To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, det Sundhedsvidenskabelig Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. august 7, 9: : Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i dette opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Opgaverne 6(a), 9 og (c) kan have mere end et korrekt resultat. Disse opgaver evalueres efter følgende princip: Hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Du bedes også afkrydse det hold som du deltager i. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Hold : LAND ST Horia Cornean Hold : MAT MAOK MATTEK Nikolaj Hess-Nielsen Hold L (København) Iver Ottosen Hold BBT (København) Bedia Møller Side af 8
Opgave (8 point) En funktion er defineret ved for en reel parameter x. f (x) = e (x ) (a) ( point) Hvilken af de følgende funktioner stemmer overens med den dobbelt afledede f (x)? e (x ) x e (x ) ( + x )e (x ) e xe x e (x ) (b) ( point) Et af de følgende polynomier er anden ordens Taylor polynomiet for funktionen f med udviklingspunkt x =. Hvilket? e(x ) + e(x ) e + ex + ex e + e(x ) + e(x ) e + e(x ) + 6e(x ) Opgave (8 point) En kurve i planen er givet ved x = t, y = t, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. (a) ( point) For hvilken værdi af parameteren t går kurven gennem punktet P = (, )? (b) ( point) Hvilken af de følgende vektorer er kurvens hastighedsvektor i P? [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 (c) ( point) Hvilket af de følgende tal er lig med kurvens krumningsradius ρ(p) = κ(p) i P? 7 intet af dem Side af 8
Opgave (6 point) En kurve i rummet er givet ved x = t, 6 y = t, z = t, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. (a) ( point) Markér det korrekte udtryk for farten v(t). + t + t + 9t + 6t + t + 6t + 9t (b) ( point) Hvad er buelængden af kurven fra t = til t =? 5 8 Opgave (8 point) En funktion f er defineret i første kvadrant (x >, y > ) ved f (x, y) = x + 8y + xy. Det oplyses at grafen for funktionen danner en opadgående skål vædierne går mod når x eller y nærmer sig eller vokser ud over alle grænser. (a) ( point) Et af de følgende er et kritisk punkt for funktionen f. Hvilket? (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (b) ( point) Marker den af de følgende påstande som er sand: Det kritiske punkt er et sadelpunkt for funktionen. Funktionen antager værdien 6 i det kritiske punkt. Denne værdi er det globale minimum for funktionen. Funktionen antager værdien i det kritiske punkt. Denne værdi er det globale minimum for funktionen. Funktionen antager værdien 6 i det kritiske punkt. Denne værdi er det globale maksimum for funktionen. Funktionen antager værdien 6 i det kritiske punkt. Der er tale om et lokalt, men ikke et globalt minimum. Side af 8
Opgave 5 (7 point) En funktion er givet ved f (x, y) = y x. (a) ( point) Funktionen f har en definitionsmængde. Afkryds hvis den består af samtlige punkter i planen fraregnet Origo diagonalen y = x x-aksen y-aksen parablen y = x (b) ( point) Hvilken af de følgende beskrivelser svarer til niveaukurven med ligningen f (x, y) =? En ret linje med hældning gennem Origo. En parabel gennem Origo der vender grenene opad. En parabel der vender grenene opad fraregnet toppunktet i Origo. En parabel der vender grenene nedad fraregnet toppunktet i Origo. En cirkel med radius og centrum i Origo. (c) ( point) Hvad svarer niveaukurven f (x, y) = til? en ellipse x-aksen x-aksen fraregnet Origo y-aksen y-aksen fraregnet Origo den tomme mængde Opgave 6 (8 point) Et rumligt legeme L afgrænses af trekanten i XY-planen givet ved x, y og y x + samt fladen givet ved z = x y. (a) ( point) Hvilke af de følgende integraludtryk beregner legemets rumfang/volumen? ( x y ) dy dx +x ( x y ) dy dx y ( x y ) dx dy +x ( x y ) dy dx (b) ( point) Hvad er legemets rumfang/volumen? 6 Side af 8
Opgave 7 (8 point) Et rumligt legeme T har form af et tetraeder afgrænset af fire planer; det er givet ved x, y, z og x + y + z og har en massetæthed (densitet) δ(x, y, z) = x. Hvilket af de følgende tal svarer til massen af legemet T? 8 8 Opgave 8 ( point) En funktion er givet ved f (x, y) = ln(y x ). (a) ( point) Funktionen f har en definitionsmængde. Afkryds hvis den består af samtlige punkter (x, y) for hvilke y < x y x y > x (x, y) = (, ) (b) ( point) Hvilken af følgende udtryk svarer til den anden ordens partielle afledede f xy (x, y)? x ln(y x ) (y x ) x x (y x ) (c) ( point) Hvilken af de følgende vektorer svarer til funktionens gradient f i punktet P = (, )? [ ] [ ] [ ] [ ] (d) ( point) Hvilket af de følgende tal er lig med den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (, ) og retningen bestemt ved enhedsvektoren u =.8i.6j = (.8,.6)?. (e) ( point) Hvilken af de følgende ligninger beskriver tangentplanen til grafen for funktionen f i punktet Q = (,, )? z = x + y z = x + y + ln() z = (x ) + y ingen af dem Side 5 af 8
Opgave 9 ( point) En flade F i rummet er bestemt ved ligningen F(x, y, z) = x + y z =. (a) ( point) Hvilke af de følgende punkter ligger på fladen F? (, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, 5) (,, ) (b) ( point) Hvilke af de følgende vektorer er normale til/står vinkelret på Fs tangentplan i P = (,, )? [ ] (c) ( point) Hvilke af de følgende punkter er indeholdt i Fs tangentplan i P = (,, )? (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (d) ( point) I hvilke af de følgende punkter Q på fladen F er tangentplanen til fladen F i punktet Q parallel med planen z = x + y? Q = (,, ) Q = (,, ) Q = (,, ) Q = (,, ) Q = (,, ) Q = (,, ) Side 6 af 8
Opgave (8 point) Et komplekst tal z har polær form e πi. (a) ( point) Hvad er z på standard form? + i i + i ingen af dem (b) ( point) Hvad er z z på polær form? e πi e πi ingen af dem (c) ( point) Hvad er z z på standard form? i i i ingen af dem (d) ( point) Hvad er z z på polær form? e πi e πi e πi ingen af dem Opgave (9 point) En homogen anden ordens differentialligning er givet ved y 6y + 9y =. (a) ( point) I den efterfølgende liste findes en række funktionsudtryk hvori der indgår arbitrære konstanter c og c. Markér det udtryk, som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) y(t) = c e t + c e 9t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t cos(t ) c e t sin(t ) y(t) = c t + c t y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) (b) ( point) Differentialligningen har netop en løsning y(t) med begyndelsesværdier y() = e, y () = e. Markér funktionsværdien y(). 6 ingen af disse (c) ( point) Hvilke af de følgende funktionsudtryk udgør en (partikulær) løsning til den inhomogene differentialligning y 6y + 9y = 9t +? t + t + t 9t + 7 e t + t + te t + t + e t te t Side 7 af 8
Opgave (6 point) Figuren nedenfor viser grafen for en funktion r = f (θ), θ π afbildet i polære koordinater. En af forskrifterne for f i listen nedenfor svarer til figuren. Hvilken? f (θ) = sin(θ) f (θ) = (sin(θ)) f (θ) = (cos(θ)) f (θ) = sin(θ) f (θ) = sin(θ) f (θ) = sin(θ) Side 8 af 8