MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

Transkript

1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016

2 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette uddrag indeholder løsninger af differentialligninger. Der vil blive foretaget beregninger samt illustrationer i CAS programmer herunder GeoGebra. Maple 2016 anvendes til de mere komplicerede ligninger, idet man forudsætter, at man kan anvende CAS til eksamen. For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne Side 1 ud af 18

3 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Opgave STX matematik A niveau, kapitel 8 Differentialligninger Lad differentialligningen være givet dx = x + 2 y Tangentligningen kan bestemmes ved et punkt. Punktet P er givet. P = (2, 2) Punktets koordinater kan allerede indsættes i tangentligningen, så man mangler kun den afledede, og dette findes ved indsættelse af punktet i differentialligningen. Så tangenten til grafen er dx = = 2 y = 2(x 2) 2 y = 2x 2 Opgave Differentialligningen er givet = 2x y dx Punkterne for f er P = (1, e) og Q = ( 1, e). Disse indsættes i differentialligningen = 2 1 e = 2e dx = 2 ( 1) e = 2e dx Så kan man opstille to retningsvektorer. (MAT A s. 25) r 1 = ( 1 2e ), r 2 = ( 1 2e ) Så man anvender formlen for vinkel mellem vektorer. Dette udføres i Maple Side 2 ud af 18

4 Opgave Opgave Differentialligningen y = 5y Samt punktet er P = (0,4). Nedenfor er den fuldstændige løsning y = c e kx Da differentialligningen er af typen y = ky. Differentialligningen indsættes i formlen samt punktet P, så c isoleres. Så har man løsningen Differentialligningen 4 = c e = c e 0 4 = c 1 c = 4 y = 4 e 5x y + 3y = 20 Samt punktet er P = (1,4). Nedenfor er den fuldstændige løsning y = b + c e ax a Da differentialligningen er af typen y + ay = b. Differentialligningen indsættes i formlen samt punktet P, så c isoleres. 4 = c e = c e 3 1 c = c = e 3 1 Så har man løsningen y = e 3x 3 Side 3 ud af 18

5 Opgave Differentialligningen y + y = 20x + 3 Samt punktet er P = (1,4). Nedenfor er den fuldstændige løsning y = e G(x) e G(x) h(x)dx Da differentialligningen er af typen y + g(x) y = h(x). Differentialligningen indsættes i formlen samt punktet P. Først ses hvad der er hvad. Så indsættes ovenstående. G(x) = x, h(x) = 20x + 3 y = e x e x (20x + 3)dx y = e x ((20x 17) e x + c) y = e x (20ex 17ex + c) Punktet indsættes 4 = e 1 (20e 1 17e 1 + c) c = e Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat. Altså er funktionen y = e x (20ex 17ex + e) Side 4 ud af 18

6 Opgave Opgaven løses i Maple a) Asffassaf Side 5 ud af 18

7 Opgave Opgaven løses i Maple a) Sfasafsfasfa Side 6 ud af 18

8 Opgave Opgaven løses i Maple a) asfsdsdggds b) asfasasffas c) sfasfssas d) sffasfsfsaa Fortsættes næste side Side 7 ud af 18

9 Opgave a) Ud fra oplysningerne opstilles en differentialligning. = y b) Her anvendes den fuldstændig løsning y = c e kx Man indsætter oplysningerne. y(7) = 10 e = 18 Så efter 7 døgn vil der være 18 individer. c) Her anvendes den fuldstændig løsning m y = 1 + c e kmx Differentialligningen = y (100 y) dx Den indsættes i den fuldstændige løsning. 100 y = 1 + c e x Man kan finde c ved indsættelse af punktet fra spm. b) = 1 + c e Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat. c = Så man har 100 y = e x Så sættes ligningen lig med = e x Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = Så efter 24 døgn vil der være ca. 90 individer. Side 8 ud af 18

10 Opgave Opgaven løses i Maple a) Fassfa Fortsættes næste side Side 9 ud af 18

11 b) Fassffas Opgave Differentialligningen (den samme som opgave 8.010) er givet ved ds t = S t (12 S t ) a) Man indsætter 4 på S t, så man får væksthastigheden. ds t = (12 4) = Så den vokser med 0.184cm pr. døgn efter en længde på 4cm. b) Man indsætter følgende i differentialligningen 0.5, 6, 12 Så man har ds t = (12 0.5) = ds t = (12 6) = ds t = (12 12) = 0 Skitsen ses her. x = længde, y = væksthastighed pr. døgn. Side 10 ud af 18

12 Opgave Differentialligningen dx = y (x2 9), y > 0 a) Punktet P indsættes, både i ligningen ovenfor og tangentligningen, man har så dx = 2 (22 9) = 10 Så y = 10(x 2) + 2 y = 10x + 22 b) Monotoniforholdene bestemmes. = 0, y > 0 dx Så er x 2 9 = 0 x 2 = 9 x ± 3 Det ses, at det er en voksende parabel med benene opad, hvor c = 9, altså er funktionen f; voksende i intervallet ] ; 3] samt [3; [ og aftagende i intervallet [ 3; 3] En monotonilinje tegnes. Side 11 ud af 18

13 Opgave Opgave a) En differentialligning opstilles. dn = N (10 6 N) Så har man differentialligningen. b) Den fuldstændige løsning til differentialligningen er m y = 1 + c e kmx Værdierne indsættes samt punktet t = 0 er = Altså er løsningen N(t) = 1 + c e c = Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat e t c) Når væksthastigheden er størst i logistisk vækst, er det når m, altså er det Den sættes lig med ovenstående funktion e t = Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat. t = Så efter 70 døgn, er der størst vækst i populationen. a) En differentialligning opstilles. dn = N (10 6 N) Så har man differentialligningen. b) Da man har punktet, er det muligt at finde konstanten c i den fuldstændige løsning, som er givet nedenfor. m y = 1 + c e kmx Værdierne indsættes samt punktet N(0) = = c e c = 4 Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat. Fortsættes næste side Side 12 ud af 18

14 Opgave Så er løsningen til differentialligningen 10 6 N(t) = e t d) Så undersøges det, hvornår væksthastigheden er størst. I logistisk vækst, er det når m, altså er det Den sættes lig med ovenstående funktion e t = Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat. t = Så efter 70 døgn, er der størst vækst i populationen. Der er givet en differentialligning N (t) = N(t) (10 6 N(t)) a) Væksthastigheden bestemmes ved indsættelse af på N(t). N (t) = ( ) = 5000 Altså vokser populationen med 5000 individer, når væksthastigheden er størst. b) Grafen tegnes. Først regnes nogle punkter. N (0) = (10 6 0) = 0 N (500000) = ( ) = 5000 N ( ) = ( ) = 0 Grafen ses: Bemærk, at x aksen er antal individer og y aksen er væksthastigheden af individer pr. døgn. Side 13 ud af 18

15 Opgave Opgave Differentialligningen (nu den fjerde af samme slags som ovenstående opgaver) er givet. N (t) = N(t) (10 6 N(t)) a) Her er t 1 = , altså indsættes dette i differentialligningen. N (t) = ( ) = 5000 Så her vokser populationen med 5000 individer i døgnet. Da er halvdelen af det maksimale, den logistiske vækst kan bære, vil det være der, hvor væksthastigheden er størst, efterfølgende vil det dale med væksten, selvom der er en stigning i populationen, inil den når individer. Opgaven løses i Maple a) Afssfa Fortsættes næste side Side 14 ud af 18

16 b) Saeid Jafari Opgave a) Forskriften findes i Maple Der anvendes lineære regression. b) Da der er tale om væksthastigheden (ovenstående model) er differentialligningen 1 N dn = t c) Forskriften kan bestemmes via Maple 2016, men også ved separation af de variable. 1 dn = ( t ) N ln N = t t + k e ln(n) = e t t+k N = e t t e k N = c e t t Så har man t = 7 samt N = 780. Altså er forskriften 780 = c e c = N(t) = e t t Side 15 ud af 18

17 Opgave Der opstilles en differentialligning Opgave a) dh = k h Der opstilles en differentialligning Opgave a) dp = 0.02 (1000 p) Der opstilles en differentialligning Opgave a) = k (y 0 y) Der opstilles en differentialligning om rygter a) Saf dr = r (500 r) Side 16 ud af 18

18 Opgave Der er givet en differentialligning Samt funktionen dh 3 = 20 h(t) 2 h(t) = ( 50 t ) 2 5 a) Hvis man differentierer funktionen h(t), og sætter den lig med differentialligningen, bør det være en løsning, hvis man også indsætter funktionen i differentialligningen. I Maple 2016 differentieres funktionen h(t) og dette udføres nedenfor: Side 17 ud af 18

19 Opgave Det ses, at differentialligningen dn = ( t) N Beskriver befolkningens størrelse, altså den tilvækst der er. a) Det ses, at t er tid og N er befolkningstilvæksten. Man antager, at der vokser 2.5% for hvert år, inil man når et bestemt år, for væksten aftager gradvist. Altså man har t = 0 Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat. t = 62.5 Så efter 62.5 år vil mængden falde, da dette er toppunktet for væksthastigheden. Slut på kapitel 8 - Differentialligninger Kapitel 9 handler om Eksamensopgaver fra år 2008 til 2012 fra bogen: Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Disse opgaver løses ikke, der henvises til Side 18 ud af 18