Elevmateriale. Forløb Statistik

Transkript

1 Elevmateriale Forløb Statistik Første lektion: I første lektion skal eleverne reflektere over, hvordan man sammenligner datasæt. Hvordan afgør man, hvor høj man er i 5. klasse? I andre dele af matematikken finder man ét resultat, men hvad gør man her? På smartboard bliver dagens program vist, og der gøres anslag til de kommende 3 ugers arbejde med emnet. Dagens arbejde omhandler metodepointer. 1

2 Anden lektion: I den næste lektion planlægges der igen med tydelig struktur og herunder en tydelig pegen tilbage til foregående lektion. Som det ses i programmet for den næste enkeltlektion, er der programsat et punkt, hvor man kort beder et par elever om at tænke tilbage og fremhæve, hvad der var centralt i den foregående lektion. Af programmet kan man endvidere se det overordnede mål for dagen. Det er dog ikke vist opdelt på de tre områder: - et videns- og færdighedsmål - et kompetencemål - et refleksionsmål 2

3 At målet ikke er opdelt, så eleverne kan se det eksplicit, skyldes flere forhold. Først og fremmest, at det kunne signalere overfor eleverne, at der er forskel på kvaliteten af løsningsforslagen. Hvilket vi tidligere har hævdet ikke er tilfældet. Endvidere er det vigtigt at fastholde og anspore elever i udfordrede læringssituationer til også at bidrage aktivt i undervisning. Underviseren har derimod gjort sig målene klar på alle 3 niveauer. For tirsdagen er målene således: Vist arbejdsmål for 2. lektion Type/differentiering Undervisningsmål/spørgsmål som eleverne kan arbejde med Hvordan kan vi bruge vores viden fra tidligere til at organisere data? Videns- og færdighedsmål (her også metodepointe) Kompetencemål (her også begrebspointe) Refleksionsmål (her også fortolkningspointe) Begrunde og erkende med tidligere læring (seneste lektion) Begrunde og definere den valgte repræsentation Hvad kan vi se af graferne? Hvad kan vi ikke se? Hvad kunne også være interessant at vide? Hvordan kan vi komme tættere på den viden? (ligger evt. op til undersøgelser i næste lektion) 3

4 I de følgende lektioner arbejder eleverne med data fra egen højde og med forældrenes højder. Og der indsamles yderligere data fra 3., 6. og 9.klasse. Dette er primært arbejdet i den første uge af projektet. Efter data er indsamlet, begynder eleverne at udvikle forståelsen for, at man mangler nogle måder at beskrive datasættene. Hvordan kan man begynde at sige noget fornuftigt om tallene? Herunder begynder der at tegne sig nogle mønstre. Nogle tal optræder ofte og er f.eks. typiske for mød- 4

5 rene; herved begynder der at tegne sig et behov for at kunne beskrive datasættene med præciser ord. Og typetal m.v. emergerer i processen (som netop var en faglig pointe). Netop brugen af smartboardet synes som en stor hjælp til fællesgørelsen ved lektionens afslutning. Underviseren havde planen for næste undervisning klar på smartbordet, så eleverne kort kunne orienteres om næste lektions indhold og sammenhæng til dagens arbejde. Selv om øvelserne indebærer simple instruktioner, så som at måle højden på hinanden, kan der opstå gode matematiske samtaler; Hvorfra og til? Hvordan gør vi, så vi måler ens? Kontrol? Eleverne fik udviklet en fællesforståelse og kunne derfra begynde at producere data og analyser af disse. Oversigt over forløbet i statistik: Uge Indhold Overordnede mål/pointer 1 Indsamling af data - elevernes højde i klassen (samlet/grupperet?) - forældrenes højde Hvordan måler man? Hvordan repræsenterer man data? Tabel/grupper/grafer - måling af eleverne i 3., 6. og 9 klasse 2 Beskrivelse af datasæt og repetere læring via hjemmearbejde i opgaver stille via portalen matematikfessor. Udvikling af forskellige positionsmål: typetal, gennemsnit, min. & maks, median, størst, færrest 3 (afslutning) Eleverne har olympiade i 2 idrætstimer, hvor der udføres forskellige aktiviteter som f.eks. trespring, krabbegang, bowling mv Målemetoder Præsentation af datasæt. 5

