Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Transkript

1 Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen

2 Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4, 5 6 S Regler: 0 1 Σ O i S 1 Regler:

3 Lov om Total Sandsynlighed Lov om total sandsynlighed: + _ Vha. kan vi opdele i to disjunkte dele.

4 Lov om total sandsynlighed E 1,, E k er en disjunkte og udtømmende hændelser i S E 1 E 3 E E 4 E 5 S E 6 Lov om total sandsynlighed: k i 1 E i lecture 1 4

5 etinget sandsynlighed Definition: Den betingede sandsynlighed er sandsynligheden for hændelsen, givet at vi ved at hændelsen allerede er indtruffet: når > 0 Det gælder også når vi ombytter og når > 0

6 etinget sandsynlighed - intuition ntag alle udfald er lige sandsynlige, dvs. N antal udfald i udfalds rum N antal udfald i hændelse Hvad er sandsynligheden for givet at er indtruffet? S N N N N N N N N

7 etinget sandsynlighed - Eksempel Eksempel: Køns-fordeling af arbejdsløse/ikke-arbejdsløse med studentereksamen i en lille by I arbejde rbejdsløs Total Mand Kvinde Total mand & i arbejde 460 / mand i arbejde i arbejde 600 / % mand& arbejdsløs 40/ mand arbejdsløs 13.3% arbejdsløs 300/

8 Multiplikationsregel etinget sandsynlighed f betingede sandsynlighed følger multiplikationsreglen : Eksempel: Konsulent på jagt efter job og job. Sandsynligheden for at få job er Givet at han får job er sandsynligheden for at få job 0.9. Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at konsulent får både job og job? Svar:

9 Uafhængighed Konsekvenser: Hvis og er statistisk uafhængige hændelser Fortolkning af : Selvom vi ved at er indtruffet, ændrer det ikke på sandsynligheden for. Definition: To hændelser og er statistisk uafhængige, hvis og kun hvis

10 Tjek for uafhængighed Eksempel: I arbejde rbejdsløs Total Mand Kvinde Total Spørgsmål: Er hændelserne Mand og I arbejde uafhængige? 460 / 900 mand i arbejde 600 / % mand 500/ % Dvs. de to hændelser Mand og I arbejde er afhængige

11 ayes sætning Defintion: Hvis og er hændelser, da siger ayes sætning: under antagelse af >0. + Sætningen følger umiddelbart af at kombinere betinget sandsynlighed med multiplikationsreglen og lov om total sandsynlighed.

12 ayes sætning udvidet Defintion: Hvis E 1, E,, E K er disjunkte og udtømmende hændelser i S, så siger ayes sætning under antagelse af > K K i i i i i E E E E E E E E E + +

13 ayes sætning: Test for sjælden sygdom En test for en sjælden sygdom, der rammer 0,1% af befolkningen I 0,001, er upræcis. Lad i det følgende: I syg og I Z positiv test ikke syg og Z negativ test Sandsynligheden for at testen er positiv når man er syg: Z I.9 Sandsynligheden for at testen er positiv, når man er rask: Z I 0.04 Hvad er så sandsynligheden for at man er syg, givet at testen var positiv? I Z

14 Stokastisk variabel I et eksperiment kan man ofte knytte en taværdi til hvert udfald S s s R Definition: En stokastisk variabel er en funktion defineret på S, der antager værdier på den reelle akse : S R Mulige udfald Reelle tal lektion 14

15 Stokastiske variable Eksempler: Stokastisk variable ntallet af øjne ved kast med en terning Summen ved kast af to terninger ntallet af børn i en familie lder af en førstegangsfødende kvinde Tid det tager at løbe fem km Mængde af sukker i en sodavand Højde af mænd Type diskret diskret diskret diskret kontinuert kontinuert kontinuert tælle måle Diskret: antager et endeligt antal værdier eller et uendeligt men tælleligt antal værdier. Kontinuert: antager værdier i en mængde af reelle tal. lektion 15

16 Sandsynlighedsfunktion Definition: Lad : S R være en diskret stokastisk variabel. Funktionen er en sandsynlighedsfunktion for, hvis 1. 0 for alle. 1 3., hvor er sandsynligheden for de udfald s S : s. lektion 16

17 Sandsynlighedsfunktion: Eksempel Lad den stokastiske variabel være antallet af solgte sandwich i løbet af en time. Sandsynlighedsfunktionen der hører til er p :3

18 Kumulativ fordelingsfunktion Definition: Den kumulative fordelingsfunktion, F, for en diskret stokastisk variabel er: F i Kumulative fordelingsfunktions for antallet af solgte sandwich: i F c0, cumsump, :4

19 Eksempel - fortsat F

20 Middelværdi Definition: ntag er en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion. Da er Middelværdien for er givet ved: µ E Dvs. summen af hver mulig værdi af ganget med den tilsvarende sandsynlighed et vægtet gennemsnit. emærk! Middelværdien for en stokastisk variabel kaldes også den forventede værdi.

