geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri G ISBN: 978-87-92488-15 2 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet af lov om ophavsret. Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med forlaget. Læs mere på: www.bernitt-matematik.dk

Forord Hæftet er et af ti, der er udarbejdet til undervisning på VUC på niveauerne basis+g og dette hæfte indeholder kernestoffet om geometri. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den vejledning om undervisning på VUC, der udkom i 2009. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. I forhold til de krav til det faglige indhold, den enkelte kursist eller hold stiller, kan der være indhold, der springes over og der kan være indhold fra hæftet geometri F+E+D, der inddrages. Arbejde med hæftet på tablets, smart-phones og andre touch-screens: Du får den fulde glæde af hæftet, hvis du anvender Adobe PDF Reader til Windows eller ezpdf Reader til Androi. Til Appel OS kan du bruge ibooks eller Good Reader. På siderne er der links til facit på opgaverne, oversigt over regler og formler m.v., som er aktive, hvis du anvender ovennævnte. Links vises med denne skrifttype: Link Siderne er opdelt således, at først forklares og vises med eksempler og derefter er der opgaver du kan løse. Hvis du kan se, at du uden vanskelighed kan løse opgaverne, kan du springe dem over. Efter opgaverne er et link til bagerst i hæftet, hvor reglerne du har arbejdet med er samlet. Når du har løst opgaverne er det en god idé, at læse dette, så du er sikker på, at du har lært det du skulle ved at løse opgaverne. Fra side 38 er facit til opgaverne. Der er ikke facit til opgaver, hvor du skal måle med lineal, fordi målet kommer til at afhænge af, hvordan tegningen vises på din skærm. Klik på opgaveteksten for at komme til facit, og klik på facit for at komme tilbage. Skriv til: mail@bernitt-matematik.dk, hvis du har spørgsmål, forslag eller kommentarer

Linier og vinkler Eksempel: Du vil tegne et tag og du ved, at taget har en hældning på 20. Du bruger en vinkelmåler: Forklaring: Linier, der mødes danner en vinkel med hinanden. Liniernes hældning i forhold til hinanden måles med en vinkelmåler, der har en måleskala inddelt i 180 grader. Grader forkortes med tegnet: Der er to måleskalaer på vinkelmåleren. Den yderste bruges til vinkler, hvor vinkelspidsen er til venstre og den inderste når vinkelspidsen er til højre. Er vinklen 90 kaldes den en ret vinkel. Er den mere end 90 kaldes den en stump vinkel. Er den mindre end 90 kaldes den en spids vinkel. Vinkler, der er 90 vises sådan på en tegning: ü Vinkler med et andet gradtal vises sådan: Êog gradtallet skrives ved. 1 Mål vinklerne 4

2 Tegn liniestykker, der har længden: 15 mm 5 cm 5,4 cm 0,8 cm 3 Tegn vinkler, der er: 45 og med vinkelspidsen liggende til venstre for benene. 120 og med vinkelspidsen liggende til venstre for benene. 25 og med vinkelspidsen liggende til højre for benene. 105 og med vinkelspidsen liggende til højre for benene. 4 Tegningen her er en skitse af et tagspær. Tegn tagspærret sådan at 1 cm på tegningen passer med 1 m i virkeligheden. Mål længden af den vandrette bjælke. 5 Skitsen her viser, hvordan du vil forme en køkkenhave. Lav en tegning af køkkenhaven, hvor 1 cm på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden. Mål længden af den nederste side af stien. Om linier og vinkler på side 34 5

Figur-navne Eksempel 1: En byggegrund har facon som et rektangel med en grundlinie på 30 m, en højde på 25 m. Du laver en skitse af grunden: Forklaring: Der findes en række figur-navne som bruges når man beskriver trekanter og firkanter: Ved at bruge figurnavnene kan man kortere og mere præcist beskrive en figur. Trekanter Retvinklet trekant: En af vinklerne er 90. Ligebenet trekant: To sider er lige lange. Ligesidet trekant: Alle tre sider er lige lange. Firkanter: Rektangel: Alle vinkler er 90. Kvadrat: Alle vinkler er 90 og siderne er lige lange Rombe: Siderne er lige lange. Parallelogram: Siderne, der ligger overfor hinanden er parallelle. Trapez: To af siderne er parallelle. Se også side 45 og 46, hvor der er vist eksempler på de forskellige figurer og er skrevet de udtryk, der bruges til at beskrive deres størrelse. 6

1 Hvilke figurer er det? 2 Tegn et rektangel, der har længden på 5 cm og bredden 3 cm. Tegn et kvadrat, der har en sidelængde på 3 cm. 3 Tegn en rombe, med sidelængde på 5 cm. Vinklerne skal være 50 og 130. 4 Tegn et parallelogram, hvor længden af de parallelle sider er 4 cm og 6 cm. En af vinklerne ved grundlinien skal være 50. 5 Tegn et trapez hvor længden af de parallelle sider skal være 3 cm og 4 cm. Afstanden mellem dem skal være 2 cm og den ene vinkel ved grundlinien skal være 85. 6 Tegn en ligebenet trekant hvor topvinklen skal være 105 og benene skal være 2 cm. 7 Tegn en retvinklet trekant, hvor de to sider er danner den rette vinkel skal være 3 cm og 4 cm. 8 Tegn en lige siddet trekant, hvor sidelængden skal være 5 cm. Om figur-navne på side 45 og 46 7

Cirkler og dele af cirkler Eksempel 1: Du vil tegne en cirkel med tværmålet 8 cm. Du bruger en passer: Forklaring: Når man tegner cirkler med passer skal man kende afstanden fra cirklens centrum til cirkelbuen. Denne afstand kaldes cirklens radius. Man finder den ved at dele tværmålet med 2. Tværmålet kaldes også for cirklens diameter. 1 Tegn cirkler med radius, der er: 25 mm 3,0 cm 5,2 cm 6,1 cm 2 Find radius på cirklerne her: 8

Eksempel 2: Du vil tegne en cirkelbue, der er 90 og som har en radius på 3 cm. Først tegner du to liniestykker der danner en vinkel på 90. Dernæst tegner du med passeren cirkelbuen med vinkelspidsen som centrum. Forklaring: Cirkler og dele af cirkler beskrives også med måleskalaen grader. En hel cirkel er 360. Den figur som de to hjælpelinier og den buede streg danner kaldes et cirkeludsnit. Den buede streg hedder cirkelbuen. 1 Tegn cirkelbuer med radius på 4 cm. Cirkelbuerne skal have størrelserne: 45 90 105 180 270 2 Tegn cirkeludsnit med en radius på 5 cm. Cirkeludsnittene skal have størrelserne: 75 180 90 45 360 3 Herunder ser du hvorledes dine udgifter fordeler sig: Husleje: 35% Transport: 10% Øvrige faste udgifter: 15% Mad, tøj m.v.: 40% Tegn en cirkel og inddel i cirkeludsnit, der svarer til dine udgifters fordeling. Om cirkler og dele af cirkler på side 44 og 45 9

Cirkelbuers længde Eksempel: Du vil lave et cirkelformet bed i en græsplæne. Rundt om bedet skal være en plastik-kant. Bedet skal have et tværmål på 2 m. Du vil regne ud, hvor lang plastikkanten skal være. Du bruger formlen herunder. Cirkels omkreds: O Cirklens radius: r O = 2. B. r O = 2. 3,14. 2 O = 6,28 Plastik-kanten vil blive 6,28 m. Forklaring: I formlen indgår tegnet: B Det udtales: pi og er navnet for et tal, der blandt andet skal bruges når man skal regne en cirkels omkreds ud. Tallet B har uendeligt mange decimaler. Rundet af til to decimaler har det værdien 3,14. Til de fleste formål er en afrunding til 2 decimaler tilstrækkelig nøjagtig. De fleste lommeregnere har en tast, der kan bruges, hvis man vil have en mere nøjagtig værdi for B. Når man skal finde en cirkels omkreds skal man gange 2 med tallet Bog derefter gange med cirklens radius. 1 Du vil lave et cirkelformet bed, der skal have en kant af trædesten. Bedet skal være 2 m i diameter. Hvor lang bliver trædestenenes samlede længde. 2 Et bilhjul har en diameter på 60 cm og et cykelhjul har diameteren 70 cm. 10 Hvor langt bevæger en bil sig pr. hjul-omdrejning og hvor langt bevæger en cykel sig.

3 Du vil omvikle nogle runde stolper med tovværk. Stolperne har en diameter på 20 cm. Hvor meget tov skal du bruge pr. omvikling? 4 Tegningen her er en skitse af et terrasse- gulv. Langs den buede side skal laves et rækværk. Hvor langt skal rækværket være? 5 Et rundt bord har en diameter på 120 cm. Man regner med at hver person, der skal kunne sidde og spise skal have 50 cm. Hvor mange personer kan der sidde om bordet? 6 En fjeder skal laves af 2 mm tykt ståltråd, der vikles i tætte vindinger. Fjederen skal have en længde på 10 cm og en diameter på 1 cm. Hvor langt et stykke ståltråd skal du bruge? 7 Du skal finde et træs tykkelse. Du måler omkredsen med et målebånd. Den er 150 cm. Hvad skal træets radius være for at omkredsen bliver 150 cm? Hvad er træets diameter? Om cirkelbuers længde på side 45 11

Skitse-tegning Eksempel: Du laver en skitse-tegning af en reol, som skal kunne bruges som arbejdstegning for den der skal lave reolen. Tegningen kommer til at se sådan ud:. Forklaring: En skitse-tegning er en tegning, hvor man lægger vægt på at tegningen ligner det den skal forestille uden at man dog har brugt meget tid på at målene skal passe med hinanden. Målene skriver man på tegningen. Det er vigtigt, at alle de mål, der skal til for at kunne lave genstanden, er påført tegningen. Da en skitsetegning kan tegnes rigtigt på mange måder er der ikke facit til opgaver i tegning af skitsetegninger. 1 Du skal lave et bord. Bordpladen skal være 150 cm langt, 80 cm bredt og 5 cm tyk. Benene skal være runde med en diameter på 8 cm og de skal være 72 cm lange. De skal sidde 5 cm inde på pladen. 12 Tegn to skitser af bordet: En hvor man ser bordet nedefra og en hvor ser det fra siden.

2 Du skal anlægge en køkkenhave, der skal have form som et rektangel med længden 10 m og bredden 8 m. I køkkenhaven skal lægges trædesten, der måler 20 cm 10 cm. Stenene skal lægges som to stier: den ene midt i køkkenhaven på længdeledden og den anden midt i på breddeledden. Lav en skitse af køkkenhaven. 3 Du har en ydervæg, der måler 2,72 m 6 m. Midt på vægen og 75 cm fra gulvet skal laves hul til et vinduer, der skal måle 1,30 m 1,60 m. Lav en skitse af væggen, der viser hullets placering. 4 Du skal have lavet et gelænder til din havedørs-trappe. Gelænderet skal bestå af 6 metalstolper, der er 75 cm høje. Der skal være 30 cm mellem stolperne. På stolperne skal være selve håndstykket, der skal være 8 cm bredt og 3 cm højt. Trappen har en hældning i forhold til vandret på 40. Lav en skitse af gelænderet. 5 Du vil have lavet en hylde af træ. Træet skal være 1 cm tykt og 30 cm bredt. Det ydre af hylden skal have form som en lige benet trekant med ben på 50 cm og en topvinkel på 45. Mellem de to lige ben skal der være 4 hylder parallelt med grundlinien og med en afstand på 10 cm. Lav en skitse af hylden. 6 Du skal have lavet et køkkenskab. Skabet skal være 60 cm dybt, 60 cm bredt og 30 cm højt. Det skal have to låger på hver 30 cm og en hylde midt i. Træet skal være 0,5 cm tykt. Lav en skitse af skabet. Om skitse tegning på side 47 13

