Differential- ligninger
|
|
- Poul Bagge
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul
2 Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal ikke gennemgå metoder til at løse øvelserne i dette hæfte Øvelserne er indrettet sådan at eleverne kan fumle sig frem til resultaterne ud fra det de i forvejen forstår Derved opnås en forståelse af stoffet som ikke opnås hvis eleverne blot gentager udregningerne i et eksempel uden at være nødt til at føre det der foregår, tilbage til noget de forstår Differentialligninger Et oplæg 1 udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmat1dk Hæftet må benttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til eumat@inetuni2dk som dels oplser at dette hæfte benttes, dels oplser om hold, lærer og skole
3 Øvelse 1 Lad betegne vægten, målt i gram, af en plante A på tidspunktet x uger efter 1 juni Vi ved ikke hvordan A vokser, så vi kan ikke besvare spørgsmålene a)-h), men: For hvert af spørgsmålene a)-d) skal du angive hvilken af sætningerne e)-h) der er samme spørgsmål a) Hvor lang tid tager det at øge vægten med 2 gram? b) Hvor meget bliver vægten øget på 2 uger? c) Hvornår er vægten 2 gram? d) Hvad er vægten 2 uger efter 1 juni? e) Hvilken tilvækst får når x får en tilvækst på 2? f) Hvad er når x er 2? g) Hvilken tilvækst skal x have for at får tilvæksten 2? h) Hvad er x når er 2? Øvelse 2 Figur 2a viser hvordan en plante A er vokset Lad betegne A's vægt, målt i gram, på tidspunktet x uger efter 1 juni a) Hvad er når x er 2,6, og når x er 3? b) Når x er ændres fra 2,6 til 3, hvilken tilvækst får x så? c) Hvilken tilvækst får når x får en tilvækst på 0,4? d) Hvilket tal skal en x-tilvækst ganges med for at få den tilsvarende -tilvækst? e) Hvordan ses på grafen at svaret på d) er det samme for enhver x-tilvækst f) Med hvilken hastighed vokser vægten? Den krumme kurve på figur 2b viser hvordan en plante B er vokset Den lineære graf på figur 2b er grafen fra figur 2a Det ses at omkring 2,6 uger efter 1 juni vokser A og B på næsten samme måde g) Med hvilken hastighed vokser B's vægt 2,6 uger efter 1 juni? Lad betegne B's vægt, målt i gram, på tidspunktet x uger efter 1 juni h) Hvad er når x er 2,6? i) Hvad er når x er 2,6? Figur 2a Øvelse 2 fortsætter på næste side! Figur 2b Differentialligninger Et oplæg Side 1 af 10 15/8-07 Karsten Juul
4 På figur 2c er tegnet endnu en tangent til grafen j) Hvor hurtigt vokser vægten 2 uger efter 1 juni? k) Hvad er vægten 2 uger efter 1 juni? l) Hvad er når x er 2? m) Hvad er når x er 2? n) Når x = 2, gælder så at = 1,2( x 1)? o) Når x = 2, 6, gælder så at = 2 +? p) Én af påstandene 1)-4) er sand Afgør hvilken 1) For hvert tal x i ] 0; 3[ gælder = 2x 2) For hvert tal x i ] 0; 3[ gælder = 2 + 3) For hvert tal x i ] 0; 3[ gælder = 2 4) For hvert tal x i ] 0; 3[ gælder = 1,2( x 1) Eksempel 3 Figur 3a viser hvordan en plante A er vokset Lad betegne A's vægt, målt i gram, på tidspunktet x uger efter 1 juni Figur 2c På figur 3b er vist: 3,4 uger efter 1/6 er vægten 1,6 g, og 4,4 uger efter 1/6 er vægten 2,4 g A Dette kan også formuleres sådan: Når x = 3, 4 er = 1, 6, og når x = 4, 4 er = 2, 4 Heraf ses at når x får tilvæksten 1, så får tilvæksten 0, 8 Da grafen er lineær, er væksthastigheden konstant: Væksthastigheden er 0,8 gram pr uge Dette kan også udtrkkes sådan: = 0,8 Figur 3a Eksempel 3 fortsættes på næste side! Figur 3b Differentialligninger Et oplæg Side 2 af 10 15/8-07 Karsten Juul
5 Figur 3c viser hvordan en plante B er vokset Hvis man på figur 3c tilføjer grafen fra figur 3a, så fås figur 3d Det ses at omkring 3,4 uger efter 1 juni vokser A og B på næsten samme måde, så 3,4 uger efter 1 juni vokser B's vægt med hastigheden 0,8 gram pr uge Dette kan også udtrkkes sådan: Når x = 3, 4, så er = 0, 8 På figur 3e er tegnet to tangenter mere til grafen for B's vækst På denne figur kan aflæses: Når x = 1, 4 er = 0, 6 og = 0, 3 Når x = 3, 4 er = 1, 6 og = 0, 8 Når x = 5, 0 er = 3, 6 og = 1, 8 Af disse tal ses at på hvert af de tre tidspunkter x gælder: Væksthastigheden er lig halvdelen af vægten Denne sammenhæng gælder også på andre tidspunkter: For hvert tal x i ] 0; 5,6[ er = 0, 5 Figur 3c Figur 3d Figur 3e Differentialligninger Et oplæg Side 3 af 10 15/8-07 Karsten Juul
