Eksamen i Lineær Algebra

Transkript

1 Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider med ialt opgaver. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. De anførte procenter angiver med hvilken vægt de enkelte opgaver tæller ved den samlede bedømmelse. Eksamenssættet har to uafhængige dele. Del I indeholder almindelige opgaver. I forbindelse med del I er det vigtigt at du forklarer tankegangen bag opgavebesvarelsen, og at du medtager mellemregninger i passende omfang. Del II indeholder multiple choice opgaver. Del II skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Husk at skrive jeres fulde navn, studienummer samt hold nummer på hver side af besvarelsen. Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på. side af besvarelsen. God arbejdslyst! NAVN: STUDIENUMMMER: HOLDNUMMER: HOLD (v. Jacob Broe). HOLD (v. Olav Geil). HOLD 3 (v. Leif Kjær Jørgensen). HOLD 4 (v. Bo Rosbjerg). HOLD 5 (v. Martin Raussen). Side af 8

2 Del I ( almindelige opgaver ) Opgave (8%). Lad A = [ 3 6 og b = [.. Bring A på reduceret trappeform (reduceret echelonform).. Løs ligningssystemet Ax = b. Opgave (6%). Lad B = [, C = og b = Afgør i hvert af følgende fire tilfælde om udtrykket giver mening. For hvert udtryk, der giver mening, beregn værdien. 3. Bb. Cb 3. BC 4. CB. Opgave 3 (9%). Lad A =. Bestem A.. Beregn det A og det(a 9 ). Side af 8

3 Opgave 4 (9%). En lineær transformation (lineær afbildning) T : R R 3 er givet ved ([ ) ([ ) T = og T =. Bestem T ([ ).. Bestem standardmatricen A hørende til T. 3. Bestem rank A og nullity A. Opgave 5 (%). Lad B =,,.. Vis, at B er en basis for R 3.. Vektoren u har koordinater u B = med hensyn til B. Bestem u. 3. En lineær operator T : R 3 R 3 er defineret ved T =, T =, T = Bestem [T B. Side 3 af 8

4 Opgave 6 (%). Givet matricen A = [ 3.. Gør rede for, at v = [ 3 og v = [ er egenvektorer for A og bestem de tilhørende egenværdier.. Diagonaliser A. Dvs. bestem en diagonalmatrix D og en invertibel (inverterbar, regulær) matrix P således at A = PDP. 3. Bestem P. 4. Bestem A og A. Opgave 7 (%). Underrummet W R 4 har basis S =,, 3 4. Bestem en ortogonal basis for W ved hjælp af Gram-Schmidt processen.. Bestem herefter en ortonormal basis for W. Side 4 af 8

5 Opgave 8 (%). Givet W = Span, og u = 4. Bestem matricen P W for ortogonalprojektionen af R 3 på W.. Bestem vektorerne w W og z W således at u = w + z. Side 5 af 8

6 Opgave 9 (4%). Del II ( multiple choice opgaver) Der er givet reelle tal a, b, c, vektorer v =, v = a, v 3 = samt en matrix A = [v v v 3 med vektorerne som søjlevektorer. Præcis et af følgende udsagn er korrekt. Afkryds dette. rank A =. nullity A =. A er invertibel (inverterbar, regulær). Med de givne oplysninger kan det ikke afgøres om {v, v, v 3 } er lineært uafhængig. b c Opgave (6%). Der er givet to 3 3-matricer A og B. A er singulær (ikke invertibel) og det B =. Afkryds for hvert af følgende tre spørgsmål det rigtige svar. det((b T B) ) = - - det(b) = det(b T AB) = - - Side 6 af 8

7 Opgave (%). Der er givet tre vektorer v, v, v 3 i R 3 som opfylder {v, v } er lineært uafhængig. {v, v, v 3 } er lineært afhængig. v 3 =. Vi betragter: Underrummet W = Span{v, v }. Matricen A = [v v v 3 med vektorerne som søjler. Den lineære operator T : R 3 R 3 givet ved T(x) = Ax. Afkryds samtlige sande udsagn nedenfor (bemærk: hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning). v3 er indeholdt i W. {v, v, v 3 } er en basis for W. T er surjektiv (engelsk: surjective eller on-to). T er injektiv (engelsk: injective eller A er invertibel (inverterbar, regulær). det A =. er egenværdi for A. v3 er indeholdt i W. one-to-one). Side 7 af 8

8 Opgave (8%). I denne opgave undersøges lineære operatorer fra R ind i R. Vi betragter matricer A og B hvor: A er standardmatricen for en rotation med vinklen θ. Her opfylder θ, at < θ < 9. B er standardmatricen for en spejling omkring en linie L i R. Besvar følgende fire sand/falsk opgaver: a. det B =. Sand Falsk b. Der findes en basis {u, v} for R bestående af egenvektorer for B. Sand Falsk c. Der findes en basis {u, v} for R bestående af egenvektorer for A. Sand Falsk d. Matricen BA har egenværdier og. Sand Falsk Side 8 af 8