som er nødvendige for at kunne bruge Law of Large Numbers, der implicit antages i Longstaff & Schwartz (2001). Det er nemlig med brug af Law of Large Numbers, at fejlen i estimationen følger en normal fordeling, og at de oplistede standard error s kan benyttes til at danne et konfidens interval. For at man kan lave denne antagelse, er det nødvendigt at antage, at LSM-metoden giver cashflowene ved de rigtige udnyttelsestidspunkter for hver af simulationerne, dvs. at fortsættelsesværdien estimeres helt korrekt. Det er blevet bevist, at dette er tilfældet i grænsetilfældet, og konvergens raten, 72

74 der findes, kan derfor betragtes som konvergens raten i grænsetilfældet. For at kunne benytte Law of Large Numbers er det dog nødvendigt med endnu et trin. Nemlig at simulere et nyt sæt stier på hvilke man finder det optimale optionscashflow for hver sti, ved hjælp af de regressionsvariable der blev fundet med det første sæt stier. Det bemærkes, at dette svarer til, hvad der blev gjort for at sikre, at estimatet blev et low-biased estimat, og hvad Longstaff & Schwartz (2001) benytter som diagnosticeringstest. På den måde adskiller man de stier, man bruger til at beregne udnyttelsesbeslutningen på, fra de stier man benytter til at beregne optionsværdien på. Da stierne er uafhængige og identisk fordelt, bliver optionspayoffene nu også uafhængigt og identisk fordelt. Derved er det muligt at benytte sig af Law of Large Numbers, så fejlmarginen er normalfordelt: N 2 ( " N 1,N 2 M (t 0 ) θ(t 0 )) N(0,Var( " N 1,N 2 M (t 0 ))) (127) Hvor " M N 1,N 2 (t 0 ) er estimatet fra den udvidede LSM-metode. Kontinuert tid approksimeret ved diskret tid For at kunne løse problemet ved en nummerisk metode er det nødvendigt at approksimere den kontinuerte mulighed for at udnytte en option ved et diskret antal tidspunkter. Dvs. hvad der faktisk estimeres er en Bermuda option og ikke en amerikansk option. Det er derfor relevant at se på hvilken estimationsfejl, der kan opstå som følge af dette. Carverhill & Webber (1990) viser, hvordan man kan finde frem til en øvre grænse for fejlen, der opstår som følge af denne approksimation for en amerikansk put option. Første trin i beviset er at definere Δt max, der er det største interval i approksimationen af den kontinuerte tid med K diskrete tidspunkter. I denne model er tidsintervallet det samme over hele tidsforløbet, og der gælder derfor at: Δt max = Δt = T " t 0 K (128) Det optimale tidspunkt at udnytte optionen i kontinuert tid benævnes ved τ. Da dette dog approksimeres ved diskret tid, er det nødvendigt at vente frem til tidspunkt τ *, der er det næste diskrete tidspunkt. Da τ er det optimale tidspunkt at udnytte optionen på, må det nødvendigvis betyde, at approksimationen kun kan betyde et tab af værdi. Dette tab kan formuleres i form af europæiske optioner. Da det vides, at det optimale tidspunkt for at udnytte optionen er τ, vil værdien på denne amerikanske option svare til værdien på en europæisk med udløb til tidspunkt τ. Da det er optimalt at udnytte optionen her, er der ingen ekstra værdi ved også at have mulighed for at udnytte optionen før eller efter dette tidspunkt. På samme måde kan værdien af at optionen først bliver udnyttet til tidspunkt τ *, opstilles som en europæisk option. Carverhill & Webber (1990) ser da på disse to europæiske optioner, som stod man til tidspunkt τ, og værdien, der altså går tabt ved at vente fra tidspunkt τ til τ *, kan skrives som: 73

75 e 0 (X τ ) - e η (X τ ) (129) Hvor e angiver to europæiske optioner, der hhv. udløber øjeblikkeligt og om η = τ - τ *. For at det skal være optimalt at udnytte en put option, må der gælde at den underliggende variabel på dette tidspunkt er mindre end udnyttelsesprisen I,. dvs. X τ < I, og den europæiske option i dag vil derfor altid have en positiv værdi. Det er dog ikke sikkert, at den underliggende variabel stadig er mindre end udnyttelsesprisen, når den europæiske option udnyttes til tidspunkt η, og derfor må følgende ulighed gælde: e 0 (X τ ) - e η (X τ ) = (I X τ ) + - exp(-rη)e[(i X ) " ) + X ) 0 = X τ ] (130) (I X τ ) - exp(-rη)e[(i X ) " ) X ) 0 = X τ ] (131) Da udnyttelsesprisen er en konstant, kan uligheden skrives som: e 0 (X τ ) - e η (X τ ) (I X τ ) - exp(-rη)i + E[exp(-rη)( ) X " ) ) X 0 = X τ ] (132) Da exp(-rη)( ) X " ) er en martingale, er det sidste led lig med X τ. Det betyder, at ovenstående ulighed reduceres til: e 0 (X τ ) - e η (X τ ) (I X τ ) - exp(-rη)i + X τ (133) e 0 (X τ ) - e η (X τ ) I[1 - exp(-rη)] (134) Problemet er, at η ikke er kendt, da problemet jo netop er, at vi ikke kender det optimale udnyttelsestidspunkt på forhånd. Men da η højst kan være lig med Δt max, kan uligheden skrives som: e 0 (X τ ) - e η (X τ ) I[1 - exp(-r Δt max )] (135) Hvilket er den øvre grænse for det bias, der kan opstå som følge af at approksimere en amerikansk option ved en Bermuda option. I analysen blev det antaget, at de to europæiske optioner blev analyseret som stod man til tidspunkt τ. Det betyder, at denne øvre grænse kunne gøres mindre ved at tilbagediskontere begge sider af uligheden tilbage til tidspunkt 0. Men da man ikke kender det optimale tidspunkt, og det reelt kunne være, at det optimale tidspunkt at udnytte optionen på var til tidspunkt 0, gøres dette ikke, hvis ovenstående stadig skal gælde som en øvre grænse. Af uligheden ses det, at den øvre grænse konverger uniformt mod nul som Δt max 0. 74

76 6.3 Opbygning af model For at anvende metoden er der opbygget en model, hvormed metoden kan anvendes. Dette afsnit giver en kort opsummering af, hvordan denne model er opbygget. Modellen kan benyttes vha. vedlagte cd-rom, mens der i Bilag 3 er givet en brugervejledning til, hvordan den kan anvendes, og en visuel oversigt over modellen. Bilag 5 viser kildekoden for modellen. Første valg i forbindelse med opbygning af modellen er, på hvilken programmeringsplatform metoden skal implementeres. Da metoden er iterativ, er det nødvendigt at ty til programmering, da man ikke kommer særlig langt med simple Excel-formler. I denne opgave er der valgt at benytte sig af Visual Basic (VBA) kombineret med Excel. Fordelen ved en platform som MatLab er, at den beregningsmæssigt er mere efficient, og den giver adgang til en række af indbyggede supportklasser og metoder, der gør, at mange ting ikke skal programmeres fra bunden. Derimod er fordelen ved VBA, at den giver en nærmest universel adgang til at benytte modellen, da de fleste har adgang til en computer med Excel. Samtidig er den let at gøre brugervenlig og er velegnet til at formidle intuitionen og mellemberegningerne i metoden. Inden optionsværdien kan beregnes, er det først nødvendigt at kunne specificere hvilke forhold, der gælder for optionsproblemet. Dette indebærer f.eks. hvad der er den risikofri rente, hvor mange år optionen forløber sig over, og hvor mange perioder man ønsker at approksimere dette tidsforløb med. Ved hver periode er der mulighed for at udnytte optionen. Jo flere perioder, des mere tilnærmer man sig muligheden for udnytte optionen kontinuert. I modellen oplistes alle disse nødvendige specifikationer i et overskueligt Excel ark, der nemt kan ændres efter behov. Metoden kan som sagt deles op i to dele. En fremadrettet algoritme der simulerer stierne for tilstandsvariablene, og en tilbagerettet algoritme der beregner optionsværdien på basis af disse simulerede stier. Modellen er opbygget, så den kan simulere en række processer for tilstandsvariablene, og den kan nemt udbygges til at inkludere flere typer processer. Foreløbigt understøtter modellen simulation af generelle Brownian Motions, geometrisk Brownian Motions, mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck processer, mean-reverting CIRtype processer, Jump-diffusion proceser og Ornstein-Uhlenbeck processer med spring. Når disse processer skal simuleres, er det muligt at vælge imellem, hvorvidt simulationerne skal gemmes i Excel-arket, eller om de udelukkende skal gemmes midlertidligt i hukommelsen. Mens det kan have sine fordele at gemme simulationerne i Excel, så man kan lave grafer, over hvordan simulationerne udvikler sig, og simulationerne kan gemmes til senere brug, er man dog begrænset af, at Excel kun kan indeholde omkring rækker i et ark. Desuden er det forholdsvist forholdsvist tidskrævende at skulle skrive og hente data fra arket, hvorfor det er en fordel blot at beholde simulationerne i computerens hukommelse. I denne model har man begge muligheder. 75

77 Inden det er muligt at beregne optionsværdien på basis af disse simulerede tilstandsvariable, er det først nødvendigt at angive, hvordan optionen er specificeret. I stedet for kun at kunne vælge mellem om optionen skal være en call eller put optionen, giver modellen mulighed for selv at specificere optionen som max værdien af en lineær funktion bestående af en konstant og tilstandsvariablene. På denne måde er det f.eks. både muligt at specificere en call option på almindelig vis, eller en put option ved at vende fortegnet på konstanten og tilstandsvariablen. Denne måde at specificere optionen på giver f.eks. også mulighed for at specificere optionen som et gennemsnit af tilstandsvariablene. At kunne specificere optionen på denne måde er naturligvis slet ikke udtømmende, men kan klare de mest gængse optioner. Den største udfordring ved en sådan optionsspecifikation er at lade brugeren vælge en vilkårlig specifikation, og for mere eksotiske optionsspecifikationer kan man uden problemer kode dem direkte ind i modellen. Næste trin er at specificere, hvilke regressionsvariable OLS regressionen til hver periode skal bygge på. Disse regressionsvariable bygger på basisfunktioner af tilstandsvariablene, der enten består af basis funktionerne selv eller krydsprodukterne til disse basisfunktioner. Som basisfunktioner gives der i denne model mulighed for enten at vælge imellem almindelige opløftede polynomier eller vægtede Laguerre polynomier. Ved optioner der bygger på flere tilstandsvariable, oplister modellen selv basisfunktionerne og krydsprodukter til basisfunktionerne. Modellen giver da mulighed for selv at vælge hvilke regressionsvariable, man ønsker at medtage. Årsagen, til at der er valgt at give mulighed for dette, er at, færre variable kan gøre beregningen hurtigere, uden at det nødvendigvis vil have den store påvirkning på resultatets præcision. Når alt dette er specificeret, kan modellen sættes i gang med at beregne optionsværdien. Her gives der mulighed for at specificere om, hvorvidt det ønskes, at beregningerne bliver vist i Excel-arket. Dette giver mulighed for at få en dybere forståelse for processen og mellemberegningerne. Igen er dette dog med til at gøre beregningen meget langsommere, ift. hvis beregningerne blot bliver beholdt i computerhukommelsen. Imens beregningen er i gang, angiver statusbaren i nedre venstre hjørne hvor langt, man er i processen. Når beregningen er færdig, giver metoden udover et estimat på optionsværdien, også en standard error. Dette er i overensstemmelse med modellen i Longstaff & Schwartz (2001). Jvf. diskussionen i afsnit 6.2 er det er dog vigtigt at gøre sig klart, hvad denne standard error præcist gør rede for. Udover estimatet og standard erroren angives det desuden også, hvad beregningstiden har været for estimationen. Estimationen af optionsværdien er delt op i flere forskellige procedurer. Hele estimationen styres af en overordnet procedure, der sørger for at sætte de rigtige procedurer i gang i den rigtige rækkefølge. Den første procedure der sættes igang, sørger for at opsætte de relevante variable, så de er klar til videre beregning. Udover at gemme variablene for forholdene for optionsproblemet, beregnes optionspayoffet som gemmes i en matrice. Ved samme lejlighed sættes optionscashflowet for den sidste periode lig optionspayoffet. Denne procedure kaldes kun en enkelt gang. Den overordnede procedure igangsætter 76

78 derefter et loop, der itererer hver periode. Ved hver iteration kaldes 6 procedurer: 1) Den første beregner og oplister basisfunktionerne, på basis af tilstandsvariablene. Derefter tilbagediskonteres cashflowene tilbage til perioden der analyseres, hvilket benyttes som uafhængige variable. 2) Med disse som variable, foretages en OLS regression. 3) Dernæst beregnes udnyttelsesværdierne, der sættes lig payoffet ved at udnytte optionen. 4) Fortsættelsesværdierne beregnes ved at gange parametrene fra OLS-regressionen på basisfunktionerne. 5) Ved at sammenligne fortsættelsesværdien og udnyttelsesværdien vurderes det, om det er optimalt at udnytte optionen eller ej. Hvis det vurderes, at det er optimalt at udnytte optionen, sættes en binær variabel lig 1. Ellers sættes den lig 0. Denne binære variabel svarer til beslutningsvariablen u. 6) Vurderes det, at det er optimalt at udnytte optionen, opdateres cashflow matricen også tilsvarende. Efter at have gennemløbet loopet for alle perioder, ender man op med en matrice af cashflows. Derefter igangsættes endnu en procedure, der finder nutidsværdien af disse cashflow og tager gennemsnittet. Dette gennemsnit skrives ud til Excel-arket som estimatet på optionsværdien. For at kunne tilbagekontere værdierne er det nødvendigt at specificere, hvilken diskontereingsrente der skal bruges. I den nuværende model bruges en fast rente, som den bliver specificeret i Excel-oversigten. Renten kan dog også uden problemer specificeres til at følge en rentekurve. Denne rentekurve skal dog specificeres i en anden model. Derefter kan priserne på nulkuponobligationerne skrives direkte ind i discount-arket, i stedet for nulkuponobligationerne der er givet ved den faste rente. Modellen kan desuden uden de store problemer udvides til at danne en rentekurve, der er korreleret med tilstandsvariablene. Som det fremgår af navnet, bygger en stor del af LSM-metoden på Least-Squares regressioner. Excel har en indbygget funktion til at foretage OLS-regressioner. At benytte sig af denne OLS regression indebærer dog to tekniske problemer. For det første er den meget langsom, da det er en Excel-funktion, som derfor skal hente data til og fra Excel. Et andet problem er at for at benytte OLS-funktionen i Excel, er det nødvendigt at, alle regressionsvariablene skal hentes fra Excel-arket. Dette begrænser antallet af mulige stier til , da Excel-ark er begrænset til et vist antal rækker. Begge disse tekniske begrænsninger gør, at det er bedst at implementere en metode, der kan foretage OLS-regressioner direkte i VBA. Derudover er der dog også et spørgsmål om rent statistisk metode, der gør, at det kan være hensigtsmæsigt at implementere en OLS-regression i VBA, i stedet for at benytte OLS-funktionen i Excel. OLS-regressionen kan foretages på flere måder. Excel-regressionen foretages ved løsning af normal ligninger. For en analyse af regression ved normal ligninger, henvises til Press et al. (1992). Problemet ved at foretage regressionen på denne måde er bl.a. at den kan give anledning til afrundingsfejl. Det bemærkes, at dette er tilfældet, selvom alle variable og estimater er givet med double præcision. Det største problem er dog, at denne metode er forholdsvist ustabil, da den ved (næsten) singulære matricer, enten ikke kan give en løsning, eller forsøger at løse problemet ved at give meget store estimater på regressionsparametrene. I stedet for at løse problemet ved normal ligninger, er det jvf. Press et al. (1992) muligt at slippe uden om disse problemer 77

79 ved i stedet at foretage regressionen ved singular value decomposition. Denne metode vil altid give en løsning. I stedet for at gøre parametrene (uendeligt) store når variablene er lineært afhængige, gøres de meget små. Til at implementere denne metode, benyttes en VBAklasse udviklet af National Institute of Standards and Technology (NIST). Det er desværre de færreste forfattere, der bidrager med beregningstider til deres estimater, og det er derfor svært at vurdere, hvor efficient den implementerede model er. Det er dog relevant at komme med en analyse af hvilke dele af modellen, der har en lang beregningstid, og hvor der muligvis er potentiale for forbedringer. Det skal i denne sammenhæng bemærkes, at modellen er blevet gjort 160 gange hurtigere i forhold til den første version af modellen, der hentede værdierne til og fra Excel-arket i stedet for at beholde dem i hukommelsen. Ved beregningerne for hver periode kræver OLS-regressionen omkring halvdelen af beregningstiden. Ca. en trejdedel af beregningstiden går til beregning af de afhængige og uafhængige regressionsvariable, mens resten går til de andre procedurer. 6.4 Validering af model og metode Udover resultaterne i Longstaff & Schwartz (2001) er der flere artikler, der tester LSMmetodens anvendelighed og pålidelighed. Dette gøres for mange optionsspecifikationer under flere forskellige parametre for simulationerne. En empirisk analyse af LSMmetoden foretages bl.a. i Moreno & Navas (2003), Stentoft (2004b), Rodrigues & Armada (2006) og Areal, Rodrigues & Armada (2008). Alle konkluderer de, at LSM-metoden er en egnet metode, der giver gode og pålidelige resultater. Det er dog stadig relevant at undersøge, hvorvidt den opbyggede model giver de rigtige resultater. For at vurdere hvorvidt modellen er korrekt bygget op, undersøges det først, om modellen giver de samme resultater som i Longstaff & Schwartz (2001). Ved samme lejlighed vil der desuden blive opgivet, hvordan resultaterne fra LSM-metoden er i overensstemmelse med resultaterne ved andre metoder på samme problemer. Dermed tjekkes det, at både metoden og den opbyggede model giver korrekte resultater. Først tjekkes modellen op imod det illustrative eksempel, der gives i Longstaff & Schwartz (2001). Her estimeres en amerikansk put option med tre perioder og 8 simulationer. Modellen giver de samme mellemberegninger og endelige estimat som i artiklen. Der foretages derfor et mere dybdegående test, der bygger på estimationer, der er præcise nok til at være praktisk anvendelige. Dette gøres for en amerikansk put option, hvor der testes både med forskellige startværdier, når optionen er in-, at- og out-of-the-money, samt med forskellige volatiliteter og med forskellige løbetider. Disse estimationer sammenlignes med estimationerne med LSM-metoden af Longstaff & Schwartz (2001) og finite difference metoden, der også opgives i Longstaff & Schwartz (2001). Optionsproblemerne er også beregnet med binomialtræ metoden, så det kan tjekkes, at denne metode også giver de samme resultater. Resultaterne fremgår af Tabel 2: 78

80 X 0 σ T Binomial metode Finite Difference LSM (L&S) (Standard error) LSM (Model) (Standard error) Forskel fra L&S Beregningstid 36 0,20 1 4,484 4,478 4,472 (0,010) 4,438 (0,008) -0,034 0:36: ,20 2 4,846 4,840 4,821 (0,012) 4,774 (0,009) -0,048 1:22: ,40 1 7,100 7,101 7,091 (0,020) 7,127 (0,019) 0,036 0:33: ,40 2 8,508 8,508 8,488 (0,024) 8,519 (0,023) 0,031 1:19: ,20 1 3,253 3,250 3,244 (0,009) 3,254 (0,009) 0,010 0:30: ,20 2 3,748 3,745 3,735 (0,011) 3,756 (0,011) 0,021 1:11: ,40 1 6,180 6,148 6,139 (0,019) 6,149 (0,019) 0,010 0:29: ,40 2 7,689 7,670 7,669 (0,022) 7,673 (0,022) -0,004 1:13: ,20 1 2,313 2,314 2,313 (0,009) 2,319 (0,009) 0,006 0:23: ,20 2 2,885 2,885 2,879 (0,010) 2,885 (0,010) 0,006 0:58: ,40 1 5,303 5,312 5,308 (0,018) 5,294 (0,018) -0,014 0:25: ,40 2 6,914 6,920 6,921 (0,022) 6,890 (0,022) -0,031 1:06: ,20 1 1,624 1,617 1,617 (0,007) 1,624 (0,008) 0,007 0:17: ,20 2 2,217 2,212 2,206 (0,010) 2,218 (0,010) 0,012 0:48: ,40 1 4,614 4,582 4,588 (0,017) 4,586 (0,017) -0,002 0:22: ,40 2 6,264 6,248 6,243 (0,021) 6,268 (0,021) 0,025 1:01: ,20 1 1,121 1,017 1,118 (0,007) 1,109 (0,006) -0,008 0:13: ,20 2 1,691 1,429 1,675 (0,009) 1,695 (0,009) 0,020 0:40: ,40 1 3,962 3,783 3,957 (0,017) 3,963 (0,016) 0,006 0:13: ,40 2 5,678 5,202 5,622 (0,021) 5,607 (0,021) -0,015 0:55:32 Tabel 2 Resultater for beregning af amerikanske put optioner ved forskellige metoder. Værdien af optionerne beregnes på basis af antagelserne som i Black-Scholes, dvs. det antages at tilstandsvariablen følger en Geometrisk Brownian Motion. Udnyttelsesprisen for alle put optionerne er sat lig med I = 40, og den risikofri rente er lig 6%. Udregningen af værdierne ved binomial metoden er foretaget vha. DerivaGem programmet der følger med i Hull (2008). Estimaterne for Finite Difference metoden LSM (L&S) følger af Longstaff & Schwartz. Ligesom i Longstaff & Schwartz, bygger estimationen på 50 perioder pr år, med 100,000 simulationer. Modsat Longstaff & Schwartz (2001), benyttes der dog ikke af antitetiske stier her, og beregningen er foretaget med de 4 første opløftede polynomier, i stedet for med de 3 første Laguerre polynomier. Beregningstiderne er for en computer med 2,2 GHz Intel Core 2 Duo processor, med 2 GB ram Af tabellen fremgår det, at estimaterne ved den opbyggde model ligger sig tæt op af estimaterne af LSM-metoden i Longstaff & Schwartz (2001). Den største forskel er på 0,048, og forskellen ligger i 9 af de 20 tilfælde på under 0,02. Forskellene er både med positive og negative fortegn, og der virker ikke til at være nogen systematik i fejlene. Det konkluderes derfor, at fejlene sandsynligvis ligger inde for konfidensintervallerne for metoden, og at modellen er korrekt opbygget. Som det fremgår af beregningstiden, er LSM-metoden ikke den metode, der er mest velegnet, når det kommer til at beregne simple optioner. Her kan beregningstiderne slet ikke sammenlignes med dem i binomialtræmetoden og finite difference metoden, hvor beregningerne foretages på mindre end 1 sekund. Fordelen ved metoder, der byggede på Monte Carlo, var som beskrevet i afsnit 4.4 også deres evne til at håndtere optionsproblemer med flere tilstandsvariable. Derfor testes metoden også på en option, der er afhængig af flere tilstandsvariable for at teste metoden under de omstændigheder, hvor den er veleg- 79

