Ideer: centicubes og tal

Transkript

1 centicubes og tal Ideer: T Hvor mange forskellige rektangler kan I bygge eller tegne, hvis I skal bruge 3 centicubes? 10 centicubes? 12 centicubes? 23 centicubes? 36 centicubes? Fremstil en tabel, der viser sammenhængen mellem antal centicubes og det antal forskellige rektangler, det er muligt at bygge. Hvordan kan I finde ud af, hvor mange forskellige rektangler det er muligt at bygge af et antal centicubes uden at bygge dem? Forklar, hvorfor der er forskel på, hvor mange rektangler I kan bygge. 1 Hvor mange forskellige kasser kan I bygge eller tegne, hvis I skal bruge 12 centicubes? 18 centicubes? 21 centicubes? 36 centicubes? Fremstil en tabel, der viser sammenhængen mellem antal centicubes og det antal forskellige kasser, det er muligt at bygge. Hvordan kan I finde ud af, hvor mange forskellige kasser man kan bygge af et antal centicubes uden at bygge dem? Forklar, hvorfor der er forskel på, hvor mange kasser I kan bygge. 2 Brug bilag 1. Hvad er arealet af kvadrat nummer 1? Nummer 2? Nummer 3? Nummer 4? Beregn forskellen mellem arealet af kvadrater, der følger lige efter hinanden i rækkefølgen. Kig på tegningerne af kvadraterne på bilag 1. Hvordan kan I se forskellen mellem deres arealer på tegningerne? Tegn kvadrat nummer 10, og beregn arealet. Diskuter, uden at tegne kvadratet, hvor mange flere centicubes I skal tegne i kvadrat nummer 11. Forklar hvorfor. Undersøg, om I har ret. Hvordan kan I skrive arealet af kvadrat nummer n? Diskuter, hvor mange flere centicubes I skal bruge til kvadrat nummer n Brug bilag 1. Hvad er rumfanget af kube nummer 1? Nummer 2? Nummer 3? Beregn forskellen mellem rumfanget af kuber, der følger lige efter hinanden i rækkefølgen. Byg kube nummer 4, og find rumfanget. Diskuter, uden at bygge kuben, hvor mange flere centicubes I skal bruge til kube nummer 5. Forklar hvorfor. Undersøg, om I har ret. Hvordan kan I skrive rumfanget af kube nummer n? Diskuter, hvor mange flere centicubes I skal bruge til kube nummer n Copyright 2012 webprøver.dk GYLDENDAL Webprøver matematik mundtlige oplæg

2 Centicubes og tal Antallet af rektangler til et givet antal centicubes er knyttet til divisorerne i det tal, der svarer til antallet. Fx er det med 6 centicubes muligt at bygge rektangler med sidelængderne 1x6 og 2x3, idet tallet 6 har divisorerne 1, 2, 3, 6. Når eleverne skal forklare sammenhængen, kan de ud fra en tabel overveje: Hvorfor er det nogle gange kun muligt at fremstille et rektangel? (Et antal svarende til et primtal). Hvor mange rektangler er det muligt at fremstille, hvis der er et antal centicubes svarende til et ulige kvadrattal? (2 rektangler). Når eleverne skal undersøge tallene mellem 1 og 50, kan de anvende forskellige strategier. Nogle kan på forhånd udelukke nogle tal - fx primtallene og ulige kvadrattal. Andre vil prøve sig frem og starte fra en ende med hhv. 1, 2, 3, 4..., og de opdager måske, at divisorerne hænger sammen to og to. I forbindelse med 6 centicubes, hænger 1 og 6 samt 2 og 3 sammen. Tallet 48 har flest divisorer (10). Nogle elever har brug for ideer som fx ovenstående til at systematisere deres undersøgelse. Når eleverne skal arbejde med kasse-tal, kan de bruge deres erfaringer fra arbejdet med rektanglerne. Differensen mellem arealet af to kvadrater er et ulige tal. Nogle elever vil kunne give en visuel forklaring på sammenhængen mellem sidelængden og antallet af centicubes, der skal tilføjes. Andre kan udfordres algebraisk med at argumentere for, hvorfor (n+1) 2 udtrykker arealet på et kvadrat, der følger efter kvadratet med sidelængden n og arealet n 2. De kan undersøge differensen mellem (n+1) 2 og n 2 og argumentere for, hvorfor 2n+1 er et udtryk for et ulige tal, og hvordan udtrykket kan bruges til at beregne, hvor mange centicubes der skal lægges til for at få arealet af det kvadrat, der følger lige efter. Man kan finde antallet af centicubes, der skal lægges til en kube med sidelængden n for at få rumfanget af næste kube i rækkefølgen, ved at tænke, at der lægges et lag på toppen svarende til n 2, dernæst et lag på siden svarende til n(n+1) og til sidst et lag på bagsiden svarende til (n+1) 2. I alt bliver det n 2 + n(n+1) + (n+1) 2. Eleverne kan evt. udfordres med at finde andre sammenhænge mellem figurer, der vokser på en bestemt måde.

