To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

Transkript

1 To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 2. juni 207, 9:00 3:00 Dette eksamenssæt består af 0 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet svarer til 00 point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i dette opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. I opgaverne, 2 og 3 evalueres der efter følgende princip: Hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Sæt kryds ved det hold du deltager i. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Hold : BIO BIOT KEMI KEMT MILT MP Nikolaj Hess-Nielsen Hold 2: BA EGI FYS NANO Jacob Broe Hold BA EN KBT MK (Esbjerg) Ulla Tradsborg Hold CBT ED (Esbjerg) Ulla Tradsborg Facit Side af 0

2 Opgave (6 point) Hvilke udsagn om ligningssystemet x + 2x 2 x 3 = 5 2x x 2 + x 3 = 0 x + 7x 2 4x 3 = 5 er sande? x = 2, x 2 =, x 3 = 5 løser systemet. x = 2, x 2 = 2, x 3 = løser systemet. Systemet har x = 2, x 2 =, x 3 = 5 som den eneste løsning. Opgave 2 (8 point) I opgaven undersøges matricen 2 A = 2. 2 Hvilke af de følgende påstande er korrekte? u = Null(A). v = 0 er en egenvektor for A. 2 w = er en egenvektor for A. v og w har samme tilhørende egenværdi. v og w er lineært afhængige. A er invertibel (regulær). A er diagonaliserbar. Der findes netop én diagonalmatrix D som er similær med A. Side 2 af 0

3 Opgave 3 (8 point) A er en m n-matrix, B er en 2 3 matrix, C = AB er en 3 3 matrix.. Hvilke værdier antager m og n? m = n = 2 m = 2, n = 3 m = 3, n = 2 m = n = 3 2. A er standardmatricen for en lineær transformation S : R n R m, B er standardmatricen for en lineær transformation T : R 3 R 2, og C er standardmatricen for en lineær transformation U : R 3 R 3. Hvilke af følgende udsagn kan umuligt være sande? (a) S er på (surjektiv) S er en-til-en (injektiv) (b) T er på (surjektiv) T er en-til-en (injektiv) (c) U er på (surjektiv) U er en-til-en (injektiv) Opgave 4 (8 point) 2 3 Opgaven tager udgangspunkt i matricen A = samt vektorerne b = 8, c = og d = Er d indeholdt i søjlerummet Col A? Ja Nej 2. Er b indeholdt i søjlerummet Col A? Ja Nej 3. Er d indeholdt i nulrummet Null A? Ja Nej 4. Er c indeholdt i nulrummet Null A? Ja Nej Side 3 af 0

4 Opgave 5 (6 point) En lineær transformation T : R n R m har standard matrix 3 0 A = Hvilken værdi har tallet n? Hvilken værdi har tallet m? Hvad er rangen af A? Hvad er dimensionen af nulrummet af A? Er T på (surjektiv)? Ja Nej 6. Er T en-til-en (injektiv)? Ja Nej Opgave 6 (4 point) Hvilken af de følgende vektorer stemmer overens med produktet Ab af matricen A = [ ] og vektoren b =? 4 2 [ ] ingen af dem Side 4 af 0

5 Opgave 7 (6 point) Opgaven tager udgangspunkt i m m matricer A og B. Sæt C = BA og D = AB. Desuden er v en egenvektor for A med tilhørende egenværdi 2 og w = Av er en egenvektor for B med tilhørende egenværdi 4. Er det altid sandt at. v er en egenvektor for C? Ja Nej I givet fald, hvad er den tilhørende egenværdi? v er en egenvektor for D? Ja Nej I givet fald, hvad er den tilhørende egenværdi? w er en egenvektor for B 2 = BB? Ja Nej I givet fald, hvad er den tilhørende egenværdi? Opgave 8 (6 point) 4 3 De tre vektorer u = 2, u 2 = og u 3 = 2 udgør tilsammen en basis 2 4 B for R 3. Hvis man anvender Gram-Schmidt processen på B, så fremkommer der en ortogonal basis bestående af vektorerne v, v 2 og v 3. Der gælder:. v = u v = u ingen af delene 2. v 2 = u 2 v2 = u 2 u ingen af delene 3. v 3 = u 3 v3 = u 3 u 2 v 3 = u 3 u u 2 ingen af delene Side 5 af 0

