Differentialregning. Ib Michelsen
|
|
- Karen Fog
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012
2 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 ( ) Denne side er (~ 2)
3 Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af differentialkvotient og tangent...6 Tangenthældninger...7 Den afledte funktion...7 Beregning af differentialkvotienter...8 Den konstante funktion...8 Bevis...8 Den lineære funktion...8 Bevis...8 Andengradspolynomiet...9 Sætning...9 Bevis...9 Tredjegradspolynomium...10 Funktionen f(x) = 1/x...10 Bevis...10 Kvadratrodsfunktionen...10 Bevis...10 Andre polynomier...11 Regnereglerne...12 Øvelse...12 Tangenter...12 Type 1: kendt x-værdi...12 Type 2: kendt y-værdi...13 Type 3: kendt tangenthældning...14 Øvelser...16
4 Differentiering 4
5 Differentiering 5 Introduktion Differentialregning handler bl.a. om at undersøge, hvorledes funktioner vokser. Hvis der er tale om en lineær funktion, kan væksten beskrives med Δ y=a Δ x hvor det græske bogstav store delta betyder en differens (i hhv. y- og x-værdier). Åbn linket og eksperimenter med skyderne: Kontroller, at når Δ x vokser og a > 0, vokser Δ y også Hvad kaldes sammenhængen mellem de to variable: Δ x og Δ y? Hvilken betydning har a for væksten? Hvor stor er Δ y, hvis Δ x=1? Hvor stor er Δ y, hvis Δ x=0? Hvorfor giver det mening at kalde a væksthastigheden Hvis du både kender Δ x og Δ y, er du så i stand til at beregne a? Vis hvordan i et eksempel! Gælder det i alle tænkelige eksempler? Forestil dig at du kører med konstant hastighed ud ad en uendelig lang landevej, at tiden måles med variablen x, at den kørte afstand svarer til f(x). Hvad fortæller parameteren a om køreturen? Det er vigtigt at erkende, at hver gang vi taler om at en bil NU kører med en bestemt hastighed som fx 75 km/time, skal vi benytte to målinger: en afstandsmåling og en tidsmåling. Det kunne i eksemplet være afstanden 75 km og tiden 1 time. Vi taler dog også om at køre med den hastighed, selvom der ikke er tale om at køre en hel time, men fx at køre 25 km på 20 minutter. Men hvis vil vil måle hastigheden i et NU, bliver begge målinger 0, og hastigheden lader sig ikke bestemme umiddelbart: enhver hastighed passer ind i ligningen: Δ y=a Δ x. Men når vi for alle afstande på hele køreturen måler den samme hastighed, vil vi tillade os at sige, at NU kører vi også med 75 km/time. For en lineær funktion gælder det, at for enhver x-værdi (i definitionsmængden) er væksthastigheden = a Men biler kører ikke altid med samme hastighed og der findes mange andre funktionstyper end de lineære.
6 Differentiering 6 Den følgende graf viser en ikke lineær vækst (og bemærk: Δ y kan være negativ). Vi vil gerne beskrive væksthastigheden, når x = 0, men det kunne lige så godt være for enhver anden x-værdi. Vi kunne som her tegne en sekant, for derefter at beregne væksthastigheden for denne; i sekantens endepunkter er der jo sammenfald med grafen og funktionens vækst og sekantens vækst er identiske. Sekanthældningen er en slags gennemsnitsvæksthastighed for funktionen. Følg linket her for at lave nedenstående øvelser: Peg med musen på et af sekantens endepunkter og træk det langs med grafen Bemærk, hvorledes sekanthældningen ændres Modsat hvad der gælder for den lineære funktion, får vi her mange forskellige væksthastigheder. Men lad os undersøge, hvad der sker, hvis begge endepunkters x- værdier ligger i intervallet [- 0,4 ; +0,4]. Noter 10 forskellige hældningskoefficienter for sekanter, hvor endepunkterne opfylder ovenstående betingelse. Gentag eksperimentet, men vælg i stedet for intervallet [-0,2 ; +0,2]. Kan du lave intervallet så lille, at alle hældninger for sekanter med endepunkter over dette interval højst afviger 0,005 fra 1,5? Du svarer forhåbentlig ja! og kan finde intervaller, der er små nok. Så er situationen næsten den samme som for den lineære funktion: For alle afstande (der er tilstrækkelig små) har vi (næsten) den samme væksthastighed. Og jo mindre intervallet bliver, jo mere nærmer vi os et bestemt tal. Dette tal er grænseværdien og kaldes differentialkvotienten i 0. Vi ville få det samme resultat, selv om vi nøjedes med at se på sekanter, der havde det ene endepunkt i A. Definition af differentialkvotient og tangent Lad P=(x 0 ; f (x 0 )) og Q=(x 0 +h ; f ( x 0 +h)) Differentialkvotienten for f i x 0 er grænseværdien for sekanthældninger, når h 0 Det skrives: f ' ( x 0 )=lim f (x +h) f (x ) 0 0 =lim f (x +h) f ( x ) 0 0 (x 0 +h) ( x 0 ) h Linjen gennem P med fældningen f ' ( x 0 ) kaldes tangenten i P.
7 Differentiering 7 Tangenthældninger Prøv at følge linket herunder under og eksperimenter med konstruktionen som beskrevet i øvelsen her 1 : Peg med musen på punktet X, der er bundet til x-aksen Flyt punktet frem og tilbage Bemærk, at punktet A flytter sig samtidigt og altid har samme x-værdi som X, men altid ligger på grafen for funktionen f. I A er der tegnet en tangent til grafen, som flytter sig sammen med A. I algebravinduet kan du finde sammenhørende værdier af x-værdien i A og hældningskoefficienten for tangenten i netop dette punkt. Lav en tabel med disse tal i regnearket for x = -2, -1, 0,, 7, 8 i 1. kolonne og hældningerne i 2. kolonne. Lav en liste af punkter baseret på tabellen. Overvej: vi har defineret en ny funktion der fortæller om f-funktionens tangenters hældninger. Kan du genkende grafens type? Du skal finde funktionen og tegne grafen gennem de nye punkter med kommandoen: g(x)=fitpoly[liste1,2] forudsat at du ikke har lavet flere lister. Giv den nye graf en speciel farve, fx lilla. Beregn en funktionsværdi med kommandoen g_9=g(9) Flyt punktet X til x-værdien 9 og aflæs tangentens hældning; sammenlign med resultatet g(9). Link: Den afledte funktion Lad f (x) være en funktion, hvor vi for enhver x-værdi kan finde differentialkvotienten. Så betegner vi med f ' ( x) den funktion, der for en givet x-værdi har differentialkvotienten som y-værdi. f ' ( x) kaldes den afledte funktion. Funktionen f siges at være differentiabel. Du kan sikkert nemt se, at en nødvendig betingelse for at en funktion har en afledt funktion er, at den er kontinuert (dvs. sammenhængende.) Ligeledes skal den være glat: grafen må ikke have spidser. Fx vil f (x) = x ikke være differentiabel, fordi hældningerne på sekanterne i nærheden af (0,0) ikke nærmer sig et bestemt tal uanset hvor lille intervallet bliver. 1 Konstruktionen forudsætter, at Java er installeret på din PC
8 Differentiering 8 Beregning af differentialkvotienter Den konstante funktion Funktionen f er givet ved: f ( x)=k Den afledte funktion er da: f ' ( x)=0 Bevis En konstant funktion vokser ikke; derfor bliver enhver sekanthældning = 0. Den lineære funktion f ' ( x)=0. Man kan også se det af, at Funktionen f er givet ved: f ( x)=ax +b Den afledte funktion er da: Bevis Vi vil introducere en bevisteknik, der kaldes tre-trins metoden. Udgangspunktet er P=( x ; f (x)) samt et nabopunkt: Q=(x+h; f ( x+h)). I II f ' ( x)=a Først findes Δ y med formlens forskrift og reduceres så vidt muligt) Dernæst findes sekantens hældningskoefficient: omskrives Δ y Δ x III Endelig findes grænseværdien (kaldet limes) når h nærmer sig 0 I II III, som også reduceres / Δ y= f (x+h) f (x)=a (x+h)+b (ax+b)=a x+a h+b ax b=a h Δ y Δ x = a h h =a lim Δ y Δ x = lim a h 0 =a h 0 At differentialkvotienten altid er lig med grafens hældningskoefficient, skulle ikke være nogen overraskelse. Tangenten i ethvert punkt på grafen vil også være sammenfaldende med grafen!