81 net. Til dette formål estimeres et sæt Bermuda maximum call optioner med flere underliggende variable som i Andersen & Broadie (2004). Maximum call optionen defineres som en call option, hvor optionspayoffet er lig den største værdi af en række underliggende aktiver fratrukket udnyttelsesprisen: 1 i Z(ω, t k ) = max(max[ X t(k),.., X t(k) ] I, 0) (136) Denne option vil blive estimeret for et forskelligt antal aktiver, når optionen er både in-, at- og out-of-the-money. Resultaterne fremgår af Tabel 3: X 0 σ T Antal aktiver Binomial metode LSM (A&B) (Standard error) LSM (Model) (Standard error) Forskel fra A&B Beregningstid 90 0, ,075 8,065 (0,006) 8,030 (0,026) -0,039 0:12: , ,902 13,907 (0,008) 13,882 (0,032) -0,025 0:21: , ,345 21,333 (0,009) 21,303 (0,036) -0,030 0:27: , ,29 11,279 (0,007) 11,190 (0,029) 0,089 0:47: , ,69 18,678 (0,009) 18,613 (0,036) 0,065 1:17: , ,58 27,531 (0,010) 27,576 (0,042) -0,045 1:36: , ,618 (0,008) 16,397 (0,033) 0,220 0:56: , ,128 (0,010) 25,926 (0,039) 0,202 1:22: , ,725 (0,011) 36,451 (0,044) 0,274 1:17:42 Tabel 3 Estimation af en maximum call option med et forskelligt antal underliggende aktiver i og forskellige startværdier. Estimaterne sammenlignes med estimaterne fra Tabel 2 i Andersen & Broadie (2004). Herfra angives desuden estimaterne vha. binomialtræ metoden for 2 og 3 aktiver. Metoden kunne ikke benyttes til at estimere optionen for 5 underliggende aktiver. Udnyttelsesprisen for alle optionerne er I = 100, den risikofri rente er lig r f = 5% og convience yield er lig δ = 10%. Værdierne på alle aktiverne antages at følge en geometrisk brownian motion, og værdierne antages at være ukorreleret, dvs. ρ = 0. Optionen forløber over 3 år, og approksimeres ved 9 perioder. Estimationerne foretages på basis af N = , og basis funktionerne dannes på basis af almindelige opløftede polynomier op til 3 orden. Beregningstiderne er for en computer med 2,2 GHz Intel Core 2 Duo processor, med 2 GB ram Som det fremgår af tabellen, tilnærmer modellen estimaterne i Andersen & Broadie (2004) tilfredsstillende. Det bemærkes, at fejlen bliver større jo flere aktiver, optionen er afhængig af. Da problemet bliver mere komplekst ved jo flere underliggende variable, optionen er afhængig af, er dette ikke en overraskelse. Fejlen ville sandsynligvis kunne mindskes ved at øge antallet af simulationer. Det bemærkes desuden, at estimationerne i alle tilfælde, med undtagelse af et, er mindre end dem i Andersen & Broadie (2004). Dette kan lede til mistanke om, at fortsættelsesværdien estimeres bedre i Andersen & Broadie (2004). Tabel 2 i Andersen & Broadie (2004) er beregnet vha. LSM-metoden fra Longstaff & Schwartz (2001), men de benytter sig af et komplekst sæt af basis funktioner, der er med til at forbedre estimationen af fortsættelsesværdien. For optionsproblemerne med 2 og 3 aktiver observeres det, at løsningerne ved LSM-metoden ligger sig tæt op af løsningerne ved binomialtræ metoden. På basis af resultaterne af ovenstående optionsproblemer konkluderes det, at modellen er valid. 80

82 6.5 Mulige forbedringer Den nuværende metode kan ses som den rent klassiske Least-Squares Monte Carlo metode. Der er dog forslået mange muligheder, hvorpå man kan gøre Monte Carlo metoder mere efficient. Boyle, Broadie & Glasserman (1997) og Glasserman (2004) giver en grundig gennemgang af de forskellige teknikker, der kan benyttes til at forbedre den klasisske Monte Carlo metode. I dette afsnit vil der blive fokuseret på teknikker, der enten er udviklet specifikt til LSM-metoden eller som viser stort potentiale for forbedringer. Medmindre metoderne kræver tilpasning til LSM-metoden, vil der ikke blive givet en videre forklaring på disse teknikker, og der henvises til de to ovenstående artikler for generel baggrundsviden om teknikkerne. I det følgende vil der først blive analyseret, hvordan de forskellige teknikker kan sammenlignes. Dernæst analyseres det hvordan de antitetiske stier kan benyttes i LSM-metoden. Denne teknik er ofte en af de nemmeste måder at forbedre Monte Carlo-metoden på, men den kræver en lille tilpasning for at kunne benyttes i LSM-metoden. Dernæst analyseres benyttelsen af kontrol variater. Rasmussen (2002a) og Rasmussen (2002b), analyserer hvordan kontrol variater specifikt kan bruges i LSM-metoden og kan forbedre både Monte Carlo delen og Least Squares delen af metoden. Derefter analyseres det, om modellen kan forbedres ved brug af ikke-lineære regressioner til at estimere fortsættelsesværdierne. Til sidst undersøges det hvor gode forbedringer, man kan opnå ved brug af Quasi Monte Carlo. Sammenligningsgrundlag Det er muligt at forbedre LSM-metoden på to fronter: På Monte Carlo-delen der værdifastsætter optionen på basis af en kendt udnyttelsesstrategi, og på Least-Squares-delen der fastlægger udnyttelsesstrategien. Det er svært at opnå et sammenligningsgrundlag, der dækker begge fronter. Visse teknikker forbedrer kun på Monte Carlo-delen af metoden. Det er derfor relevant at se på, hvordan teknikker, der udelukkende forbedrer i Monte Carlo-delen, kan sammenlignes. Det antages først, at der ikke opstår nogen fejl som følge ) af estimationen af udnyttelsesstrategien. Ved Monte Carlo dannes en række estimater { #=1, ω = 1, 2,...}, hvor hver har forventningen θ og variansen " #2. Ved Law of Large Numbers er 1 N ) $ " N # et unbiased estimat på θ, og ved Central Limit teoremet er dette gennemsnit for store N normalfordelt med forventning θ og varians " #2 /N. Fejlmarginen på etsimatet er derfor proportionalt med σ θ / N. Monte Carlo delen kan nu forbedres på to måder: 1) Mindskes variansen på estimaterne, bliver fejlmarginen også mindre. Mindskes variansen med faktor 10, får man samme reduktion i fejlen som ved at øge antallet af simulationer med faktor 100. Der er derfor et stort potentiale ved at kunne reducere variansen på estimaterne. Boyle, Broadie & Glasserman (1997) angiver 5 variansreduktionsteknikker, hvoraf der specifikt vil blive analyseret, hvordan de antitetiske stier og kontrol variat metoden kan benyttes til at forbedre LSM-metoden. 2) En anden teknik, der kan benyttes til at forbedre standard erroren, er ved at øge konvergensraten, så standard erroren falder med mere 1/ N. Dette kan gøres ved Quasi Monte Carlo. " # 81

83 Det er dog ikke nok kun at se estimaternes standard error. Hvis en metode giver et estimat med en 10% lavere standard error, men kræver dobbelt så lang beregningstid, er det ikke sikkert at denne teknik er mere efficient, hvis man kunne opnå et bedre estimat ved at øge antallet af simulationer tilsvarende. Det er derfor også nødvendigt at inddrage beregningstiden. Dette gøres normalt på to måder. For variansreduktionsteknikkerne er det muligt direke at inkludere beregningstiden i sammenligningen af varianserne for hver af variansreduktionsteknikkerne. Ved at specificere b 1 og b 2 som beregningstiden for at estimere et enkelt estimat ) " # for hhv. metode 1 og 2, fortrækkes metode 1, hvis: " 12 b 1 < " 22 b 2 (137) Dette sammenligningsgrundlag kan dog kun benyttes for variansreduktionsteknikker, og ikke teknikker, der forbedrer konvergensraten som Quasi Monte Carlo. Et mere sammenligneligt grundlag er, hvor mange ekstra simulationer det ville kræve at opnå samme resultater. Som benchmark benyttes Monte Carlo metoden uden forbedringer. Rasmussen (2002a) angiver følgende forhold mellem reduktion i variansen på estimatet, og hvor mange gange antallet af simulationer skal forøges for at få en tilsvarende reduktion i den almindelige Monte Carlo: N (s.e) 100% 30% 20% 15% 10% 5% 2% 1% Tabel 4 Oversigt over hvor mange gange antallet af simulationer skal øges, for at få standard erroen reduceret til tilsvarende. Dette giver dog stadig kun et sammenligningsgrundlag for Monte Carlo-delen i værdifastsættelsen af optionen. Hvordan vurderes det, hvor efficient metoden estimerer udnyttelsesstrategien? Til dette kan man bruge intervallet mellem det nedadrettede biased estimat fra LSM-metoden og det opdadrettede biased estimat, der kan findes ved dual metoden beskrevet i afsnit 5.5. Jo mindre dette interval er, jo bedre må udnyttelsesstrategien være estimeret. Antitetiske stier En af de simpleste og mest brugte variansreduktionsteknikker er antitetiske stier. I denne metode dannes en modsat sti for hver sti, der simuleres. Dette kan forholdsvist nemt gøres ved, at tage det negative til det stokastiske led i processen hver gang den underliggende værdi simuleres for næste periode. Idet dw ~ N(0,1), er dw også normalfordelt, da N(0,1) er symmetrisk omkring nul. Der er derfor intet forkert i at danne stier på denne måde. På den måde dannes altså to stier for tilstandsvariablen: X t+ og X t". Til hver af disse beregnes optionspayoffet afhængig af, hvordan optionen er specificeret. For en simpel amerikansk call option bliver dette: + + " " Z t(k) = max( X t(k) - I) og Z t(k) = max( X t(k) - I) (138) 82

84 Boyle, Broadie & Glasserman (1997) gennemgår for tilfældet med en europæisk option, hvor cashflowet fra hver af stierne blot er lig med optionspayoffet i periode T. I dette + " tilfælde beregnes et nyt optionspayoff som gennemsnittet af Z t(k) og Z t(k). Med amerikanske optioner er det dog først nødvendigt at evaluere, hvornår det er optimalt udnytte og derefter sætte optionscashflowet lig optionspayoffet i denne periode. For begge stier findes derfor optionscashflowene C + (ω + +, " # ; t 0, T) og C - (ω $, " # ; t 0, T), baseret på det optimale udnyttelsestidspunkt, der udtrykkes hhv. τ + og τ _. Ved at tage nutidsværdien af cashflowene findes et estimat for optionsværdien for hver af stierne: ) " i+ = B " + B t C + (ω +, " # + ; t 0, T) og ) " i# = B " # B t C - (ω, " # $ ; t 0, T) (139) Både Law of Large Numbers og Central Limit teoremet kræver at estimaterne er uafhængige for at kunne benyttes. Sådan som " ) + # + og " ) $ # $ er udregnet, er de dog ikke uafhængige af hinanden. Slår vi derimod disse to estimater sammen i et gennemsnit, vil dette gennemsnit være uafhængigt af de andre estimater ligesom ved almindelig Monte Carlo. Derfor dannes gennemsnittet: " # = ) " + # + + " ) $ # $ (140) 2 Med disse N gennemsnit, beregnes estimatet på optionsværdien som ved den almindelige Least Squares Monte Carlo: N " = 1 $ N " # (141) For at vurdere om teknikken er effektiv, er det nødvendigt at vurdere, hvorvidt estimatet er bedre end det estimat, der tilsvarende kan beregnes ved at simulere 2N uafhængige stier. Man kunne fristes til at udlede, at teknikken rent beregningsmæssigt er mere efficient, da den kun behøver at udtrække og udregne halvt så mange dw er som med 2N uafhængige stier. Det vil dog blive antaget, at beregningstiden er den samme ved de to metoder. Brugen af antitetiske stier, er derfor kun fordelagtig, hvis den kan levere estimater med lavere varians for estimaterne. Dvs. hvis: #=1 Hvilket også kan skrives som: 2N Var( " ) < Var( 1 $ 2N " # ) (142) #=1 Var( " ) + # + + " ) $ ) # $ ) < 2Var( " # ) (143) 83

85 Det er muligt at omskrive venstresiden så: Var( " ) + # + + " ) $ # $ ) = Var( " ) + # + ) + Var( " ) $ # $ ) + 2Cov( " ) + # +, " ) $ # $ ) (144) ) = 2Var( " # ) + 2Cov( " ) + # +, " ) $ # $ ) (145) Hvor anden lighedstegn følger af, at " ) + # + og " ) $ # $ har samme fordeling og derfor samme varians. Variansen bliver derfor reduceret, hvis blot: Cov( " ) + # +, " ) $ # $ ) < 0 (146) Dette er ikke nogen urimelig betingelse, der er opfyldt under antagelse af at to estimater med negativt korreleret input, også giver estimater, der er negativt korreleret. En ekstra egenskab ved de antitetiske stier er, at gennemsnittet i dw erne med sikkerhed er lig med 0, den sande forventede værdi i populationen. Med et endeligt antal uafhængigt estimeret dz er, vil det aldrig være tilfældet at gennemsnittet præcist er lig 0. Ifølge Longstaff & Schwartz (2001) udregnes Tabel 1 i artiklen ved brug af antitetiske stier. Som det fremgår af Tabel 2 i ovenstående, ligger de standard errors, der beregnes med den opbyggede model, der ikke gør brug af antitetiske stier, i såfald påfaldende tæt på de standard errors, der beregnes i Longstaff & Schwartz (2001). Dette kan skyldes et af to forhold: enten opnår man ikke nogen effekt ved at bruge antitetiske stier, eller også beregnes Tabel 1 i Longstaff & Schwartz (2001) ikke ved hjælp af antitetiske stier, som det ellers bliver hævdet i artiklen. Ifølge Rasmussen (2002a) er det faktisk det sidste, der er tilfældet. Ved brug af antitetiske stier opnår han nemlig en reduktion i standard errors ved samme optionsproblem på mellem 15% og 58% ved brug af antitetiske stier. Kontrolvariat metoden En anden metode der ofte benyttes, er kontrolvariat metoden. Hvis det er muligt at finde en egnet kontrol variabel, kan denne metode i visse tilfælde være med til at reducere variansen i estimatet betydeligt. Metoden reducerer variansen på estimatet ved at benytte information, der kan udledes fra andre estimater, som er kendte. Dette er kontrol variaten. Til dette formål introduceres en ny variabel D, der angiver estimatet på en anden variabel, men hvor E(D) er kendt. Det vil senere fremgå, at der kan være en fordel i at benytte andre typer af derivater, der er afhængige af de samme tilstandsvariable, men hvor det er lettere at finde en løsning. Antag derfor at det for hver simuleret sti af tilstandsvariable er muligt at beregne den tilsvarende værdi for kontrolvariablen D i. For et vilkårligt b er det ved hver sti muligt at omdanne estimatet θ ω ved: θ ω (b) = θ ω b(d ω E[D]) (147) 84

86 Det gennemsnitlige estimat på θ bliver derfor: N " (b) = " - b( D - E[D]) = 1 $ N (" # - b(d ω E[D])) (148) #=1 Ved at tage forventningen til " (b), kan det observeres, at estimatoren er en unbiased estimator: E( " (b)) = E( " - b( D - E[D])) = E( " ) = E(θ) (149) Da estimatet altså også er unbiased, er det et spørgsmål, om hvorvidt estimatet har en lavere standard error end det almindelige estimat. Variansen på hver θ ω (b) kan beregnes som: Var(θ ω (b)) = Var(θ ω b(d ω E[D])) = " #2-2bσ D σ θ ρ θd + b 2 " D2 = σ 2 (b) (150) Og estimatoren har derfor en standard error på σ 2 (b)/n, mens den traditionelle Monte Carlo metode har en standard error på " #2 /N. Af ovenstående ligning fremgår det, at kontrol variat estimatoren har en mindre standard error, hvis b 2 " D2 < 2bσ D σ θ ρ θd. For at kunne vurdere dette er det nødvendigt at fastlægge b. Den optimale koefficient b *, der minimerer variansen i kontrol variat estimatet, er givet ved: b * = " # ρ θd = Cov(D,") " D Var(D) (151) Ved at benytte sig af denne koefficient, og sammenligne med standard erroen for det almindelig estimat, opnås følgende forhold: Var(" # b*(d # E[D])) Var(" ) 2 = 1 - " #D (152) Heraf fremgår det, at virkningen af at indføre et kontrol variat afhænger af hvor stærk en korrelation, der er mellem kontrol variatet og værdien, vi forsøger at estimere, θ. Da korrelationen står i anden, stiger reduktionen i variansen meget, jo tættere korrelationen ρ θd er på 1, mens den til gengæld kun stiger lidt, når ρ θd er langt fra 1. Det er dog ikke sikkert, at det er muligt at udlede b *. Da det er θ, der skal estimeres, er det langt fra sikkert, at Cov(D,θ) er kendt. Det er heller ikke sikkert, at Var(D) kendes. I stedet er man derfor nød til at foretage en estimation af den optimale koefficient, ) b N, ved at estimere kovariansen og variansen på D, med de estimationer der er til rådighed: 85

87 ) b N = N % "=1 (D " # D )($ " # $ ) N % "=1 (D " # D ) 2 (153) Det bemærkes, at der kan introduceres noget bias ved at erstatte b * med ) b N. For analyse af dette, henvises til Glasserman (2004) afsnit Men da estimatet konvergerer imod b *, når N, er kontrol variat estimatet unbiased grænsetilfældet. Spørgsmålet er nu hvilke kontrol variater, der er effektive, og hvordan teknikken skal implementeres i LSM-metoden. Et eksempel på brugen af kontrol variater gives i Broadie & Glasserman (1997) i validereringen af deres stokastiske træ metode. Her benytter de sig af payoffet fra en tilsvarende europæisk option med udløb til tidspunkt T, som kontrol variat. Den europæiske option virker da også som et godt bud på et kontrol variat til de tilsvarende amerikanske og bermuda optioner, da man i mange tilfælde ville forestille sig, at de to er korreleret. For mange optionsspecikationer er det desuden overskueligt at estimere værdierne for de tilsvarende europæiske, mens det i nogle situationer ligefrem er muligt at benytte en analytisk løsning. Ramussen (2002a) implementerer denne teknik i LSM-metoden og supplerer med et kontrol variat, der giver endnu bedre resultater. I Broadie & Glasserman (1997) bliver det kommenteret, at kontrol variat metoden er effektiv for out-of-the-money optioner, mens den er knap så effektiv for at-the-money optioner og direkte klarer sig dårligt for optioner, der er meget in-the-money. Dette kan relateres til hvor tidligt, det er optimalt at udnytte optionen. I Ramussen (2002a) bevises det, at en europæisk option med udløb ved det optimale udnyttelsestidspunkt for den amerikanske option har en større korrelation end europæiske optioner med udløb efter dette tidspunkt. Deriblandt altså europæiske optioner med udløb til tidspunkt T. I stedet for at danne kontrolvariablene til sidst dannes de derfor ved først at beregne de europæiske optionspayoff i en matrice svarende til cashflow matricen i LSM-metoden. Kontrol variaterne er så lig med den tilbagediskonterede værdi af hver af disse payoff. På den måde klarer teknikken sig lige godt, uanset om optionen er out-the-money eller in-themoney. Et naturligt spørgsmål er, hvordan disse europæiske optionspayoff skal specificeres. Ofte og så vidt muligt er det blot det direkte europæiske modsvar til den amerikanske option. I visse situationer, hvor det ikke er muligt at finde en tilsvarende europæisk option, eller hvor det kan være optimalt at specificere optionen på anden vis, kan det være nødvendigt at benytte en europæisk option, der er specificeret anderledes. På denne måde reducerer Rasmussen (2002a) standard errors ene på estimationerne i Tabel 2 med mellem 91% og 98% ved brug af kontrol variater og antitetiske stier. Hvis estimationerne i Tabel 2 også havde været med brug af antitetiske stier, havde reduktionen ved brug af kontrol variatet været på mellem 83% og 96%. Rasmussen (2002a) tester også kontrol variat metoden på en Asiatisk Bermuda option. Som kontrol variat bruges hhv. en europæisk geometrisk asiatisk option, der kan beregnes analytisk og en europæisk aritmetisk asiatisk option, der estimeres ved Monte Carlo. Til sidst testes metoden på en Bermuda Max-Call option med op til 5 underliggende variable. Med 5 underliggende variable er det 86

88 meget svært at beregne den tilsvarende europæiske option. Som kontrol variat benyttes call optioner på hver af de individuelle tilstandsvariable og kombinationer af Max-Call optioner med to tilstandsvariable, der kan beregnes. Selv med disse som kontrol variater, opnås resultater, hvor standard erroren reduceres med mellem 72%-83%. Selvom ovenstående kontrol variat metode er med til at reducere standard error en på estimatet, er det dog ikke muligt at udnytte hele potentialet af den opnåede efficiens. Det er nemlig ikke muligt at mindske antallet af simulationer i LSM-metoden tilsvarende, da estimationen af fortsættelsesværdien ved Least-Squares er afhængig af disse simulationer. Mindsker man antallet af simulationer, bliver estimationen af fortsættelsesværdien behæftet med en stor fejl, så Monte Carlo delen konvergerer imod den forkerte værdi. Metoden giver dog visse forbedringer. For at undgå bias ved at værdifastsætte optionen på basis af det samme sæt simulationer, man estimerer udnyttelsesstrategien på, er det nødvendigt med et nyt sæt simulationer. Ved at bruge kontrol variat teknikken er det muligt at reducere dette sæt simulationer. Desværre er det dog første del af metoden, estimationen af den optimale udnyttelsesstrategi, der er den mest tidskrævende. Rasmussen (2002b) løser for dette, og optimerer på Least-Squares delen af LSM-metoden. Dette gøres på to måder. Ved at introducere et kontrol variat i least square estimationen og ved at sprede startpunkterne for de stier, hvorpå parametrene til udnyttelsesgrænsen skal estimeres. I Rasmussen (2002a) blev det givet, at fejlen på de tilbagediskonterede optionscashflow kan mindskes ved at introducere et kontrol variat, hvilket bidrager til et mere præcist estimat på optionsværdien. Det virker derfor plausibelt, at fejlen på disse tilbagediskonterede optionscashflow også kan mindskes, når, de benyttes som uafhængige variable i Least-Squares regressionen ved samme teknik. Derfor benyttes de europæiske optioner som kontrol variat også her. Modsat Rasmussen (2002a) er kontrol variatet i Least- Squares regressionen dog ikke kun tidsafhængigt, men skal også udregnes på basis af de samme tilstandsvariable som det pågældende optionscashflow er opstået ved. Ved at benytte sig af kontrol variater på denne måde er det muligt at opnå en meget mere præcis estimation af fortsættelsesværdien, og derved en meget mere præcis estimation af optionsværdien. Rasmussen (2002b) kalder denne metode for Control Variat LSM (CV- LSM). I Rasmussen (2002a) blev det beskrevet, hvordan kontrol variat teknikken klarer sig dårlilgt for optioner, der er in-the-money, og hvordan der blev givet en løsning på dette. I estimationen af udyttelsesstrategien er problemet omvendt, at metoden klarer sig dårligt, når optionen er out-of-the-money. LSM-metoden benytter sig som bekendt kun af de stier, hvor optionen er in-the-money. Så for optioner, der starter meget out-of-themoney, vil i mange tilfælde kun være meget få simulationer, denne estimation kan bygge på. Løsningen viser sig at være at sprede startpunkterne som stierne starter fra, i stedet for blot at lade det starte fra et enkelt. Når værdien på optionen skal fastsættes på basis af udnyttelsesstrategien, er det ikke muligt at benytte sig af stierne fra denne teknik, men da det alligevel er nødvendigt at simulere et nyt sæt stier for at sikre, at estimatet bliver lowbiased, leder dette ikke til nogen ekstra beregningstid. Estimationen af udnyttelsesgræn- 87