6 Øvelse 4 En graf (som ikke er gengivet her) viser en plantes vægt (i gram) som funktion af tiden x (i uger efter 1 juni) Det oplses at der for hvert tal x i ] 1; 9[ gælder: = 1 0, 2 a) Hvis grafen går gennem punktet ( 2,5, 4,4), hvad er så hældningskoefficienten for tangenten i dette punkt? b) Hvis plantens vægt på et tidspunkt mellem 1 og 9 uger efter 1 juni vokser med hastigheden 0,16 gram pr uge, hvad er så plantens vægt på dette tidspunkt Øvelse 5 Skitser en funktionsgraf hvorom der gælder: Når x = 4 er = 2 (Der er mange muligheder Du skal kun skitsere én af dem) Øvelse 6 Den krumme graf på figur 6a viser en plantes vægt (målt i gram) som funktion af tiden x (målt i uger efter 1 juni) Desuden er vist en tangent til grafen a) Hvad er plantens vægt 2 uger efter 1 juni? b) Med hvilken hastighed vokser plantens vægt 2 uger efter 1 juni? c) Hvad er når x = 2? d) Hvad er når x = 2? På figur 6b er tegnet to tangenter mere til grafen e) Udfld en tabel magen til følgende: Figur 6a x 0, 5 2 4, 5 Det er muligt at skrive et simpelt udtrk med i stedet for i ligningen = K så den fremkomne ligning gælder for alle x i ] 1; 6[ f) Gæt denne ligning ud fra tabellen Figur 6b Differentialligninger Et oplæg Side 4 af 10 15/8-07 Karsten Juul
7 Øvelse 7 Et rektangels bredde kan ændres med et håndtag Grafen på figur 7a viser rektanglets højde (målt i cm) som funktion af rektanglets bredde x (målt i cm) På figur 7b er tegnet nogle af tangenterne til grafen a) Udfld en tabel magen til følgende: x 0, 4 1, 6 2, 4 3, 6 Det er muligt at skrive et simpelt udtrk med x og/eller i stedet for i ligningen = K så den fremkomne ligning gælder for alle x i ] 0; 4[ b) Gæt denne ligning ud fra tabellen c) Brug denne ligning til at bestemme tangenthældningen i grafpunktet ( 0,6, 0,5) d) Brug også ligningen til at argumentere for grafens forløb Figur 7a Figur 7b Øvelse 8 For en størrelse som funktion af en størrelse x gælder: For alle tal x i R er = 0, 5 a) Hvis man udregner 0,5 for forskellige værdier af, vil de største værdier af så give de største resultater? b) Find en værdi af så 0,5 bliver negativ, eller argumentér for at det ikke kan lade sig gøre P og Q er to punkter på grafen for, og Q's andenkoordinat er større end P's c) Er tangenthældningen i Q større end i P? R og S er to punkter på grafen for, og S 's førstekoordinat er større end R 's d) Er S 's andenkoordinat er større end R 's? Differentialligninger Et oplæg Side 5 af 10 15/8-07 Karsten Juul
8 Øvelse 9 Figur 9a viser temperaturen (målt i C) i en beholder efter x timer På figur 9b er tegnet nogle af tangenterne til grafen a) Aftager temperaturen hurtigere når temperaturen er højere? b) Aftager temperaturen hurtigere når der er gået længere tid? Det er muligt at skrive et simpelt udtrk med x og/eller i stedet for i ligningen = K så den fremkomne ligning gælder for alle x i ] 0; 5[ c) Gæt denne ligning Figur 9a Figur 9b Øvelse 10 Et rektangels bredde kan ændres med et håndtag Grafen på figur 10 viser rektanglets højde (målt i cm) som funktion af rektanglets bredde x (målt i cm) Desuden er vist nogle af tangenterne til grafen a) Er voksende i ] 0; 4,7[, aftagende i ] 0; 4,7[ eller ingen af delene? b) Er voksende i ] 0; 4,7[, aftagende i ] 0; 4,7[ eller ingen af delene? Det er muligt at skrive et simpelt udtrk med x og/eller i stedet for i ligningen = K så den fremkomne ligning gælder for alle x i ] 0; 4,7[ c) Gæt denne ligning Figur 10 Differentialligninger Et oplæg Side 6 af 10 15/8-07 Karsten Juul