9 Differentiering 9 Andengradspolynomiet Lad os starte med et taleksempel: vi vil finde differentialkvotienten for x=4. Funktionen vi undersøger er f (x)=x 2 Trin I Δ y= f (4+h) f (4)=(4+h) =(16+h h) 16=16+h 2 +8h 16=h 2 +8h Trin II Δ y Δ x = h2 +8 h =h+8 h Trin III lim Δ y Δ x = lim h+8 h 0 =8 h 0 f ' (4)=8 På helt tilsvarende måde kan differentialkvotienten findes for en vilkårlig x-værdi. Dermed findes også forskriften for den afledte funktion. Sætning Funktionen f er givet ved: f (x)=x 2 Den afledte funktion er da: f ' ( x)=2 x Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x)=( x+h) 2 x 2 =(x 2 +h 2 +2 x h) x 2 =x 2 +h 2 +2 x h x 2 =h 2 +2 x h Trin II Δ y Δ x = h2 +2 x h =h+2 x h Trin III lim Δ y Δ x = lim h+2 x =2 x h 0 h 0
10 Differentiering 10 Tredjegradspolynomium Find på nøjagtigt samme måde en forskrift for den afledte funktion i dette tilfælde Funktionen f(x) = 1/x Funktionen f er givet ved: f (x)= 1 x Den afledte funktion er da: f ' ( x)= 1 x 2 Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x )= 1 ( x+h) 1 x = x x (x +h) (x+h) x ( x+h) = x ( x+h) x ( x+h) = x x h x (x+h) = h x (x+h) Trin II Δ y Δ x = Trin III lim Δ y Δ x = h 0 h x (x+h) = h lim 1 1 x ( x+h) = 1 1 x ( x+h) x ( x+h) h 0 = 1 x 2 Kvadratrodsfunktionen Funktionen f er givet ved: f ( x)= ( x) Den afledte funktion er da: f ' ( x)= 1 2 ( x) Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x)= ( x+h) (x) Trin II Δ y Δ x x+h) x) =( ( = h ( ( x+h) x) ( (x+h)+ x) = (x+h) x h ( ( x+h)+ x) h ( (x+h)+ x) = ( x+h) x h ( ( x+h)+ x)
11 Differentiering 11 Trin II fortsat... Δ y Δ x = h h ( ( x+h)+ x) = 1 (x+h)+ x Trin III lim Δ y Δ x = lim 1 h 0 Andre polynomier Funktionen f er givet ved: Den afledte funktion er da: f ' ( x)=n x n 1 (x+h)+ x h 0 = 1 2 ( x) f (x)=x n
12 Differentiering 12 Regnereglerne Lad der være givet 2 differentiable funktioner f og g og et reelt tal k. Vi kan nu danne nogle nye differentiable funktioner, med afledede funktioner som det fremgår af nedenstående tabel. Mht. skrivemåde bruges betegnelserne for funktionen h(x) i flæng; enten h(x) = (f+g)(x) eller h(x)= f(x) + g(x). Tilsvarende gælder for differens af funktioner, produkt og kvotient. (Mht. den sidste definition gælder det, at definitionsmængden ikke indeholder nævnerens nulpunkter, hvilket tit antages uden at det nævnes eksplicit.) Regel nr. Funktion Afledt funktion Huskeregel 1 ( f ±g)( x) ( f ' ±g ')( x) I flerleddede størrelser differentieres hvert led for sig1 2 (k f )(x) (k f ')( x) I et produkt af et tal og en funktion differentieres funktionen og konstanten bevares 3 ( f g)(x) ( f ' g)( x)+( f g ' )(x) Et produkt af to funktioner differentieres ved at differentiere første faktor og gange med den anden samt differentiere anden faktor og gange med den første og endelig addere produkterne 4 ( f f ' g f g ' )(x) ( )( x) g g 2 5 f (g ( x)) f ' ( g(x)) g' ( x) Øvelse Bevis de to første regler med tretrinsreglen Tangenter Vi vil i eksemplet her finde tangenter til parablen på forskellige måder. Vi vil både benytte forskellige teknikker (lommeregner eller GeoGebra) og se forskellige opgavetyper. Hver gang benyttes samme funktion: Type 1: kendt x-værdi g ( x)= x2 4 2x 3. Vi vil finde tangentens ligning for den givne funktion, hvor tangenten har røringspunktet A med x-værdien 6.
