Matematik og sprog
Matematik og sprog af Corna Sørensen og Rasmus Greve, projektmedarbejdere i Projekt Uddannelsesløft. Dette materiale er en inspiration til hvordan, der kan arbejdes med at koble fagsprog og læsning med læring i matematik. Den første del er nogle anvisninger omkring forskellige metoder, mens den anden del består af konkrete eksempler som direkte kan anvendes i undervisningen, eller tilpasses efter lærerens egne ønsker. Matematik og faglig læsning Overordnet er der 2 mål med at arbejde med faglig læsning i matematik: At eleverne bliver bevidste om hvilken strategi, der fungerer bedst for dem i forhold til at læse og afkode informationer i matematik At eleverne bliver bedre til at løse matematikopgaver Hvilke teksttyper møder eleverne i faget? - i grundbogen - i hjemmeopgaver - i prøvesæt Grundbogens tekster vil ofte være informerende, instruerende og have fokus på årsag-virkning sammenhænge, over - underbegreber og definitioner. Der vil være illustrationer af forskellig art, og eleverne vil derfor skulle arbejde med læsestier og forskellige strategier til at afkode tekst, illustrationer, skemaer og diagrammer. Nogle grundbøger indeholder små bidder af fiktive tekster for at sætte det matematiske ind i en mere hverdagsagtig kontekst. Det stiller helt andre krav til læsestrategier herunder, at underviseren er opmærksom på hvorledes disse små tekster anvendes i undervisningen. Hvilke sproglige træk er der i matematiske tekster? Matematiksprog indeholder nogle typiske træk, som det er vigtigt at undervise direkte i eller have fokus på sammen med det faglige indhold. Se eksempler på særlige sproglige træk i matematik-tekster i bilag 1 og 2 I et læsestrategi-perspektiv kan man fx arbejde med procesnotater, marginspørgsmål, og en form for skelettekster, eller opgaver, hvor læseren skal blive opmærksom på, hvilken type informationer der mangler for at skabe sammenhæng. Matematiklærerens overvejelser inden undervisningen Hvilken forhåndsviden er det hensigtsmæssig at aktivere hos eleverne? Lægger lærebogssiden op til dette, eller må der suppleres med andet? Hvilke fagbegreber/nye ord, faglige vendinger og hvilket symbolsprog indgår? 2
Hvilke muligheder er der for at danne relationer mellem forskellige repræsentationer af det faglige område? Er der en hensigtsmæssig læsesti? Hvilke krav stiller teksten til at kunne kæde informationer sammen? Før opgaveløsning Fokus på opbygning af forforståelse, fx gennem associationsøvelser og systematisk ordforrådsarbejde. Under opgaveløsning Fokus på elevernes formulering og forklaring af samt argumentation for deres matematiske forståelse, fx gennem forklaring af matematikopgaver Efter opgaveløsning Fokus på automatisering af sproglig viden knyttet til emnet, fx gennem repetition af fagligt ordforråd. (Fra: NAVIMAT, Idékatalog Faglig læsning 2010) Det flg. er frit efter artiklen Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1 At aktivere elevernes forforståelse : At koble tekstens indhold til den viden eleverne har i forvejen øger forståelsen og gør det lettere at aktivere den nye viden igen. At finde en læsesti/læserækkefølge: At sammenkæde de forskellige informationer (tekst, figurer, skemaer, grafer, osv.), så de kan indstille deres forventninger til, hvad de skal arbejde med, finde væsentlige oplysninger, bruge dem i opgaveløsning og reflektere over spørgsmål og svar. Aktiviteten kan inden et nyt afsnit fx være at tale om: Hvilke forskellige sidetyper er der? Er der noget, der er fælles for siderne, (farver, der går igen, bestemte måder at skrive overskrifter på, huskekasser o.a.)? Hvilke forskellige indholdsdele er der på en side (tekst, illustrationer- er der vigtige informationer i dem, indeholder de instruktion eller er de bare pynt, matematiske diagrammer osv.)? 1 Kristiansen, H. (2010): Faglig læsning i matematik 3