9 Øvelse 11 Nogle dr er udsat i et område Der gælder 0,1x = 3e hvor er antal dr, målt i tusinder, og x er antal uger efter udsættelsen a) Bestem b) Med hvilken hastighed vokser antallet af dr efter 1 uge? c) Hvad er antallet af dr efter 1 uge? d) I de foregående spørgsmål er bestemt antal og væksthastighed på tidspunktet 1 uge efter udsættelsen Hvilket tal skal antallet ganges med for at få væksthastigheden? e) Bestem antal og væksthastighed 2 uger efter udsættelsen, og bestem hvilket tal antallet skal ganges med for at få væksthastigheden f) På tidspunktet x 0 uger efter udsættelsen skal du bestemme antal og væksthastighed udtrkt ved x 0 Hvilket tal skal antallet ganges med for at få væksthastigheden? g) Find en simpel regel for hvordan man på ethvert tidspunkt kan beregne væksthastigheden når man kender antallet Skriv denne regel som en ligning Øvelse 12 Nogle dr, hvoraf nogle ikke kan formere sig, er udsat i et område Der gælder x = 1+ e hvor er antal dr, målt i tusinder, og x er antal uger efter udsættelsen a) Bestem antal og væksthastighed 2 uger efter udsættelsen b) Bestem antal og væksthastighed 3 uger efter udsættelsen c) Bestem antal og væksthastighed x 0 uger efter udsættelsen d) Find en simpel regel for hvordan man på ethvert tidspunkt kan beregne væksthastigheden når man kender antallet Skriv denne regel som en ligning Øvelse 13 Nogle dr, hvoraf nogle ikke kan formere sig, er udsat i et område Der gælder e 0, 2 x = + 3 hvor er antal dr, målt i tusinder, og x er antal uger efter udsættelsen a) Undersøg om = 0,2 0, 6 Definition 14: En ligning kaldes en differentialligning hvis den ubekendte er en funktion, og den ubekendtes differentialkvotient indgår Definition 15: En funktion er løsning til en givet differentialligning hvis funktionens definitionsmængde er et interval, og ligningen er opfldt for ethvert tal i definitionsmængden Differentialligninger Et oplæg Side 7 af 10 15/8-07 Karsten Juul
10 Eksempel 16 Differentialligningen = x + har uendelig mange løsninger To af dem er funktionerne og x = e x 1 x = 2e x 1, x R, x R Øvelse 17 I eksempel 16 er angivet to løsninger til en differentialligning Gæt nogle flere løsninger til denne ligning Eksempel 18 I en opgave med en differentialligning er det ikke altid nødvendigt at finde en regneforskrift for en funktion der er løsning Antag fx at det om en funktion er oplst at den er løsning til differentialligningen x (*) = Hvis vi for et punkt på funktionens graf kender to af tallene x, og, så kan vi bestemme det tredje ud fra sammenhængen (*) Hvis det vides at en funktion er løsning til (*), og at dens graf går gennem punktet P (3, 6), så kan vi ved indsættelse i (*) finde at tangenten i P har hældningskoefficienten 1 2 Herefter kan vi nemt finde frem til at tangentens ligning er = 1 x + 9 Hvis det om en funktion f vides at den er løsning til (*), og at dens graf ligger over førsteaksen, så kan vi ud fra (*) slutte at f (x) har samme fortegn som x Ud fra denne oplsning kan vi slutte hvordan funktionens monotoniforhold er Øvelse 19 I eksempel 18 er antdet hvordan følgende opgave kan besvares: Opgave En funktion f (x) er løsning til differentialligningen x = og grafen for f (x) går gennem punktet P (3, 6) a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f (x) i punktet P Det oplses at f (x) har definitionsmængden R, og at grafen for f (x) ligger over førsteaksen b) Bestem monotoniforholdene for f (x) Skriv en detaljeret besvarelse af denne opgave 2 2 Differentialligninger Et oplæg Side 8 af 10 15/8-07 Karsten Juul
11 Øvelse 20 En af løsningerne til differentialligningen 2 = er 1 =, x < 1 1 x Gæt nogle flere løsninger Øvelse 21 Differentialligningen = e har løsningerne = ln( x k), x > k, dvs når vi skriver et bestemt tal på k's plads, så fås en løsning, og der er ikke andre løsninger end dem der fås på denne måde a) Hvor skæres førsteaksen af grafen for løsningen = ln( x 2), x > 2 b) Bestem den løsning hvis graf går gennem koordinatsstemets begndelsespunkt Øvelse 22 Et antal dr udsættes i et område På tidspunktet 0 dage efter udsættelsen er væksthastigheden (målt i tilvækst i antal pr dag) 8,00 % af antallet på dette tidspunkt På tidspunktet 1 dag efter udsættelsen er væksthastigheden (målt i tilvækst i antal pr dag) 7,99 % af antallet på dette tidspunkt På tidspunktet 2 dage efter udsættelsen er væksthastigheden (målt i tilvækst i antal pr dag) 7,98 % af antallet på dette tidspunkt osv a) Når der er gået 2 dage efter udsættelsen, hvad skal antallet på dette tidspunkt så ganges med for at få væksthastigheden (tilvækst i antal pr dag) på dette tidspunkt? b) Når der er gået x dage efter udsættelsen, hvad skal antallet på dette tidspunkt så ganges med for at få væksthastigheden (tilvækst i antal pr dag) på dette tidspunkt? c) Opskriv en differentialligning der beskriver hvordan antallet ændrer sig som funktion af tiden x (målt i antal dage efter udsættelsen) d) På hvilket tidspunkt er antallet størst? Differentialligninger Et oplæg Side 9 af 10 15/8-07 Karsten Juul