89 sen er derimod uafhængig af det initiale startpunkt. Dette skyldes, at den optimale strategi kun er afhængig af den betingede forventning af payoffet ved fortsætte med optionen. Så blot simulationen efterfølgende udvikler sig som den specificerede proces, indfører dette ikke nogen fejl i estimationen. Sådan en spredning af startpunkterne leder tankerne hen på to teknikker, der er kendt inden for den almindelige Monte Carlo: Importance sampling og stratificering. Da man dog ikke kender udnyttelsesstrategien, da det netop er den, man forsøger at estimere, er importance sampling dog svært at implementere. Metoden har dog potentiale til at kunne blive anvendt i Monte Carlo delen i værdifastsættelsen, men dette vil ikke blive undersægt nærmere. Stratificering er desværre inefficient for højdimensionelle problemmer. For at bibeholde en metode der er så generel som muligt, fravælges denne metode derfor. Begge metoder bygger dog på at sample flere stier, hvor optionen er in-the-money. I Rasmussen (2002b) fordeles startpunkterne ved først at specificere et fiktivt starttidspunkt t -d. Dette starttidspunkt skal lægge før det rigtige starttidspunkt, dvs. t -d < t 0. Simulationerne starter da med udgangspunkt i dette startpunkt, og simuleres frem til tidspunkt T. Når stierne når tidspunkt t 0, vil startpunkterne være fordelt omkring det rigtige startpunkt, og fordelingen vil reflektere volatiliteten i processen for tilstandsvariablen. Rasmussen (2002b) kalder denne metode for Dispersed Control Variat LSM (DCV-LSM). Metoden testes på bermuda put option. Metoden viser lovende resultater, da metoden med antitetiske stier opnår bedre resultater end dem, der er beregnet i Tabel 2 med almindelig LSM, med stier. Kontrol variat metoden virker derfor til at have et stort potentiale til at kunne forbedre LSM-metoden. Ligesom det gælder for teknikken med den traditionelle Monte Carlo metode, er teknikkens efficiens meget afhængig af, hvordan optionen er specificeret, og hvor korreleret optionen er med de europæiske optioner. Ikke-lineær regression LSM-metoden metoden benytter sig af lineær regression til at estimere fortsættelsesværdien. En mulighed kunne derfor være at forbedre metoden ved at benytte sig af ikkelineær regression. Dette undersøges i Pizzi & Pellizzari (2002). Her testes metoden, når regressionerne foretages ved Locally Weighted Regression Smoother (LOESS) af Cleveland & Devlin (1988) og ved Spline funktioner af Green & Silverman (1994). Det konkluderes, at de ikke-parametriske regressioner er velegnet til optioner med en enkelt tilstandsvariabel, der er mere komplekse end simple put og call optioner. Dette skyldes, at denne type regressioner er velegnet til at estimere komplekse funktioner for fortsættelsesværdien. Problemet ved de ikke-lineære regressioner er, at de er mere komplekse at estimere og derfor kræver mere beregningstid. For simple optioner hvor, fortsættelsesværdierne er givet ved forholdsvist simple funktioner, kan det af denne grund bedre betale sig at benytte den lineære regression med basisfunktioner. Selvom de ikke-lineære regressioner giver bedre estimatater, vil man ved at øge antallet af stier og basisfunktioner i den lineære regression kunne opnå samme resultater, med mindre beregningstid. Dette er også grunden til, at de ikke-lineære regressioner er mest egnet til problemer med få til- 88

90 standsvariable. Ved flere tilstandsvariable bliver estimationen med ikke-lineær regression også så beregningstung, at den lineære estimation er mere velegnet. Da LSM-metoden netop er egnet til problemer med flere tilstandsvariable, anses disse to ikke-lineære regressioner derfor ikke som et konkurrencedygtigt alternativ. Et andet alternativ er regression ved neurale netværk, der f.eks. benyttes i Haugh & Kogan (2004). Forfatterne giver dog ikke nogen analyse af fordele og ulemper ved denne metode vis a vis den lineære regression, og det er derfor ikke muligt at vurdere potentialet ved denne regressionsmetode. Quasi Monte Carlo Den nuværende LSM-metode bygger på Monte Carlo simulation ved tilfældig udtrækning. Jo mere ligeligt fordelt sekvensen af tilfældige tal er i Monte Carlo simulationen, jo mere vil stierne repræsentere den sande fordeling for tilstandsvariablen. En sekvens, der bygger på tilfældige tal, vil dog ikke nødvendigvis altid være ligeligt fordelt. Fordi tallene er tilfældige, vil de have tendens til at danne klynger. En mulig måde, metoden kan forbedres på, er derfor ved at sørge for, at disse tal bliver mere ligeligt fordelt. Dette kan gøres ved Quasi Monte Carlo. I stedet for at danne sekvensen ved tilfældig udtrækning, dannes en deterministisk sekvens. En sådan sekvens kaldes for en lav diskrepans sekvens. Diskrepans måler i hvilken grad punkterne er ligeligt fordelt. Jo mere ligeligt fordelt punkterne er, jo lavere diskrepans. Dette vil være med til at øge konvergensraten for metoden. Med den almindelige Monte Carlo metode konvergerer estimaterne med 1/ N imod den sande værdi. Hvis det er muligt at forbedre denne konvergensrate, er der stort potentiale for forbedringer af metoden. Der er flere måder at danne sådanne lav diskrepans sekvenser på. Eksempler er sekvenserne af Halton (1960), Sobol (1967), Faure (1982) og Niederreiter (1988). Disse metoder er ikke specifikke for LSM-metoden, men følger samme metode som for almindelig Monte Carlo. Der henvises derfor til de førnævnte artikler for opbygningen af sekvenserne, og til Boyle, Broadie & Glasserman (1997) og Glasserman (2004) for mere om benyttelsen af lav diskrepans sekvenserne. Her vil der blot blive analyseret, hvor godt de forskellige deterministiske sekvenser er med til at forbedre LSM-metoden. Rodrigues & Armada (2006) og Areal, Rodrigues & Armada (2008) foretager en empirisk analyse af LSM-metoden ved Quasi Monte Carlo. De forskellige sekvenser klarer sig forskelligt. Faure sekvensen klarer sig dårligst, mens Halton, Sobol og Niederreiter sekvenserne kun kræver omkring stier for at opnå resultater, der tilsvarende ville kræve stier med almindelige Monte Carlo. Quasi Monte Carlo er derfor en effektiv måde at forbedre LSM-metoden på. 89

91 7 LSM-metoden til real optioner Least Squares Monte Carlo metoden, der er opbygget i Kapitel 6, blev i sin klassiske form udviklet til at værdifastsætte finansielle optioner. Det er derfor også kun finansielle optioner, modellen er blevet testet op imod indtil videre. Som det vil fremgå af dette kapitel, kan mange real optioner opstilles som simple finansielle call og put optioner. Mange projekter og realoptionsproblemmer vil dog ofte ikke blot bestå af en enkel real option, men af flere. Som det vil blive analyseret, kan der være afhængighedsforhold imellem optionerne i sådan en realoptionsportefølje, der betyder at optionerne ikke kan estimeres enkeltvis, som man ville kunne med LSM-metoden, men skal estimeres samlet. Selvom LSM-metoden er egnet til at løse problemer med flere tilstandsvariable, er den ikke i sin klassiske form bygget til at løse problemer med flere real optioner. I dette kapitel vil der derfor blive analyseret, hvordan LSM-metoden kan udvides, så den også kan løse realoptionsproblemer med flere real optioner. Dette vil blive gjort med udgangspunkt i Gamba (2003) og forbedringen foreslået i Rodrigues & Armada (2006). Først analyseres de forskellige typer real optioner der, er analyseret i litteraturen. Dernæst gennemgås problematikken omkring porteføljer af real optioner, og hvorfor værdien af denne portefølje ikke nødvendigvis er lig med værdien af de individuelle optioner i porteføljen. Derefter analyseres potentialet ved at kunne benytte LSM-metoden til at finde værdien på realoptionsporteføljer. Udvidelsen af Gamba (2003) og Rodrigues & Armada (2006) gennemgås derefter. Derefter implementeres denne udvidelse i LSM-modellen. Til sidst benyttes modellen til at løse forskellige realoptionsproblemer. 7.1 Typer af real optioner Som det blev forklaret i Kapitel 2, er real optioner med til at værdifastsætte den fleksibiletet et selskab har. Men et selskab kan have fleksibilitet på mange måder. Trigeorgis (2004) giver et overblik over de forskellige typer real optioner. Heraf fremgår det, at de mest typiske real optioner kan deles op i seks typer. Hver af disse kan relateres til almindelige finansielle optioner: Option på at kunne vente: Hvis et selskab har en investeringsmulighed, er det ikke altid at investeringen nødvendigvis skal igangsættes med det samme. I stedet vil selskabet ofte have muligheden for at kunne vente et bestemt antal år, inden muligheden forfalder. Derved er det muligt at vente med at investere, til det kan vurderes om forholdene udvikler sig godt eller dårligt. Dette kan betragtes som en almindelig call option med værdien af projektet som underliggende aktiv og investeringsomkostningerne som udnyttelsespris. Real optioner af denne type analyseres i Tourinho (1979), Titman (1985), McDonald & Siegel (1985), Paddock, Siegel & Smith (1988) og Ingersoll & Ross (1992). Option på at kunne investere gradvist: Ved investeringer med lang byggetid er det muligt at dele investeringen op i etaper. Inden hver ny etape påbegyndes, opnår 90

92 man derved muligheden for at droppe investeringen, hvis det viser sig, at forholdene ikke udvikler sig hensigtsmæssigt. Hver etape kan ses som en call option med værdien af de efterfølgende etaper som underliggede aktiv og investeringsomkostningerne som udnyttelsespris. Real optioner af denne type analyseres i Majd & Pindyck (1987), Carr (1988) og Trigeorgis (1993). Option på at kunne ændre projektets skala: Efter at have investeret i et projekt er der ofte stadig mulighed for at skalere projektet alt efter forholdene. Dvs. man kan mindske projekets størrelse, hvis forholdene udvikler sig ugunstigt, og udvide projektet, hvis forholdene omvendt udvikler sig gunstigt. Muligheden for at udvide projektet kan ses som en call option med nutidsværdien af den forventede ekstra værdi ved udvidelsen som underliggende aktiv, og investeringsomkostningerne som udnyttelsespris. Muligheden for at nedskalere projektets størrelse kan omvendt ses som en put option med nutidsværdien af den forventede tabte værdi ved at nedskalere projektet som underliggende aktiv og scrap-værdien som udnyttelsespris. Real optioner af denne type analyseres i Brennan & Schwartz (1985), McDonald & Siegel (1986), Trigeorgis & Mason (1987) og Pindyck (1988). Option på at kunne droppe projektet: Hvis forholdene udvikler sig dårligt, kan det være optimalt helt at droppe projektet. Dette kan ses som en put option med den nutidsværdien af projektet som underliggende aktiv og scrapværdien som udnyttelsespris. Real optioner af denne type analyseres i Myers & Majd (1990). Option på at skifte input eller output: Hvis projektet kan producere forskellige output, har selskabet muligheden for at skifte outputtet eller produktmixet afhængig af priserne og/eller efterspørgslen. Dette kan være med til at optimere profitten. Hvis outputtet kan produceres med flere forskellige typer input, er en anden mulighed at ændre på projektets input. Hver af disse muligheder kan ses som en call option med den forventede nutidsværdi af at skifte input/output som underliggende aktiv og omkostningen ved at skifte som udnyttelsespris. Real optioner af denne type analyseres i Margrabe (1978), Kensinger (1987), Kulatilaka (1988) og Kulatilaka & Trigeorgis (1994). Growth optioner: Visse investeringer er kendetegnet ved i sig selv at have en lav, eller ligefrem negativ, nutidsværdi, men giver muligheden for at øge upside potentialet på et projekt, hvis forholdene udvikler sig godt. Et eksempel på dette kan være etableringen af en lille salgsafdeling i Polen. Selvom investering i sig selv kan have en negativ nutidsværdi, kan det stadig være en fornuftig investering. Hvis der pludselig kommer gang i den økonomiske vækst i Østeuropa, kan etableringen af denne salgsafdeling betyde, at selskabet har opsamlet den nødvendige erfaring og kan undgå en masse bureakrati, hvis det vil etablere sig på markedet. Real optioner af denne type analyseres i Myers (1977), Brealey & Myers (1991), 91

93 Kester (1984), Kester (1993), Trigeorgis (1988), Pindyck (1988) og Chung & Charoenwong (1991). Som det fremgår af ovenstående, kan mange real optioner opstilles som almindelige call og put optioner. Mange af modellerne i den tidlige forskning på real optioner går derfor også på at værdifastsætte enkelte real optioner individuelt, som man ville med call og put optioner. Sådanne analyser er f.eks. foretaget for optionen på at kunne vente med investeringen og optionen på at kunne droppe projektet. Problemet med dette er imidlertid, at det ikke tager hensyn til hvordan real optionen kan være afhængig af andre real optioner. I visse real optioner fremgår det direkte, at der kan være en sådan en afhængighed. Dette er f.eks. tilfældet med optionen på at kunne investere gradvist og growth optionerne. Men også optionen på at kunne vente med investeringen er i et afhængighedsforhold til andre optioner. Det er nemlig først, når der investeres i projektet, at alle real optionerne i forbindelse med projektet opstår. Når man omvendt vælger at droppe projektet, forsvinder alle optionerne igen. Så selvom optionerne måske virker som enkeltstående, så er dette ikke tilfældet. Dette er med til at gøre værdifastsættelsen mere indviklet, da værdien af en portefølje af real optioner ikke nødvendigvis er lig med summen af de individuelle optioner. Hvordan afhængighedsforholdet imellem real optionerne kan være med til at påvirke værdien af real optionerne, er fokus for næste afsnit. 7.2 Portefølje af real optioner I denne opgave vil der blive skelnet mellem fire slags afhængighedsforhold. Disse følger i høj grad de afhængighedsforhold, der kan observeres imellem optionerne i det foregående afsnit, og følger fremgangsmåden i Gamba (2003), der senere vil blive benyttet til at udvide LSM-metoden. De fire afhængighedsforhold vil blive benævnt ved hhv. uafhængige optioner, compound optioner, mutually exclusive optioner, og optimal switching optioner. I det følgende vil de 4 afhængighedsforhold blive forklaret og relateret til ovenstående typer real optioner. Det skal i denne forbindelse gøres klart, at de forskellige typer optioner kan kombineres i flere forskellige forhold. De forskellige typer optioner skal derfor ikke kun forbindes med en enkelt type real optioner. Yderligere vil der blive analyseret, hvordan de forskellige afhængighedsforhold påvirker værdien af optionsporteføljen, under hvilke forhold afhængigheden bliver lille eller stor, og om afhængigheden vil have en positiv eller negativ effekt på værdien sammenlignet med tilfældet, hvor optionerne værdifastsættes individuelt. Uafhængige optioner Når optionerne er uafhængige, kan samlingen af optioner værdifastsættes ved at værdifastsætte hver af optionerne individuelt og summere værdierne. I denne sammenhæng skal det fastslåes, at når der tales om afhængighed mellem optionerne, så er der udelukkende tale om strategisk afhængighed. Dvs. at værdierne på optionerne sagtens kan være helt ukorreleret og alligevel være strategisk afhængige, så porteføljen ikke kan værdifast- 92

94 sættes additivt. Et eksempel på dette er to projekter, hvor udviklingen i projekternes værdi modelleres ved hver sin tilstandsvariabel, der er ukorreleret med hinanden. Selskabet har en option på at igangsætte hver af disse to projekter. Men hvis der kun er midler nok til at igangsætte et af projekterne, bliver begge optioner afhængig af udnyttelsesbeslutningen for den anden option, selvom værdierne for projekterne er uafhængige. I det følgende vil real optionerne blive beskrevet, som var de udelukkende afhængig af den samme underliggende variabel; nemlig projektets værdi. Men analysen gælder også for tilfældene, hvor optionerne har forskellige underliggende variable. Compound optioner Visse real optioner er kendetegnet ved, at de ved udnyttelse skaber en række nye optioner. Dette er f.eks. tilfældet for real optionen på at kunne investere gradvist og growth optionerne. Denne slags realoptionsproblemer vil blive refereret til som compound optioner. Trigeorgis (1993) giver en nærmere analyse af disse. Når en real option skaber en ny real option ved udnyttelse, har det både en effekt på værdien af den første real option og værdien af den efterfølgende real option. De efterfølgende real optioner bidrager med at øge værdien på projektet, ift. hvis projektet ikke havde haft nogle efterfølgende optioner. Dette påvirker værdien af den første real option, alt afhængig af hvilken type option det er. Hvis den første option er en call option, vil en forøgelse af projektets værdi have en positiv virknining på værdien af den første option. Jo højere værdi det underliggende aktiv har, jo større payoff er der ved udnyttelse af optionen. Hvis den første real option omvendt er en put option, vil efterfølgende optioner have en negativ virkning på optionens værdi. Værdien på put optionen stiger, jo lavere værdien er på det underliggende aktiv. Det bemærkes at disse effekter opstår, uanset om de efterfølgende optioner er put eller call optioner. Uanset om det er af den ene eller den anden type, så vil optionen kun bidrage med en positiv værdi til projektet. Nu analyseres det, hvordan den efterfølgende option bliver påvirket. Den efterfølgende option er nemlig omvendt også afhængig af den første option. Effekten herfra er afhængig af optionernes type samlet set, dvs. om de er af samme eller modsat type. Først analyseres tilfældet hvor optionerne er af samme type. Hvis den første option er en put option, vil værdien på projektet blive mindre, hvis denne option bliver udnyttet, end for tilfældet hvor optionen ikke bliver udnyttet. Dette kan relateres til tilfældet, hvor projektet nedskaleres. Her opnås et øjeblikkeligt payoff ved udnyttelse af optionen, imod at mindske den profit projektet kan danne. Hvis den efterfølgende option også er en put option, betyder den mindre projektværdi, at der er større sandsynlighed for, at denne option også bliver udnyttet. Dette har en positiv indvirkning på værdien af den efterfølgende option. Hvis den første option modsat er en call option, vil værdien på projektet blive større, hvis optionen om at udvide projektet blev udnyttet. Dette vil igen gøre det endnu mere sandsynligt, at en efterfølgende call option udnyttes, og derved have en positiv indvirkning på værdien af den efterfølgende option. Når en compound option består af to call optioner af samme type vil både den første og efterfølgende option have en større værdi når de 93

95 værdisættes sammen som portefølje, end når de værdifastsættes indviduelt. Ved to put optioner af samme type vil den første option have mindre værdi, mens den efterfølgende option vil have en større værdi, når de værdisættes sammen som portefølje, end når de værdifastsættes indviduelt. Den samlede effekt på porteføljen vil derfor være afhængig af, hvilken effekt der dominerer. I begge tilfælde gælder der, at i hvor høj grad det kan være med til at ændre på den samlede værdi, er afhængig af sandsynligheden for fælles udnyttelse af begge optioner. Hvad denne sandsynlighed er betinget af, vil blive analyseret længere nede. Når optionerne er af modsat type, er de optimale at udnytte under modsatretterede forhold. Dvs. call optionen udnyttes, når det underliggende aktiv har en høj værdi, og put optionen, når det underliggende aktiv har en lav værdi. Men da den første option påvirker projektets værdi ved udnyttelse, har dette igen en effekt på sandsynligheden for udnyttelsen af den efterfølgende option. Men hvor det før havde en positiv effekt på sandsynligheden for udnyttelse, har det nu er negativ effekt. Det betyder, at sandsynligheden for udnyttelsen af den ene option, givet udnyttelsen af den anden option, bliver mindre, end hvis det kun havde været den individuelle option. Påvirkningen på optionsværdien vil dog i de fleste tilfælde være mindre, end end når optionerne er af samme type. Dette skyldes, at i hvor høj grad optionsværdierne bliver påvirket er afhængig af sandsynligheden for fælles udnyttelse af begge optioner. Da optionerne er af modsat type, vil deres udnyttelsesregioner ligge i modsatrettede ender af tilstandsrummet. Så selvom udnyttelse af den første option mindsker muligheden for udnyttelsen af den anden option, var der i forvejen en lav sandsynlighed for at udviklingen i værdien på det underliggende aktiv ville gøre det relevant med udnyttelse af begge optioner. Optioner i dette afhængighedsforhold vil derfor mange gange næsten være additive. Om værdien på realoptionsporteføljen er større eller mindre end værdien af de individuelle optioner er altså afhængig af optionernes type, og om de er af samme eller modsat type i forhold til de andre optioner i porteføljen. Dette siger derfor noget om fortegnet på effekten. I hvor høj grad effekten har en påvirkning afhænger af den ubetingede sandsynlighed for fælles udnyttelse af begge optioner. Med ubetinget sandsynlighed menes den sandsynlighed, der er for udnyttelse af optionen, når der ses bort fra, hvilken påvirkning udnyttelse af tidligere optioner har haft på udviklingen i projektets værdi. Denne sandsynlighed er blandt andet bestemt af hvor stort et overlap, der er imellem udnyttelsesregionerne på optionerne. Den ubetinget sandsynlighed er bestemt af følgende 4 forhold: 1) Variansen på det underliggende aktiv. Des større varians, des større sandsynlighed er der for at projektets værdi krydser over i de relevante tilstandsrum for de forskellige optioner. 2) Hvor adskilte udnyttelsestidspunkterne er for optionerne. Forestil en situation med en portefølje der hhv. består af en europæisk put og en europæisk call option. Hvis put optionen er in-the-money ved udløb, er sandsynligheden, for at den efterfølgende call option også bliver in-the-money, større, jo længere tid det underliggende aktiv har til at kunne udvikle sig i. Samme princip gælder for amerikanske optioner, selvom det optimale udnyttelsestidspunkt ikke kendes. Men jo længere der er til udløb, jo mere stiger 94

96 sandsynligheden. 3) Hvor stor en relativ forskel der er mellem optionernes in- og out-ofthe-money regioner. Jo tættere optionernes in-the-money regioner ligger på hinanden, des større sandsynlighed er der for situationen, hvor begge optioner bør udnyttes. 4) Når der er flere end to optioner, har rækkefølgen på optionerne en indflydelse. Hvis man forestiller sig en situation med to put optioner og en call option, er der større sandsynlighed for, at alle optionerne bør udnyttes, hvis de to put optioner ligger efter hinanden, end hvis call optionen ligger imellem dem. Dvs. sandsynligheden er større ved put-put-call eller call-put-put end ved put-call-put. Put optionen udnyttes, når det underliggende aktiv har en lav værdi. Der er derfor større sandsynlighed for, at alle optionerne udnyttes, ved at 1) værdien på det underliggende aktiv først falder, så det bliver optimalt at udnytte begge put optioner og derefter stiger, så det bliver optimalt at udnytte call optionen, eller vice versa, end at 2) værdien på det underliggende aktiv skal falde, for at udnytte den første put option, stige for at udnytte call optionen, og derefter falde igen, for at udnytte den sidste put option. Dette gælder også selvom optionerne er amerikanske, da optionerne først kan udnyttes efter udnyttelsen af de forgående optioner. Dette afslutter analysen af compound optionerne. Denne er mere dybdegående end analysen af de efterfølgende afhængighedsforhold, men mange af de samme principper vil gælde, som derfor ikke vil blive uddybet igen. Mutually exclusive optioner Visse realoptionsproblemer er kendetegnet ved, at de, ved udnyttelse af en real option, lukker muligheden for at kunne udnytte andre real optioner. Dette kan f.eks. være tilfældet for muligheden for at kunne ændre på projektets skala. Dette problem kan opstilles som et problem med flere real optioner. Projektet kan nemlig både skaleres ned, hvis forholdene udvikler sig dårligt, eller skaleres op, hvis forholdene udvikler sig godt. Dette kan hhv. modelleres ved en put og en call option. Det er klart, at hvis der træffes beslutning om at nedskalere projektet, så vil der ikke på samme tid blive truffet beslutning om at udvide projektet. Hvis det yderligere antages, at projektet kun kan skaleres en gang, vil man ved at nedskalere projektet lukke for muligheden for at kunne opskalere projektet senere. Denne slags realoptionsproblemer vil blive refereret til som mutually exclusive optioner. Da man kun vil skalere projektet ned, når forholdene udvikler sig dårligt, virker det muligvis ikke oplagt, hvordan det skulle påvirke værdien på real optionen at kunne skalere projektet op, da denne mulighed kun udnyttes når forholdene udvikler sig positivt. Årsagen hertil er, at selvom forholdene muligvis ser dårlige ud på tidspunktet, hvor man vælger at nedskalere projektet, så er der en chance for, at forholdene kan udvikle sig positivt efterfølgende. Men ved at nedskalere projektet, har man afskrevet sig muligheden for at kunne udnytte optionen på dette tidspunkt. Dvs. at real optionen bliver relevant i færre situationer, og derfor falder værdien af optionen tilsvarende. Dette gælder omvendt også for put optionen, hvis forholdene først udvikler sig positivt. Dette kan relateres til analysen af compound optioner. Bortset fra at i stedet for bare at gøre det mindre sandsynligt med fælles udnyttelse af to modsatrettede optioner, så udelukkes muligheden helt. Modsat compound optioner gælder dette også for optioner af samme type. 95

97 Optimal switching optioner Med ovenstående afhængighedsforhold kan projektet kun skaleres en enkelt gang, og derefter aldrig igen. Hvis man i stedet ønsker at antage, at projektet faktisk kan skaleres to gange, så er det muligt at kombinere ovenstående afhængighedsforhold med compound optioner. På denne måde skaber udnyttelsen af at op- eller nedskalere projektet, en ny mutually exclusive option på at kunne op- eller nedskalere projektet endnu en gang. Visse realoptionsproblemer er dog kendetegnet ved, at der hele tiden skal træffes valg omkring udnyttelse af den optimale option, mens højest en af optionerne kan udnyttes. Realoptionsproblemer af denne type vil blive benævnt som optimal switching optioner. Selvom visse af denne slags problemer muligvis kan løses ved en kombination af de to ovenstående afhængighedsforhold, ville det hurtigt blive for omstændigt. Faktisk kan både uafhængige optioner, compound optioner og mutually exclusive optioner opstilles som et optimal switching problem. F.eks. kan optionen på at vente med at investere opstilles som et problem, for hvornår det er optimalt skifte fra tilstanden vent til tilstanden invester. Visse problemer kan dog kun løses ved at opstille det som et optimal switching problem. Denne slags realoptionsproblemmer kan f.eks. relateres til real optionerne på kontinuert at kunne skifte over til det optimale input eller output. Selvom det kun er muligt at vælge et enkelt input- eller output-mix af gangen, udelukker det ikke optionerne på at skifte over til de andre input- eller output-mix senere. Hvilken option, der er bedst at udnytte, er naturligvis afhængig af, hvor gode de andre optioner er. En ny real option, der domineres af alle andre real optioner, kan i værste fald have en værdi på 0. Derfor er der afhængighed imellem optionerne. Kulatilaka & Trigeorgis (1994) giver en nærmere analyse af realoptionsproblemer med optimal switching. Problemet ændrer karakter, alt efter om der er omkostninger forbundet med at skifte tilstand eller ej. Hvis der ikke er nogen omkostninger forbundet med at skifte, kan værdien på optionerne ganske enkelt findes ved at tage payoffet for den tilstand, der giver det største payoff. Hvis det højeste payoff opnås ved at forblive i den samme tilstand, benyttes dette payoff. Hvis der er omkostninger på at skifte tilstand, er dette dog ikke helt så nemt. De optimale tilstande til hvert af tidspunkterne er da ikke længere uafhængige af hinanden. Der kan nemlig være værdi i at forblive i en tilstand, der giver et øjeblikkeligt suboptimalt payoff, hvis det sparer en omkostning på at skifte tilstand senere, ved forventning om at den nye tilstand er suboptimal på længere sigt. Dette betyder til gengæld også, at det første valg af tilstand vil få konsekvenser for valget af alle efterfølgende tilstande. Problemet besværliggøres yderligere, hvis omkostningerne er forskellige afhængig af hvilken tilstand der skiftes til og fra. Da skal man være meget opmærksom på hvilken tilstand, man starter med at vælge. Som det fremgår, kan problemstillingen meget hurtig blive meget kompleks på denne måde. Det er også derfor, at selvom de to forgående afhængighedsforhold indgår under optimal switching optioner, så kan det stadig være fordelagtigt at opstille problemet som compound optioner eller mutually exclusive optioner, da det er langt mindre komplekst og mindre beregningstungt. 96

98 Dette afslutter afsnittet, om hvordan forskellige afhængighedsforhold imellem optioner kan påvirke værdien på en portefølje af real optioner. Rigtige projekter vil ofte være en kombination af flere typer real optioner, med komplekse afhængighedsforhold. Med kombinationer af ovenstående afhængighedsforhold er det dog muligt at løse for de fleste slags realoptionsproblemmer. 7.3 Potentialet ved en LSM-metode til real optioner Ovenstående afhængighedsforhold er grunden til at mange realoptionsproblemer løses ved specifikke modeller, der kan tage højde for afhængighedsforholdene i de forskellige realoptionsproblemmer. For de fleste problemer er det nemlig ikke muligt direkte at benytte sig af de almindelig numeriske metoder til at komme frem til en løsning. Ofte analyserer man sig frem til en differential ligning for det specifikke optionsproblem, eller man specialdesigner et binomialtræ til formålet. Dette betyder at man skal udvikle en model, der netop passer til det specifikke problem. I mange modeller skal der dog ikke ændres meget på de underliggende dynamikker i problemet, før det er nødvendigt med en ny model til at finde en løsning. Selvom det for mange modeller er hurtigt at finde en løsning, når først modellen er udviklet, kan det tage lang tid at udvikle en sådan model, og det kan derfor være hensigtsmæssigt med en mere generel metode. Der er blevet foretaget visse forsøg, hvor LSM-metoden er blevet benyttet direkte til at værdisætte real optioner. Et eksempel på dette er Abadie & Chamorro (2009), der som casestudie analyserer værdien på at investere i et naturgasværk. I artiklen postuleres det, at værdien af gasværket er afhængig af tre stokastiske faktorer: 1) prisen på gas, der selv bl.a. er afhængig af 2) den langsigtede pris på gas, og 3) prisen på el. Da værdien er afhængig af flere stokastiske faktorer, er det svært at løse problemet ved binomialtræ metoden eller finite difference metoden. Derfor er det oplagt at benytte sig af LSM-metoden. Abadie & Chamorro (2009) værdifastsætter værdien på værket, når der investeres i værket nu, og man inkluderer optionen på senere at kunne fordoble kapaciteten i værket, hvis forholdene udvikler sig godt. Forfatterne kalder dette for en compound option. Det skal dog bemærkes, at det i såfald ikke er en compound option i samme forstand som i afsnit 7.2. For der er faktisk kun tale om en enkelt option, nemlig på at kunne fordoble kapaciteten, givet at der investeres med det samme. Havde man derimod også inkluderet optionen på at kunne vente med investeringen, samt den efterfølgende option på at kunne fordoble kapaciteten, havde der været tale om en compound option. Men dette betyder til gengæld også, at real optionen på at kunne fordoble kapaciteten kan løses som en almindelig call option, hvilket kan løses med den traditionelle LSM-metode. Dette illustrerer ulempen ved at anvende den traditionelle LSM-metode til at løse realoptionsproblemer. Nemlig at man er nød til at tilpasse visse realoptionsproblemer, for at de kan løses ved den traditionelle LSM-metode. Dette kan nødvendiggøre forsimplinger, der betyder at metoden har meget lidt praktisk anvendelighed til andet end de mest simple realoptionsproblemer. Problemet med den traditionelle LSM-metode er, at den kun er 97

99 bygget til at værdifastsætte optioner enkeltvis, og ikke porteføljer af optioner, der kan være afhængige af hinanden. Den traditionelle LSM-metode er opbygget til at danne et enkelt optionspayoff på basis af tilstandsvariablene. Man kan så spørge sig selv, om det ikke er muligt blot at tilpasse dette optionspayoff, så det kan løse for de forskellige afhængighedsforhold. Dette er dog bl.a. problematisk i forhold compound optioner. Det optimale ville være at lade dette optionspayoff skifte til optionspayoffet på den efterfølgende option, når den første option er udnyttet. Men for at vurdere hvornår det er optimalt at udnytte den første option, er det nødvendigt med algoritmen i LSM-metoden. Dette kan Monte Carlo-delen af metoden, der simulerer stierne og beregner de tilhørende payoffs, ikke klare i sig selv. Det er derfor nødvendigt med en udvidelse af LSM-metoden. En sådan udvidelse bør først og fremmest simulere optionspayoffene for hver af de forskellige optioner, der skal indgå i værdifastsættelsen. Dernæst skal metoden udvides, så den kan håndtere de forskellige optionspayoff og vurdere, hvornår det er optimalt at udnytte de forskellige optioner, givet de andre optioner. Præcis hvordan dette skal gøres, så estimationen af den optimale udnyttelsesstrategi til sidst kan resultere i et estimat på optionernes værdi, er afhængig af, hvordan afhængighedsforholdet mellem optionerne i optionsproblemet er defineret. En sådan udvidelse foreslås i Gamba (2003). Her foreslås det hvordan metoden kan udvides, så den udover uafhængige optioner også kan håndtere hhv. compound optioner, mutually exclusive optioner og optimal switching optioner. Med disse 4 afhængighedsforhold som byggesten er det muligt at løse optionsproblemerne, der opstilles i mange optionsmodeller. Gamba (2003) anvender bl.a. modellen til at løse de samme optionsproblemer, der løses i de velkendte realoptionsmodeller af Brennan & Schwartz (1985) og Schwartz & Moon (2000, 2001). Rodrigues & Armada (2006) kommer med en forbedring af algoritmen til håndtering af mutually exclusive optionerne og foretager en empirisk analyse, af hvordan den udvidede metode håndterer hhv. compound optioner og mutually exclusive optioner. Det konkluderes, at den udvidede LSM-metode giver robuste resultater. Selvom opstilling af problemet som optimal switching optioner kan løse meget generelle optionsproblemer, så kan de fleste af de typer real optioner, der nævnes i afsnit 7.1, løses mere effektivt som compound optioner og mutually exclusive optioner, eller en kombination af disse to. Der er derfor meget fornuft i at give netop disse to afhængighedsforhold en grundig analyse. I næste afsnit beskrives det, hvordan LSMmetoden udvides i Rodrigues & Armada (2006), så den kan håndtere porteføljer af real optioner. 7.4 Udvidelse af LSM-metoden til porteføljer af real optioner I dette afsnit beskrives algoritmen i den udvidede LSM-metode, der benyttes i Rodrigues & Armada (2006). Dette består af algoritmen til compound optioner i Gamba (2003) og den foreslåede forbedring af algoritmen til mutually exclusive optioner, der forslåes i Rodrigues & Armada (2006). 98

100 Compound optioner Først analyseres der, hvordan LSM-metoden kan udvides til at løse for compound optioner. Det analyseres først, hvordan problemet kan opstilles generelt, og derefter hvordan det kan løses indenfor rammerne af LSM-metoden. Det antages at, der i alt er H optioner, der opstilles i rækkefølge, så option h giver muligheden for at udnytte option h+1. Udover at give muligheden for at udnytte option h+, kan udnyttelse af option h også give et optionspayoff, udtrykt ved Z h (ω, t k ). Optionerne værdifastsættes alle, som havde de faste udløbsdatoer. Der gives desværre ikke mulighed for også at værdifastsætte optionerne, som havde de varigheder. Det betyder at udløbsdatoen er den samme, uanset om optionen opstår som følge, af at den første option udnyttes i den første periode eller i perioden lige før udløb. Problemet ved at behandle optionerne med varigheder er, at udløbsdatoen for problemet ikke er kendt på forhånd. Da metoden starter ved sidste periode, og arbejder sig iterativt tilbage, er dette et problem, da det ikke vides, til hvilken periode man skal starte beregningerne. Det antages, at udløbsdatoerne for hver af optionerne er mindst lige så store som den option, der skaber dem, dvs. T 1 T 2... T h... T H. Værdien på option h, når option h-1 er udnyttet, er lig med det forventede optionspayoff og værdien af den efterfølgende option h+1, når optionen udnyttes på det optimale tidspunkt τ. Til tidspunkt t k bliver dette: θ h (t k, X t ) = max( E t(k) ( B " ( Z "#(t k,t h ) B h (τ, X τ ) + θ h+1 (τ, X τ )))) (154) t(k) Dette kan gøres for hver af optionerne h = 1,..., H-1, mens ligningen for option H bliver ligesom ved en almindelig option, dvs. uden at der skal lægges nogen optionsværdi til. For hver af de andre optioner er option h+1 den eneste option, der er relevant udover option h. Dette skyldes at værdien til alle de efterfølgende optioner indgår i værdien på option h+1. Spørgsmålet er dog stadig, hvordan man finder det optimale udnyttelsestidspunkt. Til at analysere dette, kan man se på Bellman-ligningen for problemet: θ h (t k, X t(k) ) = max[ Z h (t k, X t(k) ) + θ h+1 (t k, X t(k) ), E t(k) ( B t(k+1) B t(k) θ h (t k+1, X t(k+1) )) ] (155) Da alle optionerne h = 1,..., H-1 vil være afhængig af værdien på den efterfølgende option h+1, kan det udledes, at metoden på en eller anden måde vil komme til at starte ved option H, der kun er afhængig af sig selv, for derefter at arbejde sig iterativt tilbage igennem optionerne. Af ovenstående Bellman-ligning, fremgår det, at der for hver sti gælder, at ligesom i den klassiske LSM-metode, udnyttes optionen hvis den øjeblikkelige udnyttelsesværdi er større end fortsættelsesværdien: Q h (X(ω, t k ), t k ) Z h (t k, X(ω, t k )) + θ h+1 (t k, X(ω, t k ) ) (156) 99

101 Hvor Q h er fortsættelsesværdien, defineret som ledet på højresiden i max-udtrykket i Bellman-ligningen, X er tilstandsvariablen, ω er den pågældende simulerede sti, Z er optionspayoffet og θ h+1 er værdien på option h+1. For at kunne træffe denne beslutning, er det nødvendigt at estimere værdien på option h+1, θ h+1, og estimere fortsættelsesværdien til dette problem, Q h. Det bemærkes at værdien for option h+1 ikke er værdien af optionen til tidspunkt t 0, men værdien af optionerne til hvert af tidspunkterne t k. Da værdien af optionen er afhængig af tilstandsvariablen X, og værdien af tilstandsvariablen kan have udviklet sig til en af flere værdier til tidspunkt t k, har option h+1 ikke en entydig værdi til tidspunkt t k. Den skal derfor være betinget af, hvilken værdi tilstandsvariablen har til tidspunkt t k. Til dette er det muligt at benytte Bellman-ligningen på option h+1: θ h+1 (t k, X t(k) ) = max[ Z h+1 (t k, X(ω, t k )) + θ h+2 (t k, X(ω, t k )), Q h+1 (t k, X(ω, t k )) ] (157) På denne måde kommer optionsværdien til at afhænge af tilstandsvariablen til hver af perioderne. Værdien af option h+1 er desuden afhængig af, om det givet tilstandsvariablen er optimalt at udnytte optionen eller ej. Hvis option h+1 er den sidste option H, ses der bort fra værdien af den efterfølgende option θ h+2 (t k, X(ω, t k )) i den øjeblikkelige udnyttelsesværdi. Værdien af tilstandsvariablen, X(ω, t k ), er den samme, der bruges til at beregne værdien af option h+1, som den der benyttes til den tilhørende option h. Det observeres at med compound optioner, er det øjeblikkelige payoff ved at udnytte optionen ikke er givet med sikkerhed, som når der kun er tale om en individuel option. I stedet er det afhængig af en optionsværdi, som man endnu ikke kender payoffet fra. Det afhænger af, hvordan forholdene udvikler sig. Derfor kaldes værdien ved at udnytte optionen ikke længere det øjeblikkelige payoff, men den udnyttelsesværdien. Princippet ved beregningen af compound optionen er illustreret i Figur 19: Option 2 X Fortsættelsesværdi Payoff max(payoff, fortsættelsesværdi) Option 1 Periode Fortsættelsesværdi Udnyttelsesværdi Payoff Periode Figur 19 Illustration af princippet ved compound optioner. Værdien af tilstandsvariablen er illustreret grafen til venstre. Tilstandsvariablen har en indflydelse på både option 1 og option 2. Først beregnes værdien af option 2. Værdien herfra benyttes til at beregne udnyttelsesværdien af option

102 Næste trin er at estimere fortsættelsesværdien Q h. Fordelen ved den traditionelle LSMmetode er, at den deler op i de værdier hvorpå udnyttelsesbeslutningen bliver truffet, der bliver fundet ved estimation, og de værdier, der bliver brugt til at værdifastsætte optionen. Værdierne til værdifastsættelse er de optionspayoff, der opstår som følge af udnyttelsesbeslutningen til hver af stierne. Disse optionspayoff benyttes også til at estimere fortsættelsesværdien for optionen til hvert af tidspunkterne. Problemet ved compound optioner er, at værdien ved at udnytte nu ikke længere kun er et payoff, men også bygger på et estimat af værdien af option h+1. Hvis man derfor bruger den estimerede udnyttelsesværdi som payoff for option h, så kan en fejlestimation i option h+1 føre til et opadrettet bias i option h, der føres videre til hver af perioderne. I stedet for kun at benytte sig af en enkelt udnyttelsesværdi som optionscashflow, er løsningen at benytte sig af optionspayoffene ved optimal udnyttelse for hver af de efterfølgende optioner. På denne måde følger man princippet i LSM-metoden, ved at værdifastsættelsen af optionen kun skal bygge på optionspayoff, og ikke estimerede fortsættelsesværdier. Når det vurderes, at det er optimalt at udnytte option h, sættes cashflowet i den pågældene periode lig optionspayoffet for option h, mens den i alle de efterfølgende perioder sættes lig optionscashflowet for de efterfølgende optioner. Det bemærkes, at det er muligt, at det er optimalt at udnytte option h+1 i samme periode. som det er optimalt at udnytte option h, i hvilket fald de to cashflows lægges sammen. Fortsættelsesværdierne beregnes nu som nutidsværdien af denne række af cashflows. Modsat før, hvor der kun var et enkelt cashflow der skulle tilbagediskonteres, er der nu flere. Da cashflow matricen for option h+1 ændrer sig for hver periode optionen beregnes, er det nødvendigt at de forskellige optioner beregnes sideløbende. Ved først at beregne option H igennem, derefter option H-1, osv., ville den endelige cashflow matrice for option h+1 være de optimale cashflow set fra tidspunkt t 0. Disse kan ikke benyttes til at estimere fortsættelsesværdien til tidspunkt t k, hvilket bl.a. fremgår af, at visse af de optimale cashflow med stor sandsynlighed vil komme til at ligge før den periode, der analyseres. Derfor er det nødvendigt først at regne igennem for option h+1 i en periode, og derefter bruge cashflowet herfra som cashflow for option h, inden metoden fortsætter med næste periode. For at samle trådene, bliver fremgangsmåden i metoden som følgende. Metoden starter ved sidste periode, med udgangspunkt i den sidste option i afhængighedsforholdet. Metoden gennemløber iterativt tilbage igennem perioderne, som den ville med den traditionelle LSM-metode, indtil den når perioden for udløbsdatoen for optionen, der ligger før. Igen starter metoden ved option H, hvor der for hver af stierne beregnes en fortsættelsesværdi, på basis af de estimerede cashflow, hvorfra det vurderes, om optionen skal udnyttes. Cashflow matricen for option H opdateres tilsvarende. Derefter starter metoden på option H-1. Da fortsættelsesværdien på option H-1 er 0, er det eneste der skal vurderes, om der en positiv forventet værdi ved at udnytte optionen. Modsat med en enkelt option kan optionspayoffet for option H-1 til dette tidspunkt være negativt og alligevel være optimal at udnytte. Dette er tilfældet, hvis det vurderes, at værdien, ved at få option H er større end det negative optionspayoff ved at udnytte option H-1. Cashflow matricen for option H-1 opdateres tilsvarende. Denne cashflow matrice indeholder nu både op- 101

103 tionspayoffet fra udnyttelse af option H-1 og optionspayoffet fra udnyttelse af option H. Dette gøres iterativt tilbage til tidspunkt t 0. Til dette tidspunkt vil cashflow matricen for option 1 indeholde de optimale optionspayoff for alle optionerne for hele beregningsperioden. Nutidsværdien af cashflowene i hver af disse stier er et estimat på optionsværdien. Ved at tage gennemsnittet af disse estimater fås et pålideligt resultat for værdien på den samlede compound option. Mutually Exclusive optioner Værdien på en mutually exclusive option kan opskrives som: θ MuEx (t 0, X t(0) ) = max {E t(0) [B τ(h) Z h (τ h, X τ(h) )]} (158) ( " h,h ) Dvs. optionsværdien kan ses som den forventede værdi af det tilbagediskonterede payoff for optionen, der giver det højeste payoff, til det optimale udnyttelsestidspunkt. Denne ligning minder om den ligning, der kan opstilles for simple optioner. Forskellen ligger i, at man nu ikke længere kun skal maksimere ift. det optimale udnyttelsestidspunkt, men også ift. hvilken af de mulige optioner der skal udnyttes. Selvom der er mulighed for at vælge imellem flere optioner, ændrer det ikke på at beslutningen stadig er irreversibel, hvorfor det er nødvendigt at vurdere hvornår det er optimalt at udnytte optionen. Dette kræver altså en sammenligning af det øjeblikkelige payoff med fortsættelsesværdien. Spørgsmålet er dog, hvordan fortsættelsesværdien på mutually exclusive optionen skal beregnes, da denne skal tage højde for værdien, ved at være i besiddelse af alle H optioner. Gamba (2003) giver et foreslag, til hvordan optioner der er mutually exclusive kan værdifastsættes. I Rodrigues & Armada (2006) foreslås et alternativ, der ikke alene er nemmere at implementere og hurtigere beregningsmæssigt, men som også giver bedre resultater. Det er derfor metoden af Rodrigues & Armada (2006), der gennemgås her. Vha. deres forslag, er det muligt at beregne mutually exclusive optioner ved den klassiske LSM-metode, ved udelukkende at ændre på det optionspayoff, den klassiske LSMmetode benytter. I stedet for at bruge optionspayoffet fra hver af de H optioner, benyttes en ny række optionspayoff, der dannes på basis af payoffene i de H optioner. Lad dette nye optionspayoff været defineret som Z MuEx, og være givet ved: Z MuEx (t k, X(ω, t k )) = max[z h (t k, X(ω, t k ))] (159) h Dvs. det nye payoff dannes som det maksimale payoff af de H optioner. For hver sti, til hvert tidspunkt, vurderes det hvilket af payoffene, der er det største, som så benyttes som payoff i Z MuEx. Da man til ethvert tidspunkt kun kan vælge at udnytte en af optionerne, er det klart at man altid vil vælge den option med det største payoff. Alle de andre optionspayoff er derfor irrelevante, når det kommer til at estimere udnyttelsesstrategien og fortsættelsesværdien. Fordi optionen kun kan udnyttes en enkelt gang, er der ikke nogen omkostninger ved at skifte senere at tage hensyn til. Mutually exclusive optionen kan ses 102

104 som en specielt defineret optionstype, og da LSM-metoden kan benyttes på alle optionstyper, er der intet i vejen med at løse problemet på denne måde. Metoden kan relateres til måden, hvorpå man beregner en maksimum call/put option. Men hvor maksimum call optionen bygger på at vælge den tilstandsvariabel med den højeste værdi, bygger mutually exclusive optionen på at vælge det den option med det største payoff. Dette optionspayoff defineres meget mere komplekst, end det er muligt med en maksimum call option. 7.5 Implementering af den udvidede LSM-model En udvidelse af LSM-modellen kræver ikke bare en indførelse af algoritmerne til de forskellige typer afhængighedsforhold. Det kræver at modellen på et helt fundamentalt plan bliver struktureret, så den kan håndtere flere optioner. Dette skyldes, at den traditionelle LSM-metode ikke blev udviklet til at kunne håndtere flere optioner. Blot muligheden for at kunne specificere flere optioner på en gang er derfor en nødvendighed for at kunne implementere en udvidelse. Dernæst er problemet, hvordan modellen skal håndtere de forskellige optioner, i hvilken rækkefølge de forskellige optioner skal beregnes og hvordan mellemberegningerne for de forskellige optioner skal gemmes. Dette er ikke alene for at sikre at modellen giver korrekte og robuste resultater, men også for at sikre at modellen gør det muligt at få adgang til alle de relevante resultater og delresultater. Udover at det endelige estimat på optionsværdien, kan det nemlig f.eks. også være interessant at observere, under hvilke forhold modellen udnytter de forskellige optioner. Første trin imod at implementere den udvidede LSM-model er at gøre det muligt at specificere flere optioner. Resultatet af dette kan ses i Bilag 4, der afbilder Excel-oversigten for den nye model. Ved at specificere antallet af optioner i celle D10 oplister modellen automatisk tilstandsvariablene for dét antal optioner. Udover at gøre det muligt at specificere hvordan optionerne er afhængige af de forskellige tilstandsvariable, er det desuden nødvendigt at gøre det muligt at specificere forskellige udløbsdatoer for de forskellige optioner. Ved samme lejlighed er det gjort muligt at specificere forskellige startdatoer for de forskellige optioner. Dette specificeres i de grå felter i oversigten. Næste trin er at beregne og gemme optionspayoffene for de forskellige payoff. Modellen ændres, så den, i stedet for kun at gemme en enkelt matrice med optionspayoff, danner en vektor med payoff-matricer. Hvordan modellen fortsætter, afhænger af afhængighedsforholdet imellem optionerne. Afhængighedsforholdet specificeres i celle H10 i Excel-oversigten. Først forklares det, hvordan algoritmen for mutually exclusive optioner er implementeret, da denne er den nemmeste at forklare. Optionen kan som nævnt værdifastsættes, ved algoritmen i den traditionelle LSM-metode, ved at benytte det største payoff fra hver af optionerne som samlede optionspayoff for mutually exclusive optionen. For at implemtere algoritmen beregnes derfor en ny matrice af optionspayoff. Derefter sættes modellen til at løse problemet med den nye matrice af payoff, som var der kun en option. 103

105 Implementeringen af compound optioner er mere indviklet. Som det blev forklaret i afsnit 7.4, er det nødvendigt at beregne optionerne sideløbende. Dette skal desuden forgå i den rigtige rækkefølge. I den overordnede procedure der for hver periode loop er procedurerne for den traditionelle LSM-metode, indsættes der derfor endnu et loop. Dette loop sørger for, at modellen til hver periode løber igennem procedurerne for alle optionerne, startende fra den sidste og tilbage til den oprindelige option. For at dette loop dog skal kunne bruges til noget, er det nødvendigt at de forskellige procedurer kan skelne mellem hvilken af optionerne, der bliver beregnet for, ligesom den kan skelne mellem hvilken periode, der beregnes for. Derfor er det nødvendigt at udvide alle de relevante variable i modellen, så de bliver til en vektor bestående af matricerne for hver option, så værdierne ikke hele tiden bliver erstattet af beregningerne for den næste option. Dernæst er det nødvendigt at specificere, hvordan optionen er afhængig af beregningerne af optionen fra foregående iterationen. Dette følger af algoritmen som den er beskrevet i afsnit 7.4. Implementering af dette kræver, at der ændres i proceduren for hvordan værdien ved udnyttelse beregnes, hvordan fortsættelsesværdien beregnes og hvordan cashflowet bestemmes som resultat af sammenligningen mellem disse to. Til værdien ved udnyttelse skal der, ud over payoffet ved at udnytte den pågældende option, også lægges værdien af en evt. ny option til. Til estimation af fortsættelsesværdien er det ligeledes nødvendigt at inkludere cashflowene for alle de efterfølgende optioner. Cashflowet for optionen bestemmes som payoffet fra optionen, samt cashflowet fra alle de efterfølgende optioner. At værdien af den efterfølgende option skal lægges til værdien ved udnyttelse, skaber en ny problemstilling. Denne værdi kan nemlig enten være udnyttelsesværdien for optionen, hvis det også er optimalt at udnytte optionen i samme periode, eller være fortsættelsesværdien. Men hvis fortsættelsesværdien skal benyttes, så er det et problem, at fortsættelsesværdien kun bliver beregnet på basis af de stier, hvor optionen er in-the-money. For selvom den option der bliver beregnet er in-the-money, er dette ikke nødvendigvis tilfældet for den efterfølgende option. Det er derfor nødvendigt at beregne fortsættelsesværdien på basis af alle stier. Selvom den efterfølgende option er out-of-the-money, og at man derfor ved, at den efterfølgende option ikke skal udnyttes i denne periode, er det alligevel nødvendigt at beregne fortsættelsesværdien for den efterfølgende option. Denne fortsættelsesværdi skal nemlig bruges til at vurdere, om den første option skal udnyttes. Et andet problem er, hvis fortsættelsesværdierne beregnes med regressionsparametre baseret på stier, der kun er in-the-money, så vil out-of-the-money fortsættelsesværdierne være meget upræcise. Det er derfor nødvendigt at beregne fortsættelsesværdien på basis af alle stierne. Da det stadig er mere efficient kun at benytte de stier, der er in-the-money, for optioner, der kan beregnes ved den traditionelle LSM-metode, er modellen opbygget, så fortsættelsesværdien kun beregnes på basis af alle stierne ved compound optioner. 7.6 Estimering af realoptionsproblemer ved LSM-metoden Efter at have opbygget en model, benyttes modellen til at løse realoptionsproblemer. Udover at finde et estimat på optionsværdien for de forskellige problemer, der sammenlignes med løsningerne givet af andre forfattere, udledes der også noget intuition ved 104

106 hjælp af de delresultater og beregninger, det er muligt at udlede fra modellen. Det bemærkes at hverken Gamba (2003) eller Rodrigues & Armada (2006) udleder særlig meget intuition for de realoptionsproblemer de analyserer. Dette kunne f.eks. være, hvornår det er optimalt er udnytte de forskellige optioner til de forskellige tidspunkter. En af fordelene ved at værdifastsætte med real optioner er, at den ikke alene giver en værdifastsættelse, men også en strategi for hvordan det er optimalt at håndtere real optionerne. Derfor er det relevant at analysere, hvornår det er optimalt at udnytte de forskellige optioner, givet udviklingen i tilstandsvariablene. Først estimeres problemer med compound optioner og derefter problemer med mutually exclusive optioner. Compound option Først løses et problem med compound optioner. Der betragtes et projekt, der kræver en initial investering, og som senere kan udvides. Dette består af et projekt med to real optioner: real optionen på at kunne vente med den initiale investering og real optionen på efterfølgende af kunne udvide projektet. Da udvidelsen af projektet kun kan finde sted, efter der er blevet investeret i projektet, er der tale om en compound option. Grunden til at projektet ikke bare kan værdifastsættes som en option på at investere direkte i det udvidede projekt er, at der er værdi ved at kunne investere i det initiale projekt, da det ikke er sikkert at forholdene udvikler sig gunstigt nok, til at det kan betale sig at investere i det udvidede projekt. Det antages at værdien ved det udvidet projekt kan modelleres direkte ved tilstandsvariablen, X t = V t, der modelleres ved en geometrisk brownian motion som: dx t = (r f - δ)x t dt + σx t dw (160) Hvor δ er convience yielden for projektet. Det antages at de to real optioner følger følgende antagelser: Det antages, at optionen på at kunne vente med investeringen skal udnyttes inden udløbsdatoen T 1. Ved at investere I 1, opnås Δ 1 procent af det udvidet projekt, og optionen på at kunne udvide projektet. Payoffet for denne option, kan til hver periode opskrives som Z 1 (ω, t k ) = max{δ 1 X(ω, t k ) I 1 + θ 2 [t k, X(ω, t k )], 0}. Optionen på at kunne udvide projektet antages først at kunne udnyttes efter der er investeret i projektet, og inden udløbsdatoen T 2. Ved at investere yderligere I 2, opnås Δ 2 procent af projektet. Det antages at dette svarer til resten af værdien af det udvidet projekt, dvs. Δ 2 = 1-Δ 1. Payoffet for denne option, kan opskrives som Z 2 (ω, t k ) = max[δ 2 X(ω, t k ) I 2, 0]. Problemet betragtes altså som et problem med to call optioner. I dette tilfælde antages det, at halvdelen af projektet erhverves ved den initiale investering, mens den anden halvdel erhverves ved udvidelsen. Dvs. Δ 1 = Δ 2 = 0,5. Dette kræver begge en investering på I 1 = I 2 = $80, og det antages, at det udvidet projekt har en initial værdi på X 0 = V 0 = $100. Resultaterne fremgår af Tabel 5, der sammenlignes med resultaterne i Gamba (2003). 105

107 X 0 σ δ T Binomial metode LSM (Gamba) (Standard error) LSM (Model) (Standard error) Forskel Beregningstid 100 0,20 0,03 4 1,364 1,363 (0,037) 1,342 (0,023) -0,021 1:53: ,20 0,03 5 2,857 2,843 (0,074) 2,769 (0,036) -0,074 1:52: ,20 0,05 4 0,899 0,908 (0,025) 0,893 (0,017) -0,015 1:49: ,20 0,05 5 1,858 1,854 (0,050) 1,869 (0,026) 0,015 1:51: ,30 0,03 4 5,197 5,218 (0,101) 5,125 (0,057) -0,093 1:46: ,30 0,03 5 8,311 8,282 (0,165) 8,304 (0,081) -0,025 2:01: ,30 0,05 4 4,116 4,160 (0,101) 4,062 (0,047) -0,098 1:41: ,30 0,05 5 6,489 6,491 (0,111) 6,478 (0,064) -0,014 1:56:40 Tabel 5 Resultater for beregning af compound option, med option på at kunne investere i et projekt, og efterfølgende option på at kunne udvide projektet. Tilstandsvariablen modelleres ved en Geometrisk Brownian Motion, med 48 perioder for problemer med T=4, og 50 perioder med T=5. Alle problemerne løses med simulationer. Det antages at man ved investering i det initialle projekt, får halvdelen af det udvidede projekt Δ 1 = 0,5, og får den anden halvdel ved Δ 2 = 0,5 ved udvidelsen. Udnyttelsesprisen sættes til I 1 = I 2 = 80, og det antages at den risikofri rente er konstant på 5%. Resultaterne sammenlignes med resultaterne i Tabel 2 fra Gamba (2003), der ligeledes angiver resultaterne for den tilsvarende problemstilling ved binomialmetoden. Det fremgår, at resultaterne alle ligger meget tæt på resultaterne i Gamba (2003). Af resultaterne fremgår det, at jo større varians og jo længere tid, der er til optionernes udløb, des større værdi har compound optionen. Jo mindre driften er, des mindre er værdien på compound optionen. Disse sammenhænge følger intutionen for almindelige call optioner. Det analyseres nu, hvordan optionspayoffet og fortsættelsesværdierne udvikler sig for de to optioner. Denne analyse bygger på beregningerne af problemet med X 0 = 100, σ = 0,2, δ = 0,03 og T = 5. Optionen på at kunne udvide projektet løses som en almindelig call option. Optionspayoffet og fortsættelsesværdierne til hver af perioderne, som funktion af tilstandsvariablen X, er illustreret i Figur 20: Figur 20 Illustration af optionspayoffet og fortsættelsesværdierne til hver af perioderne, som funktion af tilstandsvariablen X, for optionen på at kunne udvide projektet. Fortsættelsesværdierne er givet ved de stiplede linjer. Optionspayoffet er givet ved den blå linje. Da optionen på at kunne få den anden halvdel af projektet kræver en investering på I 2 = $80, kommer denne option først in-the-money, når X > $160. Payoffet stiger lineært ved højere værdier af tilstandsvariablen. Jo større værdi tilstandsvariablen har, des større vil fortsættelsesværdien alt andet lige være. Men på et tidspunkt vil det øjeblikkelige payoff 106

108 ved at udnytte optionen være større end fortsættelsesværdien. Det er for disse værdier af tilstandsvariablen at det er optimalt at udnytte optionen. Jo mindre tid der er til udløb, des mindre er fortsættelsesværdien. Dette er årsagen til, at udviklingen i fortsættelsesværdierne bliver mindre og mindre jo senere tidspunkter, der analyseres for. Fortsættelsesværdierne og udnyttelsesværdierne for investeringsoptionen fremgår af Figur 21: Figur 21 Illustration af optionspayoffet og fortsættelsesværdierne til hver af perioderne som funktion af tilstandsvariablen X, for optionen på at kunne investere i projektet. Fortsættelsesværdierne er givet med de stiplede linjer. Optionspayoffet er givet ved den røde linje. Udnyttelsesværdien (givet ved optionspayoffet samt værdien på at kunne udvide projektet) er givet med den røde stiplede linje. Da optionen på at kunne få den første halvdel af projektet kræver en investering på I i = $80, giver denne option også kun et øjeblikkeligt payoff, når X > $160. Ved udnyttelse af optionen får man dog ikke kun det øjeblikkelige payoff. Man får også værdien af optionen på at kunne udvide projektet senere. Ved at lægge denne værdi til optionspayoffet får man udnyttelsesværdien. Det er denne værdi, fortsættelsesværdien skal sammenlignes med, når det vurderes, om optionen skal udnyttes. Fortsættelsesværdien kommer også til at afhænge af værdien ved at få optionen på at kunne udvide projektet. Det betyder, at fortsættelsesværdierne vil være større, end de var i analysen af optionen på at udvide. Ved at sammenfatte disse to analyser er det muligt at udlede udnyttelsesgrænserne for de to optioner. Dette gøres ved at finde, hvilken værdi tilstandsvariablen tager til hver periode, før fortsættelsesværdien er lig udnyttelsesværdien. Udnyttelsesgrænserne er illustreret i Figur 22: 107

109 Figur 22 Udnyttelsesgrænserne for optionen på at kunne investere i projektet (rød) og for optionen på at kunne udvide projektet (blå). Det fremgår af figuren, at udnyttelsesgrænsen for invester-optionen kun er illustreret frem til periode 30. Dette skyldes, at udløbsdatoen for denne option er T 1 = 3, og problemet løses ved 10 perioder pr. år. Udnyttelsesgrænsen for optionen på at kunne udvide projektet følger udnyttelsesgrænsen for en traditionel call option. Fortsættelsesværdien for optionen er høj til at starte med, da der stadig er lang tid til udløb, og falder efterhånden. Jo nærmere man kommer udløbsdatoen, des lavere payoff vil man nøjes med, før der skal udnyttes. Det betyder, at optionen udnyttes for lavere værdier af tilstandsvariablen. Til periode 50 udnyttes optionen, hvis bare den er in-the-money. Samme princip med at optionen udnyttes ved lavere værdier af tilstandsvariablen, efterhånden som tiden går, gælder for optionen på at investere i projektet. Men modsat optionen på at udvide projektet, kan det godt være fordelagtigt at udnytte optionen, selvom den isoleret set ikke giver et positivt payoff. Dette skyldes, at man ved at udnytte optionen får optionen på at kunne udvide projektet senere. Denne option har en positiv værdi. Derfor kan det være fordelagtigt at betale et øjeblikkeligt negativt payoff for at få denne option. Mutually exclusive option Derefter løses et problem med mutually exclusive optioner. Der betragtes et projekt, der allerede er igang. Til dette projekt har man muligheden på enten at kunne udvide eller droppe projektet. Da det ikke er muligt både at udvide og droppe projektet på samme tid, er der tale om en mutually exclusive option. Ligesom med compound optionen er det værdien på det udvidede projekt, der benyttes som underliggende aktiv. Det antages, at værdien modelleres direkte ved tilstandsvariablen, der antages at følge en geometrisk brownian motion: dx t = (r f - δ)x t dt + σx t dw (161) 108

110 Hvor δ er convience yielden for projektet. Det antages, at det nuværende projekt har en værdi på Δ 1 procent af det udvidede projekt. Det antages endvidere at de to real optioner følger følgende antagelser: Det antages, at optionen på at kunne udvide projektet skal udnyttes inden udløbsdatoen T 1. Ved at investere I 1 opnås de resterende Δ 2 procent af det udvidede projekt. Dvs. Δ 2 = 1-Δ 1. Payoffet for denne option kan til hver periode opskrives, som Z 1 (ω, t k ) = max{δ 2 X(ω, t k ) I 1, 0}. Optionen på at kunne droppe projektet antages at kunne udnyttes inden udløbsdatoen T 2. Ved at droppe projektet mistes den nuværende andel Δ 1 af projektet, imod at man til gengæld får scrapværdien I 2. Payoffet for denne option kan opskrives, som Z 2 (ω, t k ) = max[i 2 - Δ 1 X(ω, t k ), 0]. Problemet betragtes altså som et problem med valget mellem en call og en put option. I dette tilfælde antages det, at værdien af projektet initialt er halvt så stor som værdien på det udvidede projekt. Dvs. at Δ 1 = Δ 2 = 0,5. Det antages, at udvidelsen kræver en investering på I 1 = $50, at projektet har en scrapværdi på I 2 = $30, og at begge optioner har samme udløbsdato. Det antages at det udvidede projekt har en initial værdi på $90 eller $100. Resultaterne fremgår af Tabel 6, hvor de sammenlignes med resultaterne i Rodrigues & Armada (2006). Grunden, til at de ikke sammenlignes med resultaterne i Gamba (2003), er, at resultaterne herfra ikke kun er for løsning af en mutually exclusive option, men en blanding af en compound og en mutually exclusive option. X 0 σ δ T Binomial metode LSM (R&A) LSM (Model) (Standard error) Forskel Beregningstid 90 0,20 0,05 3 4,516 4,543 4,518 (0,022) -0,025 0:25: ,20 0,05 5 6,426 6,465 6,410 (0,026) -0,055 0:30: ,20 0,10 3 3,595 3,543 3,551 (0,014) -0,044 0:22: ,20 0,10 5 5,441 5,397 5,386 (0,017) -0,011 0:29: ,40 0, ,184 13,233 13,152 (0,049) -0,081 0:40: ,40 0, ,275 17,269 17,077 (0,058) -0,192 0:36: ,40 0, ,988 11,993 11,993 (0,038) -0,166 0:40: ,40 0, ,460 15,466 15,362 (0,044) -0,104 0:50: ,20 0,05 3 6,541 6,531 6,554 (0,027) 0,022 0:34: ,20 0,05 5 8,355 8,340 8,320 (0,031) -0,020 0:44: ,20 0,10 3 4,899 4,842 4,850 (0,017) 0,008 0:29: ,20 0,10 5 6,474 6,414 6,409 (0,019) -0,005 0:39: ,40 0, ,254 15,307 15,136 (0,059) -0,171 0:45: ,40 0, ,395 19,499 19,323 (0,070) -0,176 0:50: ,40 0, ,582 13,535 13,424 (0,044) -0,111 0:45: ,40 0, ,032 16,908 16,980 (0,049) -0,216 0:47:03 Tabel 6 Resultater for beregning af mutually exclusive option med option på enten at kunne udvide eller droppe et projekt. Tilstandsvariablen modelleres ved en Geometrisk Brownian Motion med 48 perioder for problemer med T=3, og 50 perioder med T=5. Problemerne løses med simulationer. Det antages, at det nuværende projekt svarer til Δ 1 = Δ 2 = 0,5 af det udvidede projekt. Udnyttelsesprisen ved udvidelse sættes er I 1 = $50, mens scrapværdien ved at droppe projektet er lig I 2 = 109

111 30. Det antages, at den risikofri rente er konstant på 5%. Resultaterne sammenlignes med resultaterne i Tabel 18 fra Rodrigues & Armada (2006), der ligeledes angiver resultaterne for den tilsvarende problemstilling ved binomialmetoden. Af tabellen fremgår det, at modellen er relativt præcis, når variansen er 0,2, men bliver mere upræcis, når variansen stiger til 0,4. Dette kan løses ved at øge antallet af simulationer. Som forventet stiger optionsværdien med variansen og tiden til udløb. Da det nu er en blanding af en call og en put option, er der ikke nogen klare forventninger til, hvordan optionsværdien udvikler sig i forhold til startværdien for tilstandsvariablen og driften på det underliggende aktiv. For denne option observeres det, at optionsværdien stiger, når startværdien for tilstandsvariablen stiger fra 90 til 100, og når driften stiger fra -0,05 til 0. Det analyseres nu, hvordan optionspayoffet og fortsættelsesværdierne udvikler sig for de to optioner. Denne analyse bygger på beregningerne af problemet med X 0 = 90, σ = 0,2, δ = 0,05 og T = 3. Optionspayoffet og fortsættelsesværdierne til hver af perioderne, som funktion af tilstandsvariablen X, er illustreret i Figur 23 for begge optioner: Figur 23 Illustration af optionspayoffet og fortsættelsesværdierne til hver af perioderne, som funktion af tilstandsvariablen X, for optionen på at kunne udvide og droppe projektet. Fortsættelsesværdierne er givet med de stiplede linjer. Optionspayoffet ved at udvide projektet er givet ved den røde linje, mens optionspayoffet ved droppe projektet er givet ved den blå linje. Da optionen på at udvide projektet kræver en investering på I 1 = $50, kommer denne først in-the-money, når X > $100. Da optionen på at kunne droppe projektet giver en scrapværdi på I 2 = $30, kommer denne option først in-the-money, når X < $60. Dette har også en effekt på fortsættelsesværdierne for optionen, der nu ikke længere kun stiger ved højere X, men efter et kritisk niveau stiger ved lavere X. Ved denne analyse er det muligt at udlede udnyttelsesgrænsen for optionen. Dette gøres ved til hver periode at finde, hvilken værdi tilstandsvariablen tager, før fortsættelsesværdien er lig udnyttelsesværdien. Udnyttelsesgrænserne er illustreret i Figur 24: 110

112 Figur 24 Udnyttelsesgrænserne for optionen på at kunne udvide projektet (rød), og for optionen på at kunne droppe projektet (blå). Udnyttelsesgrænserne for optionerne har samme karakteristika som en almindelig put og call option. For begge optioner gælder der, at fortsættelsesværdien for optionen er høj til at starte med, hvor der er lang tid til udløb, og derfor kræver et højt payoff, før optionen udnyttes. Det nødvendige payoff falder efterhånden, som man nærmer sig udløbsdatoen. Til periode 48 udnyttes optionerne, hvis bare de er in-the-money. Det observeres, at udnyttelsesgrænsen for udvid-optionen ligger længere væk fra grænsen, for hvor optionen kommer in-the-money, end den gør for drop-optionen. Dette skyldes, at der er et større upside potentiale for udvid-optionen, end der er for drop-optionen. Drop-optionen er begrænset af, at værdien på projektet ikke kan blive mindre end 0, og at payoffet for drop-optionen derfor maksimalt kan blive $30. Selvom udnyttelsesgrænserne virker til at følge udnyttelsesgrænserne for almindelig put og call optioner, så er der dog stadig en afhængighed imellem optionerne. Dette fremgår af følgende scenarie. Betragt en sti der først falder så meget, at det bliver optimalt at droppe projektet, og efterfølgende stiger så meget, at det bliver optimalt at udvide projektet. Hvis man dropper projektet, får man ikke mulighed for at udvide det senere, og det er derfor spørgsmålet hvilken af mulighederne, der skal vælges. Heraf fremgår det, at der må være en afhængighed imellem optionerne. Som det dog fremgik af afsnit 7.2, så er effekten af denne afhængighed relativt lille, da optionerne er af modsat type, så deres udnyttelsesregioner ligger i modsatrettede ender af tilstandsrummet. Derfor er det relativt få stier, hvor det både vil være optimalt at udvide og droppe projektet. Kombination af compound og mutually exclusive option I afsnit 7.2 blev der argumenteret for at de fleste optionsproblemer enten kunne opsættes som compound optioner, mutually exclusive optioner, eller en kombination af de to. Det er derfor relevant at undersøge, om modellen kan løse problemer med kombinationer af compound og mutually exclusive optioner. Til dette formål betragtes en situation, hvor det er muligt at investere i et projekt. Efter at have investeret i projektet er det muligt enten at udvide eller droppe projektet. Dette kan betragtes som en compound option, der 111

113 ved udnyttelse skaber en mutually exclusive option. Ligesom i de to forgående eksempler benyttes værdien af det udvidede projekt som underliggende aktiv, der antages at følge en geometrisk brownian motion: dx t = (r f - δ)x t dt + σx t dw (162) Det antages, at real optionen på at kunne investere og efterfølgende udvide eller droppe projektet følger følgende antagelser: Det antages, at optionen på at kunne investere i projektet skal udnyttes inden udløbsdatoen T 1. Ved at investere I 1 opnås Δ 1 procent af det udvidede projekt. Udnyttelsesværdien for denne option kan til hver periode opskrives, som Z 1 (ω, t k ) = max{δ 1 X(ω, t k ) I 1 + G[t k, X(ω, t k )], 0}. Hvor G[t k, X(ω, t k )] angiver værdien for den efterfølgende mutually exclusive option. Det antages, at den efterfølgende option på at kunne udvide projektet skal udnyttes inden udløbsdatoen T 2. Ved at investere I 2 opnås de resterende Δ 2 = 1-Δ 1 procent af det udvidede projekt. Payoffet for denne option kan til hver periode opskrives, som Z 2 (ω, t k ) = max{δ 2 X(ω, t k ) I 2, 0}. Det antages, at den efterfølgende option på at kunne droppe projektet skal udnyttes inden udløbsdatoen T 3. Ved at droppe projektet fås scrapværdien I 3 imod til gengæld at miste den nuværende værdi af projektet. Payoffet for denne option kan til hver periode opskrives, som Z 3 (ω, t k ) = max[i 3 - Δ 1 X(ω, t k ), 0]. Problemet betragtes altså som et problem med en call option, der efterfølgende giver valget mellem en call og en put option. I dette tilfælde antages det, at man ved den initiale investering får, hvad der svarer til halvdelen af det udvidet projekt. Dvs. at Δ 1 = Δ 2 = 0,5. Det antages, at den initiale investering i projektet kræver en investering på I 1 = $50, at den efterfølgende udvidelse kræver en investering på I 2 = $50, og at projektet har en scrapværdi på I 3 = $30. Det antages, at T 1 = T-2, T 2 = T og T 3 = T-0,5. Dette løses for T = 3 og T = 5. Optionsproblemet løses under antagelse af forskellige drift og varianser for processen af værdien på det udvidet projekt. Resultaterne fremgår af Tabel 7, hvor de sammenlignes med resultaterne i Gamba (2003): 112

114 X 0 σ δ T Binomial metode LSM (Gamba) (Standard error) LSM (Model) (Standard error) Forskel Beregningstid 100 0,20 0,10 3 6,533 6,519 (0,017) 6,368 (0,025) 0,151 0:55: ,20 0,10 5 8,447 8,405 (0,032) 8,190 (0,029) 0,215 1:53: ,20 0,05 3 9,131 9,163 (0,031) 9,108 (0,038) 0,055 1:36: ,20 0, ,120 13,110 (0,030) 13,047 (0,053) 0,063 1:55: ,40 0, ,566 15,372 (0,037) 15,468 (0,064) -0,096 1:29: ,40 0, ,459 20,131 (0,060) 20,217 (0,084) -0,086 1:55: ,40 0, ,568 18,612 (0,065) 18,612 (0,086) -0,085 1:29: ,40 0, ,080 25,868 (0,095) 25,727 (0,119) 0,141 1:49:02 Tabel 7 Resultater for beregning af en kombineret compound og mutually exclusive option, med option på at kunne investere i et projekt, og efterfølgende option på at kunne enten udvide eller droppe projektet. Tilstandsvariablen modelleres ved en Geometrisk Brownian Motion, med 50 perioder. Alle problemerne løses med simulationer. Det antages, at man ved investering i det initialle projekt, får halvdelen af det udvidede projekt Δ 1 = 0,5, og får den anden halvdel ved Δ 2 = 0,5 ved udvidelsen. Investeringen i både den initiale investering og udvidelsen sættes til I 1 = I 2 = 50. Scrapværdien sættes til I 3 = 30. Det antages at den risikofri rente er konstant på 5%. Resultaterne sammenlignes med resultaterne i Tabel 3 fra Gamba (2003), der ligeledes angiver resultaterne for den tilsvarende problemstilling ved binomialmetoden. Af tabellen fremgår det at modellen giver relative præcise resultater. Som forventet, stiger optionsværdien med variansen og tiden til udløb. Da det nu er en blanding af call og put optioner, er der ikke nogen klare forventninger til hvordan optionsværdien udvikler sig i forhold til driften på det underliggende aktiv. For denne option observeres det at optionsværdien stiger når driften stiger fra -0,05 til 0. Kombinationen af mutually exclusive optioner og compound optioner bringer en svaghed ved forbedringen foreslået af Rodrigues & Armada (2006) frem i lyset. Når problemet er opstillet som i ovenstående, hvor mutually exclusive optionen kun giver et øjeblikkeligt payoff ved udnyttelse af optionen, giver den forbedrede algoritme bedre resultater på mindre tid. Problemet er at forbedringen ikke tillader at udnyttelsen af mutually exclusive optionen kan skabe nye optioner. Dvs. tilfældet med en mutually exclusive option med en efterfølgende compound option. Årsagen til dette er den samme som hvorfor det ikke er muligt at løse problemerne med compound optioner ved bare at ændre i optionspayoffet. Nemlig at værdierne ved udnyttelse nu ikke længere er kendte på forhånd, da de er afhængige af en efterfølgende option, og det er derfor nødvendigt at løse optionerne sideløbende. Algoritmen af Gamba (2003) har ikke dette problem, og tillader efterfølgende optioner for mutually exclusive optionerne. 113

115 Konklusion Denne opgave lagde ud med en forklaring om, hvorfor det er relevant at beskæftige sig med real optioner. Som det fremstod af Kapitel 2, tager den traditionelle DCF-metode ikke hensyn til meget af den fleksibilitet, et selskab er i besiddelse af. Denne fleksibilitet kan værdifastsættes ved real optioner. Selvom der er tæt sammenhæng imellem finansielle og reale optioner, så er der dog også forskelle. Som det fremgik af analysen i afsnit 2.1, så bidrager real optioner med værdi, hvor finansielle optioner kun ændrer på selskabets risikoprofil. En følge af værdifastsættelse ved real optioner er bl.a. at en investering ikke bare skal igangsættes så snart nutidsværdien bliver større end nul. Man har nemlig en option på at kunne vente med investeringen, indtil man ved om forholdene vil udvikle sig gunstigt. Et illustrativt eksempel på dette blev givet i afsnit 2.2, hvor man enten kunne træffe beslutningen om at investere med det samme eller afvente til næste periode. Rigtige realoptionsproblemer er dog som regel mere komplekse. Det betyder bl.a. at beslutningen om at investere kan træffes til mere end kun to perioder. Sådanne problemer bliver typisk løst med specifikke realoptionsmodeller. En sådan model blev analyseret i afsnit 2.3. Her kunne det udledes, at nutidsværdien på det underliggende aktiv kan nå et betragtligt niveau over 0, før det er optimalt at investere. Problemer med real optioner kan dog løses på flere forskellige måder. For at kunne udlede de forskellige metoder, er det dog nødvendigt med en analyse af de forskellige analysemetoder. Dette blev givet i Kapitel 3. Her fremgik det at Dynamisk Programmering er mere generel end Contingent Claims analysen. Det blev bl.a. vist, hvordan det ved hjælp af dynamisk programmering er muligt at skabe fundamentet for binomialtræ og Finite Difference metoden, der ellers typisk bygger på argumenter hentet fra Contingent Claims analysen. Dynamisk Programmering kræver dog, at diskonteringsrenten bliver bestemt eksogent, hvor den i Contingent Claims analysen er lig den risikofri rente på markedet. Derudover skabte Dynamisk Programmering også fundamentet for en ny slags metoder, der ikke kan opbygges med Contingent Claims analysen. Nemlig metoder med Monte Carlo simulation. Binomialtræ, Finite Difference og den klassiske Monte Carlo metode blev gennemgået i Kapitel 4. Metodernes styrker og svagheder blev gennemgået i afsnit 4.4. Fordelen ved Monte Carlo metoden er, at den nemmere kan løse optionsproblemer, hvor tilstandsvariablene følger andre processer end den almindelige lognormale fordeling. Desuden er det den eneste af metoderne, der kan håndtere mere end 2-3 tilstandsvariable. Problemet ved den klassiske Monte Carlo metode er dog, at den kun kan benyttes til at værdifastsætte europæiske optioner, hvor der er en fast dato for udnyttelse af optionen. For amerikanske og bermuda optioner, hvor det løbende er nødvendigt at vurdere, hvornår optionen skal udnyttes, er det nødvendigt med udvidelser af Monte Carlo metoden. Sådanne mulige udvidelser blev gennemgået i Kapitel 5. Det første foreslag gik på til hver periode at gruppere de forskellige simulationer. En anden tilgang gik på at simulere et 114

116 stokastisk træ. En tredje tilgang gik på direkte at estimere den udnyttelsesgrænse, der maksimerer optionsværdien. Den tilgang, der dog i sidste ende viste det største potentiale, var en metode hvor fortsættelsesværdien blev estimeret ved lineær regression. En metode der benytter denne tilgang, er Least-Squares Monte Carlo (LSM) metoden af Longstaff & Schwartz (2001). Problemet ved denne metode er, at den kun giver et nedadrettet biased estimat i stedet for også at give et opadrettet biased estimat som metoden med det stokastiske træ. Et sådan opadrettet estimat kan dog opnås ved hjælp af dual metoden, så det på denne måde er muligt at danne et interval for den sande optionsværdi. LSM-metoden blev gennemgået i afsnit 6.1. Her kunne det konkluderes at en af forklaringerne på metodens effektivitet er, at den kun værdifastsætter optionen på basis af de simulerede optionspayoff, mens de estimerede fortsættelsesværdier kun bruges til at vurdere, hvorvidt optionen skal udnyttes eller ej. Afsnit 6.2 gav en analyse af, om LSMmetodens estimater konvergerer imod den sande optionsværdi. Et sådan bevis blev givet ved sekventiel konvergens, hvor man først lader antallet af simulationer, og derefter antallet af basisfunktioner, gå imod uendelig. Som det kunne konkluderes, havde dette ikke meget praktisk anvendelighed, da det ikke siger noget om, hvorvidt LSM-metoden konvergerer imod den sande værdi når antallet af simulationer ikke er uendelig stort. Derfor blev der gennemgået et bevis, hvor antallet af simulationer øges simultant med antallet af basis funktioner. I afsnit 6.3 blev LSM-metoden implementeret i en model. Som platform faldt valget på VBA kombineret med Excel, da denne platform giver nærmest universel adgang til benyttelse af modellen. For at validere den opbyggede model blev modellen benyttet til at værdifastsætte en række put og maximum call optioner. Dette blev gjort i afsnit 6.4. Disse resultater blev sammenlignet med resultaterne af andre forfattere. Heraf kunne det konkluderes, at den opbyggede model gav pålidelige resultater. Resultaterne blev også sammenlignet med resultaterne fra binomialtræ og finite difference metoden. Beregningstiden på værdifastsættelse af put optioner med LSM-metoden kunne slet ikke sammenlignes med beregningstiden for de to andre metoder, hvor beregningen sker på mindre end sekunder. Det er dog også ved problemer med flere tilstandsvariable af LSMmetoden kommer til sin ret. LSM-metodens beregningstid kan dog mindskes på flere måder. Der er blevet udviklet en række teknikker, med hvilke det er muligt at forbedre den klassiske Monte Carlo metode. I afsnit 6.5 blev mulige forbedringer specifikt i forhold til LSM-metoden gennemgået. Her kunne det konkluderes, at Quasi Monte Carlo viser stort potentiale til at forbedre LSM-modellen. Kontrol Variat metoden viste også stort potentiale, men hvor effektiv metoden er afhænger af problemets karakter. Problemet ved den traditionelle LSM-metode er, at den er udviklet til værdifastsættelse af finansielle optioner. Selvom der kan drages paralleler mellem et selskabs fleksibilitet og optioner, så er real optioner dog mere komplekse. Det er derfor ikke direkte muligt at bruge LSM-metoden til værdifastsættelse af real optioner. For at kunne forstå hvorfor dette er tilfældet, gav afsnit 7.1 en analyse af de realoptionsproblemer og realoptionsmodeller, der er blevet udviklet. Som det fremgik af analysen, kan meget af et selskabs fleksibilitet modelleres ved porteføljer af put og call optioner. Problemet ved real optioner er, 115

117 at der, modsat finansielle optioner, ofte vil være et afhængighedsforhold imellem optionerne i porteføljen. Dette afhængighedsforhold opstår som konsekvens af den komplekse dynamik, real optionerne skal modellere. De forskellige typer afhængighedsforhold, og hvordan de påvirker værdien af porteføljen, blev analyseret i afsnit 7.2. Heraf fremgik det, at de fleste afhængighedsforhold kan modelleres som optimal switching optioner. Optionsproblemer med et sådan afhængighedsforhold er dog forholdsvist beregningstungt at løse. I stedet kan det derfor være fordelagtigt at udtrykke problemet som compound og/eller mutually exclusive optioner. Det kunne konkluderes, at værdien af en portefølje af compound optioner enten kunne være større eller mindre end værdien af de individuelle optioner. Værdien af en portefølje af mutually exclusive optioner ville altid være mindre, men forskellen ville typisk være forholdsvist lille. I afsnit 7.3 kunne det konkluderes, at der var et potentiale for store fordele, hvis LSM-metoden kunne benyttes til værdifastsættelse af real optioner. Dette skyldes, at den kan benyttes på mange optionsspecifikationer og for problemer med flere tilstandsvariable. Udvidelser af LSMmetoden, så den kan benyttes på real optioner, er udviklet af Gamba (2003). Disse udvidelser blev analyseret i afsnit 7.4, hvor det kunne konkluderes at en forbedring foreslået af Rodrigues & Armada (2006) i algoritmen for mutually exclusive optionerne gav bedre resultater med mindre beregningstid. Den udvidede LSM-metode for compound og mutually exclusive optioner blev implementeret i en model i afsnit 7.5. Denne model blev derefter benyttet til at analysere tre realoptionsproblemer med hhv. compound optioner, mutually exclusive optioner og en kombination af compound og mutually exclusive optioner. For compound optionen kunne det konkluderes, at udnyttelsesgrænsen for udvidoptionen udviklede sig som en traditionel call option. For invester-optionen kunne det betale sig at udnytte optionen, selvom den var out-of-the-money, da man derved får værdien af optionen på at kunne udvide optionen. For mutually exclusive optionen kunne det konkluderes, at det var svært at observere afhængighedsforholdet i udnyttelsesgrænserne for de to optioner. Årsagen til dette var, at sandsynligheden for situationer, hvor det både kan betale sig at udnytte udvid- og drop-optionen, er meget lille. For kombinationer af compound og mutually exclusive optioner kunne det konkluderes, at forbedringen af Rodrigues & Armada (2006) ikke tillader et valg mellem en eller flere compound optioner. Den foreslåede forbedring tillader kun, at optionerne giver et øjeblikkeligt payoff. Den oprindelige algoritme, foreslået af Gamba (2003), lider ikke under samme problem. Samlet set konkluderes det, at Least-Squares Monte Carlo metoden er en egnet metode til værdifastsættelse af real optioner. 116

118 8 Litteraturliste Abadie, Luis & Chamorro, José, 2009, Monte Carlo valuation of natural gas investments, Review of Financial Economics, Vol. 18, pp Andersen, Leif & Broadie, Mark, 2004, Primal-Dual Simulation Algorithm For Pricing Multidimensional American Options, Management Science, Vol. 50, No. 9, pp Areal, Nelson; Rodrigues, Artur; Armada, Manuel R., 2008, "On improving the least squares Monte Carlo option valuation method", Review of Derivatives Research, Vol. 11, No. 1-2 Barraquand, Jérôme & Martineau, Didier, 1995, Numerical Valuation of High Dimensional Multivariate American Securities, The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 30, No. 3, pp Black, Fischer & Scholes, Myron, 1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, Vol. 81, Issue 3, pp Boyle, Phelim, 1977, Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics, Vol. 4, pp Boyle, Phelim; Broadie, Mark; Glasserman, Paul, 1997, Monte Carlo methods for security pricing, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 21, pp Brealey, Richard & Myers, Stewart, 1991, Principles of Corporate Finance, Kapitel 21, McGraw-Hill, Udgave nr. 4, New York Brennan, Michael J. & Schwartz, Eduardo S., 1978, "Finite Difference Methods and Jump Processes Arising in the Pricing of Contingent Claims: A Synthesis", The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 13, No. 3, pp Brennan, Michael J. & Schwartz, Eduardo S., 1985, Evaluating Natural Resource Investments, The Journal of Business, Vol. 58, No. 2, pp Broadie, Mark & Glasserman, Paul, 1997, Pricing American-style securities using simulation, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol 21, pp Carr, Peter, 1988, The Valuation of Sequential Exchange Opportunities, Journal of Finance, pp

119 Carriere, Jacques F., 1996, Valuation of the early-exercise price for options using simulations and nonparametric regression, Insurance: Mathematics and Economics, Vol. 19, pp Carverhill, Andrew & Webber, Nick, 1990, American options: theory and numerical analysis, Kapitel 6b i Options: Recent Advances in Theory and Practice, Manchester University Press, pp Chung, Kee & Charoenwong, Charlie, 1991, Investment Options, Assets in Place, and the Risk of Stocks, Financial Management, Vol. 20, No. 3, pp Clément, Emmanuelle; Lamberton, Damien; Protter, Philip, 2002, An analysis of a least squares regression method for American option pricing, Finance and Stochastics, Vol. 6, pp Cleveland, William & Devlin, Susan, 1988, "Locally weighted regression: an approach to regression analysis by local fitting", Journal of the American Statistical Society, Vol. 83, pp Cox, John C.; Ross, Stephen A. & Rubinstein, 1979, Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics, Vol. 7, pp Dixit, Avinash K. & Robert S. Pindyck, 1994, Investment under Uncertainty, Princeton University Press, Princeton Faure, Henri, 1982, "Discrépance de suites associées à un système de numération (en dimension s)", Acta Arithmetica, Vol. 41, No. 4, pp Flor, Christian Riis, 2009, Lecture Notes on Real Options Analysis Stochastic Calculus, Dynamic Programming, and Real Options Analysis, University of Southern Denmark Fu, Michael; Laprise, Scott; Madan, Dilip; Su, Yi & Wu, Rongwen, 2001, Pricing American Options: A Comparison of Monte Carlo Simulaion Approaches, Journal of Computational Finance, Vol. 4, No. 3, pp Gamba, Andrea, 2002, "An Extension of Least Square Monte Carlo Simulation for Multi-option Problems", 6th Annual Real Options Conference, Cyprus Gamba, Andreas, 2003, Real Options Valuation: A Monte Carlo Approach, Working Paper Series No. 2002/3; EFA 2002 Berlin Meetings Presented Paper. URL: or DOI: /ssrn

120 Garcia, Diego, 2003, Convergence and Biases of Monte Carlo estimates of American option prices using a parametric exercise rule, Journal of Economic Dynamics & Control, Vol. 27, pp Geske, Robert & Johnson, H. E., 1984, The American Put Option Valued Analytically, The Journal of Finance, Vol. 39, No. 5, pp Glasserman, Paul, 2004, Monte Carlo methods in financial engineering, Vol. 53, Springer, pp Glasserman, Paul; Yu, Bin, 2004, Number of Paths Versus Number of Basis Functions in American Option Pricing, The Annals of Applied Probability, Vol. 14, No. 4, pp Green, Peter & Silverman, Bernard, 1994, "Nonparametric Regression and Generalized Linear Models: a Roughness Penalty Approach", Chapman & Hall Haugh, Martin, Fall 2004, Lecture Notes to: "IEOR E4703: Monte Carlo Simulation", Columbia University, URL: Haugh, Martin & Kogan, Leonid, 2004, Pricing American Options: A Duality Approach, Operations Research, Vol. 52, No. 2, pp Halton, John H., 1960, "On the efficiency of certain quasi-random sequences of points in evaluating multidimensional integrals", Mumerische Mathematik, Vol. 2, pp Hull, John C., 2008, Options Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall, pp Ibáñez, Alfredo & Zapatero, Fernando, 2004, Monte Carlo Valuation of American Options through Computation of the Optimal Exercise Frontier, The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 39, No. 2, pp Ingersoll, Jonathan & Ross, Stephen, 1992, Waiting to Invest: Investment and Uncertainty, Journal of Business, Vol. 65, No. 1, pp Kensinger, John, 1987, Adding the Value of Active Management into the Capital Budgetting Equation, Midland Corporate Finance Journal, pp Kester, Carl, 1984, Today s Options for Tomorrow s Growth, Harvard Business Review, No. 62, pp

121 Kester, Carl, 1993, Turning Growth Options Into Real Assets, Capital Budgeting Under Uncertainty, Advances and New Perspectives, Prentice Hall Kulatilaka, Nalin, 1988, Valuing the Flexibility of Flexible Manufacturing Systems, IEEE Transactions in Engineering Management, Vol. 35, No. 4, pp Kulatilaka, Nalin, & Trigeorgis, Lenos, 1994, The General Flexibility to Switch: Real Options Revisited, International Journal of Finance, Vol. 6, No. 2 Longstaff, Francis A. & Schwartz, Eduardo S., 2001, Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach, The Review of Financial Studies, Vol. 14, No. 1, pp Majd, Saman & Pindyck, Robert, 1987, Time to Build, Option Value, and Investment Decisions, Journal of Financial Economics, Vol. 18, pp Margrabe, William, 1978, The Value of an Option to Exchange One Asset for Another, Journal of Finance, Vol. 33, No. 1, pp McDonald, Robert & Siegel, Daniel, 1986, The Value of Waiting to Invest, The Quaterly Journal of Economics, Vol. 101, No. 4, pp Moreno, Manuel & Navas, Javier, 2003, On the Robustness of Least-Squares Monte Carlo (LSM) for Pricing American Derivatives, Review of Derivatives Research, Vol. 6, pp Myers, Stewart, 1977, Determinants of Corporate Borrowing, Journal of Financial Economics, Vol. 5, No. 2, pp Myers, Stewart & Majd, Saman, 1990, Abandonment Value and Project Life, Advances in Futures and Options Research, Vol. 4, pp Niederreiter, Harald, 1988, "Low-discrepancy and low-dispersion sequences", Journal of Number Theory, Vol. 30, Issue 1, pp Paddock, James; Siegel, Daniel & Smith, James, 1988, Option Valuation of Claims on Physical Assets: The Case of Offshore Petroleum Leases, Quarterly Journal of Economics, Vol. 103, No. 3, pp Pindyck, Robert S., 1988, Irreversible Investment, Capacity Choice, and the Value of the Firm, American Economic Review, Vol. 78, No. 5, pp

122 Pindyck, Robert S., 1993, "The Present Value Model of Rational Commodity Pricing", The Economic Journal, Vol. 103, No. 418, pp Pizzi, Claudio & Pellizzari, Paolo, 2002, Monte Carlo pricing of American options using nonparametric regression, Rendiconti per gli Studi Economici Quantitativi Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P., 1992, "Numerical Recipes in C - The Art of Scientific Computing", Second Edition, Cambridge University Press Rasmussen, Nicki, 2002a, "Efficient control variates for Monte-Carlo valuation of American options", CAF Centre for Analytical Finance, Working Paper Series No. 132 Rasmussen, Nicki, 2002b, "Improving the least-squares Monte-Carlo approach", CAF Centre for Analytical Finance, Working Paper Series No. 133 Raymar, Steven & Zwecher, Michael, 1997, Monte Carlo estimation of American call options on the maximum of several stocks, The Journal of Derivatives, Vol. 5, No.1, pp Rodrigues, Arthur & Armada, Manuel, 2006, The Valuation of Real Options with the Least Squares Monte Carlo Simulation Method, Working Paper Series URL: Rogers, Chris, 2002, Monte Carlo Valuation of American Optios, Mathematical Finance, Vol. 12, No. 3, pp Royden, Halsey, 1968, Real Analysis, Macmillan, London, pp Schwartz, Eduardo S., 1977, The Valuation of Warrants: Implementing a New Approach, Journal of Financial Economics, Vol. 4, pp Schwartz, Eduardo S. & Moon, Mark, 2000, Rational Pricing of Internet Companies, Financial Analyst Journal, Vol. 56, pp Schwartz, Eduardo S. & Moon, Mark, 2001, Rational Pricing of Internet Companies Revisited, Financial Review, Vol. 36, pp Smith, J, 2005, Alternative Approaches for Solving Real Options Problems, Decision Analysis Vol. 2, No 2, pp

123 Sobol, Ilya M., 1967, "On the distribution of points in a cube and the approximate evaluation of integrals", USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 7, No. 4, pp Stentoft, Lars, 2004a, Convergence of the Least Squares Monte Carlo Approach to American Option Valuation, Management Science, Vol. 50, No. 9, pp Stentoft, Lars, 2004b, Assessing the Least Squares Monte-Carlo Approach to American Option Valuation, Review of Derivatives Research, Vol. 7, pp Tilley, James, 1993, Valuing American Options in a Path Simulation Model, Transactions of the Society of Actuaries, Vol. 45, pp Titman, Sheridan, 1985, Urban Land Prices Under Uncertainty, American Economic Review, Vol. 75, No. 3, pp Tourinho, Octavio, 1979, The option value of reserves of natural resources, Working Paper No. 94, University of California at Berkeley Trigeorgis, Lenos, 1988, A Conceptual Options Framework for Capital Budgeting, Advances in Futures and Options Research, Vol. 3, pp Trigeorgis, Lenos, 1993, "The Nature of Option Interactions and the Valuation of Investments with Mutiple Real Options", The Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol. 28, No. 1, pp Trigeorgis, Lenos, 2004, Real Options: An Overview, Real options and investment under uncertainty: classical readings and recent contributions, af Eduardo S. Schwartz & Lenos Trigeorgis, MIT Press, Kap 10, pp Trigeorgis, Lenos & Mason, Scott, 1987, Valuing Managerial Flexibility, Midland Corporate Finance Journal, pp Tsitsiklis, John & Van Roy, Benjamin, 1999, Optimal Stopping of Markov Processes: Hilbert Space Theory, Approximation Algorithms, and an Application to Pricing Financial Derivatives, IEEE Transactions On Automatic Control, Vol. 44, No. 10 Tsitsiklis, John & Van Roy, Benjamin, 2001, Regression Methods for Pricing Complex American-Style Options, IEEE Transactions On Neural Networks, Vol. 12, No

124 9 Bilag Bilag 1 For at matche anden moment, er det anvendeligt at huske at variansen kan beregnes ved E(V 2 ) [E(V)] 2. Dette benyttes for binomialtræet, der gør brug af ovenstående udtryk for driften, så binomialtræet kan matche processens varians. Variansen for en lognormal proces som denne er σ 2 Δt. Derfor bliver den ligning vi skal finde en løsning på: pu 2 + (1 p)d 2 e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt Ved at indsætte: p = e( r"# )$t " d u " d Fås nedenstående ligning der omskrives til ligningen givet i afsnit 4.1. e ( r"# )$t " d u " d u 2 + (1 e( r"# )$t " d )d 2 e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt u " d e ( r"# )$t " d (u 2 d 2 ) + d 2 - e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt u " d e ( r"# )$t " d ((u + d)(u d)) + d 2 - e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt u " d (e (r-δ)δt d)(u + d) + d 2 - e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt e (r-δ)δt (u + d) ud - d 2 + d 2 - e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt e (r-δ)δt (u + d) ud - e 2(r - δ)δt = σ 2 Δt 123

125 Bilag 2 Beregningerne kan skrives som: F i+1,j " F i,j #t + ½σ 2 (j ΔV) 2 F i+1,j+1 + F i+1,j"1 " 2F i+1,j (#V) 2 + (r - δ)(j ΔV) F i+1,j+1 " F i+1,j"1 2#V r F i,j = 0 1 "t (F i+1,j F i,j ) + ½σ 2 j 2 (F i+1,j+1 + F i+1,j-1 2F i+1,j ) + ½(r - δ)j(f i+1,j+1 F i+1,j-1 ) = r F i,j (r + 1 "t ) F i,j = (½σ 2 j 2 - ½(r - δ)j)f i+1,j-1 + ( 1 "t - σ2 j 2 )F i+1,j + (½σ 2 j 2 + ½(r - δ)j)f i+1,j+1 (rδt + 1) F i,j = (½σ 2 j 2 Δt - ½(r - δ)jδt)f i+1,j-1 + (1 - σ 2 j 2 Δt)F i+1,j + (½σ 2 j 2 Δt + ½(r - δ)jδt)f i+1,j+1 Hvilket kan skrives som: Hvor: F i,j = a j F i+1,j-1 + b j F i+1,j + c j F i+1,j+1 1 a j = 1+ r"t [-½(r - δ)jδt + ½σ2 j 2 Δt] 1 b j = 1+ r"t [1 - σ2 j 2 Δt] 1 c j = 1+ r"t [½(r - δ)jδt + ½σ2 j 2 Δt] 124

126 Bilag 3 Brugervejledning for model i vedlagte cd-rom. Værdien på en option kan beregnes ved at følge følgende 7 trin. En illustration af modellens oversigt er givet sidst i dette bilag. Trinene går som følger: 1) Først angives de overordnede specifikationer for forholdene i modellen, ved at indtaste værdierne i cellerne markeret med lyseblåt ved (1). Dette indbefatter den risikofri rente, antal år optionen løber over, og antal perioder man ønsker at tilnærme dette tidsrum med. Alle efterfølgende variable bør angives på årlig basis. Dernæst specificeres hvor mange simulationer man ønsker at foretage beregningen med. 2) Dernæst simuleres de tilstandsvariable som optionen skal være afhængig af. Dette gøres ved at trykke på knappen i (2). Derved kommer følgende pop-up menu frem: Øverst i pop-up menuen, er det muligt at vælge hvilken proces man ønsker at tilstandsvariablen skal følge, fra en liste af på forhånd specificerede processer. Ved vælge en anden proces, ændres formlen under listen for den valgte proces tilsvarende. Samtidig aktiveres kun de input celler der er nødvendige for netop den valgte proces. I nederste venstre hjørne, er det muligt at afkrydse hvorvidt man ønsker at simulationerne skal gemmes i Excel-arket, i hvilket tilfælde der dannes 125

127 et nyt ark med de tilhørende simulationer. Ellers gemmes de bare midlertidligt i hukommelsen på computeren. Ved at trykke på Enter, begynder simulationen af tilstandsvariablen med de givne specifikationer. Det muligt at følge hvor langt man er i denne proces, ved at se hvor mange af stierne der er blevet simuleret i statusbaren nederst i venstre hjørne (9). Nederst i oversigtsarket (8), kan man se en oversigt over alle de tilstandsvariable der er blevet simuleret, og hvordan de er blevet specificeret. Denne oversigt angiver desuden hvor lang tid det har taget at foretage simulationen, om simulationen er gemt i Excel-arket, og hvornår tilstandsvariablen er simuleret. Nye simulationer tilføjes automatisk denne oversigt. 3) Efter at have simuleret tilstandsvariablene, er næste trin at angive hvordan optionen skal specificeres. Dette gøres i (3). Efter hver simulation, tilføjes hver tilstandsvariabel automatisk til denne række. Hvis der ønskes at optionen skal være afhængig af en konstant, som f.eks. en udnyttelsespris, sættes denne først lig en værdi. Dernæst er det muligt at specificere hvad koefficienterne skal være til hver af tilstandsvariablene, og på den måde specificere hvordan optionen skal beregnes. Optionspayoffet tager værdien der specificeres her, hvis værdien er større end 0. 4) Dernæst er det nødvendigt at angive hvilke regressionsvariable OLS-regression skal være afhængig af. Først specificeres hvilke polynomier og op til hvilken orden basis funktionerne skal bygge på, i de to lyseblå celler i (4). I den øverste lyseblå celle kan almindelige opløftede polynomier benyttes ved at skrive 1, mens de vægtede Laguerre polynomier kan benyttes ved at skrive 2. I den lyseblå celle under denne, kan man angive hvor mange af rækken af polynomier man ønsker at medtage. For de vægtede Laguerre polynomier er dette begrænset til de 7 første polynomier. 5) Ved at trykke på List-knappen i (5), opgiver modellen derefter de basisfunktioner og krydsprodukter til basisfunktionerne som kan bruges som regressionsvariable. Det er herefter muligt at specificere hvis der er nogen af disse der ikke ønskes at medtages som regressionsvariable, ved at sætte deres koefficienter lig med 0 i (6). 6) Det er derefter muligt at sætte modellen i gang med at estimere en optionsværdi. Det gøres blot ved at trykke på Calc option value -knappen i (7). Nede i venstre hjørne i (9), kan man da følge hvordan modellen skrider fremad med beregningerne. Når beregningen af færdig, giver en modellen en Beep lyd for at indikere at der forlægger et resultat. Estimatet på optionsværdien fremgår da af den orange celle under knappen. Under dette estimat er standard erroen for estimatet. Under standard erroren, kan man se beregningstiden for beregne estimatet. 7) Ønsker man at få beregningerne udskrevet til Excel-arket, for f.eks. at se den endelige cashflow matrice, sættes værdien over Calc option value -knappen lig med 1. Dette forøger dog beregningstiden betydeligt, og kan kun gøres hvis antallet af simulerede stier er under Det er desuden også muligt at se hver enkelt periode blive beregnet, ved at gå ind i ABOption-arket, og trykke på InitializeVar, og derefter knappen CalcNext for hver periode. 126

128 127

129 Bilag 4 128

130 Bilag 5 ' //////////// Module for creating multiple paths for different processes //////////// Public strname Public dblstartvalue Public dblsigma Public dbldrift Public dbllongtermmean Public dblmeanreversion Public dbljfrequency Public dbljmeanheight Public dbljsigma Public lngprocessyears Public lngprocessperiods Public lngprocesspaths Public strprocesstype As String Public bolcancel As Boolean Public bolstore As Boolean Public pblarrx1() As Double Public pblarrx2() As Double Public pblarrx3() As Double Public pblarrx4() As Double Public pblarrx5() As Double Public pblarrx6() As Double Public pblarrx7() As Double Public pblarrx8() As Double Public pblarrx9() As Double Public pblarrx10() As Double Public arrxarraycontainer(1 To 10) As Variant Sub proprocessinput() Dim dbldiscountrate As Double Dim dblvalue As Double Dim dbldt As Double Dim dblrandomuniform1 As Double Dim dblrandomuniform2 As Double Dim strsheetname As String Dim intcolumn As Integer Dim introw As Integer Dim arrtemparray() As Double Dim sheetunderlying Dim lngvarnum As Long Dim dbldriftperiod As Double Dim dblsigmaperiod As Double sheetunderlying = "AAUnderlying" Load frmprocessinput frmprocessinput.show If bolcancel = True Then Exit Sub End If dblstarttime = Now() Application.StatusBar = "Simulating..." dbldt = lngprocessyears / lngprocessperiods Randomize ' List the variable, so it is ready for option specification intcolumn = 0 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcolumn)) intcolumn = intcolumn + 1 Loop lngvarnum = (intcolumn / 2) + 1 strsheetname = "X" & lngvarnum ' The name of array with simulations Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcolumn) = 1 Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcolumn).interior.colorindex = 37 Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcolumn + 1) = strsheetname Select Case lngvarnum Case 1 ReDim pblarrx1(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(1) = pblarrx1 129

131 Case 2 ReDim pblarrx2(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(2) = pblarrx2 Case 3 ReDim pblarrx3(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(3) = pblarrx3 Case 4 ReDim pblarrx4(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(4) = pblarrx4 Case 5 ReDim pblarrx5(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(5) = pblarrx5 Case 6 ReDim pblarrx6(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(6) = pblarrx6 Case 7 ReDim pblarrx7(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(7) = pblarrx7 Case 8 ReDim pblarrx8(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(8) = pblarrx8 Case 9 ReDim pblarrx9(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(9) = pblarrx9 Case 10 ReDim pblarrx10(1 To lngprocesspaths, 1 To lngprocessperiods + 1) arrxarraycontainer(10) = pblarrx10 End Select ' Simulate process, and put it into array Select Case strprocesstype Case "General Brownian Motion" ' Set all the first values in the array equal to the start value For ro = 1 To lngprocesspaths arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, 1) = dblstartvalue Next ro For ro = 1 To lngprocesspaths ' Reset value to start value, for each new path dblvalue = dblstartvalue For col = 2 To lngprocessperiods + 1 ' First create a uniformly distributed random variable between 0 and 1 dblrandomuniform = UniformRandomVar() ' Display value, and calc new value for next period dblvalue = dblvalue + dbldrift * dbldt + Sqr(dblDt) * dblsigma * funcnormsinv(dblrandomuniform) arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, col) = dblvalue Next col If ro Mod 2500 = 0 Then Application.StatusBar = ro & " of " & lngprocesspaths & " paths" End If Next ro Case "Geometric Brownian Motion" ' Set all the first values in the array equal to the start value For ro = 1 To lngprocesspaths arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, 1) = dblstartvalue Next ro For ro = 1 To lngprocesspaths ' Reset value to start value, for each new path dblvalue = dblstartvalue For col = 2 To lngprocessperiods + 1 ' First create a uniformly distributed random variable between 0 and 1 dblrandomuniform = UniformRandomVar() dblvalue = dblvalue * Exp(dblDrift * dbldt - ((dblsigma * dblsigma) / 2) * dbldt + dblsigma * Sqr(dblDt) * funcnorm- SInv(dblRandomUniform)) arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, col) = dblvalue Next col If ro Mod 2500 = 0 Then Application.StatusBar = ro & " of " & lngprocesspaths & " paths" End If Next ro 130

132 Case "Ornstein-Uhlenbeck process" ' Set all the first values in the array equal to the start value For ro = 1 To lngprocesspaths arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, 1) = dblstartvalue Next ro For ro = 1 To lngprocesspaths ' Reset value to start value, for each new path dblvalue = dblstartvalue For col = 2 To lngprocessperiods + 1 ' First create a uniformly distributed random variable between 0 and 1 dblrandomuniform = UniformRandomVar() ' Calc new value for next period dblvalue = dblvalue + dblmeanreversion * (dbllongtermmean - dblvalue) * dbldt + Sqr(dblDt) * dblsigma * funcnorm- SInv(dblRandomUniform) arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, col) = dblvalue Next col If ro Mod 2500 = 0 Then Application.StatusBar = ro & " of " & lngprocesspaths & " paths" End If Next ro Case "CIR type process" ' Set all the first values in the array equal to the start value For ro = 1 To lngprocesspaths arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, 1) = dblstartvalue Next ro For ro = 1 To lngprocesspaths ' Reset value to start value, for each new path dblvalue = dblstartvalue For col = 2 To lngprocessperiods + 1 ' First create a uniformly distributed random variable between 0 and 1 dblrandomuniform = UniformRandomVar() ' Calc new value for next period If dblvalue > 0 Then dblvalue = dblvalue + dblmeanreversion * (dbllongtermmean - dblvalue) * dbldt + Sqr(dblDt) * Sqr(dblValue) * dblsigma * funcnormsinv(dblrandomuniform) Else dblvalue = dblvalue + dblmeanreversion * (dbllongtermmean - dblvalue) * dbldt End If If dblvalue < 0 Then dblvalue = 0 arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, col) = dblvalue Next col If ro Mod 2500 = 0 Then Application.StatusBar = ro & " of " & lngprocesspaths & " paths" End If Next ro Case "Jump-diffusion process" ' Set all the first values in the array equal to the start value For ro = 1 To lngprocesspaths arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, 1) = dblstartvalue Next ro For ro = 1 To lngprocesspaths ' Reset value to start value, for each new path dblvalue = dblstartvalue For col = 2 To lngprocessperiods + 1 ' First create a uniformly distributed random variable between 0 and 1 dblrandomuniform1 = UniformRandomVar() dblrandomuniform2 = UniformRandomVar() ' Display value, and calc new value for next period dblvalue = dblvalue + dbldrift * dbldt + Sqr(dblDt) * dblsigma * funcnormsinv(dblrandomuniform1) + RandPoisson(dblJFrequency * dbldt) * (dbljmeanheight * dbldt + Sqr(dblDt) * dbljsigma * funcnormsinv(dblrandomuniform2)) arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, col) = dblvalue Next col If ro Mod 2500 = 0 Then 131

133 Application.StatusBar = ro & " of " & lngprocesspaths & " paths" End If Next ro Case "Mean reversion with jump process" ' Set all the first values in the array equal to the start value For ro = 1 To lngprocesspaths arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, 1) = dblstartvalue Next ro For ro = 1 To lngprocesspaths ' Reset value to start value, for each new path dblvalue = dblstartvalue For col = 2 To lngprocessperiods + 1 ' First create a uniformly distributed random variable between 0 and 1 dblrandomuniform1 = UniformRandomVar() dblrandomuniform2 = UniformRandomVar() ' Calc new value for next period dblvalue = dblvalue + dblmeanreversion * (dbllongtermmean - dblvalue) * dbldt + Sqr(dblDt) * dblsigma * funcnorm- SInv(dblRandomUniform1) + RandPoisson(dblJFrequency * dbldt) * (dbljmeanheight * dbldt + Sqr(dblDt) * dbljsigma * funcnorm- SInv(dblRandomUniform2)) arrxarraycontainer(lngvarnum)(ro, col) = dblvalue Next col If ro Mod 2500 = 0 Then Application.StatusBar = ro & " of " & lngprocesspaths & " paths" End If Next ro Case Else ' Make an error function End Select If bolstore Then Application.StatusBar = "Storing paths in spreadsheet..." Else Application.StatusBar = False End If ' Decide whether to store array, or only keep it temporarely for this session If bolstore Then ' Create new sheet AFTER the current Sheets(ActiveSheet.Next.Name).Select Sheets.Add.Name = strsheetname Sheets(strSheetName).Select ' A bit of info about sheet Range("A1").Offset(0, 0) = "Variable" Range("A1").Offset(0, 1) = "Name" Range("A1").Offset(0, 2) = "Process" Range("A1").Offset(0, 3) = "Years" Range("A1").Offset(0, 4) = "Periods" Range("A1").Offset(0, 5) = "Paths" Range("A1").Offset(0, 6) = "Start Value" Range("A1").Offset(0, 7) = "Sigma" Range("A1").Offset(0, 8) = "Drift" Range("A1").Offset(0, 9) = "Long Term Mean" Range("A1").Offset(0, 10) = "Mean Reversion" Range("A1").Offset(0, 11) = "Jump Frequency" Range("A1").Offset(0, 12) = "Mean Jump Height" Range("A1").Offset(0, 13) = "Standard Deviation of Jump Height" Range("A1").Offset(0, 14) = "Store" Range("A1").Offset(0, 15) = "Date simulated" Range("A1").Offset(0, 16) = "Calculation Time" Range("A1").Offset(1, 0) = strsheetname Range("A1").Offset(1, 1) = strname Range("A1").Offset(1, 2) = strprocesstype Range("A1").Offset(1, 3) = lngprocessyears Range("A1").Offset(1, 4) = lngprocessperiods Range("A1").Offset(1, 5) = lngprocesspaths Range("A1").Offset(1, 6) = dblstartvalue Range("A1").Offset(1, 7) = dblsigma Range("A1").Offset(1, 8) = dbldrift Range("A1").Offset(1, 9) = dbllongtermmean Range("A1").Offset(1, 10) = dblmeanreversion 132

134 Range("A1").Offset(1, 11) = dbljfrequency Range("A1").Offset(1, 12) = dbljmeanheight Range("A1").Offset(1, 13) = dbljsigma Range("A1").Offset(1, 14) = bolstore Range("A1").Offset(1, 15) = Date ' A bit of supporting text Range("A5") = "Path / Period" For ro = 1 To lngprocesspaths Range("A5").Offset(ro, 0) = ro Next ro For col = 0 To lngprocessperiods Range("B5").Offset(0, col) = col Next col Application.StatusBar = False produmparray2d arrxarraycontainer(lngvarnum), 6, 2 Else End If Sheets(sheetUnderlying).Select ' List the process info at the bottom of the page introw = 0 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 0)) introw = introw + 1 Loop Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 0) = strsheetname Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 1) = strname Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 2) = strprocesstype Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 3) = lngprocessyears Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 4) = lngprocessperiods Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 5) = lngprocesspaths Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 6) = dblstartvalue Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 7) = dblsigma Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 8) = dbldrift Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 9) = dbllongtermmean Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 10) = dblmeanreversion Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 11) = dbljfrequency Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 12) = dbljmeanheight Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 13) = dbljsigma Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 14) = bolstore Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 15) = Date Sheets(sheetUnderlying).Range("B34").Offset(intRow, 16) = Now() - dblstarttime If bolstore Then Sheets(strSheetName).Range("A1").Offset(1, 16) = Now() - dblstarttime End If End Sub Public Function UniformRandomVar() UniformRandomVar = Rnd() If UniformRandomVar = 1 Then UniformRandomVar = End If If UniformRandomVar = 0 Then UniformRandomVar = End If End Function Public Function RandPoisson(ByVal lambda As Double) As Double Dim n As Integer Dim temp As Double temp = UniformRandomVar() n = 1 While (temp > Exp(-lambda)) n = n + 1 temp = temp * UniformRandomVar() Wend 133

135 RandPoisson = n - 1 End Function ' This function is a replacement for the Microsoft Excel Worksheet function NORMSINV. ' It uses the algorithm of Peter J. Acklam to compute the inverse normal cumulative ' distribution. Refer to for ' a description of the algorithm. ' Adapted to VB by Christian d'heureuse, Public Function funcnormsinv(byval p As Double) As Double Const a1 = , a2 = , a3 = Const a4 = , a5 = , a6 = Const b1 = , b2 = , b3 = Const b4 = , b5 = , c1 = Const c2 = , c3 = , c4 = Const c5 = , c6 = , d1 = Const d2 = , d3 = , d4 = Const p_low = , p_high = 1 - p_low Dim q As Double, R As Double If p < 0 Or p > 1 Then Err.Raise vbobjecterror,, "NormSInv: Argument out of range." ElseIf p < p_low Then q = Sqr(-2 * Log(p)) funcnormsinv = (((((c1 * q + c2) * q + c3) * q + c4) * q + c5) * q + c6) / _ ((((d1 * q + d2) * q + d3) * q + d4) * q + 1) ElseIf p <= p_high Then q = p - 0.5: R = q * q funcnormsinv = (((((a1 * R + a2) * R + a3) * R + a4) * R + a5) * R + a6) * q / _ (((((b1 * R + b2) * R + b3) * R + b4) * R + b5) * R + 1) Else q = Sqr(-2 * Log(1 - p)) funcnormsinv = -(((((c1 * q + c2) * q + c3) * q + c4) * q + c5) * q + c6) / _ ((((d1 * q + d2) * q + d3) * q + d4) * q + 1) End If End Function Sub produmparray1d(byref arrrefarray, ByVal introwstart As Integer, ByVal intcolstart As Integer) Dim intarrayrows As Long ' Size of array intarrayrows = UBound(arrRefArray) ' Dump Array Range(Cells(intRowStart, intcolstart), Cells(intRowStart + intarrayrows - 1, intcolstart)) = arrrefarray End Sub Sub produmparray2d(byref arrrefarray, ByVal introwstart As Integer, ByVal intcolstart As Integer) Dim intarrayrows As Long Dim intarraycol As Long ' Size of array intarrayrows = UBound(arrRefArray, 1) intarraycol = UBound(arrRefArray, 2) ' Dump Array Range(Cells(intRowStart, intcolstart), Cells(intRowStart + intarrayrows - 1, intcolstart + intarraycol - 1)) = arrrefarray End Sub ' ////////// Module for calculating option value when underlying stochastic processes have been provided ////////// Dim sheetunderlying As String Dim sheetoption As String Dim sheetdiscount As String Dim sheetcashflow As String Dim sheetregressionnonsorted As String Dim sheetregressionsorted As String Dim sheetexcontvalues As String Dim sheetbinary As String Dim intperiods As Long Dim lngpaths As Long Dim lngpathsinthemoney As Long Dim dbldiscountrate As Double 134