Perspektiv tegning Eksempel 1: Du vil lave en skitse tegning af en kasse. For at kunne vise alle målene tegner du det i perspektiv. Det kommer til at se sådan ud: Forklaring: Når man tegner i perspektiv skal man sørge for at det, der er forrest på tegningen skal se større ud end det, der er bagerst. På tegningen i eksemplet er den kant på kassen, der er forrest derfor længere end de to andre kanter man kan se. Man opnår denne virkning ved at tegne hjælpelinier, der sigter med punkter der ligger i en vis afstand til den forreste kant. Figurens vandrette linier tegnes derefter oven i hjælpelinierne. 1 Du vil lave en skitse af en kasse. Kassen skal være 70 cm lang, 40 cm høj og 40 cm bred. Tegn en skitse i perspektiv og skriv målene ved. 2 Du vil tegne en skitse af dit hus. Huset er 15 m langt og 8 m bredt. Væggene er 3 m høje undtagen i gavlene: Taget er skråt med en hældning på 20 så gavlene ender i en trekantet spids. Tegn en skitse i perspektiv og skriv målene ved. 14

Eksempel 2: Du vil lave en perspektiv tegning af en dåse. Den kommer til at se således ud: Forklaring: Runde genstande kan man vise perspektivet i ved at lægge skygge på en del af genstanden. Man skal forestille sig, at en lampe lyser på genstanden og lægge skyggen på den side, hvor lyset ikke rammer. 1 Du vil tegne en række med 5 runde stolper. Stolperne skal stå med 2 meters afstand, have et tværmål på 50 cm og være 3 m høje. Tegn stolperne i perspektiv. 2 Du vil tegne en vinflaske, der er 10 cm bred i bunden og fra bunden skal der være 25 cm til det sted, hvor halsen begynder. Halsen er 2 cm bred og 10 cm høj. Tegn flasken i perspektiv. 3 Du vil tegne en rund stolpe. På toppen af stolpen skal være en kugle. Stolpen skal være 1,5 m høj og 20 cm i tværmål. Kuglen skal også have et tværmål på 20 cm. Tegn stolpen med kuglen i perspektiv. Om perspektiv tegning på side 47 15

Målestok-forhold Eksempel 1: Du har fået en tegning af stuen i den lejlighed, du skal flytte ind i. Du vil finde stuens længde. 1 : 100 Med en lineal måler du at stuen er 7,6 cm på tegningen. I virkeligheden er den: 7,6 A 100 = 760 cm Forklaring: Under tegningen står forholdstallene 1 : 100. De angiver forholdet mellem tegningens størrelse og stuens virkelige størrelse. Stuen er altså 100 gange så stor som tegningen. Derfor ganger man med 100. Man kalder 1 : 100 for tegningens målestok-forhold. 1 Du skal måle på tegningen af stuen i eksemplet herover og besvare følgende spørgsmål: Ž Hvor bred er stuen i virkeligheden? Ž Hvor brede er dørene virkeligheden? 2 En grundplan af et hus var tegnet i målestok-forholdet 1 : 50. På tegningen er huset var 24 cm langt og 12 cm bredt. Ž Hvor langt er huset i virkeligheden? Ž Hvor bredt er huset i virkeligheden? 16

3 Tegningen herunder er et udsnit af et bykort. Tegningen er udført i målestok-forholdet 1 : 12.500 Hvor lang er Parallelvej i virkeligheden? Hvor langt er der at gå fra banegården til sygehuset? 4 Tegningen herunder viser en bordplade. Tegningen er udført i målestok-forholdet 1 : 50. Hvor langt er bordet i virkeligheden? Hvor bredt er bordet i virkeligheden? 17

Eksempel 2: Du vil lave en tegning af din stue. Du har brugt et målebånd og fundet ud af at stuen er 600 cm lang og 400 cm bred. Tegningen skal være i målestok-forholdet 1 : 20 Stuen skal på tegningen have målene: Længde: 600 : 20 = 30 cm Bredde: 400 : 20 = 20 cm Forklaring: At målestok-forholdet skal være 1 : 20 betyder, at tegningen skal være én tyvendedel af stuen. Derfor deler man stuens længde og bredde med 20. 1 Du skal lave en tegning af et vindue i målestok-forholdet 1 : 10. Vinduet er 75 cm bredt og 120 cm højt. Hvilke mål skal vinduet have på tegningen? Hvad ville målene blive, hvis tegningen skulle være 1 : 5? 2 Du vil lave en tegning af din køkkenhave, som du vil bruge som "huskeseddel" for, hvor du har sået de forskellige grøntsager. Du mener, at tegningen skal være i målestok-forholdet 1 : 100. Køkkenhaven er 5 m lang og 2 m bred. Hvilke mål skal køkkenhaven have på tegningen? Er det et godt målestok-forhold, du har valgt? 3 Du vil lave en tegning af din stue og af de møbler, du har, fordi du vil prøve, om du kan stille møblerne anderledes. Din stue måler: 9 m lang og 3 m bred Sofaen er: 2 m lang og 1 m bred Reolen er: 30 cm bred og 2 m lang Vil et målestok-forhold på 1 : 50 kunne bruges? Hvad ville du bruge i stedet? 18

