Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Transkript

1 Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel 3 så vi et eksempel på en sådan type, nemlig lineære sammenhænge. De er karakteriseret ved, at grafen for dem danner en ret linie i et koordinatsystem, og de har alle en regneforskrift af typen: y = a x + b Tallet a angiver hældningskoefficienten. Dette tal angiver, hvor meget y-værdien ændres, hvis x-værdien vokser med 1. Hvis x-værdien har den absolutte ændring Δx, vil den absolutte ændring af y-værdien kunne beregnes som: Δy = a Δx Med andre ord kan vi karakterisere lineære sammenhænge som sammenhænge mellem to variable, x og y, hvor den absolutte ændring i x, Δx, og den absolutte ændring i y, Δy, er ligefrem proportionale. Tallet b angiver, hvor grafen skærer y-aksen. I dette kapitel skal vi møde andre typer af sammenhænge, hvor særligt den relative tilvækst har betydning. Side 103

2 7.1 Eksponentiel vækst Hvis vi har nogle bakterier i en næringsvæske, vil de formere sig ved celledeling, så længe der er næring nok. Hvis der er dobbelt så mange bakterier, vil vi regne med, at der forekommer dobbelt så mange celledelinger. Det betyder, at tilvæksten også vil være dobbelt så stor. Vi forventer, at antallet af bakterier vil vokse med samme procent. Radioaktivt materiale vil udsende stråling. Strålingen udsendes fra atomkernerne, og når en kerne har udsendt stråling (alfa, beta eller gamma-stråling) ændres den. Vi siger, at atomkernen henfalder. Ofte vil den efter et henfald blive til en stabil atomkerne, der ikke udsender mere stråling. Derfor vil et radioaktivt materiale med mange radioaktive atomkerner udsende meget stråling, fordi der er mange atomkerner, der kan henfalde. Når der er gået noget tid, vil der være færre radioaktive atomkerner tilbage, og derfor vil strålingen aftage. Hvis der kun er den halve mængde radioaktive atomer tilbage, vil vi forvente, at der kun udsendes den halve mængde stråling. Igen vil vi observere, at radioaktiviteten aftager med samme procent. Hvis man sætter et beløb ind på en konto i en bank og lader dem stå, vil de trække renter år efter år. Beløbet på kontoen vil vokse med samme procent hvert år. Her er tale om en funktionssammenhæng. Den afhængige variable, y, beløbet på kontoen, vil afhænge af den uafhængige variable, nemlig tiden, x. I alle tre ovenstående eksempler ændrede y-værdien sig med samme procent, hver gang x-værdien ændres med 1. Den relative ændring af y er konstant, hver gang x-værdien bliver 1 større. Funktionssammenhænge med denne egenskab kaldes for eksponentiel vækst. Side 104

3 Vi kan finde en regneforskrift for eksponentiel vækst ved at tage udgangspunkt i renteformlen. K n = K 0 (1 + r) n Hvis startværdien af den afhængige variable, y, kaldes for b, svarende til startbeløbet på kontoen i banken, K 0, og fremskrivningsfaktoren 1 + r kaldes for a kan regneforskriften for sammenhængen skrives: y = b a x Herunder ses graferne for forskellige eksempler på eksponentiel vækst. Læg mærke til grafernes forløb. Hvis grundtallet a = 1 + r er større end 1, svarer til det vækst med positiv rentetilvækst ( r > 0 ), og y-værdierne vil vokse, når x vokser. Hvis grundtallet a = 1 + r er mindre end 1, svarer det til vækst med negativ procenttilvækst ( r < 0 ), og y-værdierne bliver aftagende. Læg endvidere mærke til hvordan grafen i den ene retning smyger sig mod x-aksen. Vi siger, at grafen nærmer sig asymptotisk mod x-aksen. Forløb af eksponentiel vækst: Hvis en eksponentiel vækst har regneforskriften: y = b a x gælder: Hvis a > 1, vil y være voksende. Hvis a < 1, vil y være aftagende. Side 105

4 Lad os betragte en tabel for x og y: x: y: b a 1 b b a b a 2 b a 3 Hver gang vi går et trin til højre i tabellen, bliver x-værdien 1 større. Samtidig ser vi, at y-værdien bliver a gange større; y-værdierne bliver altså ganget med samme tal, nemlig tallet a, for hvert trin i tabellen. Dette kan generaliseres, således at vi ikke nødvendigvis altid vil gøre x-værdien 1 større. Lad os se på en bestemt x-værdi. Vi kalder den for x 1. Den tilsvarende y-værdi kaldes for y 1 : y 1 = b Lad os gøre x-værdien Δx større, så den bliver x 2 = x 1 + Δx. Den tilsvarende y-værdi kan nu bestemmes ved hjælp af regneforskriften: y 2 = b = Ved at bruge potensregnereglen for et produkt, se side 100, kan udtrykket omskrives til: y 2 = b = y 1 a Δx Med andre ord kan dette udtrykkes således: Hvis vi giver x-værdien den absolutte tilvækst Δx, så bliver den tilsvarende y-værdi ganget med tallet a Δx. Med andre ord: Hvis du lægger Δx til x-værdien, skal du gange y-værdien med a Δx. Dette er formuleret i denne sætning: Side 106

