Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Transkript

1 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger Calculus Uge

2 Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Opgaver 1. Beregn et dobbeltintegral 2. Diagonaliser en 3 3 matrix 3. Bestem kritiske punkter og ekstrema 4. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 5. Find gradient og retningsafledt 6. Beregn en ortogonal projektion 7. Løs en lineær differentialligning Calculus Uge

3 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y 2 x R = {(x, y) 0 x, 0 y, x 2 + y 2 4} Calculus Uge

4 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - figur z x y R = {(r, θ) 0 r 2, 0 θ π 2 } Calculus Uge

5 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - løsning R = {(r, θ) 0 r 2, 0 θ π 2 } er et polært rektangel. Integralet er R x 2 y da = π/ r 3 cos 2 (θ) sin(θ) rdr dθ Calculus Uge

6 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - løsning R x 2 y da = = = = π/2 0 π/2 0 π/ r 3 cos 2 (θ) sin(θ) rdr dθ [ 1 5 r5 cos 2 θ sin θ 32 5 cos2 θ sin θ dθ [ cos3 θ = ] π/2 0 ] r=2 r=0 dθ Calculus Uge

7 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - ny figur z x y R = {(x, y) 0 x 2, 0 y 4 x 2 } Calculus Uge

8 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - alternativt R = {(x, y) 0 x 2, 0 y 4 x 2 } er et Type I område. Integralet er R x 2 y da = x 2 0 x 2 y dy dx Calculus Uge

9 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1 - alternativt R x 2 y da = = = = x 2 0 [ 1 2 x2 y 2 x 2 y dy dx ] y= 4 x 2 y=0 1 2 (4x2 x 4 ) dx [ 2 3 x x5 = ] 2 0 dx Calculus Uge

10 Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 Det oplyses, at matricen A givet ved A = har egenværdier λ 1 = 1 og λ 2 = 2, og at der ikke er andre egenværdier. 1. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 A B = Λ Calculus Uge

11 Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: A 2I = giver det reducerede ligningssystem og dermed x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 = x 2 x Calculus Uge

12 Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 1 x 2 x 3 = hvor x 2, x 3 vælges frit. Egenrummet udtrykkes x 2 x 3 = x 2 1 E 2 = span( 1 0, x ) Calculus Uge

13 Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - løsning Egenvektorer hørende til egenværdien 1: A + I = hvor x 3 vælges frit. x 1 x 2 x 3 = x 3 1 x 3 = x x 3 Calculus Uge

14 Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - løsning 2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 A B = Λ Søjler af egenvektorer giver B = , Λ = det(b) = 1 sikrer invertibilitet. Calculus Uge

15 Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - gør prøve! A B = B Λ = = Så prøven stemmer! Calculus Uge

16 Diagonaliser en matrix Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - figur z ( 1,0,1) (1, 1,1) ( 1,1,0) x 1 Egenvektorer y Calculus Uge

17 Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 Betragt funktionen f(x, y) givet ved f(x, y) = x + y + 1 xy for x > 0, y > 0. Det oplyses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde. 1. Angiv dette kritiske punkt. 2. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt. Calculus Uge

18 Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning har kritisk punkt f(x, y) = x + y + 1 xy f = (1 1 x 2 y, 1 1 ) = (0, 0) xy2 x 2 y = 1, xy 2 = 1 (x, y) = (1, 1) Calculus Uge

19 Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2 x 3 y, f xy = 1 x 2 y, f 2 yy = 2 xy 3 f xx (1, 1) = 2, f xy (1, 1) = 1, f yy (1, 1) = 2 Anden ordenstesten giver (a, b) f(a, b) f xx (a, b) D(a, b) Type (1, 1) minimum Altså er punktet (1, 1) lokalt minimum for f på mængden x > 0, y > 0. Calculus Uge

20 Bestem ekstrema Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - figur z x (1,1) y Calculus Uge

21 Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der for x 0 fremstiller funktionen Angiv også grænseværdien f(x) = cos(x2 ) 1 x 4 lim x 0 f(x). Calculus Uge

22 Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 4 - løsning Benyt potensrækken cos x = n=0 ( 1) n 1 (2n)! x2n til at få cos x 2 1 = n=1 ( 1) n 1 (2n)! x4n Calculus Uge

23 Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 4 - løsning Dermed er f(x) = n=1 ( 1) n 1 (2n)! x4(n 1) = 1 2! + 1 4! x4 1 6! x ! x12... Det følger, at lim x 0 f(x) = 1 2 Calculus Uge

24 Angiv potensrække Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 4 - figur y 0 1 x 1 Grafen for y = cos(x2 ) 1 x 4 Calculus Uge

25 Find gradient Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 5 Betragt funktionen f(x, y) = y 2 + ln(x 3 + y + 1). 1. Angiv gradientvektoren f(0, 2). 2. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (0, 2) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5, 4/5). Løsning 1. Gradienten beregnes f x = 3x 2 /(x 3 + y + 1) f y = 2y + 1/(x 3 + y + 1) f(0, 2) = (f x (0, 2), f y (0, 2)) = (0, 13/3) Calculus Uge

26 Find gradient Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 5 - løsning y f(0,2) 2. I retning u = (3/5, 4/5) er den retningsafledede D u f(0, 2) = f(0, 2) u = (0, 13/3) (3/5, 4/5) = 52/15 u (0,2) 1 x Calculus Uge

27 Find gradient Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 5 - ekstra y z x 3 +y+1>0 1 x z=y 2 +ln(x 3 +y+1) Definitionsområdet. x Grafen y Calculus Uge

28 Find gradient Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 5 - figur y Tangenter til niveaukurver for z = y 2 + ln(x 3 + y + 1). x Calculus Uge

29 Find gradient Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 5 - figur y Skalerede gradienter 0.1 z for z = y 2 + ln(x 3 + y + 1). x Calculus Uge

30 Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Løsning I følge [LA] Sætning 18 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u Calculus Uge

31 Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - løsning Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0) har u 1 u 2 = ( 1) 1 + ( 1) 0 = 0 Fra [LA] Sætning 17 fås projektionen af v = (1, 2, 3, 4) u = proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 = 4 4 (1, 1, 1, 1) + 5 (0, 1, 1, 0) 2 = ( 1, 3, 7, 1) 2 2 Calculus Uge

32 Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (1, 2, 3, 4) ( 1, 3 2, 7 2, 1) = (2, 1 2, 1 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (2, 1 2, 1 2, 3) = 27 2 = Calculus Uge

33 Beregn projektion Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - figur v v u U u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U Calculus Uge

34 Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. Løsning a(x) = 2, b(x) = xe 2x + 3 Calculus Uge

35 Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 7 - løsning A(x) = a(x) dx = 2 dx = 2x B(x) = e A(x) b(x) dx = e 2x (xe 2x + 3)dx Som giver = 1 2 x e2x Calculus Uge

36 Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 7 - løsning fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce 2x + ( 1 2 x e2x )e 2x = Ce 2x x2 e 2x Calculus Uge

37 Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 7 - retningsfelt y x I punktet (x, y) tegnes et kort linjestykke med hældning y (x) = 2y + xe 2x + 3. Calculus Uge

38 Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 7 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. I alt er løsningen y(0) = Ce = 2 y(x) = 1 2 e 2x x2 e 2x Calculus Uge

39 Løs differentialligning Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 7 - figur y x Løsningskurve Calculus Uge