Eksempel 3: For neden på et kort er vist denne målestok. 0 5 km Du vil finde ud af, hvad målestok-forholdet er. Du måler målestokken: Den er 5 cm. Målestok-forholdet er: 5 cm : 5 km 1 cm : 1 km 1 cm : 1.000 m 1 cm : 100.000 cm 1 : 100.000 Forklaring: Når 5 cm svarer til 5 km, må det betyde, at 1 cm svarer til 1 km. Man laver derfor 1 km om til m og derefter til cm for at se, hvor mange cm der svarer til 1 cm på kortet. 1 Du ser her målestokken fra et kort. 0 500 m Hvad er målestok-forholdet? 2 Du vil tegne grundplanen for dit køkken. Køkkenet er 4 m langt og 2,5 m bredt. Tegningen skal være på et A4 papir og være så stor som mulig. Hvilket målestok-forhold vil du vælge? 3 Du har fået en tegning af en grund. Der er ikke angivet målestok-forhold, men der står at grunden er 25,50 m lang. Du måler, at grunden på tegningen er 51 cm. Hvad er målestok-forholdet? Om målestok-forhold på side 46 0g 47 19

Målrigtige tegninger Eksempel 1: Du skal lave en tegning af et tagspær, der overholder de mål der er vist på skitsen herunder. Du kan ikke tegne den i fuld størrelse men tegner den i størrelses-forholdet 1 : 20. Du vil finde længden på den vandrette bjælke: Længde på tegningen: Længde i virkeligheden: 5,2. 20 = 5,2 cm = 104 cm Forklaring: Ved at lave mål-rigtige tegninger kan man måle længder og vinkler, som ikke er angivet på skitsen og som måske er nødvendige for at lave genstanden i virkeligheden. Er der tale om store genstande er man nødt til at tegne genstanden i et passende størrelses-forhold. I eksemplet er størrelsesforholdet 1 : 20 (læses: 1 til 20). Det betyder at spærets virkelige mål er delt med 20 på tegningen. Derfor skal man gange de længder man kan måle på tegningen med 20 for at finde den virkelige længde. Vinklerne har samme gradtal i virkeligheden som på tegningen. 20

1 Skitsen her viser den øverste del af gavlen på et hus, som skal beklædes med brædder. Brædderne skal være 30 cm brede. Du vil finde ud af hvor langt det enkelte brædt skal være, og i hvilken vinkel de skal skæres ude i enderne. Du skal lave en målrigtig tegning af gavlen. Lav tegningen sådan at 1 cm på den svarer til ½ m i virkeligheden. Find den underste længde af det øverste brædt og den vinkel det skal skæres i. 2 Du har opmålt din stue og de møbler, der skal være i den og har lavet skitsen herunder: I stuen skal der stå følgende: 2 sofaer, der måler 150 cm x 65 cm 1 rundt sofabord, der har diameter på 120 cm 1 reol, der måler 210 cm x 30 cm 1 TV-bord, der måler 80 cm x 50 cm 1 skrivebord, der måler 145 cm x 70 cm 1 skrivebordstol, der måler 40 cm x 30 cm Hvilket størrelsesforhold vil du tegne din stue i? Tegn stuen og indtegn møblerne, hvor du kan finde plads til dem. 21

3 Du vil lave en billedramme med mål som på skitsen. Du vil være sikker på at dine vinkler bliver rette når du samler rammen. Gør sådan: Tegn en målrigtig tegning af rammen. Find den skrå afstand fra vinkelspids til vinkelspids. 4 Du skal lave et kors af to lister, som vist her: Listerne er 1 cm tykke. Du skal finde ud af, hvor lange listerne skal være og hvilke vinkler, de skal skæres i for enderne. Lav en målrigtig tegning. Find listernes længde og vinklerne de skal skæres i. 5 Du har tænkt dig at købe fliser med en facon som vist her: 22 Du vil finde ud af, hvor mange du skal bruge til et område på 1 m 1 m. Lav en målrigtig tegning af et kvadrat med sidelængden 1 m og start med at indtegne nogle fliser. Hvor mange skal du bruge?

6 Du skal lave et stillads, som du skal bruge til at stå på mens du reparerer en skorsten. Stilladset skal passe med tagets hældning. Du har ikke noget instrument til at måle hældningen med. I stedet har du målt det som skitsen viser. Tegn en målrigtig tegning af taget og find topvinklen. 7 Du skal bygge en kasse af spånplade. Kassen skal have en bund og top, der måler 40 cm 50 cm. Siderne skal have en højde, der måler 50 cm. Du har en spånplade, der måler 120 cm 150 cm. Tegn en målrigtig tegning af pladen og forsøg at indtegne de stykker den skal saves op i. Kan du bruge pladen? 8 Tegningen herunder viser et rum som skal bruges som cafe. I cafeen skal stå runde cafe-borde med et tværmål på 60 cm. Der skal være mindst 1 m fra et bord til en væg og mindst 1,5 m mellem to borde. Hvor mange borde kan der stå? Om målrigtige tegninger side 37 23

Hvor på papiret skal der tegnes? Eksempel : Du skal give besked om en tegning af en trekant på et A4-papir. Trekantens tre spidser skal ligge sådan i forhold til papirets nederste venstre hjørne: 3 cm mod højre og 4 cm op (3 cm, 4 cm) 3 cm mod højre og 12 cm op (3 cm, 12 cm) 12 cm mod højre og 12 cm op (12 cm, 12 cm) Forklaring: Når man skal angive en tegnings placering på et stykke papir, en træplade eller andet, gør man det gerne ud fra papirets nederste venstre hjørne. Man angiver først stedets vandrette placering og derefter dets lodrette. I stedet for at skrive: 2 cm mod højre og 4 cm op kan man skrive: (2 cm, 4 cm) Man kalder det at angive stedets koordinatsæt. Det første tal kaldes 1. koordinaten og angiver den vandrette placering. Det andet tal kaldes for 2. koordinaten og angiver den lodrette placering. 24

