Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC
Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik og sandsynlighed får konkrete ideer til undervisning i statistik og sandsynlighed.
Fagområdet statistik og sandsynlighed Handler om at Beskrive variationer Undersøge sammenhænge i data Opstille modeller over, hvordan tilfældige tal opfører sig
Forskningen Castro (1998)(Spanien): Tre krav som forudsætning for at undervisningen i sandsynlighed skal lykkes: Elevernes forforståelser og overbevisninger om sandsynlighed skal tages i betragtning Der skal benyttes en statistisk tilgang til sandsynligheder Der skal arbejdes specifikt med ræsonnementer - ikke kun med mere traditionelle beregninger vedrørende sandsynlighed, for at udfordre misopfattelser. Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Eksempel på oplæg til elever Castro Tre kort lægges i en kasse: - et er rødt på begge sider - et er sort på begge sider - et er rødt på den ene side og sort på den anden side. Et kort trækkes, - man ser kun den ene side. En spiller tilbyder dig et væddemål, hvor I begge satser det samme beløb. Han vinder, hvis den anden side har samme farve som den viste. Hvis den anden side har en anden farve vinder du. Er det et fair væddemål? Eleverne skal selv afgøre, om det er et retfærdigt væddemål, ved gentagne gange at trække et kort og notere resultatet. Eleverne benytter så frekvensfortolkning, dvs. statistiske sandsynlighed som udgangspunkt for afgørelsen. Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Tre slags sandsynligheder Det statistiske En landmand vil have forsikret sin gård. Værdien af gården anslås at være 10 millioner. Hvad skal det koste at forsikre gården? Det kombinatoriske I en slikpose er der 12 karameller, 9 skolekridt og 4 lakridser. To stykker slik tages op. Hvor stor er chancen for, at det netop er en lakrids og et skolekridt, der bliver trukket. Det subjektive X lider af en meget sjælden hjertesygdom. Rigshospitalet tilbyder en ny behandlingsform, som aldrig har været prøvet før. Den er ikke ufarlig. Skal X prøve den nye behandling?
Statistisk sandsynlighed Eksperiment En række handlinger eller hændelser, der gentages, - fx kast med mønt, centicube eller terning Sandsynligheden for et udfald (ved et stort antal forsøg) aaaaaaaaaa gggggggggg uuuuuuuuuuuuuuuu ffffffffffffffffffff aaaaaaaaaa gggggggggg eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee uuuuuuuuuuuuu
Kombinatorisk sandsynlighed Laplaces princip: hvis n udfald i et eksperiment er symmetriske, så er sandsynligheden for hvert udfald 1 nn Sandsynligheden for en hændelse, der består af m udfald aaaaaaaaaa uuuuuuuuuuuu ii hænnnnnnnnnnnnnn aaaaaaaaaa uuuuuuuuuuuu ii uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu = aaaaaaaaaa gggggggggggggggg uuuuuuuuuuuu aaaaaaaaaa mmmmmmmmmmmm uuuuuuuuuuuu =
Sandsynlighedsforståelsen hos elever Jones m.fl. (Illinois State University) har undersøgt forståelsen hos elever i 3. klasse. De identificerede 4 niveauer i elevernes tænkning. Udgangspunkt et lykkehjul med røde og hvide felter. Et niveau med subjektiv sandsynlighedstænkning Den lander på rød for det er min yndlingsfarve Et overgangsniveau fra subjektiv til naivt kvantitativ sandsynlighedstænkning Der er mere rødt end hvidt Et niveau med en uformel, kvantitativ tænkning om sandsynligheder der er tre røde dele over for en hvid Et niveau med numerisk sandsynlighedstænkning Røds chance er tre ud af fire, og hvids er kun en ud af fire. Undervisning kan rykke elevernes niveau. Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Elevers forventninger ved stikprøver Forsøg i 5. klasse Asta: Der er lige stor chance i Den højre er der dobbelt så mange af hver farve som i den anden. Mikkel: Først tæller jeg hvor mange sorte der er i hver krukke. Når jeg har talt dem, også tæller jeg de hvide kugler, og derefter finder jeg ud af, at der er størst chance i krukke 1. fordi der er færest sorte Sofia: Der er størst chance i den højre, for der er flest hvide Ona: Der er lige stor chanse fordi at i den en kruke er de 1 hvid og 2 i den anden. Det gir det samme fordi en 5 10 brøkstreg er det samme som divider. Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
En anden undersøgelse af elevers forventninger ved stikprøver Watson m.fl. (Australien)undersøgte elever i 3., 6. og 9. klasse Æske A og B er fyldt med røde og blå marmorkugler som beskrevet nedenfor. Hver æske rystes. Du ønsker at få en blå marmorkugle, men du må kun tage en enkelt kugle op uden at se. Hvilken æske vil du vælge? Forklar dit valg? Æske A (med 6 røde og 4 blå) Æske B ( med 60 røde og 40 blå) (=) det kan være lige meget Svarene blev inddelt i 4 niveauer N 1: valgte (=) af forkerte grunde, både røde og blå favoritfarver, så lige meget N2: både blå og røde i hver æske, så alt kunne ske N3: Opmærksomhed mod det faktiske antal, præference for B, da der var flest blå kugler. N4: Sammenligning af antallet i de to æsker. Men nogle kunne vælge (=) fordi der var flest røde i begge æsker. 3. 6. klasse: flest i N1- N3 9. klasse: den korrekte forklaring dominerende Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Fra Undervisningsvejledningen Indskolingen Arbejdet med statistik og sandsynlighed skal ses i en tæt sammenhæng. I starten af skoleforløbet arbejdes der med enkel deskriptiv statistik, samtidig med at eleverne gør sig grundlæggende erfaringer med chancebegrebet ud fra intuitive overvejelser og systematiske observationer af stokastiske eksperimenter, fx i forbindelse med spil.
