*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

Transkript

1 *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA

2 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning er geometrien nævnt som et område, hvor man kan beskæftige sig med undersøgende og eksperimenterende aktiviteter i et samspil med mere teoretiske overvejelser. I læseplanen står der: I arbejdet med geometrien kan der indgå enkle beviser. I arbejdet med bl.a. geometrisk tegning vil der være mange muligheder for at formulere hypoteser og gennemføre ræsonnementer. Herved belyses en vigtig side af fagets arbejdsmetoder. I vejledningen står der: Ved at beskæftige sig med forskellige former for tegnede udtryk skabes et grundlag for en mere teoretisk opbygning af geometrien. Arbejdet med de forskellige tegnemetoder i geometri giver mange muligheder for at inddrage fundamentale træk fra matematikken som fx ræsonnement og bevis. I et nøjere studium af den enkelte tegnemodel kan man komme med spørgsmål som: Vil man kunne formulere definitioner og sætninger i forbindelse med opbygningen? Det interessante (ved at benytte datamaskinen i geometri) er, at eleverne får øgede muligheder for at arbejde med tegning, undersøgelser, manipulationer og analyser i tæt sammenhæng. Der er således lagt op til, at geometrien ikke blot skal være en tegne og beregningsverden. Eleverne skal også introduceres til en mere teoretisk verden, der består af sætninger og beviser, påstande og begrundelser. Det er ikke en let opgave for skolens matematikundervisning. Når vi taler om at bevise, begrunde og komme med ræsonnementer, så er det tale om at arbejde på et fælles fundament af viden inden for geometri. Hvad er et bevis? Hvor langt skal begrundelsen føres i bund, for at vi er tilfredse og accepterer det som et bevis? Vi har behov for at fastlægge et fælles grundlag af viden, som ræsonnementerne kan bygge på. I folkeskolen vil det næppe være en god ide at opbygge en aksiomatisk geometri fra bunden af. Vi må derfor under alle omstændigheder acceptere at arbejde på en noget gyngende grund, og det må man som lærer leve med. Denne fremstilling er skrevet for klasse og er et forsøg på at skabe et fælles grundlag af viden, som undersøgelser og begrundelser kan bygge på. Gennem øvelser, opgaver og undersøgelser uddrages en række erfaringer, der efterhånden bliver til et fagligt fundament. Der er på ingen måde tale om en systematisk opbygning af geometrien. Grundlæggende viden fra de tidlige klassetrin inddrages efter behov, og mange resultater præsenteres ved at sandsynliggøre dem ved hjælp af figurer. En del af stoffet vil være en repetition af begreber, som eleverne allerede har mødt på de tidligere klassetrin. 2

3 På trods af denne noget løse grund under fødderne er det intentionen, at eleverne herved bliver indført i en geometriverden, hvor de under rimelige former får mulighed for at arbejde med at samspil mellem undersøgende aktiviteter og ræsonnementer. Materialet er i vid udstrækning opbygget efter følgende princip: Først introduceres eleven til en problemstilling ved nogle aktiviteter med papir, blyant, lineal, vinkelmåler og passer. Dernæst skal eleven undersøge problemstillingen ved hjælp af edb-programmet GeomeTricks. De fundne sammenhænge formuleres i første omgang af eleverne selv, men opsamles i fællesskab som en fælles erfaring. Undertiden afrundes undersøgelsen med en øvelse, hvor eleven skal redegøre for (begrunde, bevise) sammenhængen. Den afsluttende øvelse med begrundelser er ofte let og vil være tilgængelig for alle elever, men nogle er lidt sværere. Disse øvelser kan overspringes uden, at man mister helheden i opbygningen. Materialet er opbygget, således at de enkelte afsnit stort set kan bruges uafhængig af hinanden. Hvis man for eksempel ønsker at lade eleverne arbejde med afsnittet om trekanter, så kan man blot snakke de erfaringer, som afsnittet bygger på, igennem med eleverne. Det er næppe muligt at benytte materialet uden adgang til edb og programmet GeomeTricks. 3

4 Indhold Punkter og linier 4 Afstande 5 Vinkler 6 Trekanter 13 Geometriske steder 20 Tegning af trekanter 24 Mere om trekanter 25 Vinkler ved cirkler 27 Tangenter 31 Firkanter 33 Ensvinklede trekanter 37 Opgaver 39 4

5 Punkter og linier. Vi tegner ofte figurer på et stykke papir. Vi tegner på fri hånd, hvor vi kun benytter en blyant, og vi tegner undertiden ved hjælp af nogle instrumenter for eksempel lineal, passer og vinkelmåler. Vi snakker ofte om de figurer vi tegner, og her benytter vi vort dagligsprog. I matematik er der et emne, der hedder geometri i planen. Her beskæftiger vi os med figurer, der kan tegnes på et stykke papir. Vi taler om punkter og linier, og indfører et matematiksprog, så vi kan tale nogenlunde præcist om de sammenhænge og regler, der gælder for forskellige figurer. Selve papiret kalder vi for planen, og vi forestiller os, at det er uendelig stort i alle retninger. En prik på papiret kalder vi for et punkt i planen. Når vi med linealen tegner en streg på papiret, så taler vi om en linie i planen, hvis den skal opfattes som uendelig lang i begge retninger. Når vi på papiret med en lineal tegner en streg, der forbinder to forskellige punkter A og B, således at stregen for eksempel begynder i A og slutter i B, så kalder vi det for et liniestykke og betegner det AB. Hvis stregen begynder i A og går ud over B og fortsætter uendelig langt, så kalder vi det for en halvlinie. Tilsvarende hvis stregen begynder i B og fortsætter ud over A mod uendelig. Når vi taler om punkter og linier, siger vi for eksempel: - at en linie går gennem et punkt - at et punkt ligger på en linie - at to linier skærer hinanden og har et skæringspunkt - at tre punkter ligger på linie, hvis der findes en linie, der går gennem de tre punkter Når vi taler om to vilkårlige punkter, så betyder det, at punkterne er helt frit valgt. Punkterne kan endda have samme placering, og så siger vi, at der er tale om sammenfaldende punkter. Når vi taler om to vilkårlige linier, så betyder det, at de to linier er helt frit valgt. Linierne kan endda have samme placering, og så siger vi, at der er tale om sammenfaldende linier. To linier er enten forskellige eller sammenfaldende. Hvis de to linier er forskellige, så kan de skære hinanden, og hvis de ikke skærer hinanden, kalder vi linierne for parallelle. Hvis de to linier er sammenfaldende, siger vi også, at de er parallelle. GeomeTricks aktivitet 1 I GeomeTricks er der en slags tegnepapir, og man kan tegne punkter og linier, men det fungerer ikke helt som et tegnepapir. En del regler er indbygget i edb-programmet sådan, at det tegner ved at følge disse regler. Afsæt to frie punkter og kald dem A og B. Vi kunne også have sagt: A og B er to vilkårlige punkter. Prøv at trække omkring med A og B. Få det til at ligne to sammenfaldende punkter. Træk A og B lidt væk fra hinanden igen. Tegn en afhængig linie m gennem A og B. Hvis A og B er sammenfaldende, så forsvinder linien. Prøv det. 5