At skabe relationer mellem forskellige repræsentationer af et matematisk begreb: Se eks. fra Kolorit 7, bilag 4, hvor eleverne danner relationer mellem foto, rektangler og symbolsk repræsentation. At arbejde med ordforråd gennem kommunikation: Det kan handle om ord i den fortælling et tekststykke er sat ind i, et fagord og symboler. Lærerstøtte til at møde teksten aktivt. At formulere sig om problemstillingen giver mulighed for at danne indre billeder af problemet og dernæst vælge en hensigtsmæssig løsningsstrategi. Gå i dialog med eleven/eleverne. Prøv at fortælle med jeres egne ord, hvad der står. Hvilke oplysninger giver teksten jer? Hvor står spørgsmålet henne? Hvad får I at vide? Kan I lave en tegning af problemstillingen? Forslag til aktiviteter Ordkort/ begrebskort At arbejde med ordkort styrker elevernes aktive ordforråd. Eleverne skal udstyres med nogle papir - eller kartonkort, som de noterer udvalgte fagord på eller førfaglige ord. Ordene kan enten være bestemt af læreren og skrevet op på tavlen, eller eleverne kan selv finde ordene i teksten. Den sidste fremgangsmåde forudsætter et vist fagligt overblik, men kan give et interessant input for læreren om, hvilke ord eleverne opfatter som fagord. Når ordene er skrevet på kortene kan eleverne arbejde med dem på mange måder. Fx nogle af nedenstående: 1. Eleverne arbejder sammen i par de skal skiftes til at forklare begreberne for hinanden. 2. Som puslekort - læreren laver en ordliste og en liste med forklaringer af ordene, som eleverne i par skal kombinere og evt. forklare/vise ved hjælp af en anden repræsentation (konkrete materialer, et konkret taleksempel, symbolsprog). 3. Eleverne får en udfyldt side med forklaringer og skal finde de rigtige begreber. 4. Eleverne skal ordne/samle/gruppere begreberne (fx efter geometriske figurer, regningsarter osv.) Osv. - væsentligst er, at det foregår i dialog. Det er vigtigt at få gjort elevernes nye ordforråd aktivt og få opsamlet det nye, de har lært. Det kan gøres ved at lade dem lave begrebskortlægninger med ordkortene. Det foregår ved at klistre en række ord / begreber op på et større ark papir, hvorefter eleverne skal knytte begreberne sammen med streger, som skal forklares. Se nedenstående ex: 4
Kvadrat Firkant Et kvadrat er en firkant med 4 lige lange sider og 4 rette vinkler. Vinkelsummen i en firkant er 360 Vinkelsum En anden måde at opsamle det lærte på er ved at bruge ordklasse-skemaer. Her skal eleverne forklare ord og begreber, de skal ordne dem i ordklasser (det kan absolut være relevant også i matematik at kende forskel på navneord, udsagnsord, forholdsord og tillægsord), bruge dem i en sætning / sammenhæng, forklare dem med symboler / tegninger og kan evt. oversætte til modersmål, hvis de har den ressource at trække på. At udfylde et ordklasse-skema med 10 udvalgte ord / begreber kan også være en glimrende lektie. Se et ex. på ordklasse-skema på bilag 5 Procesnotat Procesnotatet kan støtte eleven i at få struktur på spørgsmål og oplysninger i en opgave. Ved at bruge hjælpespørgsmålene bliver eleven opmærksom på hvordan opgaven er struktureret. - Fx om selve opgaven / spørgsmålet kommer først, sidst eller om der er flere delspørgsmål. - Bliver de nødvendige oplysninger præsenteret før eller efter spørgsmålet? - Skal alle oplysninger anvendes? Her er det værd at lægge mærke til, om opgaven indeholder taldata fx datoer, årstal,husnumre som ikke skal anvendes til at svare på spørgsmålet men blot er en del af opgavens kontekst. Sådanne overflødige data skaber ekstra forvirring for elever, der har svært ved at få overblik. - Er der ord og vendinger i opgaven, der antyder hvilken regningsart, eleven skal bruge? Fx i alt betyder at der skal plusses, forskel på, flere end o. lign. Betyder, at der skal trækkes fra. Se et eksempel på et elevark til procesnotat i bilag 6 Procesnotat fra fagsprog til hverdagssprog og tilbage til fagsprog Det er værd at bemærke, at eleven gennem arbejdet med procesnotat kan bevæge sig fra fagsprog til hverdagssprog og tilbage til fagsprog. I feltet hvor selve opgaven skal noteres, tages der udgangspunkt i fagsproget, men eleven opfordres til at formulere med egne ord altså sit hverdagssprog. At tegne opgaven støtter elevens tankegang det giver mulighed for at repræsentere problemet på en anden måde og bygger op til, at eleven kan formulere et forslag til en fremgangsmåde på hverdagssprog. I udregningsfeltet stilles der krav til, at eleven dels kan anvende de rette symboler, dels kan udføre selve processen i udregningen. 5