21 Middelværdi - Eksempel Konklusion: E Dvs. middelværdien af den stokastiske variabel er 1.9 Det forventede antal solgte sandwich er 1.9

22 Varians for diskret stokastisk variabel Definition: ntag at er en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion. Da er variansen for givet ved Ækvivalent er variansen givet ved ] [ E V µ µ σ ] [ E E V σ

23 Varians: Eksempel ] [ E E V σ

24 Regneregler for middelværdi og varians Hvis er en diskret stokastisk variabel, da er middelværdien for en funktion h givet ved h E h Regneregler for en lineær funktion af : Lad Y a + b. Da er Y også en stokastisk variabel. EY Ea VY Va + b + b ae + b a V

25 Eksempel Håndboldspiller er på resultatkontrakt! r kamp får han 10000kr plus 1500kr pr mål. Lad være den stokastiske variabel, der svarer til antal mål scoret i èn kamp. Det vides at E[] 4.6 V[] 5. Hvad er den forventede udbetaling pr kamp? Variansen? Løn for en kamp: Y E[] V[]

26 inomial fordeling inomial fordelingen er resultatet af et inomialt eksperiment: Det inomiale eksperiment består af et fast antal n forsøg. I hvert forsøg er der to mulige udfald, succes og fiasko. succes p, dvs. sandsynligheden for succes er den samme i hvert forsøg. Ligeledes for fiasko 1-p Forsøgene er uafhængige ntallet af succeser følger da en binomial fordeling

27 inomial fordeling - Eksempler Kast med en mønt n gange. Skrone succes, plat fiasko. Hvis fair mønt p0,5. Sandsynligheden er konstant og forsøgene er uafhængige, da et møntkasts udfald ikke påvirker udfaldet af det næste kast Træk et kort n gange. S spar succes, andet fiasko. spar0,5 er konstant, hvis vi lægger kortet tilbage i bunken igen, ellers ikke. Uafhængige. emærk! Uden tilbagelægning vil nummer spar, hvis nummer 1 er en spar 1/51 og dermed ikke konstant sandsynlighed

28 Sandsynlighed for Sekvens Vi udfører n5 uafhængige ernoulli forsøg, hver med sandsynlighed p for succes. Lad S betegne succes og F betegne fiasko. Hvad er sandsynligheden for sekvensen af udfald Svar: hvor er antallet af succeser. emærk: Sandsynligheden afhænger kun af antal succer - ikke hvornår i sekvenser de kommer. SSFSF n p p p p p p p pp F S F S S F S F S S ,,,, Uafhængighed

29 Sandsynlighed for 3 Succeser I 5 Forsøg Vi har stadig n5 uafhængige forsøg som før. Der er 5 3 mulige sekvenser af succeser og fiaskoer. lle sekvenser med 3 succeser FFSSS FSFSS FSSFS FSSSF SFFSS SFSF SFSSF SSFFS SSFSF SSSFF Totalt 10 måder at får 3 succeser i n5 forsøg. Sandsynlighed for 3 succeser er p 1 p ntal sekvenser med 3 succeser Sandsynligheden for en given sekvens med 3 succeser

30 ntal Sekvenser ntag vi udfører n forsøg. Hvor mange forskellige sekvenser med succeser findes der? n n! Svar: C n! n! hvor n! 1 3 4n [n fakultet] inomial-koefficienten Eksempel: n 5 forsøg og 3 succeser. C 5! 3!5 3!

31 inomial fordelingen Definition: En diskret stokastisk variable siges at følge en binomial fordeling med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, hvis sandsynlighedsfunktionen for er givet ved n!! n! p 1 p n for 0,1,,..., n Notation: ~ n,p Egenskaber: Middelværdi: µ E[] np Varians: σ V[] np1-p følger en binomial-fordeling med

32 Formen å inomial-fordelingen p 0.1 p 0.3 p 0.5 n 4 n 10 n 0 inomial-fordelingen bliver mere symmetrisk, når n øges og p 0.5

33 inomialfordelingen i R ntal ~ 10,0. Vi kan udregne 7 vha. kommandoen dbinom7,size10,prob0. Vi kan plotte sandsynlighedsfuntionen plot0:10, dbinom0:10,size10,prob0.,type"h"

34 inomialfordelingen i R ntal ~ 10,0. Vi kan den kumulerede sandsynlighed F7 7 vha. kommandoen pbinomq7,size10,prob0. Vi kan plotte den kumulerede sandsynlighed vha. kommandoen plot0:10, pbinomq0:10,size10,prob0.,type"s"

35 inomialfordelingen i R ntal ~ 10,0. Vi kan simulere 100 realisationer af vha. kommandoen rbinomn100,size10,prob0. Vi kan plotte resultat f. som et histogram hist,breaksseq-0.5,7.5,by1,freqf lines0:10, dbinom0:10,size10,prob0.,type"h" Histogram of Linjerne angiver sandsynlighedsfunktionen for 10,