13 Differentiering 13 Besvarelse y-værdien for A beregnes som: g(6)= =9 12 3= 6 Dernæst findes g ' (x)= 2 x 4 2 (jævnfør Regler og tidligere resultater) og tangenthældningen a kan beregnes som: a=g ' (6)= =1 Tangentligningens anden parameter b findes med den sædvanlige formel for rette linjer: b= y 1 a x 1, hvori indsættes de kendte tal: b= 6 1 6= 12 Tangentens ligning er: y=1 x 12 Normalt skrives hældningskoefficienten ikke, når den er 1; her er den medtaget for at tydeliggøre beregning og resultat. Alternativ besvarelse Grafen tegnes i GeoGebra; linjen x=6 tegnes. Skæringspunktet mellem disse findes: det er røringspunktet A. Tangentværktøjet vælges: klik på graf og røringspunkt og tangenten tegnes. I algebravinduet eller på tegningen kan tangentligningen aflæses. Tangentens ligning: y = x - 12 Type 2: kendt y-værdi Vi vil finde parablens tangenter i røringspunkterne B og C med y-værdien 2. Besvarelse x-værdierne for B og C beregnes ved at løse ligningen: g(x)=2 x 2 4 2x 3=2 x 2 4 2x 3 2=2 2 x 2 4 2x 5=0
14 Differentiering 14 Det er en sædvanlig andengradsligning med a= 1 4, b= 2,c= 5 d = ( 5)=9 x= ( 2)± (9) 2 1 = 2± Løsningerne er x 1 = 2 og x 2 =10 De tilsvarende y-værdier er begge +2 (iflg. opgaven): y 1 =2 og y 2 =2 Dernæst findes med g ' (x)= 2 x 4 2 de respektive tangenthældninger: a 1 = 2 ( 2) 2= 3og a 4 2 = =3 Tangentligningens anden parameter b findes med den sædvanlige formel for rette linjer: b= y 1 a x 1, hvori indsættes de kendte tal: b 1 =2 ( 3) ( 2)= 4 b 2 =2 3 10= 28 Tangent 1: Tangent 2: y= 3x 4 y= 3x 28 Tangentligningerne bliver så: Type 3: kendt tangenthældning Vi vil nu finde parablens tangent i punktet D, hvor tangenthældningen = -1. Besvarelse x-værdierne for D beregnes ved at løse ligningen: g' ( x)= 1 2 x 4 2= 1 2 x 4 2+2= x 4 =1
15 Differentiering 15 2 x 4 =1 2 x 4 4=1 4 2 x=4 2 x 2 = 4 2 x=2 y-værdien i D fås som: y=g(2)= = 6 Tangenthældningen a = -1 ifølge opgaven; b beregnes som tidligere med b= y 1 a x 1 : b= 6 ( 1) 2= 4 Tangentligningen bliver så: Tangent: y= x 4
16 Differentiering 16 Øvelser 1. Find 3 differentailkvotienter for funktionen f (x)=2 x 2 med tretrinsmetoden. Benyt x-værdierne 3, -1 og Find differentialkvotienten for en tilfældig valgt værdi: x for funktionen f (x)=2 x 2 3x Lad f (x)=x og g ( x)= x 2. Benyt produktreglen til at finde den afledte funktion for h(x)=x 3, idet du ved, at f ' ( x)=1 og g ' (x)=2x 4. Benyt divisionsreglen til at finde den afledte funktion for k ( x)=1/ x 5. Find tangenter til funktionen m(x) 1. hvor røringspunktet har x-værdien hvor røringspunktet har y-værdien 2 3. hvor tangenthældningen er tangenten går gennem punktet (8;-2) 6. Find lokale ekstrema for den viste funktion 7. Find den afledte funktion (for m(x) 8. Hvilken sammenhæng er der mellem m(x) og m'(x)?
PeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Undervisningstid VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereBetydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereMatematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010
Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereLøsningsforslag Mat B 10. februar 2012
Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereM A T E M A T I K B 2
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs merematx.dk Mikroøkonomi
matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................
Læs mereMatematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)
Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereA U E R B A C H. (2) f. a x b
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereM A T E M A T I K A 2
M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08
Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2012
Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion
Læs mereA U E R B A C H M I K E (2) (1)
M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereDifferentialregning og integralregning
Differentialregning og integralregning Ikast 207 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Funktioner Sidst ændret: 29-8-207 Udskrevet: 7-05-7 6:2:44 C:\Users\Ib\Downloads\Differential- og integralregning
Læs mere1 Differentialkvotient
gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden
Læs mereMatematik A2. Mike Auerbach (2) (1)
Matematik A2 Mike Auerbach (2) f () Matematik A2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereVejledning til WordMat på Mac
Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger
Læs mereBrugervejledning til Graph
Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereMatema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen
Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges
Læs mereLøsning MatB - januar 2013
Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereEksponentielle funktioner
Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)
Læs mereUNDERVISNINGSBESKRIVELSE
UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2018 Institution Vid Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereNår eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:
Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.
Læs mereUNDERVISNINGSBESKRIVELSE
UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin August-december 2018 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2e Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Sabrina
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2019 Horsens
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereEksamensspørgsma l Mat B
Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 14/15
Læs mereStamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2018/19 Institution Uddannelse Thy-Mors HF & VUC GSK Fag og niveau Hold HF Matematik B, niveau C-B Hold Id: t605ma-b Lærer Knud
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin: Aug 2017/ Aug 2018 Uddannelse: HF Fag og niveau: Matematik B Lærer(e): Morten Holm Falk (MHFA) Hold: 1mab18e2
Læs mere