12 Øvelse 23 Figurerne viser graferne for nogle af løsningerne til hver sin af differentialligningerne (1)-(4) Til hver af disse ligninger skal du finde den tilsvarende figur Begrund svaret uden at bestemme regneforskrift for nogen af løsningerne (1) = x (2) 2 (3) = 1 = (4) = x + x2 Figur 23a Figur 23b Figur 23c Figur 23d Differentialligninger Et oplæg Side 10 af 10 15/8-07 Karsten Juul
Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereOpstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereØvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet
Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man
Læs mereVektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul
Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereKapitel , altså 360. Hvad er matematik? 1 ISBN
Kapitel 1 Øvelse 1.4 En forklaring kan være, at man gerne vil se hvor godt modellen passer med de historiske data man allerede kender. Hvis modellen ikke passer med disse, kan man heller ikke forvente,
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning Opgave 1: r ( t) Q( 7,8) 21. maj 2019: Delprøven UDEN hjælpemidler 2t + 1 = 2 t 1 a) Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse af t-værdien: 2
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereDifferentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler 2 Opgave 1: 2 2 12 0 Man kan løse andengradsligningen med diskriminantmetoden, men man kan også som her forkorte
Læs mereDifferentialregning ( 16-22)
Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereStatistisk beskrivelse og test
Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereDifferentialregning 2
Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekant ABC er retvinklet, kan længden af hypotenusen bestemmes med Pythagoras: 2 2 2 AB AC BC 2 2
Læs mereLineære funktioner. Erik Vestergaard
Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereMatematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2
Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 -----------------------------------------------------DELPRØVE 1------------------------------------------------------- Opgave 1 - Reduktion
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2012
Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs mere(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2
MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereRegneark Excel fortsat
Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer
Læs mereLøsning MatB - januar 2013
Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mereMatematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)
Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet
Læs mereMatematik B. Anders Jørgensen
Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren
Læs mereGUX. Matematik Niveau B. Prøveform b
GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 1stx101-MAT/A-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe111-mat/b-26052011 Torsdag den 26. maj 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereSammenhæng mellem variable
Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2007 MATEMATIK B-NIVEAU. Torsdag den 16. august Kl STX072-MAB
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2007 MATEMATIK B-NIVEAU Torsdag den 16. august 2007 Kl. 09.00 13.00 STX072-MAB Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og
Læs mereDeskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul
Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede
Læs mereMatematik i grundforløbet
Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen stx103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereProcent og rente Karsten Juul
Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn
Læs mereA U E R B A C H. (2) f. a x b
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mere