Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Transkript

1 Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger [S], [LA] Oversigt Matematik Alfa, Januar 23 Opgaver. Find gradient og retningsafledt 2. Angiv egenvektorer 3. Beregn et dobbeltintegral 4. Beregn en ortogonal projektion 5. Løs en lineær differentialligning 6. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 7. Bestem kritiske punkter og ekstrema Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave Betragt funktionen f(, ) = + + for >, >. ) Angiv f (5, 2). 2) Angiv f(5, 2). 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er. Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - løsning ) De partielle afledede beregnes 2) Gradienten angives f = ( + ) 2 f = ( + ) 2 f (5, 2) = 3 49 f(5, 2) = (f (5, 2), f (5, 2)) = ( 3 49, 4 49 ) Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge 5.2-4

2 Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - løsning 7 f u (5,2) I retning u = (u, u 2 ) er den retningsafledede D u f(5, 2) = f(5, 2) u = ( 3 49, 4 49 ) (u, u 2 ) = 49 ( 3u + 4u 2 ) Opgave - løsning Den retningsafledede for En løsning er D u f(5, 2) = 49 ( 3u + 4u 2 ) = 3u + 4u 2 = u 2 + u 2 2 = u = ( 4 5, 3 5 ) Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - ekstra z Opgave - figur Grafen z = + + Tangenter til niveaukurver for z = + +. Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge 5.2-8

3 Find gradient Matematik Alfa, Januar 23 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave - figur Opgave 2 Betragt matricen A = Skalerede gradienter 4 z for z = + +. ) Det oplses, at vektoren (,, ) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi. 2) Angiv endnu en egenvektor til dennne egenværdi; der ønskes en egenvektor, som ikke er af form t (,, ). Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 - løsning. Egenværdi hørende til egenvektoren (,, ): = = 8 giver egenværdi Egenvektorer hørende til egenværdien 8: A 8I = Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 - løsning giver det reducerede ligningssstem og dermed = = = 2 = hvor 2, 3 vælges frit. Som egenvektor ej på form t (,, ) kan vælges ( 4,, ). Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge 5.2-2

4 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 2 - gør prøve! = = = 8 = Opgave 2 - figur (3,,) z (,,) Egenvektorer ( 4,,) Så prøven stemmer! Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 Lad T betegne trekanten i -planen med hjørner (, ), (, ), (2, ) (tegn!). ) Opskriv to itererede integraler til udregning af et dobbeltintegral af form f(, ) da. 2) Udregn dobbeltintegralet T T sin( 3 ) da. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - figur (2,) 2 T = {(, ) 2, } 2 = {(, ), 2} Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge 5.2-6

5 Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - løsning Dobbeltintegralet er Tpe I: T = {(, ) 2, 2 } T = {(, ), 2} f(, ) da = Dobbeltintegralet er Tpe II: T f(, ) da = 2 2 f(, ) d d 2 f(, ) d d Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - løsning T sin( 3 ) da = = = = 2 sin( 3 ) d d [ 2 2 sin( 3 ) 2 2 sin( 3 ) d [ 2 3 cos(3 ) ] = 2 ( cos()) 3.3 ] =2 = d Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 3 - figur z 2 E = {(,, z) (, ) T, z sin( 3 )} Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 Betragt følgende vektorer i R 4, u = (,,, ) u 2 = (,,, ) u 3 = (,,, ) Det oplses at disse vektorer er indbrdes ortogonale. Lad U betegne det lineære underrum af R 4, som er udspændt af u, u 2 og u 3. Lad v betegne vektoren v = (,,, 5). ) Angiv projektionen (= den ortogonale projektion) proj U (v) af v ind på U. 2) Angiv afstanden fra v til U. Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge 5.2-2

6 Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 - løsning ) Fra Sætning 7 fås projektionen af v = (,,, 5) på u = (,,, ), u 2 = (,,, ), u 3 = (,,, ) proj U (v) = proj u (v) + proj u2 (v) + proj u3 (v) = v u u u u + v u 2 u 2 u 2 u 2 + v u 3 u 3 u 3 u 3 = (,,, ) + 2 (,,, ) + 6 (,,, ) 3 = (, 5 2, 3 2, 2) Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 - løsning Restvektoren v proj U (v) = (,,, 5) (, 5 2, 3 2, 2) = (, 3 2, 3 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (, 3, 3, 3) = 2 = Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 23 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 4 - figur v v u U Opgave 5 Angiv den fuldstændige løsning () til differentialligningen (for > ) + = 2. Angiv endvidere den løsning, der opflder betingelsen (2) = 5. u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge

7 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - løsning + = 2 a() =, b() = 2 A() = a() d = d = ln B() = e A() b() d = e ln 2 d Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - løsning Som giver fuldstændig løsning () = Ce A() + B()e A() = Ce ln + 2e ln = C + 2 = 2 Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - retningsfelt Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved (2) = 5. (2) = C = 5 I alt er løsningen () = I punktet (, ) tegnes et kort linjestkke med hældning () = + 2. Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge

8 Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 23 Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 5 - figur Løsningskurve () = Opgave 6 ) Angiv en potensrækkefremstilling for sin. 2) Angiv grænseværdien Løsning ) Bent potensrækken sin = sin lim 3 cos. n= ( ) n (2n + )! 2n+ Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 6 - løsning til at få skrevet ud sin =! 3! 3 + 5! 5... sin = n= ( ) n+ (2n + )! 2n+ sin = 3! 3 5! Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 6 - løsning 2) Dermed er Det følger, at f() = sin 3 = n= ( ) n+ (2n + )! 2n 2 = 3! 5! 2... sin lim 3 cos = lim f() cos = f() cos = 6 Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge

9 Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 23 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 6 - figur Grafen for = sin 3 cos Opgave 7 Minimer under bibetingelsen = 8. Det kan frit benttes at et sådant minimum eksisterer. Løsning Sæt f(, ) = og g(, ) = = 8. De partielle afledede er f = 2 +, f = + 2 g = 2, g = 2 Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssstem bliver Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 7 - figur 2 + = λ2 + 2 = λ = 8 z Løsningen giver = ± og videre fire punkter ( 3, 3), ( 3, 3), (3, 3), (3, 3) Indsættelse giver minimumspunkter/værdi (a, b) = ( 3, 3), (3, 3), f(a, b) = 9 (3, 3,9) Grafen for f ( 3,3,9) Calculus 2-26 Uge Calculus 2-26 Uge

10 Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 23 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, = ± 8 2 og minimer funktionen Løsning Den afledede er h() = f(, ± 8 2 ) = 8 ± 8 2 h () = De kritiske punkter a = ±3 giver minimumspunkter/værdi (a, b) = ( 3, 3), (3, 3), f(a, b) = 9 Calculus 2-26 Uge