3 Fraktaler Ideer: T Konstruer Von Kochs snefnugkurve til og med trin 3. Lad fx sidelængden på trin 0 være 9 cm. Brug evt. it. Udfyld en tabel som denne: 1 Trin Antal linjestykker 3 Hvordan vokser antallet af linjestykker fra trin til trin? Hvor mange linjestykker er der i Von Kochs snefnugkurve på trin 10? Trin 100? Trin n? Udfyld en tabel som denne: Trin Omkreds Hvordan vokser omkredsen fra trin til trin? Hvor stor er omkredsen af Von Kochs snefnugkurve på trin 10? Trin 100? Trin n? Konstruer Pythagoras træ til og med trin 3. Lad fx kvadratets sidelængde være 4 cm. Brug evt. it. Udfyld en tabel som denne: 2 Trin Antal kvadrater 1 Antal trekanter 1 Hvordan vokser antallet af trekanter og kvadrater fra trin til trin? Hvor mange trekanter og kvadrater er der i Pythagoras træ på trin 10? Trin 100? Trin n? Udfyld en tabel som denne: Trin Areal Hvordan vokser arealet fra trin til trin? Hvor stort er arealet af Pythagoras træ på trin 10? Trin 100? Trin n? Copyright 2012 webprøver.dk GYLDENDAL Webprøver matematik mundtlige oplæg

4 Fraktaler Bemærk, I Von Kochs snefnugkurve kan sammenhængen mellem trin, n, og antal linjestykker udtrykkes som 3 4n og sammenhængen mellem trin, n, og omkreds som 3 4n 93n, hvis sidelængden på trin 0 er 9. I Pythagoras træ kan sammenhængen mellem trin, n, og det samlede antal figurer (kvadrater og trekanter) udtrykkes som 2(n+2) 2 og sammenhængen mellem trin, n, og areal som 20n+20, hvis sidelængden af kvadratet på trin 0 er 4. Eleverne kan have forskellige tilgange til undersøgelserne. For mange elever kan det være en fordel at fokusere på udviklingen fra trin til trin, når de skal undersøge sammenhængen mellem trinnumre og antal/ omkreds/ areal. På den måde kan eleverne fx opdage, at hvert linjestykke på et trin i Von Kochs snefnugkurve bliver til fire linjestykker på det følgende trin, og at antallet af kvadrater/ trekanter i Pythagoras træ vokser med 2, 4, 8, 16, Opdagelser som disse kan støttes af uformelle tegninger/ notater og evt. tegninger af punktgrafer i et koordinatsystem. Bemærk, at et geometriprogram kan bruges i forbindelse med bestemmelse af omkredse og arealer, men at det også er centralt, at eleverne får mulighed for at vise, om de kan ræsonnere sig frem til sammenhængene uden at beregne omkreds/areal i de konkrete eksempler.

