Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 A + B C + D

Transkript

1 Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 Indhold Kernestof... 1 Supplerende stof Differentialligninger (Baggrundsmateriale til Minigame 3) Reaktionsorden (Nulte-, første- og andenordensreaktioner)... 1 a. Nulteordens reaktion... 2 b. Førsteordens reaktion... 2 c. Andenordens reaktion... 3 Opgave 1 Antibiotika nedbrydning... 3 Opgave 2 Halveringstid for antibiotika Y Michaelis-Menten Data til gamet... 5 Kernestof 1. De gængse vækstmodeller lineær, potens- og eksponentiel vækst 2. Differentialregning og væksthastighed 3. Regression vha. CAS-værktøj Supplerende stof 1. Differentialligninger (Baggrundsmateriale til Minigame 3) 2. Reaktionsorden (Nulte-, første- og andenordensreaktioner) Reaktionskinetik er læren om kemiske reaktioners hastigheder. Vi betragter en tilfældig reaktion A + B C + D Efterhånden som reaktionen skrider frem, aftager stofmængdekoncentrationerne af reaktanterne A og B, mens stofmængdekoncentrationerne af reaktionsprodukterne C og D vokser. Vi fokuserer på reaktanten A. Den gennemsnitlige reaktionshastighed i tidsintervallet Δt, defineres som formindskelsen af den aktuelle stofmængde pr. tidsenhed. Når vi lader Δt gå mod nul, fås som grænseværdi reaktionshastigheden højre side fås differentialkvotienten af [A] som funktion af t. til tiden t på venstre side, og på

2 Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 2 Reaktionshastigheden afhænger af reaktanternes aktuelle stofmængdekoncentrationer. Hvis sammenhængen mellem hastighedskonstanten og koncentrationerne af reaktanterne kan bestemmes eksperimentelt til at være, hvor m og n er naturlige tal siges reaktionen at være af ordenen m med hensyn til A og af ordenen n med hensyn til B. Den totale reaktionsorden er (m + n). For de fleste reaktioner vil m og n være små hele tal (0, 1 eller 2). Konstanten k i hastighedsudtrykket kaldes hastighedskonstanten afhænger bl.a. af temperatur og eventuelt enzym. I opgaverne med nedbrydning af antibiotika kaldes den nedbrydningskonstanten. Startkoncentrationen af A (til tiden t = 0) betegnes. Den tid, der går, før koncentrationen af A er halveret kaldes halveringstid. NB! Kemisk halveringstid er altså noget andet end matematisk halveringstid, som er forbeholdt eksponentiel vækst og er uafhængig af, hvornår den måles. a. Nulteordens reaktion, dvs., altså Herved har vi en simpel differentialligning, der som løsning har Halveringstid : Eftervis ovenstående - og tro på, at det er den fuldstændige løsning, der er angivet. Hvis sammenhørende værdier (t,[a]) følger en lineær model nulteordens reaktion., er der altså tale om en b. Førsteordens reaktion, dvs. eller omvendt vi lader, altså Herved har vi en differentialligning, der som løsning har Halveringstid : Eftervis ovenstående og tro på, at det er den fuldstændige løsning, der er angivet. Hvis sammenhørende værdier (t,[a]) følger en eksponentiel model, er der altså tale om en førsteordens reaktion. ( ) ( ), dvs. at hvis sammenhørende værdier (t,ln([a]) følger en lineær model er der tale om en førsteordens reaktion

3 Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 3 c. Andenordens reaktion, dvs. eller omvendt, eller vi ser her på, altså Herved har vi en differentialligning, der som løsning har Halveringstid : Eftervis ovenstående og tro på, at det er den fuldstændige løsning, der er angivet. Hvis sammenhørende værdier (t,[a]) følger en eksponentiel model, er der altså tale om en førsteordens reaktion. dvs. at hvis sammenhørende værdier (t, ) følger en lineær model er der tale om en andenordensreaktion af typen ( ) Tilfældet er lidt mere kompliceret og udelades her - med mindre [A] = [B], idet det så svarer til ovenstående tilfælde. Opgave 1 Nedbrydning af antibiotika X Nogle få milligram af et nyt antibiotika X er blevet opløst i præcist 100mL destilleret vand og er sat ind i et køleskab (4 C). Der udtages 10mL prøve på forskellige tidspunkter, og prøverne bliver testet for, hvor stor en mængde antibiotika X, der er i prøven. 1. Hvilken reaktionsorden er nedbrydningen af antibiotika X? 2. Hvad er nedbrydningshastigheden for antibiotika X? 3. Hvor mange milligram antibiotika X var der i startopløsningen? 4. Hvor lang tid vil der gå, før startkoncentrationen er halveret 5. Hvor lang tid vil der gå, før der ikke er mere antibiotika X tilbage? tid(hr) Antibiotika(mg/ml) 0, ,7 Opgave 2 Nedbrydning af antibiotika Y Antibiotika Y er opløst i vand og har koncentrationen 300mg/mL. Efter 30 dage er koncentrationen i prøven nede på 75mg/ml. Nedbrydningen sker ved en 1. ordens reaktion. 1. Hvor lang tid tog det, før koncentrationen var på 150mg/ml 2. Hvad er nedbrydningshastigheden for antibiotika X? 3. Hvad er koncentrationen af antibiotika Y efter 10 dage? 4. Efter hvor mange dage vil koncentrationen være nede på 10% af startkoncentrationen?

4 Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 4 3. Michaelis-Menten Generelt forestiller man sig, at omdannelsen af et substrat til produkt sker via to trin: 1. Dannelse af ES-kompleks (binding af substrat til enzym). 2. Omdannelse af substrat til produkt og frigørelse af produkt fra enzym. Dette kan også beskrives ved følgende model: Michaelis-Menten ligning K M er Michaelis-Menten konstanten [S] angiver koncentrationen af substratet angiver initialhastigheden (afhænger af [S]) er den maksimale hastighed, hvormed reaktionen kan forløbe. Den hastighed opnås, når alle enzymmolekyler er mættede med substrat. Kilde: Bestemmelse af Den reciprokke værdi af initialhastigheden afhænger altså lineært af den reciprokke substratkoncentration. Ud fra plot af sammenhørende værdier ( ) - det såkaldte Lineweaver Burk plot - kan den lineære model så bestemmes. Hældningskoefficienten, og startværdien Ud fra plot af sammenhørende værdier ( model bestemmes. ) - det såkaldte Hanes Woolf plot - kan en anden lineær Hældningskoefficienten, startværdien og nulpunktet er - Ud fra plot af sammenhørende værdier ( ) - det såkaldte (Woolf )Eadie Augustinsson( Hofstee) plot - kan en tredje lineær model bestemmes. Hældningskoefficienten, startværdien Bemærk, at det er den første, I skal anvende i spillet med hæmning.

5 Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 5 4. Data til gamet [S] Ingen Kompetitiv nonkompetitiv unkompetitiv Nyt