5 Sætning om tilvækst i eksponentiel vækst: Hvis vi har en eksponentiel vækst, y = b a x, og x-værdien får en tilvækst på Δx, vil den tilsvarende y-værdi bliver a Δx gange større. Dette kan udnyttes til at finde en regneforskrift for en funktion, som er eksponentielt voksende. Lad os se på et eksempel. Vi antager, at prisen på mælk i en periode har været eksponentielt voksende. I 2002 var prisen 6,50 kr. for 1L letmælk, mens den i 2006 er steget til 7,25 kr. Vi kan skrive disse oplysninger ind i et skema. Tid (år efter 2000) x 1 = 2 x 2 = 6 Pris (i kroner) y 1 = 6,50 y 2 = 7,25 Så udregnes den absolutte ændring i x-værdier: Δx = x 2 x 1 = 6 2 = 4 Vi ved nu at: y 2 = y 1 a Δx og her indsættes tallene Δx = 4, y 1 = 6,50 og y 2 = 7,25: 6,50 a 4 = 7,25 Denne ligning løses nu for at finde a. Først divideres med 6,50: Side 107

6 Og så tager vi den 4 de rod: = 1,0277 Endvidere ved vi, at regneforskriften er y = b a x. Her kan vi indsætte vores værdi af a, som vi lige har fundet, og et par af samhørende værdier af x og y, fx x 1 = 2 og y 1 = 6,50. Dette giver ligningen: y 1 = b og med de kendte tal indsat: 6,50 = b 1, Her kan tallet b nemt findes: b = = 6,15 Altså er regneforskriften for den eksponentielle funktion, der beskriver udviklingen i mælkeprisen i årene efter 2000 givet ved: y = 6,15 1,0277 x Denne procedure generaliseres nemt til vilkårlige tal: Sætning om regneforskrift for eksponentiel vækst: Hvis sammenhængen mellem to variable x og y er en eksponentiel vækst, og vi kender to par af samhørende værdier: x 1 og y 1 samt: x 2 og y 2 er regneforskriften: y = b a x hvor: a = b = Når man skal undersøge, om sammenhængen mellem to variable kan beskrives som en eksponentiel vækst kan man gøre det ved hjælp af regneark på computer. Her kan man udnytte faciliteten tendenslinie og vælge eksponentiel vækst som mulighed. Side 108

7 Lad os se på et eksempel. Vi kaster 100 terninger, og efter hvert kast fjerner vi alle de terninger, der har vist en 6 er. Resultatet ses i tabellen herunder: Kast nr: 0 (start) Terninger efter kastet: Ved at indtaste tallene i et regneark, kan vi få tegnet denne graf: Side 109

8 Ved at prøve med en lineær tendenslinie ses, at der ikke er tale om lineær sammenhæng, fordi punkterne ikke danner en ret linie i koordinatsystemet. Vi kan dernæst prøve med eksponentiel tendenslinie: Og straks ser vi en meget bedre overensstemmelse mellem punkterne og grafen. Så vi må konkludere, at antallet af terninger er eksponentielt aftagende. Man kan undersøge, om der er en eksponentiel sammenhæng mellem to variable uden brug af regneark. Man har konstrueret et specielt grafpapir, som kaldes for enkeltlogaritmisk papir, hvor graferne for eksponentiel vækst bliver rette linier, og alle andre typer bliver krumme kurver. Ved at indtegne sine data i et sådan stykke papir, afsløres hurtigt, om der er tale om eksponentiel vækst. Side 110

9 På enkeltlogaritmisk papir er x-aksen helt almindelig, og her angives x-værdierne som vi plejer. Men y-aksen er anderledes. Her er på forhånd trykt nogle tal, og dem skal man benytte, hvis papiret skal virke efter hensigten. Tallene, der er trykt, må forsynes med 0 er og eventuelt et komma, men aldrig med andre cifre. Hvor der er trykt et 2-tal, kan der stå: 20, 200, 2000 eller 0,2. Papiret er på y-aksen trykt med tre ens forløb af tal, der alle går fra 1 til 10. Et sådan forløb kaldes for en dekade. Alle tal i en dekade skal være 10 gange større end de tilsvarende tal i dekaden under. Hvis første dekade løber fra 1 til 10, skal næste løbe fra 10 til 100 og den øverste fra 100 til På enkeltlogaritmisk papir er der intet nulpunkt på y-aksen, og der kan ikke angives negative y-værdier på y-aksen. Her ses enkeltlogaritmisk papir, som det er trykt, og et eksempel på angivelse af værdier på x- og y-akserne. Side 111

