Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
|
|
- Morten Kristensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet) er en funktion p : E R som opfylder de to betingelser (p) p(x) 0, (p2) p(x). x E En sandsynlighedsfordeling på en endelig mængde E er en afbildning P som til hver delmængde (eller hændelse) A E knytter et tal P (A), så følgende tre betingelser er opfyldt: (P) P (A) 0 for alle A E (P2) P (E) (P3) P (A B) P (A) + P (B) for A, B E, A B Sandsynlighedsfunktioner og sandsynlighedsfordelinger hører sammen i par, og kan konstrueres ud fra hinanden efter formlerne p(x) P ({x}), P (A) x A p(x). Dette gælder også for diskrete fordelinger på vilkårlige (ikke nødvendigvis endelige) udfaldsrum, når definitionen af en sandsynlighedsfordeling suppleres med en ekstra antagelse. Ligefordelingen P på en endelig mængde E er givet ved P (A) A / E og har sandsynlighedsfunktionen p(x) / E. Regneregler for sandsynligheder: () P ( ) 0.
2 (2) P (A B) P (A) + P (B) P (A B). (3) For parvis disjunkte mængder A,..., A n er P (A A n ) P (A ) + + P (A n ). (4) P (E \ A) P (A). En stokastisk variabel X på E med fordeling P er en variabel der antager en tilfældig værdi, således at P (A) er sandsynligheden for at denne værdi falder i A. Vi skriver også P (X A) P (A). Ud fra en stokastisk variabel kan afledte stokastiske variable dannes ved transformation: Hvis t : E F er en afbildning fra udfaldsrummet E ind i et andet udfaldsrum F, så er Y t(x) en stokastisk variabel på F med fordeling Q givet ved Q(B) P (t(x) B) P (X t (B)) P (t (B)). Sandsynlighedsfunktionen for Y bliver q(y) x t (y) p(x). Kapitel 2: Betingede fordelinger og uafhængighed Den betingede sandsynlighed for B, givet A, er størrelsen P (B A) P (A B). P (A) P (B A) fortolkes som sandsynligheden for, at hændelsen B vil indtræffe, under antagelse af at A indtræffer. Lad X være en stokastisk variabel på E med fordeling P. Som funktion af en variabel hændelse B E kaldes P (B A) den betingede fordeling af X, givet X A. Mere generelt, hvis Y t(x) er en afledt stokastisk variabel med udfaldsrum F kaldes P (t (C) A) som funktion af C F den betingede fordeling af Y, givet X A. Kædereglen siger at hvis A,..., A n er hændelser således at P (A A n ) > 0, så er P (A A n ) P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 )... P (A n A A n ) Reglen for udregning af sandsynligheder ved opdeling i tilfælde siger at hvis A, A 2,..., A n er parvis disjunkte hændelser med positive sandsynligheder, således at A A 2 A n E, så kan sandsynligheden for en vilkårlig hændelse B E udregnes som P (B) P (A )P (B A ) + P (A 2 )P (B A 2 ) + + P (A n )P (B A n ). Stokastisk uafhængighed. Hvis (X, X 2 ) er en stokastisk variabel på produktmængden E E 2 siges X og X 2 at være (stokastisk) u- afhængige hvis sandsynlighedsfunktionen p(x, x 2 ) for den simultane fordeling (dvs. fordelingen af (X, X 2 )) kan skrives som produktet p(x, x 2 ) p (x )p 2 (x 2 ) 2