6 Opgave 9 (2 point) I denne opgave betragtes de følgende 4 matricer: A = Er det sandt, at [ ] [ 32, B = ] , C = 0 2, D = A og B er inverse til hinanden? Ja Nej 2. C og D er inverse til hinanden? Ja Nej 3. A er diagonaliserbar? Ja Nej 4. B er diagonaliserbar? Ja Nej 5. C er diagonaliserbar? Ja Nej 6. D er diagonaliserbar? Ja Nej Side 6 af 0

7 Opgave 0 (8 point) [ ] 3 I denne opgave tages udgangspunkt i vektorerne u = og v = 4 samt i en lineær transformation T : R 2 R 2 som opfylder: [ ] 4 i R 3 2 T(u) = u og T(v) = v. Lad A = [a a 2 ] være standard matricen for transformationen T; a og a 2 er altså søjlevektorerne i A. Hvilke af de følgende udsagn er sande?. u og v er ortogonale. Ja Nej 2. u er en egenvektor for T. Ja Nej 3. u + v er en egenvektor for T. Ja 4. a = Ja 5. a 2 = Ja [ ] [ ] Nej Nej Nej 6. A er en ortogonal matrix. Ja Nej 7. T beskriver en drejning (rotation) i planen. Ja Nej 8. T beskriver en spejling (refleksion) i planen. Ja Nej Side 7 af 0

8 Opgave (0 point) Opgaven tager udgangspunkt i matricen A = samt vektoren b =. 7 Det oplyses at totalmatricen [A b] = har reduceret række echelon form Hvilke søjler i matricen A er pivotsøjler? alle fire søjler kun søjle 2 netop søjlerne, 3 og 4 netop søjlerne, 2 og 3 2. Hvad er rangen af matricen A? Hvad er nulliteten af matricen A? Findes der en løsning x = Ja x x 2 x 3 x 4 til ligningen Ax = b med x 2 = 2? Nej I givet fald, hvad gælder der om de resterende koordinater (ubekendte)? x =, x 3 = 3, x 4 = 4 x =, x 3 = 3, x 4 = 4 x =, x 3 = x 4 = 0 Side 8 af 0

9 Opgave 2 (6 point) 0 2 I opgaven undersøges tre vektorer a = 2, b = og c = 3 i R c Bemærk at den sidste koordinat c i vektoren c er et variabelt reelt tal. Hvilke af de følgende påstande er korrekte?. a, b og c er lineært afhængige vektorer for c = 0 c = 4 c = 4 alle reelle tal c intet reelt tal c 2. a, b og c udspænder R 3 for c = 0 c = 4 c = 4 alle reelle tal c intet reelt tal c Opgave 3 (8 point) Opgaven handler om tre (6 6)-matricer A, B og C = AB. Om disse vides, at det A = 2 og det C = 6.. Hvilken værdi har det( A)? Hvilken værdi har det(2a)? Hvilken værdi har det B? Hvilken værdi har det(b T A)? Side 9 af 0

10 Opgave 4 (4 point) Følgende kommandoer indtastes i MATLABs Command Window: >> A = [ 2 -; 3 ; 2 - ]; >> b = [3; 4; 2]; >> T = [A b];. Hvad er størrelsen af matricen T? Ligningssystemet Ax = b har en entydig løsning x. Hvilken af følgende kombinationer af MATLAB kommandoer beregner x? >> R = rref(t); x=r(:,4) >> R = rref(a); x=r(:,4) >> R = rref(t); x=r(:,5) >> R = rref(a); x=r(4,:) >> R = rref(t); x=r(4,:) Side 0 af 0