1 Tegn en firkant på et stykke A4-papir. Firkantens fire hjørner skal være placeret sådan i forhold til papirets nederste venstre hjørne: 2 cm mod højre og 4 cm op 2 cm mod højre og 8 cm op 8 cm mod højre og 4 cm op 8 cm mod højre og 8 cm op Hvor høj og hvor bred bliver firkanten? 2 Afsæt med udgangspunkt i et A4 papirs nederste venstre hjørne: (10 cm, 5 cm) og (15 cm, 10 cm). Hvor langt er der mellem punkterne? 3 Afsæt følgende punkter på et A4 papir med udgangspunkt i papirets nederste venstre hjørne. (5 cm, 5 cm) (7 cm, 10 cm) (10 cm, 6 cm) (5 cm, 8 cm) (10 cm, 9 cm) Forbind punkterne i den rækkefølge du afsatte dem og forbind til sidst det første punkt med det sidste. Hvilken figur får du? 4 Tegn en linie, der forbinder disse punkter: (5 cm, 15 cm) (15 cm, 15 cm) Tegn på samme papir også en linie, der forbinder disse punkter: (10 cm, 5 cm) (10 cm, 25 cm) Angiv hvor på papiret de to linier krydser hinanden. Om koordinatsæt på side 48 25

Koordinatsystemer Eksempel : Du har fået besked på at tegne et koordinatsystem, hvor enhederne på akserne er 1 cm og derefter tegne en trekant, hvor spidserne ligger sådan: (1,2) (-2,2) og (0,-1) 2 2. akse 1-2 -1 1-1 1. akse 26 Forklaring: Et koordinat-system er en måde at bestemme placeringen og størrelsen af en tegning på. Koordinatsystemet består af to linealer - akser -, der krydser hinanden. Den vandrette lineal kaldes 1. aksen og den lodrette 2. aksen. At enheden på akserne skal være 1 cm betyder, at de skal være ligesom almindelige linealer med cm-mål. Linealerne er lagt sådan, at de krydser hinanden i deres nul-punkter og ud fra nul-punktet skrives tal: På 1. aksen skrives tallene 1, 2 osv. mod højre og tallene -1, -2 osv. mod venstre. På 2. aksen skrives tallene 1, 2 osv. op ad og tallene -1, -2 osv. nedad Når man skal angive et steds placering gøres det med et koordinatsæt, hvor det første tal angiver stedets vandrette placering i forhold til 0 og det andet tal den lodrette placering i forhold til 0. (1,2) betyder dermed 1 mod højre og 2 op. (-2,2) betyder 2 mod venstre og 2 op. (0,-1) betyder 0 mod højre og 1 ned.

1 2. akse Angiv koordinat- 4 A sættene til punkterne, der er markeret med 3 B krydser. 2 1 C D 1 2 3 4 1. akse 2 2. akse Angiv koordinat- A 2 sættene til punkterne, der er markeret med 1 B krydser. C 1. akse -2-1 1 2-1 D -2 3 2. akse Angiv koordinat- 4 A sættene til punkterne, 3 der er markeret med 2 B krydser. 1 C 1. akse -1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 D -3-4 -5 27

4 2. akse Angiv koordinat- 40 A sættene til punkterne. 30 B 20 10 C D 1. akse 10 20 30 40 5 2. akse Angiv koordinat- 2 A sættene til punkterne. 1 B 1. akse 10 20 30 40-1 C D -2 6 2. akse Angiv koordinat- 400 sættene til punkterne. A 300 B 200 C 100 D 1. akse 100 200 300 400 28

7 Du skal tegne et koordinatsystem. Enheden på akserne skal være 1 cm, og der skal være plads til punkterne: (1,1), (5,1), (-4,2) og (3,-3) Tegn koordinatsystemet og afsæt punkterne. Hvor langt er der mellem de to punkter, der ligger længst fra hinanden? 8 Du skal tegne et koordinatsystem, hvor 1 cm på akserne skal svare til 10 enheder. Der skal være plads til punkterne: (0,10), (5,16), (15,25) og (20,27) Tegn koordinatsystemet og afsæt punkterne. Tegn streger fra punkt til punkt i den rækkefølge du afsatte dem. Mellem hvilke to punkter er stregen stejlest? 9 Du skal tegne et koordinatsystem, hvor enhederne skal være: 1. aksen: 1 cm svarer til 1 2. aksen: 1 cm svarer til 10 Der skal være plads til punkterne: (1,25), (2,0), (3,45), (4,30), (5,10) Tegn koordinatsystemet og afsæt punkterne. Tegn en streg fra hvert punkt lodret ned til 1. aksen. Hvilken streg er den længste? 10 Du skal tegne et koordinatsystem og afsætte punkterne: (-4,4), (4,4), (4,-4) og (-4,-4) Tegn koordinatsystemet og afsæt punkterne. Træk en streg fra punkt til punkt i den rækkefølge du afsatte dem, og forbind til slut (-4,-4) og (-4,4). Hvilken figur får du? Om koordinatsystem side 49 29

Beregning af vinkler Eksempel 1: Du ved at to af vinklerne i en trekant er på 90 og 30 og vil finde den tredje vinkels størrelse. De to vinkler er tilsammen: 90 + 30 = 120 Den tredje vinkel er: 180-120 = 60 Forklaring: De tre vinkler i trekanter har gradtal, der lagt sammen altid giver 180. Man kan derfor finde den tredje vinkels størrelse ved at lægge de to andre sammen og trække resultatet fra 180. I firkanter får man 360, hvis man lægger vinklernes gradtal sammen. 1 Du skal tegne en trekant, som vist på skitsen herunder. Det vil gøre det nemmere for dig at tegne trekanten, hvis du kender størrelsen på begge vinkler ved grundlinien. Derfor: Find størrelsen på den sidste vinkel. Tegn trekanten. 30

2 Du skal tegne den ligebenede trekant herunder. Det ville være lettere for dig, hvis du kendte vinklerne ved grundlinien. På side 35 står der om ligebenede trekanter, at vinklerne ved grundlinien er lige store. Find vinklerne ved grundlinien og tegn trekanten. 3 Du skal tegne parallelogrammet herunder. På side 36 står der om parallelogrammer, at vinklerne overfor hinanden lige store og på side 20 at vinklerne i en firkant tilsammen er 360. Find vinklernes størrelse og tegn parallelogrammet. 4 Du skal tegne figuren herunder. Find de mål du mangler og tegn figuren. Om beregning af vinkler på side 48 31

Siderne i en retvinklet trekant Eksempel 1: Du har en retvinklet trekant, hvor du ved at længden på de to sider, der danner den rette vinkel er 3 cm og 4 cm. Du vil beregne den tredie sides længde. Der findes en formel, du kan bruge: c 2 = a 2 + b 2 hvor a og b er de to sider, der danner den rette vinkel og c er den tredje side. c 2 = 3 3 + 4 2 c 2 = 9 + 16 c 2 = 25 c = c = 5 Den tredje side i din trekant er 5 cm. Forklaring: Siderne i en retvinklet trekant har særlige navne og der er en særlig sammenhæng mellem deres længde: Kateterne: er de to sider, der laver den rette vinkel. Hypotenusen: er den tredje side. Sammenhængen: Hvis man ganger kateternes længde med sig selv og lægger resultaterne af dette sammen, får man det samme tal, som hvis man ganger hypotenusens længde med sig selv. Sammenhængen kaldes for Phytagoras sætning efter en græsk matematiker. 32

1 Find kvadratroden af tallene: 25 144 169 9 100 0,01 1 10.000 10 2 200 4,5 2 Find længden på den manglende side i trekanterne her: 3 Tegningen her er en skitse af dit tag. Du har målt bredden og højden af dit tag og vil beregne tagfladens skrå længde. Hvor lang er tagfladens skrå længde? 4 Tegningen forestiller en del af et flisegulv du vil lægge. Fliserne er kvadratiske med en sidelængde på 30 cm. Hvor langt og hvor bredt er det stykke, der er lagt på? 33

Eksempel 2: Du kender længden på den ene af kateterne i en retvinklet trekant og du kender længden på hypotenusen Du vil finde længden af den anden katete. Du bruger Phytagoras sætning: c 2 = a 2 + b 2 12 2 = 10 2 + b 2 144 = 100 + b 2 144-100 = 100-100 + b 2 44 = b 2 = b 6,63325 = b Den anden katete er 6,6 cm. Forklaring: Her er Phytagoras sætning brugt til at beregne længden af en af kateterne. Man indsætter de tal man kender på de rigtige pladser i formlen og den bliver til en ligning, som man løser. Læg specielt mærke til den fjerde linie, hvor man sørger for at b 2 kommer til at stå alene ved at trække 100 fra på begge sider af lighedstegnet. Når man tager kvadratroden af et tal med sin lommeregner får man ofte et tal med mange decimaler som svar. Man skal derfor til slut lave en fornuftig afrunding, der svarer til hvor nøjagtigt man har brug for at kende tallet. 34

1 Find længden på den manglende side. 2 Du vil bygge et trekantet bur til kaniner. Du har 2 meter trådnet til rådighed og buret skal være 1,20 meter bredt. Du tegner en skitse af buret set fra enden: Der skal ikke være trådnet i bunden. Hvor højt kan buret blive? 3 Du skal flytte og har en bordplade, der er 2,50 m bred og 3 m lang. I den lejlighed du skal flytte ind i har dørene højden 2,10 m og de er 80 cm bredde. Du vil finde ud af om bordpladen kan komme gennem døren og tegner en skitse. Kan bordpladen komme igennem? 35

Eksempel 3: Du kender længden på tre sider i en trekant og vil finde ud af om den er retvinklet. Du bruger Phytagoras sætning: c 2 = a 2 + b 2 15,6 2 = 8,2 2 + 12,4 2 243,36 = 67,24 + 153,76 2 243,36 = 221 Trekanten er ikke retvinklet. Forklaring: Phytagoras sætning kan også bruges til at afgøre om en trekant er retvinklet. Man indsætter de tal man kender med det største tal på hypotenusens plads og kontrollerer om tallene passer. Det er specielt nyttigt at bruge Phytagoras sætning sådan, når man arbejder med store mål, hvor man ikke kan bruge en vinkelmåler. 1 Du skal grave fire stolper ned, der skal bære taget til en carport. Du vil kontrollere om stolperne danner rette vinkler med hinanden og måler på skrå mellem stolperne. Hvor langt skal der være? 36

2 Du har målt din grunds bredde og længde mål og målene skråt fra hjørne til hjørne. Resultatet ser du på skitsen: Er der nogen af grundens vinkler, der er rette? 3 Du har fået rejst en flagstang og du synes ikke den står lodret. Hvordan vil du kontrollere om den står lodret? 4 Du er ved stranden og vil bruge snore til at afmærke en badmintonbane i sandet. Du har et målebånd med. Hvordan vil du kontrollere at du har gjort det rigtigt? Om siderne i en retvinklet trekant på side 48 37

Facit Herunder kan du se løsning til nogle af opgaverne. I de opgaver, hvor løsningen er en tegning, der overstiger dette hæftes omfang må man sammenligne sin løsning med den tegning, der er i eksemplet på siden. Hvor det har været muligt er der stillet kontrolspørgsmål til tegningerne så man kan måle efter om ens tegning er rigtig. I opgaver, der handler om at måle vil der altid være en vis usikkerhed om resultatet. Et resultat kan godt være rigtigt uden at være magen il facitlisten. Side 4 1. 76 35 122 128 Side 5 2. 3. 4. 11,5 m 5. 1040 cm Side 6 2. 1,3 cm 0,4 cm 0,8 cm 1,5 Side 7 1. Rektangel Parallelogram Rombe Kvadrat Trapez Trapez Ligesidet trekant Retvinklet trekant Ligebenet trekant. 2. 38

3. 4. 5. 6. 7. 8. Side 8 1. 75 28 cm 39

Side 9 3. Cirkeludsnittene skal være 36, 54, 144 og 126. Din tegning er rigtig, hvis cirkeludsnittene til sammen giver en hel cirkel. Side 10 1. 6,28 m. 2. 1,88 m og 2,20 m Side 11 3. 63 cm. 4. 6,28 m. 5. 7 personer. 6. 157 cm. 7. Ca. 24 cm og ca. 48 cm. Side 12, 13, 14 og 15 Der er ikke facit til opgaverne med skitsetegninger. Side 16 1. 420 cm 70 cm 2. 12 m 6 m Side 17 3. Ca. 810 m Ca. 650 m 4. Ca. 370 cm Ca. 180 cm Side 18 1. 7,5 cm bred og 12 cm høj 15 cm bred og 24 cm høj 2. 5 cm lang og 2 cm bred. Tegningen bliver meget lille. 3. Nej! F.eks. bliver reolen kun 0,6 cm bred 1 : 25 kunne være et godt valg. 40

Side 19 1. 1 : 20.000 2. 1 : 14 3. 1 : 50 Side 21 1. 100 cm og 37. 2. F. eks. 1 : 20. Så vil stuen være 30,5 cm lang på tegningen. Side 22 3. 100 cm. 4. 50 cm og 30. 5. 134 fliser. Side 23 6. 105. 7. Ja. 8. 10 borde. Side 24 1. 4 cm høj og 6 cm bred. 2. 7 cm. 3. En stjerne. 4. (10 cm, 15 cm). Side 26 1. (1,3) (2,1) (2,4) (4,1). 2. (-1,0) (-1,2) (2,-1) (2,1). 3. (2,-2) (2,4) (5,0) (8,2). Side 27 4. (10,30) (23,5) (25,42) (45,13). 5. (10,2) (15,-0,6) (40,1) (40,-1). 6. (130,200) (160,360) (300,90) (400,300). Side 28 7. 9,1 cm. 8. Mellem punkterne (0,10) og (5,16). 41

9. Stregen fra (3,45). 10. Et kvadrat. Side 30 1. 50. Side 31 2. 30. 3. 70, 110, 70 og 110. 4. Vinklen til højre i trekanten er 60. Topvinklen i trekanten er 60. Firkantens vinkel i øverste højre hjørne er 120. Side 33 1. 5 12 13 3 10 0,1 1 100 3,2 1,4 14,1 2,1 2. 10 cm 7,2 cm 3,6 cm 3. 531 cm. 4. 212 cm og 127 cm. Side 35 1. 8 cm 8,5 cm 6 cm 2. 0,8 m 3. Nej for døråbningen er kun 2,25 m på skrå. Side 36 1. 6,71 m Side 37 2. Nej. 3. Du kan f. eks. binde en snor fast i flagstangen 2 m oppe, trække den ned til jorden 2 m væk fra flagstangen og måle snorens længde. Den skal være 2,83 m lang. 4. Mål fra spids til spids. Der skal være 14,37 m. 42

Regler Linier og vinkler En linie er en lige streg, der er uendelig lang og i princippet uendelig tynd. En halvlinie har et begyndelsespunkt og ikke noget endepunkt. Et liniestykke har både et begyndelsespunkt og et endepunkt og har dermed en bestemt længde. To linier er parallelle, hvis de aldrig skær hinanden. To linier der skær hinanden danner vinkler med hinanden. Liniernes hældning i forhold til hinanden angives med et gradtal og måles med en vinkelmåler. Der skelnes mellem tre typer af vinkler: Ret vinkel: 90 og vises sådan på tegninger: ü Spids vinkel: mindre end 90 vises sådan: Ê Stum vinkel: større end 90. Læs mere på side 6. Cirkler Cirkler tegnes med passer. Passerens ene ben sættes i det punkt, der skal centrum og det andet tegner cirkelbuen. Afstanden fra centrum til cirkelbuen kaldes radius. Afstanden tværs gennem cirklen kaldes for diameteren. En hel cirkel har gradtallet 360. Læs mere på side 8. 43

Dele af cirkler En hel cirkelbue har gradtallet 360. En del af en cirkelbue tegnes ved at tegne en vinkel der har det gradtal cirkelbuen skal have. Derefter tegnes med vinkelspidsen som centrum den del af cirklen, der kan ligge mellem benene. Et cirkeludsnit er en del af selve cirkelfladen. Man tegner et cirkeludsnit ved at tegne to linier fra centrum ud til cirkelbuen. Læs mere på side 9. Cirkelbuens længde En hel cirkelbues længde kaldes cirklens omkreds. Den kan findes med formlen: Cirkelbuens længde: O Cirklens radius: r O = 2 A B A r B er et tal, der kun kan skrives afrundet. Skrevet med 2 decimaler er det 3,14. Læs mere på side10. Figurnavne - trekanter Ret vinklet Lige siddet Lige benet Ret vinklet: Én af vinklerne skal være ret (90 ) Lige siddet: To af siderne skal være lige lange. Vinklerne ved den tredje side (grundlinien) er lige store. Lige benet: Alle tre sider er lige lange. Alle vinklerne er 60 Man beskriver en trekant ved at oplyse tre mål, hvoraf det ene skal være et sidemål. Læs mere på side 4. 44

Figurnavne - firkanter Rektangel Kvadrat Rombe Parallelogram Trapez Rektangel: - alle vinkler er rette (90 ). Siderne overfor hinanden er dermed parallelle og lige lange. - man beskriver et rektangel ved at oplyse om længde og bredde. Kvadrat: - alle vinkler er rette (90 ) og alle sider er lige lange. Siderne overfor hinanden er parallelle. - man beskriver et kvadrat ved at oplyse om sidelinien. Rombe: - alle sider er lige lange men vinklerne er ikke rette. Siderne overfor hinanden er parallelle. - man beskriver en rombe ved at oplyse om sidelinien og en af vinklerne. Parallelogram: - siderne overfor hinanden er lige lange og dermed parallelle. - man beskriver et parallelogram ved at oplyse længden af de parallelle sider og en af vinklerne. Trapez: - to af siderne er parallelle. - man beskriver en trapez ved at oplyse længden af de to sider, der er parallelle, den lige afstand mellem dem samt en af vinklerne. Læs mere på side 4. 45

Skitsetegning En skitse er en tegning, der bruges til at fortælle om målene på en figur. Ved skitsetegningen står skrevet hvilke mål figuren skal have i virkeligheden. Der bør være skrevet mål nok til at man kan udføre figuren i virkeligheden ud fra dem. Man må ikke måle på en skitsetegning. Læs mere på side 12. Perspektiv tegning En perspektiv tegning viser en rumlig figur. På en perspektiv tegning skal de dele af figuren der er forrest være størst. Runde figurer kan man give perspektiv ved hjælp af skygger. Man må ikke måle på en perspektiv tegning. Læs mere på side 14 og side 15. Målestok-forhold Finde målet i virkeligheden Hvis man kender målestok-forholdet og målet på kortet, finder man målet i virkeligheden sådan: Gang kort-målet med målestok-forholdet. Finde målet på tegningen Hvis man kender et mål i virkeligheden og målestokforholdet, finder man m,ålet på tegningen sådan: Del virkelighedens mål med målestokken Finde målestok-forholdet. Hvis man kender målet på kortet og målet i virkeligheden gør man sådan: Stil tallene op som forholdstal med kortets mål først. Dividér om muligt begge tal med det samme tal og sådan at kortmålet bliver 1. Omsæt tallene så de får samme benævnelse Læs mere på side 16, 18 og 19 46

Målrigtige tegninger På en målrigtig tegning har figuren de rigtige mål og man må derfor godt måle på tegningen for at finde størrelsen af længder eller vinkler som man har brug for at kende. En målrigtig tegning kan være udført i naturlig størrelse (størrelsesforholdet 1 : 1) eller i et andet størrelsesforhold. Er tegningen fx udført i størrelsesforholdet 1 : 20 (læses som: 1 til 20) betyder det at de virkelige længdemål er delt med 20. Skal man finde et længdemål i virkeligheden skal man gange med 20. Læs mere på side 20. Beregning af vinkler Alle trekanter har en vinkelsum på 180 og alle firkanter har en vinkelsum på 360. Dette kan bruges til at finde gradtallet for en vinkel hvis man kender de andres gradtal. Når to linier skærer hinanden dannes fire vinkler. De to vinkler, der ligger ved siden af hinanden på en ret linie kaldes nabovinkler. Nabovinklers vinkelsum er 180. De to vinkler der ligger overfor hinanden kaldes topvinkler. De har samme størrelse. Når to parallelle linier skæres af en tredje linie dannes også fire vinkler. Vinkler der ligger på samme måde i forhold til de parallelle linier har samme størrelse. Læs mere på side 30. 47

Siderne i en retvinklet trekant Siderne i en retvinklet trekant har særlige navne: Kateterne er de to sider der danner den rette vinkel. Hypotenusen er den tredje side. Der gælder en særlig sammenhæng mellem længden af siderne i en retvinklet trekant: Kateterne: a og b Hypotenusen: c c 2 = a 2 + b 2 Sammenhængen kan bruges til at finde længden på en af siderne i en retvinklet trekant, hvis man kender de andres længde. Den kan også bruges til at undersøge om en trekant er retvinklet: passer længderne ind i sammenhængen er trekanten retvinklet. Læs mere på side 32, 34 og 36. Koordinatsæt Er en måde at angive et punkts placering. Koordinatsættet består af to tal: 1. koordinaten viser, hvor langt mod højre man skal gå i forhold til et udgangspunkt. 2. koordinaten viser, hvor langt man derefter skal gå lodret op. Læs mere på side 24 og 26. 48

Koordinatsystem Et koordinatsystem består af to linier med tal, der krydser hinanden. Den vandrette linie kaldes 1. aksen og skal have en pil der peger mod højre. Den lodrette kaldes 2. aksen og skal have en pil, der peger opad. 3 2 1-3 -2-1 0 1 2-1 -2 På begge linier skrives tallet 0 dét sted, hvor de skærer hinanden. Dette sted er udgangspunktet for at angive punkters placering med koordinatsæt. På begge akser vælges en enhed, som er den afstand, der skal være mellem tallene. Enheden behøver ikke være den samme på begge akser. På 1. aksen skrives plus-tal mod højre og minus-tal mod venstre. På 2. aksen skrives plus-tal op og minus-tal ned. Læs mere på side 26.

2010 by bernitt-matematik.dk