3 af sandsynlighedsfunktionerne for de marginale fordelinger af X og X 2. Alternativt kan stokastisk uafhængighed beskrives ved reglen P (X A og X 2 A 2 ) P (X A )P (X 2 A 2 ) eller ved at den betingede fordeling af X 2, givet en hændelse som vedrører X, altid er lig med den marginale fordeling af X 2. Kapitel 3: Fordelinger af antal Fakultetsfunktionen: n! 2 3 n n udråbstegn antal måder hvorpå en mængde bestående af n elementer kan ordnes. Nedadstigende faktoriel: n (k) n (n ) (n k + ) n!/(n k)! n i k rund antal ordnede sæt bestående af k elementer fra en mængde med n elementer. ( Binomialkoefficient: n k) n (k) n! k! k! (n k)! n over k antal delmængder med netop k elementer af en mængde med n elementer. Binomialformlen: Polynomialkoefficient: (x + y) n n k0 ( ) n s s 2... s k ( ) n x k y n k, k n! s!s 2!... s k! antallet af inddelinger af {,..., n} i k klasser af størrelser s,..., s k. Oversigt over diskrete fordelinger. Binomialfordelingen med antalsparameter n N og sandsynlighedsparameter p ]0, [ er fordelingen på {0,,..., n} med sandsynlighedsfunktion ( ) n p(s) p s ( p) n s. s Middelværdi np, varians np( p). Den hypergeometriske fordeling med parametre (N, R, n) er fordelingen på {0,..., n} med sandsynlighedsfunktion p(r 0 ) ( R )( N R ) r 0 n r ( 0 N n) ( n Middelværdi n R N, varians n R N ( R N ) N n N. r 0 3 ) R (r 0 ) (N R) (n r 0) N (n).
4 Polynomialfordelingen eller multinomialfordelingen med antalsparameter n N, orden k og sandsynlighedsparametre p, p 2,..., p k (positive med sum ) er fordelingen på {(s,..., s k ) N k 0 s + +s k n} med sandsynlighedsfunktion ( ) n p(s,..., s k ) p s s... s... ps k k. k Den marginale fordeling af S j er binomialfordelingen med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p j, hvoraf følger at ES j np j og var(s j ) np j ( p j ). Kovariansen mellem S i og S j for i j er np i p j. Den geometriske fordeling med parameter p er fordelingen på N 0 {0,, 2... } med sandsynlighedsfunktion p(t) ( p) t p. Middelværdi p p p, varians p. 2 Poissonfordelingen med parameter λ er fordelingen på N 0 med sandsynlighedsfunktion λ λx p(x) e x!. Middelværdi λ, varians λ. Den negative binomialfordeling med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p er fordelingen på N 0 med sandsynlighedsfunktion ( ) t + n p(t) p n ( p) t. t Middelværdi n p p Grænsesætninger., varians n p p 2. Den hypergeometriske fordeling kan, når stikprøvestørrelsen n er lille i forhold til det samlede antal kugler N, approksimeres med binomialfordelingen med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p R N. Binomialfordelingen kan, når p er lille og n er stor, approksimeres med Poissonfordelingen med parameter λ np. Kapitel 4: Middelværdi og varians. Middelværdien eller den forventede værdi af en stokastisk variabel X på R med sandsynlighedsfunktion p er givet ved EX p(x)x, hvor summationen skal foretages over alle x R (eller alle x for hvilke p(x) > 0). 4
5 Hvis X er en stokastisk variabel på E med sandsynlighedsfunktion p og f : E R en reel funktion på E, kan middelværdien af den afledte stokastiske variable Y f(x) beregnes som EY x E p(x)f(x). Regneregler: E(a + by ) a + bey, E(Y + + Y n ) EY + + EY n. For Y,..., Y n uafhængige: E(Y... Y n ) EY... EY n. Indikatorfunktion: For A E defineres A : E R ved A (x) for x A og A (x) 0 for x E \ A. Der gælder så E A (X) P (X A). Variansen for en reel stokastisk variabel Y er var(y ) E((Y EY ) 2 ) E(Y 2 ) (EY ) 2. Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen. Kovariansen mellem X og Y defineres ved cov(x, Y ) E((X EX)(Y EY )) E(XY ) (EX)(EY ). Der gælder følgende regneregler: var(a + bx) b 2 var(x), cov(x, X) var(x), cov(x, Y ) cov(y, X), cov(x, ay + bz) a cov(x, Y ) + b cov(x, Z), var(ax + by ) a 2 var(x) + b 2 var(y ) + 2ab cov(x, Y ). For stokastiske variable X,..., X n med cov(x i, X j ) 0 for i j (hvilket specielt gælder hvis de er stokastisk uafhængige) er var(x + + X n ) var(x ) + + var(x n ). Korrelationen mellem X og Y er corr(x, Y ) cov(x, Y ) var(x)var(y ) Korrelationer ligger mellem og. De ekstreme værdier og antages når X og Y er ens på nær lineært affin transformation. Chebychevs ulighed siger, at hvis X er en reel stokastisk variabel med middelværdi µ og varians σ 2 så er, for ethvert positivt tal a, P ( X µ a) σ2 a 2. 5
6 De store tals lov siger at hvis X, X 2,... er uafhængige, identisk fordelte med EX i µ og E(Xi 2 ) < +, så vil ( ) X + + X n P µ n < ɛ for n for ethvert ɛ > 0. Kapitel 5: Fordelinger på den reelle akse. Lad E være et interval på R (evt. E R). En sandsynlighedstæthed på E er en funktion p : E R) som opfylder (p) p(x) 0, og (p2) p(x) dx. E Den til p hørende kontinuerte sandsynlighedsfordeling P er givet ved P (A) p(x) dx A (x)p(x) dx. A Lad X være en stokastisk variabel med en kontinuert fordeling. Tæthedens lokale fortolkning går ud på, at der for små intervaller [x 0, x 0 +h] gælder P (X [x 0, x 0 + h]) p(x 0 )h. En kontinuert sandsynlighedsfordeling kan alternativt beskrives ved sin fordelingsfunktion F (x) P (X x) x p(z) dz, der kan fortolkes som et ubestemt integral af tætheden. p(x) F (x) i alle kontinuitetspunkter for p. Omvendt er Transformation. Hvis t : E F er en stykkevis konstant transformation kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med diskret fordeling, givet ved sandsynlighedsfunktionen q(y) P (t(x) y) P (X t (y)) p(x) dx. t (y) Hvis t : E F afbilder intervallet E bijektivt, monotont og kontinuert differentiabelt på et andet interval F kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med kontinuert fordeling givet ved tætheden q(y) p(x) t (x) p ( t (y) ) t (t (y)). Denne relation huskes (og forstås) lettest på formen p(x) dx q(y) dy 6
7 hvor man kan dividere over med enten dx eller dy, afhængigt af om det er transformationens differentialkvotient dy dx eller den omvendte transformations differentialkvotient dx dy der er lettest at opskrive som funktion af y. Dette resultat kan også benyttes for kontinuert differentiable transformationer som ikke er bijektive. Så skal q(y) blot udtrykkes som en sum af bidrag af samme form som ovenfor fra de punkter x, der afbildes over i y. Lineært affin transformation. Hvis X har tæthed p får Y a + bx (b 0) tæthed q(y) ( ) y a b p. b Fordelingen med tæthed q siges her at være fremkommet af fordelingen med tæthed p ved, at denne er forsynet med positionsparameter a og skalaparameter b. Transformation til rektangulær fordeling. Hvis X har en kontinuert fordeling med fordelingsfunktion F vil R F (X) være rektangulært fordelt på enhedsintervallet. Omvendt kan en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F konstrueres ud fra en rektangulært fordelt variabel R ved X F (R). Middelværdien af en stokastisk variabel X med tæthed p er givet ved EX p(x)x dx. Middelværdien af en afledt reel stokastisk variabel Y f(x) kan udregnes som EY p(x)f(x) dx. Definitionen af varians, kovarians og korrelation kan overtages uændret fra det diskrete tilfælde, og der gælder de samme regneregler. Den centrale grænseværdisætning siger, at hvis X, X 2,... er u- afhængige, identisk fordelte stokastiske variable med middelværdi µ og varians σ 2, så vil fordelingen af U n ( n X + + X n σ n ) µ konvergere mod en normeret normalfordeling, i den forstand at P (U n u) Φ(u). 7
8 Oversigt over kontinuerte fordelinger (også fra senere kapitler). Den rektangulære fordeling eller ligefordelingen på enhedsintervallet har tætheden på enhedsintervallet (og 0 udenfor). Middelværdi 2, varians 2. Ligefordelingen på et vilkårligt interval [a, b] (som fås ved lineært affin transformation af ligefordelingen på enhedsintervallet) har tæthed b a på intervallet (og 0 udenfor). Den normerede eksponentialfordeling har tæthed e x på [0, + [; middelværdi og varians. Eksponentialfordelingen med skalaparameter b har tæthed b e x/b ; middelværdi b, varians b 2. Cauchyfordelingen har tæthed (på hele den reelle akse) p(x) Middelværdi og varians er udefinerede. π( + x 2 ). Den tosidede eksponentialfordeling har tæthed (på hele den reelle akse) Middelværdi 0, varians 2. p(x) 2 e x. Den normerede normale fordeling har tæthed (på hele den reelle akse) ϕ(u) e u2 2. 2π Middelværdi 0, varians. Fordelingsfunktionen for den normale fordeling betegnes Φ(u) u ϕ(x) dx. Den normale fordeling med middelværdi µ og varians σ 2 (der kan fortolkes som fordelingen af X µ + σu for U normeret normalfordelt) har tæthed ( ) x µ σ ϕ σ ( exp 2πσ 2 ) (x µ)2 2σ 2. Den logaritmiske normalfordeling, fordelingen af Y exp(x) hvor X er normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, har tætheden p(y) ) ( y 2πσ exp (log(y) µ)2 2 2σ 2 ( på den positive halvakse. Middelværdi exp 8 µ + σ2 2 ).
9 Γ fordelingen (udtales gamma fordelingen) med formparameter λ er fordelingen med tæthed p(x) Γ(λ) xλ e x på den positive halvakse. Middelværdi λ, varians λ. χ 2 fordelingen (udtales ki i anden fordelingen) med f frihedsgrader er (for f N) fordelingen af 2X hvor X er Γ fordelt med formparameter f 2. Kan også fortolkes som fordelingen af U U 2 f, hvor U,..., U f er uafhængige, normeret normalfordelte. Middelværdi f, varians 2f. B fordelingen (udtales beta fordelingen) med formparametre λ og λ 2 er fordelingen med tæthed p(x) λ B(λ, λ 2 ) xλ ( x) λ 2 λ λ 2 (λ +λ 2 ) 2 (λ +λ 2 +). på [0,]. Middelværdi λ +λ 2, varians F fordelingen med frihedsgradsantal (f, f 2 ) er fordelingen af F X /f X 2 /f 2 hvor X og X 2 er uafhængige, χ 2 fordelte med henholdsvis f og f 2 frihedsgrader. T fordelingen med f frihedsgrader er fordelingen af T U X/f hvor U og X er uafhængige, U normeret normalfordelt og X χ 2 fordelt med f frihedsgrader. T 2 vil så være F fordelt med (, f) frihedsgrader. Kapitel 6: Fordelinger på reelle talrum. Lad E være R n eller et område i R n. En sandsynlighedstæthed på E er en funktion p : E R som opfylder (p) p(x,..., x n ) 0, og (p2) E p(x,..., x n ) dx... dx n. Den til p hørende kontinuerte sandsynlighedsfordeling P er givet ved P (A) p(x,..., x n ) dx... dx n A 9
10 A (x,..., x n )p(x,..., x n ) dx... dx n. Transformation. Hvis t : E F er en stykkevis konstant transformation kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med diskret fordeling, givet ved sandsynlighedsfunktionen q(y) P (t(x) y) P (X t (y)) p(x) dx... dx n. t (y) Fordelingen af (X,..., X k ) (k < n), altså den marginale fordeling af de første k variable, er igen en kontinuert fordeling med tæthed q(x,..., x k ) p(x,..., x n ) dx k+... dx n. Hvis t : E F afbilder E bijektivt og kontinuert differentiabelt på et andet område F R n kan Y t(x) fortolkes som stokastisk variabel på F med kontinuert fordeling givet ved tætheden q(y,..., y n ) p ( t (y,..., y n ) ) det Dt (t (y,..., y n )). Stokastisk uafhængighed. X,..., X n siges at være stokastisk uafhængige hvis tætheden kan skrives på formen p(x,..., x n ) p (x )... p n (x n ) hvor p,..., p n er sandsynlighedstætheder på R. Foldning. Lad X og X 2 være reelle stokastiske variable, uafhængige med tætheder p og p 2. Så har fordelingen af Y X + X 2 tætheden q(y) p (y x)p 2 (x) dx. Den normale fordelings foldningsegenskab. Hvis X,..., X n er uafhængige, normalfordelte med middelværdier µ,..., µ n og varianser σ, 2..., σn, 2 så er X + + X n igen normalfordelt med middelværdi µ + + µ n og varians σ σn. 2 0
11 Kapitel 7: Den normale fordelings teori. Γ funktionen: B funktionen: Γ(λ) B(λ, λ 2 ) x λ e x dx, λ > 0. x λ ( x) λ 2 dx, λ, λ 2 > 0. Γ funktionens funktionalligning: Γ(λ + ) λγ(λ). Relation mellem Γ og B funktionerne: B(λ, λ 2 ) Γ(λ )Γ(λ 2 ) Γ(λ + λ 2 ) Transformationsresultater. Hvis X og X 2 er uafhængige, Γ fordelte med formparametre λ og λ 2, så er S X + X 2 og Z X X + X 2 stokastisk uafhængige; S er Γ fordelt med formparameter λ + λ 2, og Z er B fordelt med parametre (λ, λ 2 ). Γ fordelingens foldningsegenskab. Lad X,..., X n være uafhængige, Γ fordelte med formparametre λ,..., λ n. Så er X + + X n Γ fordelt med formparameter λ + + λ n. Lad U,..., U n være uafhængige, normeret normalfordelte. Betragt for k < n de to afledte variable Z U U 2 k U U 2 n og S U U 2 n. Da er Z og S stokastisk uafhængige. Z er B fordelt med parametre k 2 og n k 2, og S er χ2 fordelt med n frihedsgrader. Endvidere er V (U U 2 k )/k (U 2 k+ + + U 2 n)/(n k) F fordelt med (k, n k) frihedsgrader. (n k)z k( Z) Lad Y,..., Y n være stokastisk uafhængige, identisk normalfordelte med middelværdi µ og varians σ 2, og definer Ȳ n (Y + + Y n ), SSD n (Y i Ȳ )2. i
12 Så er Ȳ og SSD stokastisk uafhængige, Ȳ normalfordelt (µ, σ2 /n) og SSD χ 2 fordelt med n frihedsgrader og skalaparameter σ 2. Hvis µ 0 er n Ȳ T T-fordelt med n frihedsgrader. n SSD Hvis U,..., U n er uafhængige, normeret normalfordelte, siges U (U,..., U n ) at være (n dimensionalt) normeret normalfordelt. Den lineært affint transformerede variabel X µ + CU, hvor µ R n og C er en regulær n n matrix, siges at være n dimensionalt normalfordelt med middelværdivektor µ og kovariansmatrix Σ CC. 2
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereFordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.
Fordelinger En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave Udvidet version Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.dk Da denne fordelingsoversigt's første udgave så verdens lys
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereFlerdimensionale transformationer
Kapitel 18 Flerdimensionale transformationer Når man i praksis skal opstille en sandsynlighedsmodel for et eksperiment, vil man altid tage udgangspunkt i uafhængighed. Ofte kan man tænke på det udførte
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereSandsynlighedsteori
Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori 1.1 + 1.2 Svend Erik Graversen August 2005 1 Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mere