6 Træk A og B lidt væk fra hinanden igen. Afsæt endnu et frit punkt C og tegn den afhængige linie, der går gennem C og er parallel med m. Træk rundt med A, B og C. Træk C ind på den linien m. Den paralle linie følger med og bliver sammenfaldende med m. Afstande Vi taler om afstanden mellem to punkter A og B. Afstanden måler vi med en lineal og betegner den AB. Øvelse 1 Hvad menes der med: Den korteste vej fra A til B er liniestykket AB? Mål med lineal afstandene AC, CB og AB på fig1 og forklar, hvad der menes. fig 1 GeomeTricks aktivitet 2 Afsæt tre frie punkter A, B og C. Lad GeomeTricks måle: AC + CB samt AB. Træk rundt med A, B og C og læg mærke til de to observationer. Kan du få dem til at være lige store? ( - Hvad gælder da?) Erfaring 1: Afstandene mellem tre forskellige punkter A, B og C 6

7 Vinkler En vinkel kan defineres ved to halvlinier med fælles endepunkt. Halvlinierne kaldes for vinklens ben, og det fælles punkt for vinklens toppunkt. Når vi står i toppunktet og kigger ud i vinkelrummet, taler vi om det venstre ben og det højre ben. Vinklen består da af de to halvlinier samt den del af planen, der ligger mellem det venstre ben og det højre ben. Halvlinierne deler jo planen i to områder, og først når vi taler om venstre og højre ben, har vi valgt, hvilket af områderne, der skal være med til at danne vinklen. fig 2 Vinkler kan måles med en vinkelmåler. Hvis en vinkel har toppunkt i et punkt A, højre ben er en halvlinie h og vinklens gradtal er kendt, da er vinklen helt fastlagt. På fig 3 ses nogle linier, der skærer hinanden. Linierne er navngivet, og skæringspunkterne har også fået navne. 7

8 fig 3 Vinkler kan være fastlagt på forskellig vis. Tre punkter, der ikke ligger på linie, fastlægger en vinkel, hvis vi vedtager, hvilket af punkterne, der skal være toppunkt, og yderligere vedtager, at vinklen skal være mindre end 180 grader. På fig 3 vil punkterne A, B og C på denne måde fastlægge en vinkel, når vi for eksempel vedtager, at toppunktet for vinklen skal være B. De tre punkter kan bruges som navn for vinklen, når vi vedtager, at vinklens toppunkt skrives i midten. Vi kan således tale om vinkel ABC, hvor det er underforstået, at B er vinklens toppunkt. Den samme vinkel kunne også omtales som CBA. På fig 3 er vinkel CFE = vinkel DFA. Vinkler, der på denne måde er fastlagt ved tre punkter, kaldes ofte for trekantsvinkler, og det kan være rimelig nok, da de tre punkter også fastlægger en trekant. Trekantsvinkler er mindre end 180 grader. I en trekant ABC vil vi også omtale vinklerne som vinkel A, vinkel B og vinkel C. Vi er vant til at skelne mellem et liniestykke og længden af liniestykket. Et liniestykke, der er fastlagt ved de to forskellige punkter A og B betegnes AB. Længden af liniestykket AB betegnes AB. Det giver mening at skrive AB =6, men det giver ikke mening at skrive AB=6. På tilsvarende vis skelner vi mellem en vinkel og størrelsen af vinklen. Størrelsen af vinkel ABC skriver vi <ABC. Det giver mening at skrive <ABC=30 grader. GeomeTricks aktivitet 2 Afsæt tre frie punkter A, B og C. Tegn liniestykkerne AB, BC og CA. Lad GeomeTricks måle, hvor stor vinkel ABC er. Træk rundt med A, B og C og læg mærke til størrelsen af vinkel ABC. 8

9 Når to linier a og b skærer hinanden dannes der fire vinkler (se fig 4). Vinkler, der ligger over for hinanden, kaldes topvinkler. På fig 4 er for eksempel u og v topvinkler. Vinkler, der ligger ved siden af hinanden, kaldes nabovinkler. På fig 4 er for eksempel x og u nabovinkler. fig 4 Øvelse 2 Brug en vinkelmåler og mål de fire vinkler på fig 4. Tegn selv på papir to skærende linier og mål de fire vinkler. GeomeTricks aktivitet 3 Tegn en firkant ABCD. Tegn liniestykkerne AC og BD. Find skæringspunktet S mellem AC og BD. Lad GeomeTricks måle de fire vinkler, der har toppunkt i S. Træk rundt med A, B, C og D og læg mærke til størrelsen af vinklerne. Hvad gælder der? Erfaring 2: Summen af to nabovinkler Erfaring 3: Topvinklers indbyrdes størrelse 9

10 Øvelse 3 Hvis du ved, at summen af to nabovinkler er 180 grader, kan du så uden at måle, gøre rede for, at topvinkler er lige store. Vi vil også tale om vinklen mellem to linier, og det er en anden brug af ordet vinkel. Vinklen mellem de to linier a og b er ikke en vinkel men størrelsen af en af de to vinkler, der har højre ben på linien a og venstre ben på linien b. Vi betegner vinklen mellem de to linier a og b ved <ab. Den orden, de to linier nævnes i, er helt afgørende. På fig 5 er <ab og <ba forskellige. fig 5 Der gælder altid, at <ab + <ba=180 grader. På fig 3 er <ab = <ACB. Øvelse 4 Angiv nogle vinkler på fig 3, der har samme størrelse. GeomeTricks aktivitet 4 Afsæt tre frie punkter A, B og C. Tegn linien m, der går gennem A og B, samt linien k, der går gennem A og C. Lad GeomeTricks måle vinklen mellem m og k. Træk rundt med A, B og C og læg mærke til størrelsen af <mk. 10

11 GeomeTricks aktivitet 5 Afsæt to uafhængige punkter B og C og tegn linien m gennem B og C. Afsæt et frit punkt A, der ikke ligger på m. Tegn vinkellinien bestemt ved A, m og gradtallet 30. Læg mærke til, at de to vinkler, der er 30 grader, har højre ben på linien m. Tegn nogle flere vinkellinier bestemt ved A og m, hvor du selv vælger gradtal. Træk omkring med A og læg mærke til, hvad der sker. To linier m og n, hvor <nm = 90 grader (og dermed også <mn = 90 grader) siges at stå vinkelret på hinanden. Man siger også, at m er en normal til n, og n er en normal til m. GeomeTricks aktivitet 6 Tegn to linier m og n, der står vinkelret på hinanden. GeomeTricks aktivitet 7 Tegn en linie m gennem to frie punkter A og B og tegn derpå nogle normaler til m. Træk rundt med A og B. Lad A og B være to forskellige punkter og lad M være midtpunktet af liniestykket AB. Normalen gennem M til linien, der går gennem A og B, kaldes for midtnormalen til liniestykket AB. GeomeTricks aktivitet 8 Afsæt to frie punkter A og B og tegn liniestykket AB. Tegn derpå midtnormalen til AB. Mål vinklen mellem liniestykket AB og midtnormalen. Træk rundt med A og B. En linie gennem en vinkels toppunkt, og som deler vinklen i to lige store dele, kaldes for en vinkelhalveringslinie. GeomeTricks aktivitet 9 Når man tegner vinkelhalveringslinier i GeomeTricks, skal man være opmærksom på, at de fastlægges ved først at klikke på vinklens højre ben og derpå på det venstre ben. Det er altså afgørende, hvilken rækkefølge, man klikker på vinklens ben. Tegn nogle linier og tegn derpå nogle vinkelhalveringslinier. 11

12 Når to parallelle linier m og n begge overskæres af en tredie linie k, dannes nogle vinkler. Linien k kaldes for en transversal. To vinkler, der begge har venstre ben på k og højre ben på enten m eller n, kaldes for ensliggende. To vinkler, der begge har højre ben på k og venstre ben på enten m eller n, kaldes ligeledes for ensliggende. På fig 6 er v og u ensliggende vinkler. fig 6 Øvelse 5 Mål med en vinkelmåler alle de vinkler du ser på fig 6. Hvilke vinkler er ensliggende? Tegn på papir en tilsvarende figur og mål alle vinklerne. 12

13 GeomeTricks aktivitet 10 fig 7 På fig 7 er m en fast linie, og h er en linie, der går gennem A og er parallel med m. Lad GeomeTricks måle vinklerne ved skæringspunkterne. Hvilke vinkler er ensliggende. Træk rundt med A, B og C og læg mærke til størrelserne af vinklerne. Erfaring 4: Ensliggende vinklers indbyrdes størrelse ved parallelle linier Hvis vi omvendt har to linier g og h, der overskæres af en tredie linie k, således at to ensliggende vinkler med toppunkt i hvert sit skæringspunkt er lige store, så må linierne h og g være parallelle. På fig 8 er vist sådanne to vinkler med gradtallet u. Hvis nemlig h og g ikke var parallelle, så kunne vi gennem B tegne linien parallel med h, og så havde vi to forskellige linier, der begge dannede en vinkel på u grader med linien k, og det kan ikke være rigtigt. 13

14 fig 8 Trekanter Når vi afsætter tre punkter, der ikke ligger på linie, og forbinder punkterne to og to med liniestykker, får vi en trekant. Øvelse 6 Tegn på papir nogle trekanter med forskellig form og størrelse. En trekant, hvor alle vinkler er mindre end 90 grader, kaldes for spidsvinklet. En trekant, hvor en vinkel er større end 90 grader, kaldes for stumpvinklet. En trekant, hvor en vinkel er 90 grader, kaldes for retvinklet. GeomeTricks aktivitet 11 Tegn en spidsvinklet trekant, en stumpvinklet trekant og en retvinklet trekant. I en trekant betegnes ofte siden AB for c, siden BC for a og siden AC for b. Siden a ligger således over for vinkel A osv. I en retvinklet trekant er det sædvane at kalde den rette vinkel for C. Siden c, der ligger over for den rette vinkel, kaldes for hypotenusen, og de to andre sider kaldes for kateterne. En trekant, hvor to af siderne er lige store, kaldes for ligebenet. Den tredie side kaldes for grundlinien. 14

15 En trekant, hvor alle sider er lige store, kaldes for ligesidet. Øvelse 7 Tegn på papir en retvinklet, en ligebenet og en ligesidet trekant. Mål alle vinkler i de tre trekanter og læg mærke til gradtallene. GeomeTricks aktivitet 12 Tegn en retvinklet trekant, en ligebenet trekant og en ligesidet trekant. Mål alle vinkler i de tre trekanter og læg mærke til gradtallene. Øvelse 8 Tegn på papir en trekant. Sæt buer på vinklerne og klip med en saks de tre vinkler af trekanten. Læg vinklerne sammen og se på resultatet. GeomeTricks aktivitet 13 Tegn en trekant ABC. Mål alle vinkler i trekanten og find summen af gradtallene for de tre vinkler. Træk rundt med A, B og C og find summen af vinklerne for endnu et par trekanter. Øvelse 9 Tegn en trekant A, B og C. fig 9 15

16 Forestil dig, at du står i punktet A og har næsen i retning af punktet B. Du går nu ret frem, indtil du når punktet B. Her drejer du x grader til venstre, så du har næsen mod C. Så går du ret frem, indtil du når C. Her drejer du y grader til venstre, så du har næsen mod A. Derpå går du frem, indtil du når A. Her drejer du z grader til venstre, så du har næsen mod B. Du står nu, hvor du begyndte og med næsen i den samme retning, som da du begyndte. Hvor meget har du i alt drejet? - Hvis du er i tvivl, så prøv at holde styr på næsens retning ved at benytte en blyant til at dreje med. - Hvis du fortsat er i tvivl, så tegn en stor trekant på gulvet og gå turen igennem. - Kan du bruge denne øvelse til at finde summen af <A, <B og <C i trekanten? Øvelse 10 Prøv om du ved hjælp af fig 10 kan finde summen af de tre vinkler i en trekant. Linien m er tegnet parallel med BC gennem punktet A. fig 10 Erfaring 5: Vinkelsummen i en trekant 16

17 Øvelse 11 Gør rede for (uden at måle), at nabovinklen til en vinkel i en trekant er summen af de to andre vinkler. Vi vil gerne tale om trekanter, der i en vis forstand er ens. Vi siger, at to trekanter er kongruente hvis de ser helt ens ud. Den ene må godt være den andens spejlbillede hvis de er ens i størrelse og facon hvis man kan klippe den ene trekant ud og bringe den til at dække den anden trekant hvis siderne parvis har samme længde, og vinklerne parvis har samme størrelse Øvelse 12 Tegn på papir en trekant ABC, hvor vinkel A er 30 grader, AB = 8 cm og AC = 6 cm. Lav først en skitse på fri hånd (en prøvetegning). Tegn derpå trekant ABC mere nøjagtigt med lineal og vinkelmåler. Hvis du nu sammenligner den trekant, du har tegnet, med den trekant, en af dine kammerater har lavet, så er de to trekanterne helt ens. De er kongruente. Prøv at klippe din trekant ud og få den til at dække din kammerats trekant. På fig 11 ses en trekant ABC, der er tegnet i GeomeTricks. Om trekanten gælder, at <A = 30 grader, AB = 8 og AC = 6. Først er A og B afsat som et punktpar med afstand 8. Dernæst er tegnet en vinkellinie gennem A, der med AB danner en vinkel på 30 grader. Endelig er C fundet som skæringen mellem vinkellinien og cirklen med centrum i A og radius 6. Trekanten er ikke ens i størrelse med den, du tegnede. Det er fordi enheden i GeomeTricks ikke er en centimeter. 17

18 fig 11 GeomeTricks aktivitet 14 Tegn en trekant ABC, hvor AB = 9, <A = 40 grader og AC = 5. Træk rundt med A og B. Rens skærmen og tegn selv nogle trekanter, hvor du finder på størrelser for <A, AB og AC. Prøv for eksempel at lave en stumpvinklet trekant og en retvinklet trekant. Erfaring 6: To trekanter er kongruente Øvelse 13 Tegn på papir en trekant ABC, hvor AB = 10 cm, BC = 7 cm og AC = 6 cm. Lav først en prøvetegning. Tegn derpå trekant ABC mere nøjagtigt med lineal og passer. Hvis du nu sammenligner den trekant, du har tegnet, med den trekant, en af dine kammerater har lavet, så er de to trekanterne helt ens. De er kongruente. Prøv at klippe din trekant ud og få den til at dække din kammerats trekant. 18

19 GeomeTricks aktivitet 15 Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, BC = 7 og AC = 6. Tegn nogle flere trekanter, hvor du selv finder på sidelængderne. Kan du altid tegne en trekant, når du som udgangspunkt har tre tal som sidelængder? Erfaring 7: To trekanter er kongruente Øvelse 14 Tegn på papir en trekant ABC, hvor AB =11 cm, <A = 30 grader og <B = 45 grader. Lav først en prøvetegning. Tegn derpå trekant ABC mere nøjagtigt med lineal og passer. Hvis du nu sammenligner den trekant, du har tegnet, med den trekant, en af dine kammerater har lavet, så er de to trekanterne helt ens. De er kongruente. Prøv at klippe din trekant ud og få den til at dække din kammerats trekant. GeomeTricks aktivitet 16 Tegn en trekant ABC, hvor AB =11, <A = 30 grader og <B = 45 grader. Tegn nogle flere trekanter, hvor du selv finder på længden af AB og størrelserne på vinkel A og vinkel B. Kan du altid tegne en trekant, når du som udgangspunkt har sidelængden for AB og vilkårlige gradtal for vinkel A og vinkel B? Erfaring 8: To trekanter er kongruente 19

20 GeomeTricks aktivitet 17 Undersøg om en trekant altid er helt fastlagt, når man kender en vinkel, en hosliggende side samt den modstående side. - (en hosliggende side er en side, der ligger på en af vinklens ben) Prøv at starte med at tegne følgende trekanter: <A = 30 grader, AB = 6 og BC = 8. <A = 120 grader, AB = 7 og BC = 12. <A = 30 grader, AB = 9 og BC = 6. Formulér resultatet af din undersøgelse på almindelig dagligsprog. Øvelse 15 Tegn på papir en retvinklet trekant, hvor <C = 90 grader, a = 6 cm og c = 9 cm. Lav først en prøvetegning. Tegn derpå trekant ABC mere nøjagtigt med lineal, vinkelmåler og passer. Hvis du nu sammenligner den trekant, du har tegnet, med den trekant, en af dine kammerater har lavet, så er de to trekanterne helt ens. De er kongruente. Prøv at klippe din trekant ud og få den til at dække din kammerats trekant. GeomeTricks aktivitet 18 Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor <C = 90 grader, a = 7 og c = 11. Tegn nogle flere retvinklede trekanter, hvor du selv finder på længden af a og c. Erfaring 9: To retvinklede trekanter er kongruente 20

21 Geometriske steder Et geometrisk sted er en mængde af punkter, der har en bestemt egenskab. GeomeTricks aktivitet 19 Afsæt de frie punkter A, B, C og D. Tegn en cirkel med centrum C og radius 7. Knyt punkterne A, B og D til cirklen. Mål afstandene CA, CB og CD. Træk rundt med A, B og D på cirklen. Afsæt punktet X inde i cirklen og punktet Y uden for cirklen. Mål afstandene CX og CY. Træk rundt med X og Y og læg mærke til afstandene. En cirkel er et geometrisk sted. En cirkel er mængden af punkter, der har en fast afstanden r (radius) til et givet punkt C (centrum). Øvelse 16 Tegn på papir en linie m og afsæt et punkt A, der ikke ligger på m. Afsæt et punkt P, der ligger på m. Mål med lineal afstanden AP og skriv afstanden ned. Afsæt yderligere punkterne Q, R, S og T - alle på linien m. Mål med lineal afstandene AQ, AR, AS, AT, og skriv afstandene ned. Hvilken afstand var mindst? Prøv at finde det punkt X på m, der har mindst afstand til punktet A. Beskriv, hvor punktet X ligger i forhold til A og m. GeomeTricks aktivitet 20 Tegn en fast linie m. Afsæt et punkt A, der ikke ligger på m. Afsæt i nærheden af m et punkt P og knyt punktet P til linien m. Lad GeomeTricks måle afstanden AP. Prøv nu at trække i P og forsøg at gøre afstanden AP så lille som mulig. Tegn gennem punktet A normalen til m. Hvor ligger P, når afstanden AP er mindst? Erfaring 10: Den mindste afstand fra punktet A til punkter på linien m Denne mindste afstand kalder vi for A s afstand til linien m. Vi skriver det Am eller ma. 21

22 GeomeTricks aktivitet 21 Tegn en fast linie m. Afsæt et punkt A, der ikke ligger på m. I GeomeTricks kan man ikke direkte få målt afstanden Am fra A til linien m. Man må selv tegne normalen n gennem A til m og finde skæringspunktet S mellem n og m. Dernæst kan man bede GeomeTricks om af finde afstanden AS, som jo så er lig med afstanden Am. Gør det - og træk rundt med A, idet du lægger mærke til afstanden. Øvelse 17 Tegn på papir en linie m. Tegn et punkt A, der har afstanden 6 cm til linien m. Tegn alle de punkter, der har afstanden 6 cm til linien m. GeomeTricks aktivitet 22 Tegn en fast linie m. Tegn det geometriske sted for de punkter, der har afstanden 7 til linien m. Erfaring 11: Det geometriske sted for de punkter, der har en given afstand til en fast linie Vi taler om afstanden mellem to parallelle linier m og k, og vi skriver afstanden som mk. Øvelse 18 Tegn på papir to skærende linier m og k. Afsæt et punkt, der ligger lige langt fra m og k. Brug linealen som støtte. Afsæt nogle flere punkter, der hvert ligger lige langt fra m og k. 22

23 GeomeTricks aktivitet 23 Tegn to skærende linier m og k. Afsæt et punkt P og find afstanden fra P til m og fra P til k. Træk rundt med P og læg mærke til de to afstande. Anbring P et sted, hvor de to afstande er ens. Tegn en af de to vinkelhalveringslinier v og knyt P til v. Læg mærke til de to afstande, når du trækker P på v. Prøv også med den anden vinkelhalveringlinie u. Erfaring 12: Det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til to skærende linie Øvelse 19 På fig 12 er v en vinkelhalveringslinie til de skærende linierne m og k. P er et punkt på v. Gør rede for (uden at måle), at P har samme afstand til m og k. Du skal gøre rede for, at trekant SAP er kongruent med trekant SBP. fig 12 Øvelse 20 Afsæt på papir to punkter A og B. Tegn et punkt P, der har samme afstand til A og B. Brug en passer og lineal. Skriv afstandene AP og BP ned på papir. Tegn nogle flere punkter, der ligeledes har samme afstand til A og B. Skriv afstandene ned. Beskriv, hvorledes disse punkter ligger i forhold til A og B. 23

24 GeomeTricks aktivitet 24 Afsæt to punkter A og B og tegn liniestykket AB. Tegn et tredie punkt P og tegn liniestykkerne AP og BP. Lad GeomeTricks måle afstandene AP og BP. Træk rundt med P og læg mærke til, hvornår de to afstande AP og BP er ens. Tegn midtnormalen m til AB og knyt punktet P til m. Læg mærke til de to afstande, når du trækker P på m. Erfaring 13: Det geometriske sted for de punkter, der hvert har samme afstand til to punkter Øvelse 21 Gør rede for (uden at måle), at ethvert punkt P på midtnormalen til AB har samme afstand til A og B. Lav en tegning på papir og find to trekanter, der er kongruente. Øvelse 22 Beskriv følgende geometriske steder enten ved at bruge dagligsprog eller ved hjælp af en tegning. Det geometriske sted for de punkter, hvis afstand til et givet punkt C er mindre end 6. Det geometriske sted for de punkter, hvis afstand til en given linie m er mindre end eller lig med 5. Det geometriske sted for de punkter, hvis afstand til et givet punkt C er større end 8. Det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til to forskellige parallelle linier k og h. Det geometriske sted for de punkter P, hvis afstand til to givne skærende linier k og h opfylder, at Pk > Ph. Øvelse 23 Givet liniestykket AB, hvor AB = 10 cm. Tegn det geometriske sted for de punkter P, der opfylder AP + BP = 15 cm. Brug to knappenåle og et stykke sytråd og udfør blot tegningen så nøjagtigt, du nu kan. Det geometriske sted kaldes en ellipse. 24

25 Tegning af trekanter Når man skal tegne en trekant sker det ofte på basis af nogle oplysninger om trekanten. Man skal så tage stilling til, om trekanten overhovedet kan tegnes, og om der muligvis er flere trekanter, der opfylder de krav, der er stillet. GeomeTricks aktivitet 25 I alle opgaverne er det vigtigt at lave en prøvetegning først. 1. Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, AC =7 og BC =9. 2. Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, AC =12 og BC = Tegn en trekant ABC, hvor AB =11, AC =11 og BC = Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, AC =6 og BC =5. 5. Prøv at tegne en trekant ABC, hvor AB =10, AC =5 og BC =4. 6. Prøv at formulere, hvad der skal gælde om tallene, for at det kan blive en trekant. 7. Tegn en trekant ABC, hvor AB =12, <A=45 grader og <B=60 grader. 8. Tegn en trekant ABC, hvor AB =8, <A=120 grader og <B=30 grader. 9. Tegn en trekant ABC, hvor AB =11, <A=60 grader og AC = Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, <B=50 grader og BC = Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor <C=90 grader, CA =7 og CB = Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC = Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC = Prøv at tegne en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC = Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC = Tegn en trekant ABC, hvor <A=120 grader, AB =6 og BC = Tegn en trekant ABC, hvor <A=120 grader, AB =8 og BC =6. GeomeTricks aktivitet 26 I det følgende får vi behov for at tegne en linie, der er parallel med en given linie og har en bestemt afstand til den. Vi skal måske tegne en linie k, der er parallel med en given linie m, og således at afstanden mellem m og k er 7. Det kan i GeomeTricks gøres sådan: 1. Tegn først linien m. 2. Afsæt dernæst et punkt P og knyt P til m. 3. Tegn normalen n til linien m gennem P. 4. Tegn en cirkel med centrum i P og radius Find skæringspunkterne R og Q mellem cirklen og normalen n. 6. Tegn til sidst linien gennem enten R eller Q (den du nu ønsker) parallel med m. 25

26 GeomeTricks aktivitet 27 I alle opgaverne er det vigtigt at lave en prøvetegning først. 1. Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, BC =11 og højden fra B på siden AC er 5. (når du begynder med GeomeTricks, kan du for eksempel først tegne en fast linie m og afsætte et frit punkt A, som du knytter til m.) 2. Tegn en trekant ABC, hvor <A=120 grader, BC =12 og højden fra B på siden AC er Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, BC =7 og højden fra B på siden AC er Tegn en trekant ABC, hvor <A=60, højden fra B på siden AC er 6, og højden fra C på siden AB er 8. Mere om trekanter Øvelse 24 Tegn på papir en ligebenet trekant og mål de tre vinkler i trekanten. GeomeTricks aktivitet 28 I GeomeTricks kan du tegne en vilkårlig ligebenet trekant på følgende måde: 1. Afsæt tre punkter A, X og Y. 2. Tegn linien m gennem A og X samt linien k gennem A og Y. 3. Afsæt endnu et punkt Z. 4. Tegn en cirkel c med centrum i A som går gennem Z. 5. Vælg et af skæringspunkterne mellem c og m og kald det B. 6. Vælg et af skæringspunkterne mellem c og k og kald det C. 7. Tegn liniestykket BC. Træk rundt med X, Y og Z. Gør rede for, at trekant ABC er ligebenet. Lad GeomeTricks måle vinkel B og vinkel C i trekant ABC. Træk rundt med X, Y og Z og læg mærke til <B og <C. Erfaring 14: Vinklerne ved grundlinien i en ligebenet trekant Øvelse 25 Tegn på papir en ligebenet trekant ABC, hvor AB = AC. Afsæt midtpunktet M af liniestykket BC og tegn liniestykket AM. Gør rede for (uden at måle), at <B = <C (du skal se på de to trekanter AMB og AMC). 26

27 Øvelse 26 Gør rede for (uden at måle), at alle vinkler i en ligesidet trekant er 60 grader. GeomeTricks aktivitet 29 Tegn en trekant ABC og tegn de tre vinkelhalveringslinier. Træk rundt med A, B og C. Erfaring 15: Vinkelhalveringslinierne i en trekant Øvelse 27 Tegn på papir en trekant og tegn to vinkelhalveringslinier. Kald deres skæringspunkt for S. Gør rede for, at den sidste vinkelhalveringslinie også må gå gennem S. GeomeTricks aktivitet 30 Tegn en trekant ABC og tegn midtnormalerne til AB, BC og CA. Træk rundt med A, B og C. Erfaring 16: Midtnormalerne i en trekant Øvelse 28 Tegn på papir en trekant og tegn to midtnormaler. Kald deres skæringspunkt for S. Gør rede for, at den sidste midtnormal også må gå gennem S. I en trekant ABC kaldes liniestykket, der forbinder A med midtpunktet af siden BC for en median. GeomeTricks aktivitet 31 Tegn en trekant ABC og tegn de tre medianer i trekanten. Træk rundt med A, B og C. 27

28 Erfaring 17: Medianerne i en trekant I en trekant ABC tegnes normalen n til BC gennem A. Skæringspunktet mellem n og linien gennem A og B kalder vi F. Liniestykket, der forbinder A med F kaldes for højden fra A, og F kaldes for højdens fodpunkt. Undertiden vil vi også omtale linien n som højden fra A. Øvelse 29 Tegn på papir en trekant og tegn de tre højder i trekanten. Brug en vinkelmåler eller en tegnetrekant. Prøv også at tegne de tre højder i en stumpvinklet trekant. GeomeTricks aktivitet 32 Tegn en trekant ABC og tegn de tre højder i trekanten. Træk rundt med A, B og C. Erfaring 18: Højderne i en trekant Øvelse 30 Tegn på papir en ligebenet trekant, hvor AB = AC. Tegn medianen fra A på siden BC. Gør rede for, at denne median falder sammen med højden fra A. Gør rede for, at denne median ligger på vinkelhalveringslinien til vinkel A. Gør rede for, at denne median ligger på midtnormalen til BC. Vinkler ved cirkler En cirkel, har vi sagt, er det geometriske sted for de punkter, der har en given afstand til et givet punkt. Cirklen er altså den krumme kurve. Den omtales også som cirkelperiferien. Vi har altså to navne for den samme ting. Hvis vi ønsker at tale om en cirkel samt alle punkter, der ligger inden for den krumme kurve, så taler vi om cirkelskiven. 28

29 På fig 13 er tegnet en cirkel med centrum C. Der er tegnet en korde EF, en radius CD og en diameter AB. fig 13 En korde er et liniestykke, der forbinder to forskellige punkter på cirklen. En diameter er en korde, der går gennem centrum. En radius er et liniestykke, der forbinder centrum med et punkt på cirklen. Læg mærke til at vi også bruger betegnelsen radius om afstanden fra centrum til punkter på cirklen. Vi tillader os at sige: længden af en radius er lig med radius i cirklen. En diameter er et liniestykke med længden to gange radius og med centrum som midtpunkt. På fig 14 er tegnet en centervinkel ACB og en periferivinkel EDF. fig 14 29

30 En vinkel med toppunkt i centrum kalder vi for en centervinkel. En vinkel med toppunkt på cirklen og med vinkelben, der skærer cirklen, kalder vi for en periferivinkel. Hvis der om to vinkler, periferivinkler eller centervinkler, gælder, at begge venstreben skærer cirklen i samme punkt, og begge højreben skærer cirklen i samme punkt, så siger vi, at vinklerne spænder over samme cirkelbue. Øvelse 31 På fig 15 ser du seks periferivinkler ADB, AEB, AFB, AGB, AHB og AKB, der alle spænder over samme bue. Mål med vinkelmåler de seks vinkler. Mål også centervinklen ACB. Skriv alle dine målinger ned. Lav en tilsvarende tegning på papir og foretag de samme målinger. fig 15 GeomeTricks aktivitet 33 Afsæt punktet C og tegn en cirkel med centrum i C og radius 8. Afsæt yderligere punktener A, B og P. Knyt de tre punkter til cirklen. Tegn liniestykkerne CA og CB samt PA og PB. Lad GeomeTricks måle vinkel ACB og vinkel APB. Træk i punktet B, så vinkel ACB bliver ca 60 grader. Punkterne A og B deler cirklen i to cirkelbuer. Træk i P, så P ligger på den store cirkelbue. Hvor stor er vinkel APB da? Prøv at trække P på cirklen (men kun på den store cirkelbue) og læg mærke til størrelsen af de to vinkler. Hvad gælder der? Kan du forklare, hvad der sker, når du trækker P ind på den lille cirkelbue? 30

31 Erfaring 19: En periferivinkels størrelse Øvelse 32 På fig 16 ser du en speciel periferivinkel APB, hvor det ene ben går gennem centrum for cirklen. Gør rede for, at <APB er det halve af <ACB. Du kan starte med at se på trekant CBP. fig 16 Øvelse 33 Gør rede for, at en vilkårlig periferivinkel er halvt så stor som den centervinkel, der spænder over samme bue. Lav en tegning og tegn hjælpelinien gennem periferivinklens toppunkt og centrum. Brug resultatet fra øvelse 32. GeomeTricks aktivitet 34 Afsæt punktet C og tegn en cirkel med centrum i C og radius 8. Tegn en diameter AB til cirklen. Afsæt et punkt P og knyt P til cirklen. Tegn liniestykkerne PA og PB. Lad GeomeTricks måle <APB. Træk punktet P på cirklen og læg mærke til vinkel APB. 31

32 Tangenter GeomeTricks aktivitet 35 Afsæt punktet C og tegn en cirkel med centrum i C og radius 8. Afsæt to punkter A og P og knyt dem til cirklen. Tegn linien d, der går gennem C og A. Tegn linien m, der går gennem A og P. Lad GeomeTricks måle < CAP. Læg mærke til, hvad der sker, når P trækkes nærmere og nærmere til A. Prøv at lade P nærme sig A fra begge sider. Tegn gennem A normalen til d og kald normalen for t. Prøv igen at lade P nærme sig A fra begge sider. Skjul linien m og punktet P. Træk nu punktet A rundt på cirklen og iagttag linien t. En linien, der netop har ét punkt fælles med cirklen kaldes en tangent. Det fælles punkt kaldes for tangentens røringspunkt med cirklen. Hvis røringspunktet hedder A, så omtaler vi tangenten som tangenten gennem A. Erfaring 20: Tangenter til en cirkel Øvelse 34 Tegn på papir en cirkel med centrum C. Afsæt punkterne A, B og D på cirklen. Tegn gennem A, B og D tangenter til cirklen. GeomeTricks aktivitet 36 Tegn en cirkel med centrum C. Afsæt punkterne A, B og D og knyt punkterne til cirklen. Tegn gennem A, B og D tangenter til cirklen. 32

33 GeomeTricks aktivitet 37 Lav fig 17 i GeomeTricks. t er tangenten til cirklen gennem A, og R er et punkt på t. P er et bevægeligt cirkelpunkt. Lad GeomeTricks måle <RAP og <ACP. d deler cirklen i to halvcirkler. Træk med P på cirklen, men kun således at P bliver på den halvcirkel, hvor P ligger på fig 17. Læg mærke til <RAP og <ACP. fig 17 Vinkel RAP på fig 17 kaldes en korde-tangent-vinkel. Vi siger også, at den spænder over den samme bue som centervinklen ACP. Erfaring 21: En korde-tangent-vinkels størrelse 33

34 Øvelse 35 Brug fig 17 til at gøre rede for, at en korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den centervinkel, der spænder over samme bue. Du kan starte med at finde <RAP + <PAB samt <ACP + <PCB. Dernæst skal du bruge, at vinkel PAB er en periferivinkel. GeomeTricks aktivitet 38 Prøv ved hjælp af fig 18 at tegne de to tangenter gennem P til cirklen med centrum i C. Den punkterede cirkel er en hjælpecirkel. Gør rede for, at det virkelig er tangenterne, du har tegnet. fig 18 Firkanter En firkant ABCD er fastlagt ved de fire punkter A, B, C og D. Firkanten består af de fire punkter samt de fire liniestykker AB, BC, CD og DA. Punkterne kaldes firkantens hjørner og liniestykkerne kaldes firkantens sider. GeomeTricks aktivitet 39 Tegn i GeomeTricks en firkant ABCD. Træk rundt med A, B, C og D og undersøg, hvor forskellige firkanter der kan fremkomme. Vi vedtager, at hvis to af de fire sider skærer hinanden, så kalder vi det ikke for en firkant. Hvis alle vinklerne i firkanten er mindre end eller lig med 180 grader, kalder vi firkanten for konveks. Hvis en vinkel i en firkant er større end 180 grader, kaldes firkanten for konkav. 34

35 Øvelse 36 Tegn på papir en konveks firkant, en konkav firkant og en firkant, hvor der er en vinkel, der er 180 grader. I firkant ABCD kaldes de to liniestykker AC og BD for diagonaler. Øvelse 37 Tegn på papir en firkant ABCD og tegn de to diagonaler. Øvelse 38 Tegn på papir nogle firkanter. Gør rede for, at alle firkanter ved et liniestykke kan deles i to trekanter. Hvad er vinkelsummen i en firkant? Erfaring 22: Vinkelsummen i en firkant En firkant, hvor alle vinkler er 90 grader, kaldes et rektangel. GeomeTricks aktivitet 40 Tegn i GeomeTricks et rektangel ABCD. Lad GeomeTricks måle de fire vinkler og de fire sider. Tegn de to diagonaler og mål også dem. Erfaring 23: Siderne og diagonalerne i et rektangel Øvelse 39 Gør rede for, at modstående sider er lige store i et rektangel. Tegn på papir et rektangel ABCD og diagonalen AC. Gør først rede for, at trekant ABC er kongruent med trekant ACD. 35

36 Øvelse 40 Gør rede for, at diagonalerne er lige store i et rektangel. Et rektangel, hvor alle sider er lige store, kaldes et kvadrat. En firkant, hvor de modstående sider parvis er parallelle, kaldes et parallelogram. Øvelse 41 Tegn på papir et parallelogram. GeomeTricks aktivitet 41 I GeomeTricks kan man tegne et vilkårligt parallelogram ABCD på følgende måde: Afsæt tre punkter A, B og D. Tegn liniestykkerne AB og AD. Tegn gennem B den parallelle linie m til AD. Tegn gennem D den parallelle linie k til AB. Kald skæringspunktet mellem m og k for C. Skjul linierne m og k og tegn liniestykkerne BC og DC. Træk omkring med punkterne A, B og C og læg mærke til firkantens udseende. Mål siderne og vinklerne i parallelogrammet. Træk omkring med punkterne A, B og C og læg mærke til sidelængderne og vinklerne. Erfaring 24: Siderne og vinklerne i et parallelogram Øvelse 42 Tegn på papir et parallelogram. Gør rede for, at modstående sider er lige store. Gør rede for, at modstående vinkler er lige store. 36

37 GeomeTricks aktivitet 42 Tegn et parallelogram ABCD. Tegn de to diagonaler i parallelogrammet og find deres skæringspunkt S. Undersøg afstandene fra S og ud til de fire hjørner. Erfaring 25: Diagonalerne i et parallelogram Et parallelogram, hvor alle fire sider er lige store, kaldes en rombe. Øvelse 43 Tegn på papir en rombe. Øvelse 44 Tegn på papir fire ens retvinklede trekanter, hvor de to kateter ikke må have samme længde. Klip de fire trekanter ud. Læg de fire trekanter som et puslespil, så du får en rombe. Øvelse 45 Gør rede for, at i en rombe står diagonalerne vinkelret på hinanden. Øvelse 46 Gør rede for, at i en rombe halverer diagonalerne vinklerne. En firkant, hvor to modstående sider er parallelle, kaldes for et trapez. Øvelse 47 Tegn på papir et trapez, der ikke er et parallelogram. Øvelse 48 Hvad kaldes en firkant, der både er en rombe og et rektangel? 37

38 Ensvinklede trekanter Vi siger, at to trekanter er ensvinklede, når de tre vinkler i trekanterne er parvis lige store. Øvelse 49 Tegn på papir nogle ensvinklede trekanter, der alle har vinkelstørrelserne: 40, 60 og 80 grader. Trekanterne skal ikke være lige store. De trekanter, du tegnede i øvelse 49 ser i en vis forstand ens ud. De har nok forskellig størrelse, men de har samme facon. Det er noget vi kender fra praksis. Når vi flytter et lysbilledapparat længere tilbage fra lærredet, så bliver billedet større, men det ser lige sådan ud, som før vi flyttede lysbilledapparat. Når vi omtaler to ensvinklede trekanter ABC og EFG, så nævner vi de tre punkter i navnene for trekanterne i en rækkefølge, således at <A = <E, <B = <F og <C = <G. I navneeksemplet her, ligger siden a over for vinkel A og siden e over for vinkel E, og vi siger, at a og e er ensliggende sider i de to ensvinklede trekanter (<A = <E). GeomeTricks aktivitet 43 Tegn en trekant ABC, hvor AB = 4, BC = 5 og AC = 6. Find størrelsen af de tre vinkler i trekant ABC. Tegn på samme figur en trekant XYZ, hvor XY = 8, YZ = 10 og XZ = 12. Find størrelsen af de tre vinkler i trekant XYZ. GeomeTricks aktivitet 44 Tegn en trekant ABC, hvor AB = 4, <A = 40 grader og <B = 65 grader. Find størrelsen af BC, AC og <C i trekant ABC. Tegn på samme figur en trekant XYZ, hvor XY = 12, <X = 40 grader og <Y = 65 grader Find størrelsen af YZ, XZ og <Z i trekant XYZ. Find også længderne af de tre medianer i de to trekanter. Er der nogen sammenhæng mellem længdemålene i de to trekanter? 38

39 GeomeTricks aktivitet 45 Tegn to ensvinklede trekanter, der begge har vinkelstørrelserne: 30, 40 og 110 grader. Mål i hver af trekanterne de tre sidelængder og stil dine målinger op i en tabel (brug en lommeregner til at udregne divisionerne): trekant 1 trekant 2 udregn udregn siden over vinkel 30 a x a/x x/a siden over vinkel 40 b y b/y y/b siden over vinkel 110 c z c/z z/c Prøv det samme med to andre ensvinklede trekanter, hvor du selv finder på gradtallene for vinklerne. Erfaring 26: Afstande i to ensvinklede trekanter 39

40 GeomeTricks aktivitet 46 Tegn en vilkårlig trekant ABC. Tegn midtpunktet M af AB og midtpunktet N af BC. Tegn liniestykket MN. Find nogle sammenhænge mellem trekant ABC og trekant MNB. Øvelse 50 På fig 19 er AB = 12, AD = 3, AC = 8.83 og BC = Yderligere er AC parallel med DE. Angiv DB, DE og EB med to decimaler. fig 19 Opgaver G: benyt GeomeTricks P: benyt papir og blyant m.m. U: undersøgende opgave T: tegneopgave B: beregningsopgave R: opgave med gør rede for. Opgave 1 (G, T, U) Tegn et trapez ABCD, hvor AB er parallel med CD. Afstanden mellem de parallelle sider er 7, AB = 12, AD = 8 og BC = 9. Hvor stor er CD? 40

41 Opgave 2 (G, T) Afsæt to punkter A og B. Tegn fire forskellige cirkler, der går gennem både A og B. Rens skærmen. Tegn en trekant ABC. Tegn en cirkel, der går gennem trekantens tre hjørner. Opgave 3 (G, T) Tegn en linie m og afsæt et punkt C, som ikke ligger på m. Tegn en cirkel med centrum i C, som har m som tangent. Rens skærmen. Tegn to skærende linier k og m. Tegn en cirkel, der har både k og m som tangenter. Rens skærmen. Tegn en trekant ABC. Tegn en cirkel, der har trekantens tre sider som tangenter. Opgave 4 (G, T) Tegn en rombe ABCD, hvor AC = 12 og BD = 7. Angiv længden af AB. Opgave 5 (G, T) Tegn et parallelogram ABCD, hvor S er diagonalernes skæringspunkt, <ASB = 60 grader, AC = 12 og BD = 7. Angiv længden af AB. Opgave 6 (G, T) Tegn en firkant ABCD, hvor AB = 8, BC = 6, CD = 13 og AD =9. Opgave 7 (G, T) Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor <C = 90, hypotenusen er 14 og højden fra C er 5. Angiv længden af AB. Opgave 8 (G, T) Tegn et parallelogram ABCD, hvor <A = 30 grader, afstanden mellem AB og CD er 5, og afstanden mellem AD og BC er 7. Angiv længden af AB. 41

42 Opgave 9 (G, U, R) Hvis der findes en cirkel, der går gennem alle fire hjørner i en firkant ABCD, så siger vi, at firkanten er indskrivelig (i en cirkel). Hvad kan du sige om midtnormalerne til de fire sider i en sådan firkant? Undersøg, hvad der gælder om vinklerne i en sådan firkant (- og gør rede for sammenhængen). Hvad hvis en diagonal går gennem centrum? Hvad hvis begge diagonaler går gennem centrum? Opgave 10 (G, U, R) I en retvinklet trekant ABC, hvor <C = 90, <A = 60 og <B = 30, er der en simpel sammenhæng mellem hypotenusen og den korte katete. Find denne sammenhæng. Gør rede for den fundne sammenhæng (du kan fx tegne en cirkel med centrum i A, som går gennem C, og kalde cirklens skæring med hypotenusen for M se på de to trekanter CAM og CBM ). Opgave 11 (G, U, R) Tegn en fast linie m og afsæt et punkt F, som ikke ligger på m. Afsæt et punkt S, der ligger på samme side af m som punktet F. Find afstanden fra S til F. Find også afstanden fra S til m. Den finder du som afstanden til skæringspunktet P mellem m og normalen gennem S til m. Træk i punktet S, så de to afstande SF og SP bliver lige store (eller næsten lige store). Hvilken linie k ligger punktet S nu på? - tegn den. Træk nu i S og sørg hele tiden for at afstandene SF og SP er lige store (det gør du ved at sørge for at S hele tiden ligger på k - og det er ikke helt let). Rens skærmen. Du skal nu klistre tegningen anderledes sammen. Tegn en fast linie m og afsæt et punkt F, som ikke ligger på m. Afsæt punktet P og knyt P fast til m. Tegn punktet S, således at S ligger lige langt fra punktet F og linien m. Træk nu med P på linien m (- nu hænger tegningen fint sammen). Vælg Observér/tegn punkt, klik på S og træk P på linien m. Hvad gælder om alle de punktet, der tegnes? Punktmængden kaldes en parabel. Undersøg, hvad der sker med parablens udseende, når du varierer placeringen af punktet F i forhold til m. 42

43 Opgave 12 (G, U, R) På figuren er E, F, G og H midtpunkterne af siderne i firkant ABCD. Undersøg figuren og gør, så vidt du nu kan, rede for de sammenhænge, du finder. Opgave 13 (P, U, R) Tegn på papir en firkant ABCD, hvor <A = 60 grader. Gør rede for, at når der i en firkant er en vinkel, der er mindre end 90 grader, så er der også en vinkel, der er større end 90 grader. Hvis der nu i en firkant slet ikke er nogle vinkler, der er mindre end 90 grader, hvad så??? Opgave 14 (P, G, U) Del I Tegn på papir en cirkel og afsæt et punkt A uden for cirklen. Synes du, at det er rimeligt at tale om afstanden fra A til cirklen? Hvis du synes - hvordan skal du så bruge linealen for at finde afstanden fra A til cirklen? Hvad hvis A ligger inde i cirklen? Del II Tegn i GeomeTricks en cirkel med centrum i et punkt C og radius 8. Afsæt et punkt A uden for cirklen. Afsæt endnu et punkt P og knyt P til cirklen. Tegn linien m gennem A og P. Tegn liniestykket CP og tegn tangenten t til cirklen gennem P. Mål afstanden AP. Træk P rundt på cirklen og find den placering af P, der giver den mindste afstand til A. Hvad gælder da om linien m? Flyt A, så A ligger inde i cirklen. Træk atter P rundt på cirklen og find den placering af P, der giver den mindste afstand til A. 43

44 Afstanden fra et punkt A til en cirkel fastlægges ved at tegne linien k gennem A og centrum og bestemme afstanden fra A til det nærmeste skæringspunkt mellem k og cirklen. Del III (- det er en fordel, hvis du har arbejdet med opgave 11) Tegn i GeomeTricks en cirkel c og kald centrum for C. Afsæt et punkt R inde i cirklen. Du skal nu finde alle de punkter, der ligger lige langt fra R og cirklen c. (- du kan starte med at afsætte et punkt P og knytte det til cirklen). Opgave 15 (G, T, B) Vi ønsker at bestemme afstanden mellem punkterne A og B på den anden side af en flod. Vi afsætter to pinde X og Y, således at XY = 20 m. Med en vinkelmåler måler vi <BXY = 47 grader, <BXA = 51 grader, <XYA = 53 grader og <AYB = 42 grader. Bestem afstanden AB. Prøv at benytte metoden i praksis og sammenlign beregningen med den sande afstand, som du kan måle ved at gå over floden. Opgave 16 (G, T) Tegn en firkant ABCD, hvor AB = 8, BC = 9, CD = 7, AD = 10 og AC = 12. Angiv længden af diagonalen BD. Opgave 17 (G, T) Tegn en firkant ABCD, hvor AB = 8, BC = 7, CD = 11, BD = 13 og AC = 10. Angiv længden af siden AD. 44

45 Opgave 18 (G, T, B, R) Til måling af et grantræs højde benyttes en stok BC, der er 2 m. Man lægger sig på ryggen og sigter, så stokkens top flugter med toppen af træet. Derpå måles afstandene AB = 3 m og BD = 12 m. Hvor højt er grantræet? Lad først GeomeTricks bestemme højden. Overvej derpå, om du kunne finde højden ved at se på to ensvinklede trekanter. Gå udenfor og mål ved denne metode højden af et træ, en flagstang eller noget helt andet. Øvelse 19 (G, T, R) Hvad er vinkelsummen i en trekant, firkant, femkant, sekskant, osv? Tegn en ligesidet trekant. Tegn et kvadrat. Tegn en femkant, hvor alle sider er lige lange, og alle vinkler er lige store. Tegn en sekskant, hvor alle sider er lige lange, og alle vinkler er lige store. Sådanne figurer, der er opbygget af liniestykker, der ligger i forlængelse af hinanden og danner en ring, kaldes polygoner (polygon: mange kant). Når (som her) alle vinkler og sider er lige store, kaldes de for regulære polygoner. I en polygon må siderne ikke skære hinanden. Tegn en regulær ottekant. Øvelse 20 (G, T) Gå udenfor i skolegården eller på boldbanen. Afmærk de fire hjørner i en stor firkant. Firkanten skal helst ikke ligne et rektangel. Hver side i firkanten skal være mindst 20 m. Du skal nu måle firkanten op med et målebånd, således at du bagefter kan tegne firkanten i GeomeTricks. Forslag: To hold (på tre elever) arbejder med samme firkant, så tegningerne bagefter kan sammenlignes. Samme opgave med en afmærket femkant. 45