Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest

Transkript

1 Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑÐºÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje ad gangen, viser resultatet straks og er derfor let at eksperimentere med. Man kan tilpasse og indsætte egne data i R programmer, de virker så som alle andre værktøjer. R leverer betydeligt pænere grafik end mange kommercielle produkter, et plot kan gemmes i flere formater f.eks. ***.eps og ***.ps, hvorfra der kan konverteres til andre formater. Simulering giver en rimelig begrundelse for χ 2 -fordelingers optræden i χ 2 -test. R burde derfor også være egnet til ungdomsuddannelserne. Der findes mange tilgængelige vejledninger på www, f.eks. MORTEN LARSEN og PETER SESTOFT Noter om R, men det er ganske få ting der skal til. Eks. 1. Sum af to terninger simulering ÖÔØ ÚÒÙ ÑÒÑÐÙÚ ¹ ÙÑ ØÓ ØÖÒÒÖ ¹ ÑÙÐÖÒ Ü½¹ ÑÔÐºÒØ Þ½¼¼¼ ÖÔÐÌÊÍµ ÐÓÖÐÒ ÒÖ ÒØ Ü½ ÙÑÑÖÝ Ü½µ Ü¾¹ ÑÔÐºÒØ Þ½¼¼¼ ÖÔÐÌÊÍµ Ý¹Ü½ Ü¾ Ý ÙÑÑÖÝ Ýµ ØÐ Ýµ ÔÐÓØ ØÐ Ýµµ ÔÐÓØ Ýµµ Ê ÓÒ ÓÐ ÚÒÙ table(y) ÙÑÑÖÝ Ü½µ ÅÒº ½ Ø ÉÙº ÅÒ ÅÒ Ö ÉÙº ÅÜº ½º¼¼¼ ¾º¼¼¼ º¼¼¼ º º¼¼¼ º¼¼¼ y ÙÑÑÖÝ Ýµ ÅÒº ½ Ø ÉÙº ÅÒ ÅÒ Ö ÉÙº ÅÜº ¾º¼¼¼ º¼¼¼ º¼¼¼ º¼¾ º¼¼¼ ½¾º¼¼¼ ØÐ Ýµ Ý ¾ ½¼ ½½ ½¾ ¾ ½¾¼ ½¾ ½ ½ ½¼ ¾ Programlinjerne indskrives i et script og gemmes i en fil ***.R i en mappe f.eks. R1. Programmet fortolker en linje ad gangen. Curseren anbringes på første linje og kommandoen udføres ved at taste ctrl og R. Resultatet vises i R Console, hvilket gør det let at kontrollere om det var det ønskede. ecdf(y) Der kan eksperimenteres med f.eks. X X, X 1 X 2, X 1 X 2 X 3 X 4. Eks. 2. Sum af to terninger sandsynlighedsmodel

2 Ò ÝÒÐ ÑÓÐ Ü¾¹¾½¾ Ü¾ Ô¼¹½½½ Ô¼½½ ¹½ Ô¼¹Ô¼» Ô¼ ÔÐÓØ Ü¾ Ô¼ ÐÛ½¼ ÜÐÑÖÒ ½ ½ µ ØÝÔ ÓÐÐÙ ÑÒ ØÓÐÔ ÓÖ Ò ¼½µßÐÒ ¼º¼½µÐ ÔÐÓØ Ü¾ ÙÑ ÙÑ Ô¼µ ØÝÔ ÐÛ ÓÐÐÙ ÜÐÑÖÒ ½ ½ µµ ÓÖ Ò ¼½¼µßÐÒ ¼º½µÐ ÓÖ Ò ½½¾µßÐÒ ÚµÐ ÓÖ ÙÑ ØÓ ØÖÒÒÖµ stolpe for sum af to terninger p cumsum(p0) Teststørrelser og simulering Ved simulering antages hypotesen opfyldt og de indbyggede random funktioner giver passende variation i observationerne i overensstemmelse med forudsætningerne. F.eks. kan 600 terningkast simuleres med phyp = (p 1,..., p 6 ) = ( 1 6, 1 6, 1 6, 1 6, 1 6, 1 6 ) sample(6,600,replace=true,phyp) rmultinom(1,600,phyp)[1:6], rmultinom(n, size, phyp) 1 round(runif(600,0,6)0.)), ligefordeling, rykker lidt til højre, hvor obs. er normalfordelte om (1, 2, 3, 4,, 6). Med eks. nedenfor er lavet statisik på sand. for obs. 1. Ved at variere antal kast ses hvordan spredningen varierer. 1 R: A Language and Environment for Statistical Computing The rmultinom() algorithm draws binomials X j from Bin(n j ; P j ) sequentially, where n 1 = N (N := size), P 1 = π 1 (π is prob scaled to sum 1), and for j 2, recursively, n j = N ( j 1 k=1 X k and P j = π j / 1 ) j 1 k=1 π k. 2

3 ØØ Ø Ô ÙÐ Ó½¹ÖÔ ¼ ½¼¼¼µ ÔÝÔ¹ÖÔ ½» µ ÔÝÔ ÓÖ Ñ Ò ½½¼¼¼µß Ü¹ØÐ ÑÔÐ ¼¼ ÖÔÐÌÊÍ ÔÝÔµµ Ó½Ñ ¹Ü½»¼¼Ð ÔÐÓØ Ó½µµ ÓÖ Ò ¼½¼µßÐÒ ¼º½µÐ ÓÖ Ò ½½¼µßÐÒ Ú¼º¼½ ¼º½¾µÐ ÙÑÑÖÝ Ó½µ ÚÖ Ó½µ Ó½µ ÙÑÑÖÝ Ó½µ ÅÒº ½ Ø ÉÙº ÅÒ ÅÒ Ö ÉÙº ÅÜº ¼º½½¼ ¼º½¼ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ¼º¾¾¼ ÚÖ Ó½µ ½ ¼º¼¼¼¾ ½¾½ Ó½µ ½ ¼º¼½¾¼ ecdf(o1) Ved simulationen bør middelværdien for p 1 være 1/6 og eks. giver mean=0.1663, og ved n = 600 er den forventede varians på hypotesens p 1 p 1 (1 p 1 )/n = 6 1(1 6 1 )/600 = /36/600 = og spredningen σ = = svarer til observeret sd(o1) = χ 2 - teststørrelsen eller Pearsonteststørrelsen beregnes som K() = (obs. antal forv. antal) 2 forv. antal og testsandsynligheden = ( 1 np 1 ) 2 np 1 ( m np m ) 2 np m, ǫ() 1 F χ 2 df (K()). Små værdier af K() svarer til nær den forventede. Simulationen giver indtryk af tæthed og fordeling af K() under hypotesen. Eks. 3. En terning, tæthed og fordeling af K() Kastes 60 gange med en alm. terning er forventet np = (,,,,, ). Ved 60 kast observeres f.eks. = ( 1,..., 6 ) = (16, 12, 9, 9, 7, 7). I eks. her er K() = (16 )2 (12 )2 (9 )2 (9 )2 (7 )2 (7 )2 De grønne/kraftige grafer er tæthed fra histogram og ecdf (empirisk cumuleret tæthed) fra observationerne og de blå/tynde er tæthed og fordeling for χ 2 -fordelingen med frihedsgrader. Af nederste fig. aflæses, at de % der ligger længst fra den forventede har K() større end 11, og de 2.% der ligger længst fra har K() større end 13. som i eks. her er - kan aflæses af nederste graf ǫ((16, 12, 9, 9, 7, 7)) 1 F χ 2 (K((16, 12, 9, 9, 7, 7))) = 1 F χ 2 (6) = 0.31, Med = (6, 16, 7, 16, 6, 9) er ǫ() = ǫ((6, 16, 7, 16, 6, 9)) 1 F χ 2 (K((6, 16, 7, 16, 6, 9))) = 1 F χ 2 (11.4) = = 6. 3

4 Man kan lave vilkårlige sandsynlighedsvektorer, f.eks. p = (1, 1, 1, 1, 1, 2) efterfulgt af normering p = (1, 1, 1, 1, 1, 2)/sum(p) og en mere skæv med p<-rep(1:6), p = (1, 2, 3, 4,, 6) efterfulgt af p<-p/sum(p). Det observeres at tæthed og fordeling for K() ikke ændres. Histogram of obsk ÔÝÔ¹ÖÔ ½» µ ÔÝÔ ÒØÐ Ø¹¼ ÓÖÚ¹ÒØÐ Ø ÔÝÔ ÓÖÚ ÙÑ ÓÖÚµ Ã¹ÙÒØÓÒ Üµß ÙÑ Ü¹ÓÖÚµ¾»ÓÖÚµÐ Ô ¹ÙÒØÓÒ Üµß½¹Ô Õ Ã Üµ µð Ü½ ¹½Ü¾ ¹½¾Ü ¹Ü ¹Ü ¹Ü ¹ Ü¹ØÐ ÑÔÐ ÒØÐ Ø ÖÔÐÌÊÍ ÔÝÔµµ ÚÖ ÝÔÔ ÓÖ ÐÐ ÓÖ Ñ Ò ½¾¼µß Ü¹ØÐ ÑÔÐ ÒØÐ Ø ÖÔÐÌÊÍ ÔÝÔµµ ÝÔÔ Ü¹ÖÙÒ ÒØÐ Øµ Ü¹ÖÓÙÒ ÒØÐ Ø Ü» ÙÑ Üµµ Ü¹ØÐ ÖÓÙÒ ÖÙÒ ÒØÐ Ø ¼ µ ¼ºµµµ Ü¹ÖÑÙÐØÒÓÑ ½ ÒØÐ Ø Ô½µ½ ÔÖÒØ Üµ ÔÖÒØ ÙÑ Üµµ ÔÖÒØ Ã ÜµµÐ ÒØÐ ¹¼¼ Ó Ã¹ÖÔ ¼ ÒØÐ µ ÓÖ Ñ Ò ½ÒØÐ µ ß Ü¹ØÐ ÑÔÐ ÒØÐ Ø ÖÔÐÌÊÍ ÔÝÔµµ½ Ü¹ÖÙÒ ÒØÐ Øµ Ü¹ØÐ ÖÓÙÒ ÖÙÒ ÒØÐ Ø ¼ µ ¼ºµµ Ó ÃÑ ¹Ã Üµ Ð ÙÑÑÖÝ Ó Ãµ Ó Ã Ø Ó Ã ÖÕÄË Ö ¾¼ ÓÐÔÒµ ÐÒ Ò ØÝ Ó Ãµ ÐÛ ÓÐÖÒµ Ü½¹ Õ ¼ ¼ Ýº½µ Ý½¹ Õ Ü½ µ ØØ ÐÒ Ü½ Ý½ ÐÛ ÓÐÐÙµ ÔÐÓØ Ó Ãµ ÓÐÖÒ ÐÛ½¼µ ÓÖ Ò ¼¾µßÐÒ ÚµÐ ÓÖ Ò ¼µßÐÒ Ú ÐÛ¾µÐ ÓÖ Ò ¼½¼µßÐÒ ¼º½µÐ Ý½¹Ô Õ Ü½ µ ÓÖÐÒ Ý½ ÐÒ Ü½ Ý½ ÐÛ ÓÐÐÙµ ÐÒ ¼º ÓÐÖÓÛÒ ÐÛ¾µ ÐÒ ¼º ÓÐÖÓÛÒ ÐÛ¾µ ÐÒ Ú ÓÐÖÓÛÒ ÐÛ¾µ Density obsk ecdf(obsk) Eks. 4. Antalstabel Et kendt eks. på en 22 tabel. Er der uafhængighed mellem tøjkøb pr. md. og køn? Hvis det antages, at forbruget er uafhængigt af køn, må sandsynligheden for søjlerne være p = (p 1, p 2 ) = ( , ) = (0.44, 0.6), og de forventede antal kan beregnes og sammenlignes med de observerede antal. Indtastning af data og beregning af teststørrelse med de øverste fem linjer i R prog. nedenfor. Også her stemmer simulationer pænt med χ 2 -fordelingen med 1 frihedsgrad. De grønne/kraftige grafer er tæthed fra histogram og ecdf fra observationerne og de blå/tynde er tæthed og fordeling for χ 2 -fordelingen med 1 frihedsgrad. De % obs. med største K() værdier er større end 4. De opfylder også hypotesen, men anses for at være for ekstreme. Her beregnes K værdien med den mere overskuelige K1(data.table,forv.table) 4

5 observerede forventede tøjkøb kr. pr. md. mindre end 100 mere end 100 kvinder mænd kvinder = = mænd = = def. nedenfor. K kan beregnes som K(data.table) som det gøres i næste eks. Histogram of ok1 ecdf(ok1) Density ok1 0 1 [ ] 98 2 = data.table = 60 0 ([ ]) 98 2 K() = K 60 0 F χ 2 1 (4.8) kan aflæses af blå/tynde graf. = K1(data.table, forv.table) ([ ] [ ]) = K1, = 4.8, ([ ]) 98 2 ǫ() = ǫ 1 F 60 0 χ 2(4.8) = [ ] = data.table = ([ ]) K() = K = 3.4, ([ ]) ǫ() = ǫ 1 F χ 2(3.4) =

6 ecdf(ok) Man kan undersøge svar der er næsten vilkårlige, her vælges kun obs. større end seks. I fig. er den grønne graf K() og den røde kvotientteststørrelse 2 log(q()). K() værdierne er ret store, men ca. 18% af de næsten tilfældige svar har K()< R Script ÖÓÛ½¹ÖÔ ¼ ¾µ ÖÓÛ½¹ ½¼¾µ½¾ ÔÐÖ Ø ÚÖ ÚÖ ÖÖÓÖ Ô ÒÓÐ Ô ÖÓÛ¾¹ÖÔ ¼ ¾µ ÖÓÛ½½ ¹ ÖÓÛ½¾ ¹½¼¾ ÖÓÛ½ Ú Ö Ø Ö ÖÓÛ¾½ ¹¼ ÖÓÛ¾¾ ¹½¼¼ ÖÓÛ¾ Ú ÒÒ Ö ÖÒ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ¹ØºØÐ ØÐ Ñ ÐÐÖ ÑØÖÜ ØºØÐ Ú Ø ÒØ Ø ÑÓÐ Ñ Ò ØÒ ØÐÐ ÚÖ ÕºØ Ø ØºØÐµ ¹¹ÒÒ Ø Ø ØÖÖº ÖÓÛ½ ÑÒ Ø ÙÑ ¾¼¼ ÖÓÛ½½ ¹ ÑÔÐ ½ ½µ ÚÒØ ÓÖÐØ ÒÒ ÐÐÐ ÔÖÓÖÑ ØÙÑÔ ÐÚÖÖ Ö ÙÐØØØ ÑÒ Ø Ú Ö Ñ ÖÐ ÑØ Ò ÖÒÒ ÕºØ Ø Ñ ÓÖÚÒØØ ÖÓÛ½¾ ¹¾¼¼¹ÖÓÛ½½ ÓÊ½Ñ ¹ÖÓÛ½½ ØÐ ØØ ÓÊ¾Ñ ¹ÖÓÛ½¾ ØÐ ØØ Ô¹ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ» ÙÑ ØºØÐµ ÙÒÖ ÝÔÓØ ÖÓÛ¾ ÑÒ Ø ÙÑ ½¼ Ô ÖÓÛ¾½ ¹ ÑÔÐ ½ ½µ ÓÖÚ½¹ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ ÙÑ ÖÓÛ½µ» ÙÑ ØºØÐµ ÓÖÚÒØ ÖÓÛ¾¾ ¹½¼¹ÖÓÛ¾½ ÓÖÚ¾¹ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ ÙÑ ÖÓÛ¾µ» ÙÑ ØºØÐµ ÖÒ ÓÖÚ½ ÓÖÚ¾µ ¹ ÓÖÚºØÐ ÖÒ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ¹ØºØÐ ÓÖÚºØÐ ÒÓÐ ØºØÐµ Ã½¹ÙÒØÓÒ ØºØÐ ÓÖÚºØÐµß ÙÑ ØºØÐ¹ÓÖÚºØÐµ¾»ÓÖÚºØÐµÐ Ã½¹ÙÒØÓÒ Ü µß ÙÑ Ü¹µ¾»µÐ Ô ½¹ÙÒØÓÒ Üµß½¹Ô Õ Ü ½µÐ Ã½ ØºØÐ ÓÖÚºØÐµ Ô ½ Ã½ ØºØÐ ÓÖÚºØÐµµ ÑÙÐÖÒ ÙÒÖ ÝÔÓØ Ò Ô ÒØÐ½¼¼¼¼ ÓÃ½¹ÖÔ ¼ ÒØÐµ ÓÖ Ñ Ò ½ÒØÐµ ß ÖÓÛ½¹ÖÑÙÐØÒÓÑ ½ ¾¼¼ ÔÖÓÔµ½¾ ÖÓÛ¾¹ÖÑÙÐØÒÓÑ ½ ½¼ ÔÖÓÔµ½¾ ÖÒ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ ¹ ØºØÐ ÓÖÚ½¹ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ ÙÑ ÖÓÛ½µ» ÙÑ ØºØÐµ ÓÖÚ¾¹ ÖÓÛ½ ÖÓÛ¾µ ÙÑ ÖÓÛ¾µ» ÙÑ ØºØÐµ ÖÒ ÓÖÚ½ ÓÖÚ¾µ ¹ ÓÖÚºØÐ ÓÃ½Ñ ¹Ã½ ØºØÐ ÓÖÚºØÐµÐ ÓÃ½ Ø ÓÃ½ ÖÕÄË Ö ¾¼ ÓÐÔÒµ ÐÒ Ò ØÝ ÓÃ½µ ÐÛ¾ ÓÐÖÒµ Ü½¹ Õ ¼ ½¼ Ýº½µ Ý½¹ Õ Ü½ ½µ ØØ ÐÒ Ü½ Ý½ ÐÛ¾ ÓÐÐÙµ ÔÐÓØ ÓÃ½µ ÓÐÖÒ ÐÛ½¼µ Ý½¹Ô Õ Ü½ ½µ ÓÖÐÒ ÐÒ Ü½ Ý½ ÐÛ ÓÐÐÙµ ÓÖ Ò ¼½¼µßÐÒ ¼º½µÐ ÓÖ Ò ¼ ¼µßÐÒ ÚµÐ ÐÒ ¼º ÓÐÖÓÛÒ ÐÛ µ ÓÖÚÒØ ÒÖÓÛ ØºØÐµ ÖÒÒ Ã ØºØÐµ Ã¹ÙÒØÓÒ ØºØÐµß ÓÖÚºØÐ¹ØºØÐ ÔÝÔ¹ÓÐËÙÑ ØºØÐµ» ÙÑ ØºØÐµ ÓÖ Ñ Ò ½ÒÖÓÛ ØºØÐµµß ÓÖÚºØÐÑ ¹ÖÓÛËÙÑ ØºØÐµÑ ÔÝÔÐ Ã¹ ÙÑ ØºØÐ¹ÓÖÚºØÐµ¾»ÓÖÚºØÐµ ÖØÙÖÒ ÃµÐ ÓÖÚÒØ ÖÓÛ Ã ØºØÐµ ÑÒ ÓÖÚºØÐµ ÑÒ Ø ÚÖ ÓÖÚÒØ Ð ÚÖ ØÖÖ Ò ÚÓØÒØØ Ø ØÖÖÐ É¹ÙÒØÓÒ ØºØÐµß É¹½ ÓÖ Ñ Ò ½ÒÖÓÛ ØºØÐµµ ÖÖ ßÓÖ Ò Ò ½ÒÓÐ ØºØÐµµ ÐÖ ßÉ¹É ÖÓÛËÙÑ ØºØÐµÑ ÓÐËÙÑ ØºØÐµÒ» ÙÑ ØºØÐµ ØºØÐÑ Ò µµ ØºØÐÑ Ò µðð ÖØÙÖÒ ÉµÐ 6

Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest

ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò ÓÑ¹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ

deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j

ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne

ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Note om Monte Carlo metoden

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

Matematiklærerdag 2008

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen