εi iid , Dérivez l estimateur des MCO du modèle en sommation (vous devez dériver le tout en sommation).

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Jonas Frandsen
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1 Exo4 A v3 Q Avec le modèle suvant : y β + xβ + x3β3+ où d...(, σ, Dérvez l estmateur des MCO du modèle en sommaton (vous devez dérver le tout en sommaton. Q Avec le modèle suvanty β + xβ + où d...(, σ. Dérvez l estmateur des MCO du modèle en sommaton (vous devez dérver le tout en sommaton. Q3 Nous avons le DGP suvant : y Xβ + Xβ + avec d...(, σi a Montrez que l estmateur OLS de β défn comme b Montrez que l estmateur OLS de β défn comme mportante X dans la régresson et que l on a pas X X. β ˆ ( X ' X X ' y est non-basé s X X. β ˆ ( X ' X X ' y est basé s on omet une varable Q4 Nous avons le DGP suvant : y Xβ + avec d...(, σi Montrez que l estmateur OLS de β défn par ( X ' X X ' y X X X où est non-basé. Q5 Dérvez l estmateur obtenu en mnmsant le crtère suvant S( β ' W ( y Xβ' Wy ( Xβ avec W une matrce défne postve symétrque de rang complet. Q6 Avec le modèle suvant : y Xβ+ où d...(, σ et avec une matrce d nstruments Z n L Montrez que s L K la mnmsaton du crtère suvant ( β ˆ Z ' X Z ' y Q7 Nous avons le crtère suvant et l estmateur correspondant. S( β ' W ( y Xβ' Wy ( Xβ S( β ' ZZ ( ' Z Z ' nous donne Ic X et W sont fxes et avec W une matrce défne postve symétrque de rang complet.. S le vra DGP correspond au modèle suvant : y Xβ+ et d...(, σi a montrez que l estmateur est sans bas. b Calculez la varance de cet estmateur c Comparez la varance cet estmateur avec la varance de l estmateur OLS.

2 Q8 Montrez comment calculer le R à partr de la régresson en dévaton par rapport à la moyenne My MXβ+ M s on a une constante telle que X[] x avec X [ X X ]. Q9 Montrez comment calculer le X[] x avec X [ X X ]. Q Montrez que ymy ' yy ' ny R à partr de la régresson en nveau y Xβ+ s on a une constante telle que

3 Q. Trouvez l estmateur MCO en dérvant le crtère suvant : S( β, β, β ' ( y β βx βx Les premères dérvées sont données par : S( β, β, β3 ( y β βxβ3x3( ( y β βxβ3x3 β S( β, β, β3 ( y β βxβ3x3( x x( y β βxβ3x3 β S( β, β, β3 ( y β βxβ3x3( x3 x3( y β βxβ3x3 β 3 Les FOC qu défnssent l estmateur OLS sont: ( y x x ˆ 3 3 x ( y x x x ˆ 3 3 x ( y x x x ˆ Les équatons normales N y x x n + x + x y x y x x x x x 3 3 x + x x + x x x y 3 3 N x y x x x x x x + x x + x x x y N3 3

4 On peut écrre les estmateurs en solutonnant le système des équatons normales n x x 3 n x x 3 y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x y ˆ ˆ 3 β 3 β ˆ β adjx det( ' ( ' X X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x n x adjx ( ' X x x x x x x x x x x n x n x x x x x x x x x det( X ' X n x x3 xx3 x x x3 xx3 x 3 + x 3 x xx3 x x 3 C est le bordel! 4

5 On peut se smplfer la ve en utlsant les dévatons par rapport à la moyenne My MXβ+ υ Le système X ' Xβ ˆ X ' y devent x x x 3 y x x x x x x x x y x x x x x x x x y ˆ ˆ 3 β 3 β On peut solutonner le sous-système x pour ˆβ et ˆβ 3 plus faclement x xx 3 ˆ xy β 3 xx3 x 3 x3y ˆ x xx3 xy β 3 xx3 x 3 x3y x x xx3 x x 3 xx 3 3 xx3 xy x y 3 x 3 xy xx 3 x3y x x 3 xx 3 x x3y xx 3 xy x x 3 xx 3 3 Et on trouve ˆβ va β ˆ yβ ˆ ˆ x β 3 x 3 5

6 Q3 Nous avons le DGP suvant : y Xβ + Xβ + a Montrez que l estmateur OLS de β défn comme β ˆ ( X ' X X ' y est non-basé s X X. E EX ( ' X X ' y EX ( ' X X '[ X β X β ] + + ( X ' X X ' Xβ + EX ( ' X X ' Xβ+ ( X ' X X ' E β + + K K b Montrez que l estmateur OLS de β défn comme mportante X dans la régresson et que l on a pas X X. E EX ( ' X X ' y EX ( ' X X '[ X β + X β + ] ( X ' X X ' Xβ + EX ( ' X X ' Xβ + ( X ' X X ' E X X X Xβ β + ( ' ' + Q4 Nous avons le DGP suvant : y Xβ + n K β ˆ ( X ' X X ' y est basé s on omet une varable n K Montrez que l estmateur OLS de β défn par ( X ' X X ' y X X X où est non-basé. Soluton E EX X X y EX X X X + ( ' ' ( ' '( β β β E ( X ' X X ' Xβ+ EX ( ' X X ' β+ ( X ' X X ' E Donc E β et E I K β 6

7 Q5 Dérvez l estmateur obtenu en mnmsant le crtère suvant S( β ' W ( y Xβ' Wy ( Xβ avec W une matrce défne postve symétrque de rang complet. S( β ' W ( y Xβ' Wy ( Xβ ( y ' ( Xβ' Wy ( Xβ ( y ' β ' X ' Wy ( Xβ ywy ' ( Xβ β ' XWy ' ( Xβ ywy ' ywx ' β β ' XWy ' + β ' XWX ' β ywy ' ywx ' β+ β ' XWX ' β FOC S( β ywx ' ' + XWX ' β XWX ' β ˆ XWy ' ( ( XWX ' XWX ' XWX ' XWy ' ( β ˆ XWX ' XWy ' argmn( y Xβ ' Wy ( Xβ β B 7

8 Q6 Montrez que s L K la mnmsaton du crtère suvant ( β ˆ Z ' X Z ' y S( β ' ZZ ( ' Z Z ' nous donne S( β ' ZZ ( ' Z Z ' ( y Xβ' ZZ ( ' Z Z '( y Xβ ( y ' ( Xβ' ZZ ( ' Z Z '( y Xβ ( y ' β ' X ' ZZ ( ' Z Z '( y Xβ yzz ' ( ' Z Z '( y Xβ β ' X ' ZZ ( ' Z Z '( y Xβ yzz ' ( ' Z Z ' y yzz ' ( ' Z Z ' Xβ β ' X ' ZZ ( ' Z Z ' y + β ' X ' ZZ ( ' Z Z ' Xβ y ' ZZ ( ' Z Z ' y yzz ' ( ' Z Z ' Xβ+ β ' X ' ZZ ( ' Z Z ' Xβ FOC S( β yzz ' ( ' Z Z ' X ' + X ' ZZ ( ' Z Z ' X β ˆ X ' ZZ ( ' Z Z ' Xβ X ' ZZ ( ' Z Z ' y ( ( X ' ZZ ( ' Z Z ' X X ' ZZ ( ' Z Z ' X X ' ZZ ( ' Z Z ' X X ' ZZ ( ' Z Z ' y ( ( X ' ZZ ( ' Z Z ' X X ' ZZ ( ' Z Z ' y X ' PX X ' Py GIV Z Z Cet estmateur est appelé l estmateur Généralsé des Varables Instrumentales. S L K ( ' ( X ZZ Z Z X X ZZ Z Z y ( Z X ( Z Z ( IV ' ( ' ' ' ( ' ' ' ( ' X ' Z X ' Z ( Z ' Z Z ' y Z X Z ' y I Cec est possble car ( AB B A pour A et B des matrces non-sngulères. Cet estmateur est appelé l estmateur «smple» des Varables Instrumentales. I 8

9 Q7 Nous avons le crtère suvant et l estmateur correspondant S( β ' W ( y Xβ' Wy ( Xβ ( y ' ( Xβ' Wy ( Xβ ( y ' β ' X ' Wy ( Xβ ywy ' ( Xβ β ' XWy ' ( Xβ ywy ' ywx ' β β ' XWy ' + β ' XWX ' β ywy ' ywx ' β+ β ' XWX ' β β XWX ' XWy ' argmn( y Xβ' Wy ( Xβ ( β B S le vra DGP correspond au modèle suvant : y Xβ+ et d...(, σi Montrez que l estmateur est sans bas : Eβ E XWX ' XWy ' E XWX ' XWX ' [ β+ ] β+ XWX ' XWE ' β ( ( ( S X et W sont fxes Calculez la varance de cet estmateur var( β E ( βeβ( β Eβ' E ( β+ XWX ' XW ' β( β+ XWX ' XW ' β' ' ' ( ' ' ' E ( XWX ' XW ' ' W ' X( XWX ' ( ( E (( XWX XW( XWX XW ( XWX ' XWE ' [ '] W ' X( XWX ' σ ( XWX ' XWIW ' ' X( XWX ' n Comparons en terme de varance cet estmateur sans bas avec un autre estmateur sans bas, sot l estmateur OLS. var( β var( β σ ' ' ' ' σ ' σ ˆ OLS ( XWX XWW X( XWX ( X X ( XWX ' XWW ' ' X( XWX ' ( X ' X ( X ' X( X ' X Pour se fare un sandwch, fasons auss apparaître WW ' va W WWW ' ' σ ( XWX ' XWW ' ' X( XWX ' ( X ' X XW ' WW '( W ' X( X ' X On peut factorser le tout σ ( XWX ' XWW ' ' X( XWX ' ( X ' X XW ' WW '( W ' X( X ' X 9

10 {(( XWX ' XW ' ( ( XWX ' XW ' ' (( X ' X XW ' W( ( X ' X XW ' W '} ( XWX X WW XWX X X X XW WW X X XW σ {( ' ' '(( ' ' (( ' ' '(( ' ' '} ( ( XWX ' X ' (( X ' X XW ' WW ' ( ( XWX ' X ' (( X ' X XW ' ' σ σ ˆ var( β var( β σcww ' C ' OLS C Pusque WW ' est une matrce défne postve (ou sem-défne postve var( β var( OLS Donc l estmateur OLS est optmal dans la classe des estmateurs lnéares sans bas.

11 Q8 Montrez comment calculer le R à partr de la régresson en dévaton par rapport à la moyenne My MXβ+ M s on a une constante telle que X[] x avec X [ X X ] Solutons M y M X + M ˆ M X ˆ ˆ [] β[] + s on a une constante telle que X[] x TSS ymy ' ˆ ˆ β ' X[] ' M ˆ ' M MX[] β Mˆ + + ˆ ˆ ˆ ' X[] ' MX[] β + ˆ ' MMX[] β + β ' X[] ' MMˆ + ˆ ' MMˆ β ˆ ' X ˆ [] ' M X[] ˆ ' ˆ β + XSS USS car M ˆ ˆ s on a une constante Ans TSS ymy ' ˆ ˆ ˆ ˆ β ' X[] ' MX[] β + ˆ ' Mˆ β ' X[] ' MX[] β + ˆ ' ˆ XSS USS R X [] ˆ XSS ' X[] ' M ˆ [] ' X ˆ ˆ ˆ [] ' M M y ˆ X β β β ' X[] ' Myβ ' X[] ' Mˆ β ' X[] ' My TSS ymy ' ymy ' y ' M y ymy ' Q9 Montrez comment calculer le R à partr de la régresson en nveau y Xβ+. y Xβ+ X + ˆ yy ' ( X + ˆ '( X + ˆ ' X ' X + ' X ˆ ˆ ˆ ' ˆ + ˆ' Xβ+ ˆ' ˆ β ' X ' Xβ+ ˆ ' ˆ USS ( ( USS ˆ' ˆ yy ' ' X ' X yy ' ' X ' X + ny + ny yy ' ny ' X ' X ny R XSS ' X ' Xβ ˆ ny TSS yy ' ny TSS must be equal to ' X ˆ [] ' MX[] β thus t s the XSS Cec est valde unquement s l y a une constante dans la régresson. S on a pas de constante dans la régresson ce résultat n est pas valde et l nterprétaton du Q Montrez que ymy ' yy ' ny R est llogque ( à mons que la vrae relaton sot sans constante. ymy ' y ' MMy y ' y ( yy( y y yy ' y ' y y ' y+ y ' y yy ' y ' y y ' y+ y ' y yy ' ny ny + ny yy ' ny ny ny n

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