Matematiklærerdag 2008
|
|
|
- Ella Kronborg
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008
2 Matematik og kemi.
3 Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit efter Jørgen Brandt.
4 Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit efter Jørgen Brandt. Baseret på noter der kan findes på web-adressen
5 n 2 n + n = (n2 + n) ØØ Ö Ø Ö Ø ÑÔÐ Ô ÈÓÐݳ ÓÖÑк Ø ÖÐÚÒØ ³ÝÐÔÓÐÝÒÓÑ Ñ³ Ö Ö Z C2 (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 1 + x 2) ÖÙÔÔÒ Ö ÔÖ ÖÙÒÒ Ö Ò ÝÐ ÖÙÔÔ Ñ ØÓ ÐÑÒØ 2º Ø ÑÖ ÖÐ Ø ÔÖÓÐÑ Ö ÐÒ ÑÔÐ ½º¾ Ä S ÚÖ Ø ÙÐ ØÓ¹ ÐØ ÓÖÑ Ò ÖÙÐÖ ¹Òغ Ì ÚÖØ ÙÐ ØÓØÓÑ Ò Ò Ø ÑÓÐÝÐ Ö ÑÒÒ C = {H, Cl}º ËÝÑ ØÖÖÒ ØÖ ÖÙÑе ÖÓØØÓÒÖ ¹ÒØÒº ÀÚÓÖ ÑÒ ÓÖ ÐÐ ÓÐÝÐÖ Ö Ö ÀÚÓÖ ÑÒ ÓÖ ÐÐ ÑÓÐÝÐÖ Ö Ö Ñ ÒØÓÔ C ÓÑÖ Cl H H Cl H Cl ÙÖ ½ ÊÙÐÖ ¹ÒØ ÚÒÖ ÒÖ ØÐ ØÐ ØØ ÑÔк
6 Hvis S betegner hjørnerne i benzen-ringen er problemet at bestemme antallet af funktioner f : S C (= {H,Cl}) som giver anledning til forskellige molekyler.
7 Hvis S betegner hjørnerne i benzen-ringen er problemet at bestemme antallet af funktioner f : S C (= {H,Cl}) som giver anledning til forskellige molekyler. Gruppen Σ S af alle permutationer af S virker på disse funktioner: g f (s) = f ( g 1 s ) Det tal vi søger er antallet af baner for virkningen af den undergruppe G Σ S som svarer til rumlige transformationer, dvs. drejninger og rotationer, men ikke spejlinger!
8 Polya s formel Theorem Antallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er 1 C c(g) G g G hvor c(g) betegner antallet af g s baner i S.
9 Polya s formel Theorem Antallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er 1 C c(g) G g G hvor c(g) betegner antallet af g s baner i S. Bemærk at ved brug af denne formel bliver problemet ikke sværere ved at tillade flere slags atomer, f.eks. H,Cl og Br.
10 Polya s formel Theorem Antallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er 1 C c(g) G g G hvor c(g) betegner antallet af g s baner i S. Bemærk at ved brug af denne formel bliver problemet ikke sværere ved at tillade flere slags atomer, f.eks. H,Cl og Br. Jørgen Brandts noter håndterer også farvninger med vægte som gør det let at tælle, f.eks. antallet af forskellige molekyler med netop 3 klor atomer.
11 Et citat The hot topic among medicinal chemists today is a novel technique for chemical synthesis in drug research called combinatorial chemistry, where usually a core structure and some building-block molecules are given and all combinatorially possible combinations are produced. The resulting set of compounds (called a library) can afterwards be systematically screened for a desired biological activity (Thomas Wieland, Journal of Mathematical Chemistry, 1997)
12 Matematik og kemi.
13 Matematik og kemi. Punktgrupper.
14 Matematik og kemi. Punktgrupper. Baseret på noter der kan findes på web-adressen
15 Beslutningstræ til bestemmelse af et molekyles punktgruppe Molekyle D h i? I h C 5? Lineaert? C v To eller flere C n, n > 2? i? O h T d n C 2? C n?
16 Symmetrier En symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n R n : f (x) f (y) = x y.
17 Symmetrier En symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n R n : f (x) f (y) = x y. Theorem En symmetri har formen f (x) = L(x) + b, hvor L er en lineær symmetri og b R n er en fast (translations)vektor.
18 Symmetrier En symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n R n : f (x) f (y) = x y. Theorem En symmetri har formen f (x) = L(x) + b, hvor L er en lineær symmetri og b R n er en fast (translations)vektor. Heraf følger at en symmetri er invertibel, og den inverse er selv en symmetri: f 1 (x) = L 1 (x) L 1 (b). Symmetrierne udgør en gruppe.
19 Rotation z x f(x) x y Rotation om en akse
20 Spejling Spejling i en plan
21 Dreje-spejling z x x y f(x) En dreje-spejling
22 Symmetri- og punktgrupper En gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når der findes et punkt x 0 R n så f (x 0 ) = x 0 f G.
23 Symmetri- og punktgrupper En gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når der findes et punkt x 0 R n så f (x 0 ) = x 0 f G. Lad M R n være en delmængde. Så er Sym(M) = {f : R n R n : f er en symmetri og f (M) = M} en gruppe - symmetrigruppen for M.
24 Symmetri- og punktgrupper En gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når der findes et punkt x 0 R n så f (x 0 ) = x 0 f G. Lad M R n være en delmængde. Så er Sym(M) = {f : R n R n : f er en symmetri og f (M) = M} en gruppe - symmetrigruppen for M. Theorem Symmetrigruppen for en begrænset delmængde M R n er en punktgruppe.
25 Ækvivalente punktgrupper To punktgrupper, G 1 og G 2, er konjugerede - og dermed ens - når der findes en symmetri g så gg 1 g 1 = G 2.
26 Ækvivalente punktgrupper To punktgrupper, G 1 og G 2, er konjugerede - og dermed ens - når der findes en symmetri g så gg 1 g 1 = G 2. OBS: Isomorfe punktgrupper kan sagtens være forskellige!!
27 Ækvivalente punktgrupper To punktgrupper, G 1 og G 2, er konjugerede - og dermed ens - når der findes en symmetri g så gg 1 g 1 = G 2. OBS: Isomorfe punktgrupper kan sagtens være forskellige!! Beslutningstræet angiver en algoritme til at bestemme punktgruppen for et givet molekyle. Diagrammet indeholder dermed en liste af alle punktgrupper der kan optræde for molekyler. (Og det er langt fra alle punktgrupper der kan.)
28 Om noterne Indeholder:
29 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2.
30 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2. - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner.
31 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2. - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner. - Generaliseringer til 3 dimensioner anført uden bevis.
32 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2. - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner. - Generaliseringer til 3 dimensioner anført uden bevis. - Kemikernes notation for punktgrupper og beslutningstræet.
33 Vands punktgruppe Molekyle D h i? I h C 5? Lineaert? C v To eller flere C n, n > 2? i? O h T d n C 2? C n?
34 Vands punktgruppe - fortsat n C 2? C n? (3) D nh σ h? D nd nσ d? C nh σ h? C s σ? D n C i i? C nv n σ v? S 2n S 2n? C n C 1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ
deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j
Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ
Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: [email protected] http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø
ÅÙÐØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ø ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò À ÒÒ Ä Ñ ÒÒ È Ø Ö Ò ½¼¾½ Ë Ö Ö Ã Ñ Ë ÙÐ Ð ½¼ Ä Æ ÂÍÆÁ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ IMM ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ
Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest
Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje
Punktgrupper. Klaus Thomsen
Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken
Symmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet Nørresundby Gymnasium, 5.12.07 Indholdsoversigt 1. Indledning og lysbilleder 2. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 3. Flytninger og symmetrigrupper
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ ÓÙÐ Ú Ö Ëº Ö ÒØ È½¼ ½ ¼¼ ÁÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ð ÙÒ ØÖ º Ö Ö ØÓÔ
Symmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2012 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
Symmetri i natur, kunst og matematik
Symmetri i natur, kunst og matematik Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1. februar 2017 Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur,
H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Symmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2013 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L
![(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L](/thumbs/77/74710801.jpg "(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L")
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÙÒ ¾¼¼ 2 4¹Ð Ó¹ ÐÓ Ò º ½ º À Ö Ò Ò Ö Ø ÚÖ Ø Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ø Ò Ó Ú Ø ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ô ÙÐ Ø ÓÒ Öº Ò Ð ÐÐ ÖÙÔÔ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö À Ö Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ö Ö
Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens O
Offentlige foredrag i naturvidenskab nat.au.dk/foredrag Det Naturvidenskabelige Fakultet, Aarhus Universitet Folkeuniversitetet i Århus Symmetrier og mønstre Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi
Algebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Note om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Symmetrien i krystaller
Symmetrien i krystaller Matematisk krystallografi Speciale 7. juni 2018 Anne-Marie Landbo Institut for Matematiske Fag Skjernvej 4A 9220 Aalborg Ø http://math.aau.dk Titel: Symmetrien i krystaller Synopsis:
Lys og molekyler. Bo W. Laursen Nano-Science Center & Kemisk Institut Københavns Universitet
ano-science Center Lys og molekyler Bo W. Laursen ano-science Center & Kemisk Institut Københavns Universitet Akademiet for Talentfulde Unge Ringsted Gymnasium 31. Januar 2015 Enhedens navn Kemi og nano-videnskab
Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014
Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag
4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Eksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
En gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en
Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er
Affine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Symmetri. - i tapetmønstre
Symmetri - i tapetmønstre MAT 4. SEMESTER PROJEKT GRUPPE G3-114 MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET DEN 23. MAJ 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon 99
Symmetri og matematik i natur og forståelse
Institut for Matematik Aarhus Universitet 26. september 2017 Felix Kleins Erlangen program (1872) Geometriske objekter skal klassificeres ved egenskaber, der er invariante under transformationer (symmetrier)
Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Forside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014
Forside Matematik og Statistik Symmetri Tapetmønstre Gruppe G3-110 23. maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske
Matematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Reeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra