Oversigt over nyttige fordelinger

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Oversigt over nyttige fordelinger"

Signe Berg
7 år siden
Visninger:

1 Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende fordeling ( 1 med sandsynlighed p X = 0 med sandsynlighed 1 p X siges at være en Bernoulli fordelt variabel med sandsynlighedsparameter p. X Ber(p), Hændelsen X =1kaldes for succes og X =0for fiasko. E[X] = P x f(x) =1 p +0 (1 p) =p x Var(X) =E[X 2 ] (E[X]) 2 = p p 2 = p(1 p) 2 Binomialfordelingen 2 Hvis vi er interesseret i det samlede antal successer ud af et antal uafhængige gentagelser af et Bernoulli-eksperiment. 1 Side i B&L 2 Side i B&L 1

2 X = X X n er en stokastisk variabel med følgende fordeling n f(x) = p x (1 p) n x x 2 {0, 1, 2,...,n} x X siges at være en Binomialfordelt variabel med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. X Bin(n, p), E[X] =E[X X n ]=E[X 1 ] E[X n ]=n p Var(X) =Var(X X n )=Var(X 1 ) Var(X n )=n p(1 da X 1,...,X n er uafhængige. p), 3 Hypergeometrisk fordeling 3 Hvis vi er interesseret i det samlede antal successer ved stikprøveudtagning uden tilbagelægning. Fordelingen af antal successer X i ved stikprøveudtagning uden tilbagelægning er givet ved følgende udtryk: M N M x n x f(x) = x 2 {0, 1, 2,...,n} N n X siges at være en Hypergeometrisk variabel, hvor N = populationen og M = antal af den ene type af populationen og n = stikpr/ovest/orrelsen. 3 Side i B&L X HypGeo(N,M,n) 2

3 E[X] =n M N Var(X) =n M N (1 M N ) 4 Multinominalfordeling 4 Hvis vi er interesseret i at finde sandsynligheden for det samlede antal successer i et antal uafhængige eksperimenter, som har mere end 2 udfald. Sandsynligheden for hvert udfald er ens for hver gentagelse (som ved Bernoulli). Man kan se denne fordeling som en generalisering af Binomialfordelingen. Udfaldene i X ser ud som følger: Værdien af X A 1 A 2... A k Sandsynlighed p 1 p 2... p k Hvor summen af sandsynlighederne er 1. I en sekvens af n uafhængige gentagelser af eksperimentet er vi interesseret i at finde antal gange hvert af udfaldene i X forekommer. Hvis vi så definerer en stokastisk variabel, Y j,somerantalletafgangea j forekommer i n gentagelser for i =1, 2,...,k får vi, at sandsynlighedsfunktionen sær ud som følger: P (Y 1 = y 1,...,Y 3 = y k )= 5 Geometrisk fordeling 5 n y 1,...,y k p y1 1 py2 2...py k k Hvis vi er interesseret i hvor lang tid vi skal vente på at få succes første gang i et antal uafhængige gentagelser af Bernoulli-eksperimentet. 4 Side i B&L 5 Side i B&L 3

4 X er en stokastisk variabel, som tæller antallet af gange et spil skal gentages før, man får succes første gang. Fordelingen af X er givet ved: f(x p) =P (X = x) =(1 p) x 1 p, for x = {1, 2, 3,...} X siges at være geometrisk fordelt med sandsynlighedsparameteren p. Vi skriver; X Geo(p), E[X] = 1 p Var(X) = 1 p p 2 6 Negativ binomial fordeling 6 Hvis vi er interesseret ventetiden til r 0 te succes, hvis vi har et antal uafhængige gentagelser af et Bernoulli-eksperiment. Vi sætter Y til at være en stokastisk variabel, der angivet antallet af gentagelser for at få succes r gange. Fordelingen af Y er givet ved: y 1 f(x p) = p r (1 p) y r x 2 {1, 2, 3...} r 1 Y siges at være en negativt binomialfordelt variabel med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Y NegBin(n, p), Middelværdi af Y E[Y ]= r p 6 Side i B&L 4

5 Varians af Y Var(Y )= r(1 p) p 2 7 Poisson-fordelingen 7 Hvis vi ønsker at finde antallet af forekomster i et interval, fx over tid. X er en stokastisk variabel med følgende sandsynlighedsfunktion: f(x m) = mx x! e m X siges at være en Possionfordelt variabel med parameteren m, hvor m betegner det gennemsnitlige antal successer i et specificeret interval. : E[X] =m Var(X) =m X Poi(m) 7 Side i B&L 5

Relaterede dokumenter

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder