Eksamen i Lineær Algebra

Transkript

1 Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider med ialt 2 opgaver Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler De anførte procenter angiver med hvilken vægt de enkelte opgaver tæller ved den samlede bedømmelse Eksamenssættet har to uafhængige dele Del I indeholder almindelige opgaver I forbindelse med del I er det vigtigt at du forklarer tankegangen bag opgavebesvarelsen, og at du medtager mellemregninger i passende omfang Del II indeholder multiple choice opgaver Del II skal afkrydses i nærværende opgavesæt Husk at skrive jeres fulde navn, studienummer samt hold nummer på hver side af besvarelsen Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på side af besvarelsen God arbejdslyst! NAVN: STUDIENUMMMER: HOLD NUMMER: Hold 2 (v Jacob Broe) Hold 3 (v Olav Geil) Hold 4 (v Morten Nielsen) Hold 5 (v Bo Rosbjerg) Hold 6 (v Nikolaj Hess-Nielsen) Side af 8

2 Del I ( almindelige opgaver ) Opgave (6%) A = Find A Opgave 2 (%) A = 2 Bring A på trappeform (række-echelonform) 2 Bestem determinanten af A 3 Bestem determinanten af ( A 3) T Opgave 3 (%) A = Find en basis for søjlerummet hørende til A 2 Find en basis for nulrummet hørende til A 3 Bestem rank A og nullity A Side 2 af 8

3 Opgave 4 (%) S =, er en basis for underrummet W R 4, 3 2 Find ved hjælp af Gram-Schmidt processen en ortogonal basis for W 2 Bestem herefter en ortonormal basis for W Opgave 5 (8%) A = [ Find egenværdierne for A 2 Find en basis for hvert af de tilhørende egenrum 3 Afgør om A er diagonaliserbar (husk at argumentere for dit svar) Opgave 6 (8%) {[ W = Span 2 [ 4, 5 } Vis, at B = {[ 2 2 Argumenter for, at v = [ 2 3 [u B = [ } 4, er en basis for W 5 [ 3 ligger i W 3 Bestem u Side 3 af 8

4 Opgave 7 (8%) Det oplyses, at [ A = kan skrives A = PDP, hvor [ 2 3 P = og D = [ 3 2 Find den partikulære løsning til differentialligningssystemet y = 6y + 6y 2 y 2 = 2y y 2 som opfylder bibetingelsen { y () = 7 y 2 () = 4 Side 4 af 8

5 Opgave 8 (%) En lineær transformation T : R 3 R 2 er givet ved [ T =, 2 T T = = [ 3 4 [ 5 6 Bestem standardmatricen hørende til T 2 Find T Er T surjektiv? (Alternativt dansk udtryk er på Engelske udtryk er surjective eller onto ) 4 Er T injektiv? (Alternativt dansk udtryk er en-til-en Engelske udtryk er injective eller one-to-one ), Side 5 af 8

6 Opgave 9 (4%) Del II ( multiple choice opgaver) Der er givet tre vektorer u, v, z R 7, som er lineært uafhængige Sæt Afkryds det sande udsagn nedenfor Dimensionen af H er 7 Dimensionen af H er 3 H kan beskrives som en linie i R 7 H = span{u, v, z} Opgave (%) Betragt matricen A = Afkryds samtlige sande udsagn nedenfor (bemærk: hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning) A er inverterbar (regulær) Den lineære transformation induceret af A er injektiv (engelsk: one-toone) A er på række-echelonform (trappeform) nullity A = rank A = 5 nullity A + rank A = 6 Tallet 5 er egenværdi for A A er på reduceret rækkeechelonform (reduceret trappeform) Der findes et b R 5, således at ligningssystemet Ax = b ikke er konsistent A er en 4 4-matrix A er diagonaliserbar Side 6 af 8

7 Opgave (6%) Der er givet en lineær afbildning S : R n R 3 Besvar følgende to spørgsmål Bestem den største værdi af n, for hvilken der med sikkerhed gælder, at S ikke er surjektiv (engelsk: onto): Bestem den største værdi af n, for hvilken der gælder, at S kan være være injektiv (engelsk: one-to-one): Side 7 af 8

8 Opgave 2 (%) Besvar følgende 5 sand/falsk opgaver: a Enhver symmetrisk 4 4-matrix kan diagonaliseres b Der findes en lineær transformation T : R 3 R 5 som er surjektiv (engelsk: onto) c Der findes en lineær operator T : R 3 R 3, med en ortogonal matrix som standardmatrice, således at T(e ) = 4e 3, hvor e, e 2, e 3 er standardbasen for R 3 (dvs søjlerne i I 3 ) d W være et underrum af R 5 med dimension 4 Så udgør enhver ortonormal mængde af 4 vektorer i W en basis for W e En kvadratisk matrix A er inverterbar (regulær), hvis og kun hvis ikke er en egenværdi for A Side 8 af 8