5 KVADRATTAL Ideer: T 1 Når I skal beregne de første 10 kvadrattal, kan I fx tegne kvadrater på ternet papir eller i et dynamisk geometriprogram. I kan fx beskrive sammenhængen mellem kvadrattalnummeret og selve kvadrattallet med jeres egne ord, med en tabel, en graf og/eller en ligning. Brug evt. et it-værktøj. 2 Når I skal beregne differensen mellem to kvadrattal, der følger lige efter hinanden, kan I fx begynde fra en ende af, altså med 4 1, 9 4, 16 9 osv. Kan I forudsige, hvad differensen er mellem kvadrattal nummer 20 og 21? 3 Forklar, hvorfor det ikke er muligt at sætte tallene sammen i par, så summen af hvert par bliver et kvadrattal, hvis I skal bruge de fem mindste naturlige tal eller de seks mindste naturlige tal. Giv andre eksempler, hvor det ikke er muligt, og forklar hvorfor. Giv eksempler på, hvor mange naturlige tal (1, 2, 3, ) I skal bruge, hvis det skal være muligt at sætte alle tallene sammen i par, så det mindste tal sættes sammen med det største, det næstmindste tal med det næststørste osv., og så summen af hvert par bliver et kvadrattal. Er det muligt at sætte alle tallene sammen i par, hvis I skal bruge de 8 mindste naturlige tal? De 16 mindste naturlige tal? De 24 mindste naturlige tal? (Et tal i 8-tabellen). Forklar, hvad I finder ud af. Hvis I skal bruge de 26 mindste naturlige tal eller et andet lige antal over 26, er der mere end en måde at sætte tallene sammen på i par, så summen af hvert par bliver et kvadrattal. Giv nogle eksempler på det. GYLDENDAL WEBPRØVER MATEMATIK MUNDTLIGE OPLÆG

6 Kvadrattal Det er vigtigt i starten af prøvetiden at sikre sig, at eleverne ved, hvad et kvadrattal er, og at de i forbindelse med problemstilling 3 hele tiden skal arbejde med en række af på hinanden følgende naturlige tal begyndende med 1, og at de skal bruge alle tallene. Differensen mellem to kvadrattal er et ulige tal. Nogle elever vil kunne give en visuel forklaring ud fra en tegning. Fx kan et kvadrattal illustreres med et kvadrat, og forskellen mellem to på hinanden følgende kvadrater svarer til to gange det mindste kvadrats sidelængde plus en. Det kan være en algebraisk udfordring at argumentere for, hvorfor x 2 og (x+1) 2 udtrykker arealet på to kvadrattal lige efter hinanden og for, hvorfor 2x+1 er et udtryk for differensen og et ulige tal. Eleverne skal have mulighed for at bruge talkortene, når de systematiserer deres undersøgelse i forbindelse med problemstilling 3. Lad dem også have mulighed for at lave en oversigt i regneark. Mange elever vil starte med at sætte tallene tilfældigt sammen og efterhånden udvikle ræsonnementer som Det er smart at starte med de højeste tal. Nogle gange er der nemlig kun en måde, de kan sættes sammen med et andet tal på. Når der er flere muligheder til de store tal, må vi prøve mulighederne af. Vi sidder fast, når. Jo flere tal, der bliver, jo vanskeligere kan det være at overskue mulighederne. Det er (selvfølgelig) ikke muligt at sætte tallene, hvis der er et ulige antal. Det kan heller ikke lade sig gøre, hvis det er de mindste 2, 4, 6, 10, 12, 20 eller 22 naturlige tal. Eleverne kan evt. støttes ved at få (nogle af) tallene givet og dernæst argumentere for, hvorfor det ikke er muligt at danne summer svarende til et kvadrattal. Andre udfordringer kan være at undersøge: Hvad hvis summen bare skal være lige? Hvis summen skal være et kubiktal? Hvis summen skal være delelig med 3? Hvad hvis I sætter tallene sammen tre og tre? Eleverne kan også udvikle deres egne regler og argumentere for, hvad der kan lade sig gøre i hvilke situationer.

7 LANGELANDSFESTIVAL 1 Ideer: T Hvor meget skal Gustav og Sebastian betale for de billigste festivalbilletter? For de dyreste? Hvor mange procent kan de spare? Hvor meget skal Gustav og Sebastian betale for at køre med bus til og fra festivalen? Beregn, hvor mange penge det koster Gustav og Sebastian at køre i bil, hvis de er tre i bilen. Der kan højst sidde fem personer i Gustavs storebrors bil. Hvor mange penge skal hver person bruge på transport, hvis de er fire i bilen? Hvis de er fem i bilen? Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem transportudgifter pr. person og antal personer i Gustavs storebrors bil. Hvor mange personer skal der mindst være i bilen for, at det bedst kan betale sig at køre med bil frem for bus? Hvad skal benzinprisen ændre sig til, for at det er billigere for tre personer at køre med bus frem for bil? Sammenlign de samlede udgifter til festivalbilletter og transport. Hvor stor er forskellen mellem den billigste og den dyreste løsning? Hvor mange procent kan Gustav og Sebastian spare ved at vælge den billigste løsning frem for den dyreste løsning? 1 Hvor mange penge skal Gustav og Sebastian bruge på mad, drikkelse, is m.m. i løbet af ugen? I kan fx finde forskellige oplysninger om priser på internettet. Fremstil et budget i et regneark, der viser en oversigt over Gustavs og Sebastians samlede udgifter til Langelandsfestivalen. I kan fx bruge filen FESTIVALBUDGET. 2 Hvor mange penge kan Gustav og Sebastian nå at tjene på de tre uger, hvis de arbejder som avisbude? Hvis de arbejder i et supermarked? Hvis de arbejder på en grillbar? Fremstil for hver af de tre jobmuligheder en tabel og en graf, der viser sammenhængen mellem, hvor mange timer Gustav og Sebastian skal arbejde, og hvor mange penge de får udbetalt. Hvilket job vil I anbefale Gustav og Sebastian at tage? Hvorfor? 3 Copyright 2012 webprøver.dk GYLDENDAL Webprøver matematik mundtlige oplæg

8 Langelandsfestival 1 Selve problemstillingen bygger på kendskab til opstilling af et budget for en tur og relevante økonomiske overvejelser i den forbindelse. Bemærk, at bilag 1 indeholder mange forskellige oplysninger, som eleverne kan bruge. Det er også en mulighed at finde aktuelle oplysninger på internettet fx om rabatordninger over Storebælt og diskutere, hvilken forskel det gør fx at have brobizz. I forbindelse med opstilling af budgettet kan eleverne lave et overslag over udgifter til mad, drikkelse m.m., men de kan også bruge internettet til at finde priser. Hvis eleverne arbejder med, hvor mange personer der mindst skal være i bilen, for at det er billigst at køre i bil frem for at tage bussen, kan nogle elever udfordres ved at tegne grafen for y=525x (sammenhængen mellem pris og antal personer i bus) og grafen for y=2 ( )x=796x, x {1,2,3,4,5}(sammenhængen mellem pris og antal personer i bil) og finde skæringspunktet. Andre kan prøve sig frem og undersøge fx Hvad kan bedst betale sig, hvis man er 1 person? 2 personer? 3 personer? Eleverne kan selv vælge, om de vil udarbejde et samlet budget for Gustav og Sebastian eller et budget for en person. Bemærk, at de kan arbejde videre med filen FESTIVALBUDGET. I forbindelse med tredje problemstilling kan eleverne arbejde med at få udgifterne til at harmonere med lønnen. Der lægges op til at regne med 8 % AMB, men nogle elever kan udfordres ved at indregne betaling af A-skat også.

9 Opsparing til en sprogrejse Ideer: T Hvor meget koster det for Emil i alt at tage på sprogrejse uden weekendtur eller dykkerkursus, hvis han rejser to uger til England? Til USA? Til Malta? Sammenlign prisen pr. uge for to, tre og fire ugers sprogrejse til de forskellige lande. Fremstil et budget i et regneark, der viser en oversigt over Emils samlede udgifter, hvis han tager på den billigste sprogrejse, og fremstil et budget for den dyreste sprogrejse. Hvor stor er prisforskellen mellem den billigste sprogrejse og den dyreste sprogrejse? Hvor mange procent kan Emil spare ved at vælge den billigste sprogrejse frem for den dyreste sprogrejse? Fremstil et diagram, der viser en oversigt over Emils udgifter for en af sprogrejserne. Undersøg, hvor meget det koster ekstra i danske kroner, hvis Emil vælger at købe weekendturen i forbindelse med sprogrejsen i England eller USA, eller hvis han vælger dykkerkurset på Malta. Fremstil en tabel og en graf, der viser sammenhængen mellem danske kroner og en af de udenlandske valutaer, og vis, hvordan I kan bruge dem til at finde prisen for en weekendtur eller et dykkerkursus i danske kroner. Hvor mange lommepenge skal Emil have med i udenlandsk valuta på de forskellige rejser, hvis han følger anbefalingerne? 1 2 Hvor mange timer skal Emil arbejde for at kunne sætte 700 kr. i banken hver måned i løbet af 9. klasse? Hvor mange penge kan Emil nå at spare sammen i løbet af 9. klasse, hvis han hver måned sætter 700 kr. i banken? I kan bruge regnearket EMILS OPSPARING. Hvor stor en procentdel af den samlede opsparing udgør rentebeløbet? Hvor mange penge kan Emil nå at spare sammen i løbet af 9. klasse, hvis han de første fem måneder (august - december) sætter 800 kr. i banken, og hvis han de sidste seks måneder (januar - juni) sætter 1000 kr. i banken? Giv et eksempel på, hvor mange penge Emil skal sætte i banken de enkelte måneder, hvis han skal nå at spare penge nok sammen til at betale halvdelen af udgifterne til sprogrejsen. Hvor mange timer skal han arbejde i de enkelte måneder for at kunne sætte de beløb, I har valgt, i banken? Hvor mange penge får han i rente? Hvor mange penge kan Emil nå at spare sammen, hvis han i stedet sætter pengene i en bank, der giver 1,0 % i rente om året? Vis, hvordan Emils opsparing udvikler sig i løbet af 9. klasse. I kan fx fremstille en tabel og en graf i regneark. Copyright 2012 webprøver.dk GYLDENDAL Webprøver matematik mundtlige oplæg

10 Opsparing til en sprogrejse Eleverne skal sammenligne udgifterne til sprogrejser til forskellige lande og af forskellig varighed. De kan både sammenligne de absolutte prisforskelle og de relative forskelle. Hvor mange procent er det fx dyrere at rejse tre uger til USA end til England? Til hver sprogrejse er der mulighed for et ekstra tilkøb i form af en weekendtur eller et dykkerkursus. Eleverne kan selv vælge, hvorvidt disse udgifter skal indgå i budgetterne. Eleverne kan selv vælge, om Emil har et eller flere jobs i løbet af 9. klasse. Se evt. jobpatruljen.dk for oplysninger om løn. Eleverne kan arbejde med Emils opsparing gennem 9. klasse ved at lave en tabel og en graf i regneark, men også ved at anvende renteformler. Lad dem evt. diskutere styrker og svagheder ved de forskellige repræsentationer for opsparingens udvikling. Filen EMILS OPSPARING kan hjælpe eleverne til at få overblik over Emils økonomi. Eleverne kan også undersøge, hvad Emil får ud af at sætte penge i banken ved at beregne, hvor stor en del renteindtægterne udgør af det samlede beløb. Filen EMILS OPSPARING kan også være afsæt for undersøgelser som: Hvad der sker med udviklingen af opsparingen, hvis Emil indbetaler et andet beløb hver måned? Hvad hvis rentesatsen er fx 1,0 % pr. år? Hvor meget skal Emil indbetale hver måned, hvis han vil spare kr. sammen i løbet af 9. klasse? Her er målsøgningsfunktionen i Excel oplagt at bruge. Det kan være en udfordring for eleverne at få indtægter og udgifter til at harmonere. De kan evt. lave en samlet oversigt over indtægter og udgifter i regneark og give forskellige eksempler på, hvordan Emil kan få råd til at rejse. Kan Emil fx spare alle pengene sammen, så forældrene ikke skal betale noget? Hvilken forskel ville det gøre, hvis han i forvejen havde sparet nogle penge sammen? Det er desuden en mulighed for eleverne at finde aktuelle priser og eksempler på sprogrejser, som de kan tage udgangspunkt i eller sammenligne med. Se fx eurostudy.dk, ef-danmark.dk, lisa-sprogrejser.dk ogvalutakurser.dk.

11 SPIL Ideer: T Afprøv et gratis spil MiniQuick og Sænke SlagskibeQuick på 1 På Danske Spils hjemmeside står der, at chancen for en gevinst i MiniQuick er 1:5, og i Sænke SlagskibeQuick er den 1:3. Undersøg, om det er rigtigt. Brug tallene på bilag 1. Beregn sandsynligheder for at vinde forskellige gevinststørrelser i MiniQuick og Sænke SlagskibeQuick (se bilag 1). Hvor stor en procentdel af indtægterne på MiniQuick og Sænke SlagskibeQuick betaler Danske Spil tilbage til kunderne i form af præmier (se bilag 1)? 2 På bilag 2 kan I se forskellige tabeller og diagrammer fra Danske Spils regnskaber. Forklar, hvad de viser. Sammenlign diagrammet En spillekrones fordeling og tabellen Hovedtal. Hvilke af tallene passer sammen? Hvor stor en del af overskuddet ( Årets resultat ) udgør tipsmidlerne ( Udlodning i alt )? Sammenlign tallene fra Danske Spils regnskaber fra 2011 (bilag 2) med de nyeste regnskaber på Opstil en tabel og/eller et diagram, der viser den procentvise fordeling af tipsmidlerne. 3 Spil terningspillet på bilag 3 flere gange. Fremstil et datamateriale, der kan bruges til at vurdere, hvilken spilleplade det bedst kan betale sig at satse på. Beregn sandsynlighederne for at vinde på de forskellige spilleplader. Copyright 2012 webprøver.dk GYLDENDAL Webprøver matematik mundtlige oplæg

12 Spil Det kan være en god idé at lade eleverne afprøve de to omtalte skrabespil. Det kan de gøre gratis på danskespil.dk. Afprøvningen kan give eleverne en forståelse for nogle af de begreber, som de skal kende for at kunne læse og forstå bilag 1. Afprøvningen kan desuden give eleverne en intuitiv fornemmelse af gevinstchancerne. Hvis eleverne ikke ud fra oplysningerne på bilag 1 kan beregne, hvor stor en procentdel af indtægterne på MiniQuick og Sænke SlagsskibeQuick Danske Spil betaler tilbage til kunderne i form af præmier, kan disse procentdele findes på danskespil.dk/om/koncernen/#popup/vinderchancer. Det kan være en ekstra udfordring i forbindelse med bilag 2, at eleverne opstiller en tabel og/eller et diagram, der viser den procentvise fordeling af tipsmidlerne. I forbindelse med undersøgelsen af sandsynlighederne for at vinde i terningspillet på bilag 3 kan eleverne anvende forskellige strategier. En mulighed er at afprøve spillet mange gange og ved hver afprøvning notere vinderspillepladen. På den måde kan eleverne opbygge et observationssæt, som kan danne grundlag for en (statistisk) bestemmelse af sandsynlighederne. En anden mulighed er at simulere kast med to terninger ved hjælp af et it-værktøj, fx regneark eller INFA-programmet Simuler, og på den måde opbygge et (stort) observationssæt, der på tilsvarende vis kan bruges som grundlag for vurdering af sandsynlighederne. På filen Spil er der simuleret 1000 kast med to terninger, og summen af øjentallene i hvert kast er beregnet. Hver gang der tastes F9, gentages simuleringen. En tredje mulighed er, at eleverne foretager en sandsynlighedsberegning på grundlag af kombinatoriske overvejelser over kast med to terninger. I den forbindelse kan de fx bruge et chancetræ eller en tabel.