Færdighedsmål - Indskolingen Statistik Sandsynlighed Eleven kan anvende tabeller og enkle diagrammer til at præsentere resultater af optællinger Eleven kan udtrykke intuitive chancestørrelser i hverdagssituationer og enkle spil Eleven kan gennemføre statistiske undersøgelser med enkle data Eleven kan udtrykke chancestørrelse ud fra eksperimenter Eleven kan gennemføre statistiske undersøgelser med forskellige typer data
Eksempler indskolingen Statistik Tabel over fritidsinteresser Tabel over kæledyr Undersøgelse af antal søskende Sandsynlighedsregning Kast med to terninger, udregne sum eller forskel Udtræk af kugle fra ikke gennemsigtig pose. Hvilken farve er mest sandsynlig?
Fra Undervisningsvejledningen Mellemtrinnet På mellemtrinnet skal eleverne gennemføre og præsentere statistiske undersøgelser samt analysere og tolke resultater af undersøgelser fra fx medierne og internettet. Sideløbende arbejdes der med statistiske undersøgelser af chanceeksperimenter ved simulering, og eleverne knytter beregning af frekvenser til sandsynlighedsbegrebet.
Færdighedsmål - mellemtrinnet Statistik Sandsynlighed Eleven kan anvende og tolke grafiske fremstillinger af data Eleven kan undersøge tilfældighed og chancestørrelser gennem eksperimenter Eleven kan gennemføre og præsentere egne statistiske undersøgelser Eleven kan undersøge chancestørrelser ved simulering af chanceeksperimenter Eleven kan sammenligne datasæt ud fra hyppigheder, frekvenser og enkle statistiske deskriptorer Eleven kan beskrive sandsynlighed ved brug af frekvens
Fra undervisningsvejledningen Udskolingen I udskolingen arbejder eleverne videre med en mere kritisk stillingtagen til forskellige anvendelser af statistik både ved at gennemføre egne undersøgelser og ved at analysere og tolke præsentationer af resultater af statistiske undersøgelser. Det teoretiske (kombinatoriske) sandsynlighedsbegreb introduceres ud fra erfaringer med det statistiske sandsynlighedsbegreb samt overvejelser over udfaldsrum og tællemåder, og eleverne arbejder bl.a. med sammensatte sandsynligheder. I statistik anvendes overvejelser om sandsynligheder til at analysere og vurdere stikprøveundersøgelser.
Færdighedsmål - Udskolingen Statistik Sandsynlighed Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til sammenligning af datasæt Eleven kan anvende udfaldsrum og tællemåder til at forbinde enkle sandsynligheder med tal Eleven kan undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt Eleven kan beregne sammensatte sandsynligheder Eleven kan kritisk vurdere statistiske undersøgelser og præsentationer af data Eleven kan anvende sandsynlighedsregning
Gruppearbejde Aktiviteter Diskussionspunkter Kast med centicube Terningespil Livsforsikring Hvem lever længst Simulering i regneark Fair spil Femkamp Overvej, om I mener aktiviteten kan bruges i undervisningen og på hvilket trin Hvad kan komme før og efter? Overvej hvilke kompetencer arbejdet med denne aktivitet kan bidrage til at udvikle Hvilke andre mål kan den medvirke til at udvikle?