Differentialligninger med TI-Interactive!

Transkript

1 Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008)

2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4 Når desolve har brug for lidt hjælp... 5 Gennemregnede eksempler... 6 Opgave 1 (Den fuldstændige løsning til y =0.02*y)... 6 Opgave 2 (Løsning til y =0.02*y med bibetingelse)... 6 Opgave 3 (Løsning til y =a*y hvor vi ikke kender konstanten a)... 6 Opgave 4 (Logistisk vækst med tillægsspørgsmål)...7 Opgave 5 (Løsning, hvor x-aksen skal være tangent)... 8 Opgave 6 (Løsning, hvor en skrå linje skal være tangent) ordens differentialligninger... 9 Den fuldstændige løsning... 9 Løsning med startbetingelser... 9 Løsning med grænsebetingelser

3 1. ordens differentialligninger Vi starter med at se på differentialligningen y = 2 y, som jo beskriver eksponentiel vækst. Ligningen behøver ikke være omskrevet til denne form. DeSolve kan udmærket løse y ligningen hvis den f.eks. er skrevet på formen = 2. y Den fuldstændige løsning Vi starter med at finde den fuldstændige løsning. Syntaksen for desolve (som jo gerne må skrives desolve) er: DeSolve(differentialligning, uafhængig variable, afhængig variabel) Hvor differentialligningen skrives med y (eller hvad funktionen nu hedder), den uafhængige variabel er den vi plejer at kalde x (eller t, eller ), mens den afhænginge variabel er den vi plejer at kalde y (eller M, eller ). dy Bemærk: Dette er det eneste sted i TI-Interactive, hvor skrivemåden y fortolkes som. dx Vores eksempel løses altså således: Her lægger man mærke til Meningen er, at man her må skrive enhver konstant. Man kan godt komme ud for, at der er flere konstanter. Disse kaldes osv. Hvis man af anden vej har kendskab til værdien af konstanten kan denne let indsættes ved i næste linje at skrive f.eks. Hvis man vil gemme denne funktion til senere brug, skal man huske, at forskriften for funktionen er det, der står på højre side af svaret: Man kan nu benytte denne funktion som alle andre funktioner. Man kan tegne dens graf, og man kan differentiere den. Vigtigt: Det er vores opgave at angive definitionsmængden. Dette er specielt vigtigt hvis der er anvendt separation af variable. Løsning med bibetingelse Ofte har vi, ud over differentialligningen, en oplysning om, at den løsning vi søger skal gå gennem et bestemt punkt. En sådan ekstra oplysning kalder man en bibetingelse, en startbetingelse eller en sidebetingelse. Her er et eksempel: 3

4 Find den løsning til differentialligningen y = 2 y, som går gennem punktet (1,2) Dette kan naturligvis gøres ved først at finde den fuldstændige løsning, og så bestemme konstanten bagefter. Det er dog meget lettere at udnytte, at desolve( ) kan forstå en simpel tilføjelse til syntaksen: DeSolve(differentialligning and betingelse, uafhængig variable, afhængig variabel) Altså: Her optræder der ikke en konstant (den er jo bestemt ud fra betingelsen). Resultatet kan (2 x 2) 2 x x 2 x skrives på den sædvanlige form: 2 e = 2 e e = (2 e ) e e Når desolve har brug for lidt hjælp Man kommer ofte ud for eksempler, hvor desolve( ) kun kan levere en delvis løsning på problemet. Man må så selv hjælpe til med resten af arbejdet. Her er et eksempel: 3 3 Se på differentialligningen y = y x. DeSolve giver følgende resultat: Som man kan se, er dette bare anvendelse af sætningen om separation af variable. Vi mangler at isolere y. Dette kan let gøres med solve: Som man kan se, er der 2 muligheder. Man må så selv overveje, hvilken af dem det er, der er den relevante for det problem man prøver på at løse. Denne metode fungere også fint med bibetingelser. Her bestemmes automatisk, men vi skal fortsat hjælpe lidt til: Også her er det vores opgave at vælge den rigtige af de 2 løsninger, og vi skal også selv finde den rigtige definitionsmængde. 4

5 Gennemregnede eksempler Opgave 1 (Den fuldstændige løsning til y =0.02*y) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen y =0.02*y Differentialligningen løses ved at bruge desolve( ): Højre side gemmes som en funktion og udskrives sammen med lidt forklaring: Opgave 2 (Løsning til y =0.02*y med bibetingelse) Bestem forskriften for den løsning til differentialligningen y =0.02*y hvis graf går gennem punktet (1,5). Første løses differentialligningen med bibetingelse: Højre side gemmes som en funktion og udskrives: Opgave 3 (Løsning til y =a*y hvor vi ikke kender konstanten a) Bestem forskriften for den løsning til differentialligningen y =a*y hvis graf går gennem punkterne (1,5) og (5,20). Til forskel fra før kender vi nu ikke tallet a. Vi løser den først som i opgave 2 med det første af de to punkter som bibetingelse: Resultatet indeholder konstanten a, så højresiden gemmes sum en funktion med navnet fa: (Det er ikke nødvendigt at udskrive den). Det andet punkt fortæller os, at der skal gælde fa(5)=20. Dette benyttes til at bestemme a ved at løse ligningen: 5

6 Den endelige løsning findes ved at indsætte det i stedet for a i fa(x). Man må gerne gøre det med håndkraft, men det gøres mest elegant således: Og til sidst udskrives resultatet: Opgave 4 (Logistisk vækst med tillægsspørgsmål) Funktionen f(t) er løsning til differentialligningen y = y (1000-y) og opfylder f(0)=5. a) Find forskriften for funktionen og tegn dens graf. b) Bestem tallet = lim f ( t) M t c) Løs ligningen f(t)=½ M a) Vi starter med at løse differentialligningen med bibetingelsen: Vi ser at TI-Interactive ikke selv isolerer y, så vi hjælper lidt: Og gemmer højreside af resultatet som en funktion: Og tegner grafen: 6

7 b) Vi finder bare grænseværdien c) Og her bruger vi bare solve( ) Opgave 5 (Løsning, hvor x-aksen skal være tangent) Bestem den løsning til differentialligningen y = y + x 1, som har x-aksen som tangent. Vi vil først finde det sted på x-aksen, hvor grafen er tangent. Om det sted på grafen ved vi at f (x) = 0 (da tangenten er vandret) og f(x) = 0 (da det er på x-aksen). Disse oplysninger kan også skrives y =0 og y=0. Vi indsætter nu dette i differentialligningen og finder x: Vi kender nu et punkt på grafen: (x,y) = (1,0), og kan løse differentialligningen ved at burge desolve( ) med bibetingelsen: Opgave 6 (Løsning, hvor en skrå linje skal være tangent) Bestem den løsning til differentialligningen y = y + x 1, som har linjen y=2x+1 som tangent. Vi vil først finde koordinaterne til det punkt på grafen for løsningen, hvor linjen er tangent. Da linjen er tangent, og da linjens hældningskoefficient er 2 ved vi, at der i røringspunktet gælder y =2. Vi ved også, at røringspunktet skal ligge både på tangenten og på grafen for funktionen, dvs. at der skal gælde y=2x+1 (tangentens ligning) og 2=y+x-1 (differentialligningen med y =2 indsat). Disse to ligninger med to ubekendte løses: 7 Vi kender nu et punkt på grafen for løsningen: ( x, y) = ( 2 3, 3), og kan løse differentialligningen ved at burge desolve( ) med bibetingelsen: 7

8 2. ordens differentialligninger Vi starter med at se på differentialligningen y + 2y + y = x^2. Dette foregår helt som før: Den fuldstændige løsning Bemærk at her er der 2 vilkårlige konstanter. Løsning med startbetingelser Når man taler om startbetingelser mener man, at man kender værdien af funktionen og af dens afledede til et givet tidspunkt: Find den løsning til differentialligningen y + 2y + y = x^2, som opfylder f ( 0) = 1 og f (0) = 2 Bemærk: Startbetingelserne behøver ikke være til tidspunktet 0, men det skal være til samme tidspunkt. Denne differentialligning løses også (næsten) som ved 1. ordens differentialligninger, blot med den forskel, at der nu er 2 betingelser: Løsning med grænsebetingelser Dette er helt som når man har fået oplyst startbetingelser, blot med den forskel, at man nu kender funktionsværdien til to forskellige tidspunkter: Find den løsning til differentialligningen y + 2y + y = x^2, som opfylder f ( 0) = 1 og f (3) = 2 Løsningen med TI-Interactive foregår helt som før: 8