13 Toiletpapir og toiletskyl Ideer: T Hvor mange meter toiletpapir tror I, at en dreng i klassen i gennemsnit bruger i døgnet? Hvor meget bruger en pige i klassen i gennemsnit i døgnet? Hvor mange toiletruller svarer det til? Beregn, hvor meget toiletpapir I forventer, at drengene og pigerne i klassen til sammen bruger om året. Diskutér, om størrelsen af forbruget afhænger af, hvilken slags toiletpapir det er. Opstil et eller flere regneudtryk, der kan bruges til at beregne klassens samlede forbrug af toiletpapir på et år. 1 Beregn prisen pr. rulle toiletpapir for forskellige slags toiletpapir. I kan bruge bilag 1. Beregn prisen pr. gram toiletpapir for forskellige slags toiletpapir. I kan bruge bilag 1. Fremstil et diagram, fx et pindediagram, som I kan bruge til at sammenligne priserne på forskellige slags toiletpapir. Hvilken slags toiletpapir kan det bedst betale sig at købe? Hvor mange penge kan klassen spare om året ved at købe det toiletpapir, der bedst kan betale sig, i forhold til det dyreste toiletpapir? Hvor mange procent er det dyreste toiletpapir dyrere end det billigste toiletpapir? Kan det betale sig at købe det miljømærkede toiletpapir? 2 Beregn, hvor mange ruller toiletpapir en dansker i gennemsnit brugte i 2010, når der var ca. 5,5 millioner danskere. Diskuter, hvilke usikkerheder der er i jeres undersøgelse af forbrug af toiletpapir. Er jeres resultater realistiske? Forklar, ud fra jeres undersøgelse af forskellige slags toiletpapir, om det er rimeligt at omregne direkte fra 653 millioner kroner på forbrug af toiletpapir til 281 millioner ruller toiletpapir. 3 Hvor mange toiletskyl tror I, at drengene i klassen har om dagen? Hvor mange toiletskyl tror I, at pigerne har? Beregn, hvor meget vand klassen bruger på toiletskyl om året. Opstil et eller flere regneudtryk, der kan bruges til at beregne prisen for klassens samlede vandforbrug til toiletskyl på et år. Fremstil diagrammer, hvor I sammenligner vandforbruget ved at bruge nye og gamle toiletter. 4 GYLDENDAL Webprøver matematik mundtlige oplæg

14 Toiletpapir Undersøgelsen, der refereres til i indledningen, er omtalt på Man skal dog have abonnement for at kunne læse resultaterne af undersøgelsen. Der er flere beslutninger, eleverne selv skal tage i forbindelse med modelleringsprocessen. Er der fx forskel på drenges og pigers forbrug af toiletpapir? Hvor meget toiletpapir bruger hhv. drenge og piger? Spiller kvaliteten ind på forbruget? Disse spørgsmål kan indgå i elevernes diskussion af, om deres resultater er realistiske (problemstilling 3). Det skal være muligt at rulle (dele af) en rulle toiletpapir ud og med udgangspunkt i dette foretage vurderinger og beslutninger. Nogle elever kan have brug for hjælp til at afgrænse deres undersøgelse. De kan fx vælge at tage udgangspunkt i en type toiletpapir, når de skal beregne forbruget, og dernæst beregne forbruget med udgangspunkt i en anden type. Det kan også være en mulighed at sammenligne mængden af papir ud fra nettovægten eller ud fra areal og antal lag. Nogle elever kan udfordres ved at skulle opstille en model til at beregne forbruget af en type papir, hvis de kender forbruget af en anden type. Kiloprisen for forskellige varer er ofte angivet på prisskilte i butikker. Eleverne kan beregne denne kilopris for forskellige slags toiletpapir, sammenligne den med deres undersøgelse af forbrug og diskutere, om de kan bruge kiloprisen til noget i forhold til, hvilken slags toiletpapir der er billigst at bruge. På baggrund af modelleringsarbejdet kan eleverne diskutere, om det er rimeligt at omregne direkte fra antal kroner på toiletpapir til antal ruller. De kan fx overveje, om man kan tale om en gennemsnitsrulle. I forbindelse med toiletskyl kan eleverne vælge at arbejde med én type skyl, fx et 4-liters-skyl, eller de kan udvide deres model, så den tager højde for, at begge typer af skyl bruges. Da vandpriserne kan være meget forskellige i de enkelte kommuner, kan de evt. finde den aktuelle pris for vand i deres egen kommune. Det er også en mulighed at sammenligne forbruget af vand til toiletskyl med forbruget af vand til fx bad, tandbørstning, opvask m.m.

