f(x)=2x-1 Serie 1

Transkript

1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop ét element i Vm(f). En funktion kan beskrives - sprogligt - ved en forskrift : f()= -5 - ved en tabel - ved hjælp af en graf i et K-sstem

2 En lineær funktion er en funktion, hvis graf er en ret linie i et K-sstem

3 En lineær funktion har standardforskriften: f()=ab eller =ab a er grafens hældningskoefficient b er grafens skæring med -aksen Monotoniforhold: a>0 så er f() voksende a<0 så er f() aftagende a=0 så er f() konstant

4 Vi skal kende to punkter på grafen: (, ) og (, ) Beregn hældningskoefficienten a: a = Beregn b, skæringen med -aksen a = b hvor og er kendte tal og a har vi beregnet

5 Denne metode kan kun bruges når a og b er pæne tal (dvs hele tal evt. meget enkle brøker. Aflæs a og b ud fra grafen Indsæt de fundne værdier af a og b i udtrkket: f()=ab Aflæs grafens skæring med -aksen (=b) f()=- Serie Gå fra et kendt punkt vandret til højre. Afstanden op eller ned til grafen er hældningskoeffici enten (=a)

6 En ligning er et udsagn hvori der indgår et lighedstegn. Dvs. to udtrk skal være lig hinanden At det er en. gradsligning betder bare at den variable, er i. potens (i. gradsligninger er ) Alle. gradsligninger kan reduceres til formen: a b = c At løse en ligning vil sige at finde den værdi for som gør udsagnet sandt d

7 Regneregler for ligningsløsning. Man må reducere venstre og højre side hver for sig.. Man må lægge samme tal til eller trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.. Man må gange/dividere med det samme tal(dog ikke nul) på begge sider.

8 Regel 7 6 ) ( 7 ) ( = = Eksempel: Regel Regel Regel Regel Regel 7 6 = = = = =

9 . Vi opfatter venstre og højre side som to lineære funktioner f og g: f()= venstre side = -- g()= højre side = -. De to funktioner tegnes i et K-sstem f()=-- f()=- Serie. I skæringspunktet er -værdien løsningen på ligningen g() f()

10 Én løsning 5 f()=- g()= Ingen løsninger L = Ø 5 f()= g()= Uendelig mange løsninger 6 5 f()= g()=

11 Hvis man erstatte lighedstegnet i en ligning med et ulighedstegn (<, >,..) får man en ulighed Ulighedstegnets betdning Ulighed Læses < er mindre end er mindre end eller lig med > er større end er større end eller lig med

12 Regneregler for løsning af uligheder:. Man må reducere venstre og højre side hver for sig.. Man må lægge det samme tal til og trække det samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet.. Man må gange eller dividere med det samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.. Man må gange eller dividere med det samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet når man samtidig vender ulighedstegnet.

13 Eksempel: 5 5 > ( ) > 5 - > - > > -6 > - L = ]- ; [ Regel Regel Regel og Regel Regel

14 Vi opfatter venstre og højre side som to lineære funktioner f og g: f()=venstre side = 5 g()=højre side = - 8 Tegn f() og g() i K-sstem f()=5 6 g()=- Aflæs for hvilke -værdier er f()>g() L = ]-; [

15 En dobbelt ulighed består af to uligheder Når vi skal løse den deler vi den i uligheder, som løses hver for sig efter reglerne for alm. uligheder. 7 løses hver for sig efter reglerne for alm. uligheder. Til sidst sammenfattes begge løsninger til en løsning, hvis der er en løsning. 7 [ ] ; = L

16 At løse to ligninger med to variable betder at finde alle de punkter som opflder begge ligninger. De er muligheder som lettest ses grafisk - En løsning når linierne skærer hinanden 5 f()=- g()= Ingen løsning L=Ø når linierne er parallelle f()= g()= Uendelig mange løsninger når linierne er sammenfaldende f()= g()=

17 = = Trin : Omskriv de to ligninger til normal form = = Trin : Sæt de to ligningers højre sider lig hinanden, og løs den fremkomne ligning = Trin : Beregn -værdien ved at indsætte den fundne -værdi i en af de oprindelige ligninger Trin : Opskriv løsningen: = = = L = {(, )}

18 = =. Indtegn de graferne for de to ligninger (funktioner) i et K-sstem. Aflæs skæringspunktet mellem de to linier så præcist som muligt, hvis de skærer hinanden. Opskriv løsningen

19 Når vi bruger matematiske modeller til at beskriv et udsnit af virkeligheden er det en bevidst forenkling af virkeligheden Vi inddeler arbejdet med at modellere virkeligheden med matematiske modeller i faser: - FASE : Problemformulering - FASE : Matematisk model - FASE : Matematisk ræsonnement - FASE : Konklusioner

20 Nogle funktioner er ikke lineære i deres helhed, men kan fremstilles som flere rette liniestkker. Det vil sige grafen kan have knæk og/eller spring. Forskriften kaldes en gaffelforskrift: f for 0 ) = for 0 < for < 8 ( Beregn støttepunkter (f endepkt. for de forskellige intervaller). Tegn grafen i K-sstem Vær opmærksom på om endepkt. er med eller ikke

21 Det grafiske billede: < < = ) ( for for for f

22 Hvis man har observeret en række punkter og man vil undersøge om de beskriver en tilnærmelsesvis lineær udvikling kan man gøre følgende:. Indtegn de obs. værdier i et passende K-sstem. Tegn den linie der passer bedst til punkterne dvs. at den gennemsnitlige afstand fra pkt erne til linien er så lille som muligt!. Afgør om punkterne ligger tilfældigt omkring linien. Bestem forskriften for linien ud fra punkter der aflæses på linien, eller brug TI-8 lommeregneren til af lave lineær regression.