136 Dim intcounter As Long Dim intcounterend As Long Dim intnumbasisfunc As Long Dim intpolynomialchoice As Long Dim intpolynomialorder As Long Dim lngprintbinary As Long Dim arroptionpayoffs() As Double Dim arrcashflow() As Double Dim arrregressionvar() As Double Dim arrregressionvarnoblanks() As Double Dim arrbinary() As Long Dim arrexercisevalues() As Double Dim arrcontvalues() As Double Dim arrdiscountrates() As Double Dim arry() As Double Dim strxname(10, 2) Dim arrxvalues() As Double Dim arrolscoefficients As Variant Dim arrallolscoefficients() As Double Dim intnumberofolscoefficients As Integer Dim arrbasisfunccoefficients() As Long Dim dblk As Double Dim binweightxchoice As Integer Dim dblweight As Double Sub procalcall() Dim dblstarttime dblstarttime = Now() Application.ScreenUpdating = False InitializeVar procounterreset For t = 0 To intperiods - 2 procalcnextperiod Next t proaveragenpvcashflows Application.StatusBar = False Sheets(sheetUnderlying).Select Sheets(sheetUnderlying).Range("O10").Value = Now() - dblstarttime Application.ScreenUpdating = True Beep End Sub Sub procalcnextperiod() proprepareiffirstrun procounter prolistregressionvar Sheets(sheetRegressionSorted).Select proolsregression Sheets(sheetCashflow).Select proexercisevalues procontinuationvalues probinary procashflowcalc End Sub Sub InitializeVar() ' Needs to be run before any other procedures, for their procedures to work Dim intcol As Long Dim i As Long sheetunderlying = "AAUnderlying" sheetoption = "ABOption" sheetdiscount = "ACDiscount" sheetcashflow = "Cashflow" sheetregressionnonsorted = "RegresionNonSorted" 135

137 sheetregressionsorted = "RegresionSorted" sheetexcontvalues = "TExContValues" sheetbinary = "XBinary" intperiods = Sheets(sheetUnderlying).Range("G3").Value lngpaths = Sheets(sheetUnderlying).Range("I3").Value dbldiscountrate = Sheets(sheetUnderlying).Range("C3").Value intpolynomialchoice = Sheets(sheetUnderlying).Range("H22").Value intpolynomialorder = Sheets(sheetUnderlying).Range("H23").Value lngprintbinary = Sheets(sheetUnderlying).Range("O3").Value intcounterend = intperiods - 1 binweightxchoice = 1 ' Choose whether to weight the X variables with the strike price or not - 1 = weight, 0 = no weight intnumbasisfunc = 0 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("C29").Offset(0, intcol)) If Sheets(sheetUnderlying).Range("C29").Offset(0, intcol) = 1 Then intnumbasisfunc = intnumbasisfunc + 1 End If intcol = intcol + 2 Loop ' Create arrays ReDim arrdiscountrates(1 To intperiods) ' Necessary to re-declare array, because not possible to make random size in the beginning ReDim arroptionpayoffs(1 To lngpaths, 1 To intperiods) ReDim arrcashflow(1 To lngpaths, 1 To intperiods) ReDim arrbinary(1 To lngpaths, 1 To intperiods) ReDim arrexercisevalues(1 To lngpaths) ReDim arrcontvalues(1 To lngpaths) End Sub Sub proprepareiffirstrun() Dim intcol As Long Dim intcolarray As Long Dim i As Long Dim dblkcoefficient As Double Dim dblxcoefficient(10) As Double Dim dblmax As Double If intcounter = 0 Then Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Initializing Variables" ' Clear data Worksheets(sheetOption).Range("B6:IT65536").ClearContents Worksheets(sheetCashflow).Range("B6:IT65536").ClearContents Worksheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5:IV65536").ClearContents Worksheets(sheetRegressionSorted).Range("A5:IV65536").ClearContents Worksheets(sheetRegressionSorted).Range("A1:IV2").ClearContents Worksheets(sheetExContValues).Range("B5:IV65536").ClearContents Worksheets(sheetBinary).Range("B8:IV65536").ClearContents ' Supporting text ' The variable names in the RegressionNonSorted sheet Sheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5") = "Y" intcol = 1 intcollist = 1 For Order = 1 To intpolynomialorder For X = 1 To strxname(0, 1) If Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcollist) = 1 Then If intpolynomialchoice = 2 Then Sheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5").Offset(0, intcol) = "L" & Order - 1 & "(" & strxname(x, 1) & ")" ' Laguerre text Else Sheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5").Offset(0, intcol) = strxname(x, 1) & "^" & Order ' Power polynomial text End If intcol = intcol + 1 End If intcollist = intcollist + 2 Next X ' Suporting text for the cross products For X = 1 To strxname(0, 1) For z = 1 To strxname(0, 1) 136

138 If z > X Then If Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcollist) = 1 Then If intpolynomialchoice = 2 Then Sheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5").Offset(0, intcol).value = "L" & Order - 1 & "(" & strxname(x, 1) & ")" & "*" & "L" & Order - 1 & "(" & strxname(z, 1) & ")" Else Sheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5").Offset(0, intcol).value = strxname(x, 1) & "^" & Order & "*" & strxname(z, 1) & "^" & Order End If intcol = intcol + 1 End If intcollist = intcollist + 2 End If Next z Next X Next Order ' The variable names in the RegressionSorted sheet intcol = 0 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5").Offset(0, intcol)) Sheets(sheetRegressionSorted).Range("A5").Offset(0, intcol) = Sheets(sheetRegressionNonSorted).Range("B5").Offset(0, intcol) intcol = intcol + 1 Loop ' The coefficients in the Sorted Sheet For X = 0 To strxname(0, 1) + 1 Sheets(sheetRegressionSorted).Range("A1").Offset(0, strxname(0, 1) - X + 1) = Chr(97 + X) Next X ' Set the last period in Binary equal to 1 For ro = 1 To lngpaths arrbinary(ro, intperiods) = 1 Next ro ' Store the dicount array For intcolumn = 1 To intperiods arrdiscountrates(intcolumn) = Sheets(sheetDiscount).Range("B2").Offset(1, intcolumn).value Next intcolumn ' Store the X simulations in arrays ' Store the name of the underlying variables in an array ' For every underlying variable that is created, if it isnt set to zero so it isnt included in the option, store the variables name in the array intcol = 0 i = 1 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2 + 1)) If Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2) <> 0 Then dblxcoefficient(i) = Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2) strxname(i, 1) = Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2 + 1) strxname(i, 2) = Sheets(sheetUnderlying).Range("P34").Offset(intCol, 0) i = i + 1 End If intcol = intcol + 1 Loop i = i - 1 strxname(0, 1) = i ' List the number of variables included in the first array field ' Choose whether to weight the X variables with the strike price or not dblk = Sheets(sheetUnderlying).Range("D12").Value dblkcoefficient = Sheets(sheetUnderlying).Range("B15").Value If binweightxchoice = 1 Then dblweight = dblk Else dblweight = 1 End If ' Now store the X values in arrays. Array defined with 3 arrays - one for each underlying variable, with the appropriate amount of paths (rows) and periods (columns) ReDim arrxvalues(1 To strxname(0, 1), 1 To lngpaths, 1 To intperiods) intcol = 0 i = 1 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2 + 1)) If Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2) <> 0 Then If IsArray(arrXArrayContainer(intCol + 1)) Then 137

139 ' Stored temporarily in memory Else For col = 1 To intperiods For ro = 1 To lngpaths arrxvalues(i, ro, col) = arrxarraycontainer(intcol + 1)(ro, col + 1) / dblweight Next ro Next col If strxname(i, 2) Then ' Check if the array is stored in spreadsheet, TRUE, or temporarily in array in memory, FALSE ' Stored permanently For col = 1 To intperiods For ro = 1 To lngpaths arrxvalues(i, ro, col) = Sheets(strXName(i, 1)).Range("B5").Offset(ro, col) / dblweight Next ro Next col Else ' Error handling MsgBox ("The X-values are not stored - simulate process again") Exit Sub End If End If i = i + 1 End If intcol = intcol + 1 Loop ' Calculate the options payoffs ' Until there is no more values, add the coefficients to the coeffecients array, and the name of sheets to the variable name array ' Call and put option For ro = 1 To lngpaths For col = 1 To intperiods dbloption = dblkcoefficient * dblk / dblweight For X = 1 To strxname(0, 1) dbloption = dbloption + dblxcoefficient(x) * arrxvalues(x, ro, col) Next X ' Its an option, so only exercise if bigger than zero If dbloption < 0 Then dbloption = 0 arroptionpayoffs(ro, col) = dbloption Next col Next ro ' Maximum option 'For ro = 1 To lngpaths ' For col = 1 To intperiods ' dbloption = dblkcoefficient * dblk ' dblmax = 0 ' For X = 1 To strxname(0, 1) ' ' ' ' ' If dblmax < arrxvalues(x, ro, col) Then dblmax = arrxvalues(x, ro, col) End If Next X dbloption = dbloption + dblmax ' Its an option, so only exercise if bigger than zero ' If dbloption < 0 Then dbloption = 0 ' arroptionpayoffs(ro, col) = dbloption ' Next col 'Next ro If lngprintbinary = 1 Then Sheets(sheetOption).Select produmparray2d arroptionpayoffs, 6, 3 End If i = 0 intcol = 0 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("C29").Offset(0, intcol)) i = i

140 intcol = intcol + 2 Loop intnumberofolscoefficients = 0 intcol = 1 intcolarray = 1 ReDim arrbasisfunccoefficients(1 To i) Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol)) If Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol) = 1 Then arrbasisfunccoefficients(intcolarray) = 1 intnumberofolscoefficients = intnumberofolscoefficients + 1 Else arrbasisfunccoefficients(intcolarray) = 0 End If intcolarray = intcolarray + 1 intcol = intcol + 2 Loop ReDim arrallolscoefficients(1 To intnumberofolscoefficients, 1 To intperiods) ' Array to store the regression coffiecents for all periods ' Set the cashflow at period T equal to the option payoff at period T For ro = 1 To lngpaths arrcashflow(ro, intperiods) = arroptionpayoffs(ro, intperiods) Next ro Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Initializing Variables Finished" End If End Sub Sub procounter() If intcounter < intcounterend Then intcounter = intcounter + 1 Sheets(sheetCashflow).Range("B3").Value = intcounter End If End Sub Sub procounterreset() intcounter = 0 Sheets(sheetCashflow).Range("B3").Value = intcounter End Sub Sub procashflowcalc() Dim bytbinarycombo As Byte Dim dbloptionpossiblepayoff As Double Dim dblpayoff As Double Dim introw As Long Dim introwstotal As Long Dim intcolumn As Long Dim intcolumnstotal As Long Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Show cashflow calculations" For introw = 1 To lngpaths For intcolumn = 0 To intcounter dblpayoff = arroptionpayoffs(introw, intperiods - intcolumn) * arrbinary(introw, intperiods - intcolumn) arrcashflow(introw, intperiods - intcolumn) = dblpayoff Next intcolumn Next introw ' Print the array to worksheet If lngprintbinary = 1 Then Sheets(sheetCashflow).Select produmparray2d arrcashflow, 6, 2 139

141 End If Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Show cashflow calculations Finished" End Sub Sub proaveragenpvcashflows() Dim dbldiscount As Double Dim dblpayoff As Double Dim dblnpvpayoff As Double Dim dblsumnpvpayoff As Double Dim dblaveragenpvpayoff As Double Dim arrnpvpayoff() As Double Dim dblsums2 As Double Dim dbls2 As Double Dim dblstandarderror As Double Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Calculating estimate" ' Calculate the mean estimate ReDim arrnpvpayoff(1 To lngpaths) ' For each path, reset the NPV to zero, then for each period, sum all the payoffs time discount for that path. Since all other the exercise should be zero, this should give the NPV of the exercise value For ro = 1 To lngpaths dblnpvpayoff = 0 For col = 1 To intperiods dblpayoff = arrcashflow(ro, col) dbldiscount = arrdiscountrates(col) dblnpvpayoff = dblnpvpayoff + dblpayoff * dbldiscount If dblpayoff > 0 Then col = intperiods ' Once you have found the payoff, no reason to go through all the zeros afterward Next col arrnpvpayoff(ro) = dblnpvpayoff Next ro ' Used to renormalize the weighting factor If binweightxchoice = 1 Then For ro = 1 To lngpaths arrnpvpayoff(ro) = arrnpvpayoff(ro) * dblweight Next ro End If ' Average all off the above NPV payoffs For ro = 1 To lngpaths dblsumnpvpayoff = dblsumnpvpayoff + arrnpvpayoff(ro) Next ro dblaveragenpvpayoff = dblsumnpvpayoff / lngpaths Sheets(sheetUnderlying).Range("O8").Value = dblaveragenpvpayoff ' Calculate the standard error For ro = 1 To lngpaths dblsums2 = dblsums2 + (arrnpvpayoff(ro) - dblaveragenpvpayoff) ^ 2 Next ro dbls2 = (1 / (lngpaths - 1)) * dblsums2 dblstandarderror = (dbls2 ^ 0.5) / (lngpaths ^ 0.5) Sheets(sheetUnderlying).Range("O9").Value = dblstandarderror Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Calculating estimate Finished" End Sub ' Procedure for the undrlying sheet, so not the calculation of the option Sub prolistbasisvariables() Dim intpolynomialorder As Long Dim intcol As Long Dim i As Long Dim strxname(10) InitializeVar 140

142 Sheets(sheetUnderlying).Range("C29:IV29").ClearContents Sheets(sheetUnderlying).Range("C29:IV29").Interior.ColorIndex = 0 intpolynomialchoice = Sheets(sheetUnderlying).Range("H22").Value intpolynomialorder = Sheets(sheetUnderlying).Range("H23").Value ' For every underlying variable that is created, if it isnt set to zero so it isnt included in the option, store the variables name in the array intcol = 0 i = 1 Do Until IsEmpty(Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2 + 1)) If Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2) <> 0 Then strxname(i) = Sheets(sheetUnderlying).Range("D15").Offset(0, intcol * 2 + 1) i = i + 1 End If intcol = intcol + 1 Loop i = i - 1 strxname(0) = i ' List the number of variables included in the first array field ' A bit of supporting text intcol = 1 For Order = 1 To intpolynomialorder For X = 1 To i If intpolynomialchoice = 2 Then ' The Laguerre function Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2) = Chr(intCol + 97) & "L" & Order - 1 & "(" & strxname(x) & ")" Else ' The power function Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2) = Chr(intCol + 97) & strxname(x) & "^" & Order End If Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2-1) = 1 Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2-1).Interior.ColorIndex = 37 intcol = intcol + 1 Next X ' Suporting text for the cross products For X = 1 To i For y = 1 To i If y > X Then If intpolynomialchoice = 2 Then Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2).Value = Chr(intCol + 97) & "L" & Order - 1 & "(" & strxname(x) & ")" & "*" & "L" & Order - 1 & "(" & strxname(y) & ")" Else Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2).Value = Chr(intCol + 97) & strxname(x) & "^" & Order & "*" & strxname(y) & "^" & Order End If Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2-1) = 1 Sheets(sheetUnderlying).Range("B29").Offset(0, intcol * 2-1).Interior.ColorIndex = 37 intcol = intcol + 1 End If Next y Next X Next Order End Sub Sub prolistregressionvar() Dim dblx As Double Dim dbly As Double Dim dblarrcashflow() As Double ' delete Dim dblnpvcashflow As Double Dim intcol As Long Dim intcollist As Long Dim i As Long Dim lngrowarray As Long Dim dblz As Double Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Calculating regression variables" intcol = 0 ' The number of paths in-the-money lngpathsinthemoney = 0 141

143 For introw = 1 To lngpaths If arroptionpayoffs(introw, intperiods - intcounter) > 0 Then lngpathsinthemoney = lngpathsinthemoney + 1 End If Next introw ' The sequence of independent variables ReDim arrregressionvar(1 To lngpaths, 1 To intnumbasisfunc) For introw = 1 To lngpaths intcol = 1 intcollist = 1 If arroptionpayoffs(introw, intperiods - intcounter) > 0 Then ' Only list if it is in-the-money For Order = 1 To intpolynomialorder For X = 1 To strxname(0, 1) If arrbasisfunccoefficients(intcollist) = 1 Then ' Only include basis function if it hasnt been specified to be excluded dblx = arrxvalues(x, introw, intperiods - intcounter) If intpolynomialchoice = 2 Then ' The Laguerre function Select Case Order - 1 Case 0 arrregressionvar(introw, intcol) = Exp(-dblX / 2) intcol = intcol + 1 Case 1 arrregressionvar(introw, intcol) = Exp(-dblX / 2) * (1 - dblx) intcol = intcol + 1 Case 2 arrregressionvar(introw, intcol) = Exp(-dblX / 2) * (1-2 * dblx + (dblx ^ 2) / 2) intcol = intcol + 1 Case 3 arrregressionvar(introw, intcol) = Exp(-dblX / 2) * (1-3 * dblx + (3 / 2) * (dblx ^ 2) - (1 / 6) * (dblx ^ 3)) intcol = intcol + 1 Case 4 arrregressionvar(introw, intcol) = Exp(-dblX / 2) * (1 / 24) * ((dblx ^ 4) - 16 * (dblx ^ 3) + 72 * (dblx ^ 2) - 96 * dblx + 24) intcol = intcol + 1 Case 5 arrregressionvar(introw, intcol) = Exp(-dblX / 2) * (1 / 120) * (-(dblx ^ 5) + 25 * (dblx ^ 4) * (dblx ^ 3) * (dblx ^ 2) * dblx + 120) intcol = intcol + 1 Case Else ' Note: Max up to 6th order arrregressionvar(introw, intcol) = Exp(-dblX / 2) * (1 / 720) * ((dblx ^ 6) - 36 * (dblx ^ 5) * (dblx ^ 4) * (dblx ^ 3) * (dblx ^ 2) * dblx + 720) intcol = intcol + 1 End Select Else ' The Power function if anything else arrregressionvar(introw, intcol) = dblx ^ Order ' Go through every order intcol = intcol + 1 End If End If intcollist = intcollist + 1 Next X ' The cross products For X = 1 To strxname(0, 1) dblx = arrxvalues(x, introw, intperiods - intcounter) For z = 1 To strxname(0, 1) ' Go through for all the other Xs If z > X Then If arrbasisfunccoefficients(intcollist) = 1 Then dblz = arrxvalues(z, introw, intperiods - intcounter) arrregressionvar(introw, intcol) = (dblx ^ Order) * (dblz ^ Order) intcol = intcol + 1 End If intcollist = intcollist + 1 End If Next z Next X Next Order 142

144 Else End If Next introw If lngprintbinary = 1 Then Sheets(sheetRegressionNonSorted).Select produmparray2d arrregressionvar, 6, 3 End If ' The dependent variables (y) ' Find present value of cashflow - e.g. the payoff where it up until now is preferred to exercise ' Only for paths which are in-the-money ReDim arry(1 To lngpathsinthemoney, 1 To 1) lngrowarray = 1 For introw = 1 To lngpaths If arroptionpayoffs(introw, intperiods - intcounter) > 0 Then dblnpvcashflow = 0 ' Calculate the net present value of the cashflow For col = 1 To intperiods dblnpvcashflow = dblnpvcashflow + arrcashflow(introw, intperiods col) * arrdiscountrates(intperiods col) Next col ' Discount the net present value forward to the counter date, so it can be compared to the option payoff at that date - could alternatively have found the net present value of the option payoff dbly = dblnpvcashflow * (1 / arrdiscountrates(intperiods - intcounter)) arry(lngrowarray, 1) = dbly lngrowarray = lngrowarray + 1 Else End If Next introw Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoptionpayoffarraynum & " - Calculating regression variables Finished" End Sub Sub proolsregression() Dim intsortedrow As Long Dim introwcount As Long Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Least Squares regression" ReDim arrregressionvarnoblanks(1 To lngpathsinthemoney, 1 To intnumbasisfunc + 1) ' To get a constant in regression, necessary to add one column og regression variables, filles with the constant 1 intsortedrow = 1 For ro = 1 To lngpaths If arroptionpayoffs(ro, intperiods - intcounter) > 0 Then arrregressionvarnoblanks(intsortedrow, 1) = 1 intsortedrow = intsortedrow + 1 Else ' Do Nothing End If Next ro intsortedrow = intsortedrow - 1 intsortedrow = 1 For ro = 1 To lngpaths If arroptionpayoffs(ro, intperiods - intcounter) > 0 Then For col = 2 To intnumbasisfunc + 1 ' First column is already filled with 1s, to begin at column number 2 arrregressionvarnoblanks(intsortedrow, col) = arrregressionvar(ro, col - 1) ' First column is already filled with 1s, so need to minus 1 Next col intsortedrow = intsortedrow + 1 Else ' Do Nothing End If Next ro intsortedrow = intsortedrow

145 If lngprintbinary = 1 Then Sheets(sheetRegressionSorted).Select produmparray2d arrregressionvarnoblanks, 6, 1 ' Need to change back to 6,2 if you wanna see all the variables, also the 1s produmparray2d arry, 6, 1 End If arrolscoefficients = OLS(arrRegressionVarNoBlanks, arry) ' Store all the regressioncoefficients - last period on top, period 0 at last For ro = 1 To intnumberofolscoefficients arrallolscoefficients(ro, intcounter) = arrolscoefficients(ro, 1) Next ro If lngprintbinary = 1 Then produmparray2d MTRANSPOSE(arrOLSCoefficients), 2, 1 End If Erase arrregressionvarnoblanks() Erase arry() Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Least Squares regression Finished" End Sub Sub proexercisevalues() Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Calculating exercise values" For ro = 1 To lngpaths arrexercisevalues(ro) = arroptionpayoffs(ro, intperiods - intcounter) Next ro If lngprintbinary = 1 Then transexercisevalues = Application.Transpose(arrExerciseValues) ' Change this transpose, by just inserting af 2D matrix Sheets(sheetExContValues).Select produmparray1d transexercisevalues, 5, 2 End If Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Calculating exercise values Finished" End Sub Sub procontinuationvalues() Dim dblx As Double Dim dblx2 As Double Dim dblcontvalue As Double Dim X As Long Dim arrcoefficients() As Double Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Calculating continuation values" ' Create an array for the coefficients of the OLS regression - quicker to recall the coefficients from an array, than having to call worksheet for every path. Remember that the worksheet OLS function gives the coefficients in a reverse order ReDim arrcoefficients(1 To intnumbasisfunc + 1) For X = 1 To intnumbasisfunc + 1 arrcoefficients(x) = arrolscoefficients(x, 1) ' If possible, create the arrolscoefficients as a Double array, instead of Variant Next X ' For every path, list the continuation value, by multiplying each of the underlying variables with the coefficients, as long as not blank For ro = 1 To lngpaths dblcontvalue = 0 X = 0 If arroptionpayoffs(ro, intperiods - intcounter) > 0 Then ' To make it dynamic, find out how many basis functions there is, and make the calculation dependent on that. Make a loop, that adds all basis functions with their coefficients, which is every time added to the variable Continuation Value For X = 1 To intnumbasisfunc dblcontvalue = dblcontvalue + arrcoefficients(x + 1) * arrregressionvar(ro, X) Next X ' Lastly, add the constant dblcontvalue = dblcontvalue + arrcoefficients(1) 144

146 arrcontvalues(ro) = dblcontvalue Else arrcontvalues(ro) = 0 End If Next ro If lngprintbinary = 1 Then transcontvalues = Application.Transpose(arrContValues) Sheets(sheetExContValues).Select produmparray1d transcontvalues, 5, 3 End If Erase arrregressionvar() Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Calculating continuation values Finished" End Sub Sub probinary() Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Deciding optimal exercise strategy" For ro = 1 To lngpaths If arroptionpayoffs(ro, intperiods - intcounter) > 0 Then ' Check whether it a path which is blank If arrexercisevalues(ro) > arrcontvalues(ro) Then ' Check whether exercise value is higher than continuation arrbinary(ro, intperiods - intcounter) = 1 ' If it is higher, set binary value to 1, and set all binaries afterward to zero For col = 1 To intcounter arrbinary(ro, intperiods - intcounter + col) = 0 Next col Else arrbinary(ro, intperiods - intcounter) = 0 ' If it isnt higher, set it equal to 0 End If Else arrbinary(ro, intperiods - intcounter) = 0 End If Next ro ' If it is a path which is blank, set it equal to zero If lngprintbinary = 1 Then Sheets(sheetBinary).Select produmparray2d arrbinary, 8, 2 End If Application.StatusBar = "Calculating period " & intperiods - intcounter & " of a total of " & intperiods & " periods: Option " & bytoption- PayoffArrayNum & " - Deciding optimal exercise strategy Finished" End Sub 145