10 Her ses data fra terningkastene indtegnet på enkeltlogaritmisk papir (der er kun vist en dekade!). Det ses tydeligt, at punkterne danner en ret linie i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem: 7.2 Halveringstid og logaritmer Vi vil nu definere logaritmer og udlede nogle formler med logaritmer, som er meget nyttige ved regning med eksponentiel vækst. Vi starter med at se på sammenhængen: y = 10 x Side 112

11 Skemaet herunder viser forskellige værdier af x og y: x -2-1,5 0 0,75 1 2,4 3 y=10 x 0,01 0, , , I formlen y = 10 x udregner vi y, når vi kender x. Hvis vi omvendt kender y-værdien, kan vi forsøge at lede efter den x-værdi, som passer i udtrykket: y = 10 x Denne x-værdi kaldes for logaritmen til y. Den skrives log(y). Som vi har angivet logartimen til et tal, ses det, at logaritmen er det omvendte af at sætte i 10 ende potens. Definition af logaritmer: Hvis tallet y er positivt, defineres logaritmen til y, log(y), og det er det tal, x, der opfylder: log(y) = x, hvis der gælder y = 10 x Der gælder specielt: log(10 x ) = x og: 10 log(y) = y Eksempel Logaritmen til 100 er 2, dvs. log(100) = 2, fordi 10 2 = 100. Af tabellen ovenfor så vi at 0,0316 = 10-1,5. Det betyder at log(0,0316) = 1,5. Eksempel Ved at vende tabel len ovenfor kan vi få en tabel over logaritmeværdier: y 0,01 0, , , log(y) 2 1,5 0 0,75 1 2,4 3 På lommeregneren kan logaritmen nemt findes ved at bruge knappen log. Logaritmen er et udmærket værktøj, fordi man kan opløse potensudtryk ved hjælp af logaritmer. Side 113

12 Dette kommer til udtryk i denne sætning: Sætning om logaritmeregler: Der gælder følgende regler for logaritmer: 1. log(a b) = log(a) + log(b) 2. log( ) = log(a) log(b) 3. log(a x ) = x log(a) Bevis for logaritmereglerne: Vi udregner: 10 log(a) + log(b) og bruger vores potens regneregel: 10 log(a) + log(b) = 10 log(a) 10 log(b) = a b Men så kan vi tage logartimen på begge sider: log(a b) = log(10 log(a) + log(b) ) = log(a) + log(b) Herved er første regel bevist. Anden regel vises ved at bruge første regel på: a = b log(a) = log( b) = log( ) + log(b) og ved at trække log(b) fra, opnår vi: log(a) log(b) = log( ) og vi har vist anden regel. Side 114

13 Tredje regel vises igen ved at se på potensen: 10 x log(a) Dette omskrives således: 10 x log(a) = 10 log(a) x = (10 log(a) ) x = a x og igen tages logaritmen: log(a x ) = log(10 x log(a) ) = x log(a) Sidste regel er herved bevist. Vi har tidligere, fx i rentesregning, mødt problemstillinger, hvor vi skal finde værdien af en ubekendt, der optræder som potens i et udtryk. Sådanne problemer kan vi nu nemt løse ved hjælp af logaritmer. Eksempel Ligningen 1,37 x = 2,44 løses ved at tage logaritmen på begge sider: log(1,37 x ) = log(2,44) Udtrykket med x omformes ved hjælp af regneregel 3 til: x log(1,37) = log(2,44) og straks er den ubekendte, x, væk fra potensen. Vi kan nu finde x ved at dividere med log(1,37): x = = 2,83344 Eksempel En bakteriekoloni vokser med 17% i timen. Der er bakterier i kolonien. Hvis vi vil bestemme, hvornår bakterieantallet er fordoblet, kan vi opskrive sammenhængen mellem tid og bakterieantal: y = ,17 x Vi skal finde det tidspunkt, x, hvor y = (det dobbelte af ). Derfor opstiller vi ligningen; = ,17 x Side 115

14 Først divideres med : Så tager vi logaritmen på begge sider: log(2) = log(1,17 x ) = x log(1,17) Hvorefter vi dividerer med log(1,17) x = = 4,41 Det betyder, at bakteriekulturen er fordoblet efter 4,41 timers forløb. Vi har nu set eksempler på ligninger, hvor den ubekendte, x, optræder i potensen i et udtryk. Så anvender vi logaritmer til at løse dem med. Dette vil vi nu generalisere til: Sætning om løsning af ligninger med potenser: Hvis a og c er positive tal, med a 1, har ligningen: a x = c Løsningen: x = Beviset for denne sætning gennemføres ved at tage logaritmen på begge sider af lighedstegnet i ligningen: log(a x ) = log(c) Vi anvender logaritmeregel nr. 3: x log(a) = log(c) Endelig dividerer vi med log(a): x = Side 116