6 Der laves plancher med grafer over præstationerne i de enkelte discipliner. Hvordan skal vi tolke data? Hvilket hold vinder? Figur 1 statistik på hop med samlede fødder. Forløb i sandsynlighed/tilfældighed Tidsmæssigt var dette forløb noget kortere end statistikforløbet. Dels af hensyn til projektperioden og dels begrundet i Fælles Mål 2009, hvoraf der vedrørende sandsynlighed fremgår, at eleverne skal udføre eksperimenter, hvori tilfældighed og chance Indgår. Heraf kan man argumentere for, at emnet her i 5. klasse ikke nødvendigvis bør indtage en lige så fremtrædende rolle som statistik. Det var vigtigt i planlægningen af forløbet, at der stadig kunne trækkes på den viden, eleverne havde opbygget i de foregående uger. Samt at vi kunne fastholde ideen med feedback og feedforward mellem de enkelte lektioner, også selvom vi nu skiftede emne. Derfor blev der planlagt 4 lektioner, hvor eleverne i første lektion skulle arbejde med stikprøver, udtaget af en pose med et ukendt indhold. Posens indhold skulle så beskrives på baggrund af en statistik, og derved kunne eleverne se en direkte sammenhæng til de foregående ugers arbejde med statistik. 6

7 Figur 2 Pose med blanding af centicubes Det er vigtigt, at posen ikke er gennemsigtig så eleverne kan se indholdet i posen. Der laves poser med lidt forskelligt indhold. Der må gerne være poser med f.eks. én gul og 19 blå centicubes. Herved får eleverne mulighed for at erkende, at antallet af trækninger skal øges væsentligt for at afsløre posens konkrete indhold. Efter denne statistiske sammenligning af posernes indhold og koblingen, der knytter sig til perioden med statistikundervisningen, gøres der antræk til yderligere eksperimenter i tilfældighed. I de næste lektioner italesættes en problemstilling vedrørende gaver i en børnemenu på en restaurant. På den pågældende restaurant får man netop ét stykke legetøj med hver menu, man bestiller. Der er i alt 6 forskellige stykker legetøj, som restauranten kan vælge at give med i den enkelte menu. Det er nu op til eleverne at udvikle en metode (guided af underviseren) at udvikle en metode til at simulere, hvor mange menuer man skal køber, hvis man gerne vil have en af hver figur/legetøj. Problemstillingen er både nærværende og forståelig for eleverne, og der arbejdes målrettet med opgaven. En samlet oversigt over de 4 lektioner i sandsynlighed/tilfældighed ses i tabel 2. 7

8 Tabel 1 lektionsoversigt i sandsynlighedsforløbet Sandsynlighed 1. lektion Er der sammenhæng mellem statistik og tilfældighed? Øvelse med at udtænke en poses indhold af centicubes ud fra en undersøgelse. Antallet af centicubes i posen oplyses til eleverne. Ved hjælp af udtræk med tilbagelægning og dannelse af grafer på farverne af centicubes kan vi estimerne posens indhold ret præcist. Lektion 2 & 3 Eleverne udvikler i starten af timen selv metoden til at afsløre posens indhold. Betingelser: -ikke kikke i posen -tag en centicube ud og undersøg den -put den tilbage i posen og ryst posen -udtræk en ny centicube, læg tilbage og ryst o.s.v. Simulation med pose med 6 forskellige farver af centicubes: Hvor mange børnemenuer skal man købe for at opnå én af hver figur, hvis der er 6 figurer, som kan fås i gave med menuen? Grafisk (søjle/lagkage) repræsentation Andele procent/brøk Jo mere skævt et forhold f.eks. 1:14, jo flere trækninger er nødvendig for at afsløre posens indhold (refleksionsmål) Hvad er udfaldsrummet? Begrebs-pointe (videns- færdighedsmål) Er det samme gældende for slag med terning? Hvordan kan vi simulere købe at menuerne? Metode-pointe (modelleringkompetence) Note: børnene kan evt. lave 5 simulationer hver og skrive resultatet på tavlen/smartboard eller et regneark, der vises på storskærm. Gennemsnittet af det aggregerede forsøg (ved 20 elever=100 simulationer) skulle gerne antage den forventede værdi på 14,7 køb af børnemenu. Hvordan fortolker vi posens resultat? Og kan vi simulere det samme med en terning? (refleksionsmål) Hvorfor er der nogle forretninger, der giver gaver med ved 8

9 køb af f.eks. børnemenu? (her var eleverne stærkt engagerede og koblede direkte viden fra de foretagende simulationer) Lektion 4 Kan vi lave samme simulation med terning? Med lykkehjul? Opsamling/afsluttende samtale over emnet sandsynlighed. Med simulation på computer/ipad? Lille regneark/terning app anvendes til simulation. Og resultatet skulle gerne blive nogenlunde det samme. Hvad er udfaldsrummet ved slag med 2 terninger? Er fordelingerne stadig symmetriske? Målene for 4. lektion var en sammenhængende refleksion over forløbet. Ikke alle elever nåede igennem alle øvelser i denne afsluttende time. Elever i udfordrende læringssituationer Det er afgørende for læring, at eleven kan se pointen med det, der arbejdes med/hen mod. Specielt i stokastik har eleverne ofte svært ved at se sammenhængene på det, de regner på, og så over til en genkendelig situation fra f.eks. hverdagen. Derfor har vi i dette forløb forsøgt at skabe billeder på matematikken fra hverdagen og over til emnet. I statistikforløbet har vi taget udgangspunkt i det praktiske spørgsmål: Hvor høj er man i 5. klasse? Spørgsmålet er simpelt, men lader sig ikke besvare med et enkelt tal. Og derfor må eleverne udvikle forståelsen for værktøjer til at beskrive et datasæt. I forløbet udvikles forståelsen for positionsmålene. Eksemplet er let for eleverne at forholde sig til, og eleverne på alle niveauer kan byde ind med en egen forforståelse, der kvalificeres i forløbet. I den afsluttende del den store olympiade kan eleverne diskutere, hvordan positionsmålene kan have betydning for udpegningen af en eventuel vinder i de enkelte discipliner. Hvornår er et hold bedst? Er det, når en på holdet hoppede længst? Eller når man i gennemsnit hoppede længst? Eller der hvor den mindste præstation på holdet var større end de øvrige holds mindste præstation? På den måde får man illustreret, hvad de enkelte positionsmål kan fortælle om et datasæt. 9

10 Netop denne praktiske kobling af matematikken viste sig i forløbet at støtte elever i udfordrede læringssituationer, idet det gav mentale billeder på positionsmålene. I arbejdet med tilfældighed/sandsynlighed har vi taget udgangspunkt i praktiske forsøg, og videreført dem til en tænkt hverdagssituation (børnemenu med gave). Eleverne sluttede lektionen af med en fællesgørelse, hvor de kunne redegøre for, hvordan en bestemt aktivitet har ført dem frem mod (et af) læringsmålene. Endelig blev feedforward anvendt konsekvent. Så eleverne kunne se, hvad der skulle arbejdes med i næste lektion. Det viste sig i forløbet, at eleverne satte pris på netop denne feedforward ved, at de kunne indstille sig på næste lektions indhold. Underviseren overførte denne til andre undervisningsfag i perioden, og fremhævede, at dette også havde en gavnlig indvirkning på flowet i sløjdtimerne. Litteratur: Andersen, M.W. (2008). Matematiske billeder, sprog og læsning. Forlaget Dafolo. EVA (2012). Fælles mål i folkeskolen - en undersøgelse af lærernes brug af Fælles Mål. Evalueringsinstituttet. Fælles mål 2009 Matematik Lefebvre, Caroline. (2002). Probability Vs. Typicality: Navigating through Data Analysis and Probability in Grade 3-5, NCTM Mogensen, A. (2012). Når pointer styrer matematikundervisning. MONA