15 ÆSKER Ideer: T Prøv jer frem ved at fremstille forskellige modeller af æskerne i papir eller karton. Beregn rumfanget af hver model. Fremstil og udfyld en tabel, som den der er påbegyndt herunder. Brug evt. et it-værktøj. 1 Højde 1,0 cm Rumfang Prøv jer frem, og undersøg, om det kan lade sig gøre at fremstille to forskellige æsker, der hver har rumfanget 500 cm 3. Fremstil og udfyld en tabel som ved problemstilling 1). Brug evt. et it-værktøj. Fremstil en graf, der viser sammenhængen mellem en æskes højde og rumfang. Brug evt. et it-værktøj. Undersøg, om det kan lade sig gøre at fremstille to forskellige æsker, der hver har rumfanget 500 cm 3, ved at opstille en ligning og løse den ved hjælp af et it-værktøj. 2 Beskriv med jeres egne ord sammenhængen mellem en æskes højde og det samlede areal af de fire hjørner, som må kasseres. Brug en tabel til at beskrive sammenhængen. Brug evt. et it-værktøj. Brug en graf til at beskrive sammenhængen. Brug evt. et it-værktøj. Brug en funktionsforskrift til at beskrive sammenhængen. 3 Copyright 2013 webprøver.dk GYLDENDAL Webprøver matematik mundtlige oplæg

16 Æsker I alle tre problemstillinger kan eleverne arbejde med forskellige arbejdsmåder og repræsentationsformer, der kan støtte deres tænkning. Det er fx en mulighed, at de prøver sig frem ved at fremstille modeller af æsker i papir eller karton arbejder systematisk med støtte i egne tegninger, beregninger, opstilling af tabeller og fremstilling af grafer matematiserer problemstillingerne ved at opstille symboludtryk, der behandles i et regneark eller i et CAS-program. Efterhånden som eleverne arbejder sig ind i problemstillingerne, vil de (ofte) foretage spring i deres arbejdsmåder og brug af repræsentationsformer. Fx kan man opleve, at elevgrupper, der i begyndelsen prøver sig frem og fremstiller konkrete modeller, senere i forløbet arbejder mere systematisk og ræsonnerende og erstatter de konkrete modeller med regneudtryk, som de - efterhånden - også kan generalisere. Elevernes progression i arbejdsformer og brug af repræsentationsformer kan indgå i vurderingen af deres præstationer. Bemærk, at den højde, som giver æsken det størst mulige rumfang, ikke er et helt tal (resultatet er 313cm). Noget tilsvarende gælder nogle af ideerne i forbindelse med problemstilling 2). Problemstillingen kan løses ved at opstille ligningen, (20 2n)2 n=500 4n3 80n2+400n=500, der har løsningerne n 1,9098 n=5 =13,09. De to førstnævnte løsninger er interessante i sammenhængen, mens den sidstnævnte løsning ikke harmonerer med problemstillingens begrænsninger, idet en højde på 13,09 cm ikke er mulig, når metalpladens sidelængde er 20 cm. Problemstilling 3) kan besvares med funktionsudtrykket f(n)=4n2. Elevernes matematisering af relationen mellem æskens højde og rumfang kan bl.a. omfatte nogle overvejelser over definitionsmængden. Hvor stor kan højden blive? Hvorfor? Hvordan kan man se på graferne, at højden ikke kan overstige 10 cm? Hvordan kan man se det på funktionsforskrifterne?