15 Hermed er sætningen bevist. En størrelse, der vokser eksponentielt, har en regneforskrift som: y = b a x, hvor a > 1. Man taler ofte om fordoblingskonstanten, T 2, for sådanne udviklinger. Fordoblingskonstanten er den tid, det tager for størrelsen y at fordoble sin værdi. Den findes ved at løse ligningen: 2b = b eller: 2 = Men denne ligning har løsningen: T 2 = Hvis størrelsen er aftagende taler man tilsvarende om halveringskonstant, findes ved at løse ligningen:. Denne b = b eller: = Men denne ligning har løsningen: = Vi sammenfatter dette i følgende sætning: Sætning om fordoblingskonstant og halveringskonstant: Hvis en størrelse y = b a x er eksponentielt voksende, findes fordoblingskonstanten som: T 2 = Hvis størrelsen størrelse y = b a x er eksponentielt aftagende, findes halveringskonstanten som: Side 117

16 Logaritmernes opfindelse. Ordet logaritme er sammensat af ordet logos, et græsk ord, som betyder fornuft eller rationel tankegang, og ordet arithmos, der også er græsk og betyder tal eller regning, Logaritmer er opfundet af englænderen John Napier i 1614 og schweizeren Joost Bürgi i I dag tager vi udgangspunkt i ligningen: y = 10 x når vi definerer logaritmer. Man kalder også disse logaritmer for 10-tals-logaritmen. Men i princippet kan man tage udgangspunkt i et hvilket som helst grundtal i ligningen: y = a x og herved opnår man andre slags logaritme. John Napier John Napier brugte grundtallet a = 0, , og Bürgi a = 1,0001. I videregående matematik anvendes mest den logaritme, der kaldes for den naturlige logaritme. Den har grundtaller: e = 2, Titals-logaritmen blev opfundet af englænderen Henry Briggs ( ), som i et samarbejde med John Napier udarbejdede den første tabel over logaritmer i Logaritmer var en epokegørende opfindelse, fordi udregninger med større tal bliver meget nemmere. Særligt multiplikation, division og uddragning af rødder er nemmere. Hvis man skal gange to tal med hinanden, fx Man finder blot deres logaritmer i en tabel: Disse lægges sammen: 4, log(257) = 2, log(315) = 2, Til sidst findes 10 4, = også i en tabel, og det er resultatet af multiplikationen. På denne måde er en multiplikation overført til et problem med at lægge to tal sammen en meget nemmere opgave. Side 118

17 7.3 Potensvækst Potensvækst er en væksttype, der har en regneforskift af typen: y = b x a Variationsområdet for den uafhængige variable er alle positive reelle tal ( x > 0 ). Læg mærke til, at regneforskriften for potensvækst og for eksponentiel vækst ligner hinanden meget, men at der er byttet om på x og a. På figuren ses grafer for en række eksempler på potensvækst. Man kan vise, at grafer for potensvækst giver en ret linie i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, og at det er den eneste type, der har denne egenskab. Derfor kan man undersøge, om der er tale om potensvækst ved at indtegne grafen i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem og se, om den her danner en ret linie. For potensvækst gælder, at sammen procentvise vækst i den uafhængige variable giver samme procentvækst i den afhængige variable uanset hvilket udgangspunkt man vælger. Hvis vi har en x-værdi, x 0, og den tilsvarende y-værdi y 0, gælder: y 0 = b x 0 a Hvis x-værdien stiger med p%, skal x-værdien ganges med fremskrivningsfaktoren svarende til p%. Den er 1 + r, hvor r =. Den nye x-værdi er altså: Side 119

18 x = (1+r) x 0 Den tilsvarende y-værdi findes nu: y = b x a = b ((1+r) x 0 ) a = b (1+r) a x 0 a = (1+r) a b x 0 a = (1+r) a y 0 Heraf ses, at y-værdien er ganget med fremskrivningsfaktoren (1+r) a, hvilket svarer til, at den er vokset med samme procent uafhængigt af udgangspunktet x Oversigt over væksttyper Type: Ændringer i x og y: Graf: Lineær: y = ax + b Samme absolutte vækst i x giver samme absolutte vækst i y: Δy = a Δx Ret linie i et almindeligt koordinatsystem. Eksponentiel: y = b a x Potens: y = b x a Samme absolutte ændring i x giver same relative ændring i y: y + Δy = y a Δx Samme relative ændring i x giver samme relative ændring i y Ret linie i enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Ret linie i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Side 120