I det sidste felt kan der arbejdes med, at eleven forklarer løsningen af opgaven på to måder. Først som en konkret situationsnær gennemgang af den specifikke opgave i stil med Først tog jeg., så dividerede jeg med prisen før rabat, og så fik jeg.. Dernæst som en situationsuafhængig forklaring på en type af opgaver i stil med: Når du skal regne den procentvise rabat ud, så tager du forskellen på førprisen og tilbudsprisen. Så dividerer du med førprisen og ganger med 100. Den første er en værdifuld refleksion over, hvordan eleven har løst den konkrete opgave den anden er en generel forklaring, der sætter eleven i stand til at løse andre opgaver af samme type fremover. For at eleverne kan lave forklaringer af den anden fagsproglige type, skal der arbejdes konkret med at lave generelle formuleringer ud fra konkrete oplevelser i klassen. Fx gennem aktiviteter hvor eleverne arbejder med at sammensætte rækkefølgen i processen støttet af forskellige sproglige udsagn både hverdagssproglige, fagsproglige og nogle midt imellem. Eleverne kan så vælge mellem de forskellige typer af sprog, som de mener bedst beskriver de enkelte dele af processen. Se et eksempel på sprogkort med hverdagssprog, fagsprog og midt-imellem-sprog på bilag 7 6
Procesnotat og matematiske kompetencer - et test og evalueringsredskab I KOM-projektet som UVM afsluttede i 2002 listes der 8 kompetenceområder, som er gyldige for matematiklæring på alle uddannelsestrin. Grafik fra Kompetencer og matematiklæring, UVM 2002 I de forskellige led i procesnotatet er det forskellige kompetencer, der behøves og det bliver derfor muligt at adskille elevens matematiklæring og få større mulighed for at opdage hvilke kompetencer, eleven har godt fat i og hvilke, der er udviklingspunkter. Traditionel opgaveregning lægger vægt på, at eleven kan løse en problemstilling.det stiller derfor krav om 7
at eleven besidder symbol og formalismekompetence, der skal anvendes til at skrive udregninger rigtigt for derefter at kunne få det rigtige facit. Hjælpemiddelkompetence skal også anvendes til at vælge og benytte de nødvendige redskaber til udregningen. I procesnotatet inddrages flere kompetencer, som ligger før selve opgaveregningen, og som i en traditionel tilgang ikke ofres særlig opmærksomhed. I de første 2 felter skal eleven opdage og udbygge selve problemstillingen. Det kræver problembehandlings-, repræsentations- og modelleringskompetence for at kunne finde, definere og acceptere, at et givent spørgsmål kan angribes matematisk. I de 2 næste felter skal eleven komme med forslag til, hvordan problemstillingen kan løses. Det kræver ræsonnements- og tankegangskompetence. I udregningsfeltet er det, som tidligere nævnt, symbol- og formalismekompetence og hjælpemiddelkompetence, der skal anvendes. I det sidste felt skal eleven forklare sin løsning, og det kræver kommunikationskompetence. En kompetence som man kan sætte i spil igennem hele processen ved at lade eleverne arbejde sammen og derved løbende skulle argumentere for indholdet i de enkelte felter. Underviseren kan vælge at lade eleverne udfylde et procesnotat til en enkelt eller to opgaver som en hjemmeopgave eller en test i klassen. Underviseren får dermed indblik i elevernes proces og mulighed for at opdage, om det fx er problemer med at definere opgaven og opdage de relevante oplysninger, der gør, at eleven ikke kan lave de rigtige udregninger. Eller om det er problemer med at vælge den rigtige metode og/eller bruge symboler og tegn, der giver forkerte resultater. I procesnotatet er alle kompetencer i spil og komplementerer hinanden det betyder, at såfremt eleverne lærer, at alle kompetencer er værdifulde og arbejder sammen, opnår de dels rigtige resultater, dels forståelse og overførbar viden og færdigheder til at angribe lignende opgaver. 8
Marginspørgsmål At arbejde med marginspørgsmål handler om at stille spørgsmål direkte til bestemte steder i opgaven med fokus på struktur og sproglige træk i opgaven. Spørgsmålene skal også aktivere elevernes tidligere viden og nysgerrighed i forhold til emnet. Derved bliver eleverne opmærksomme på, hvordan opgaverne kan afkodes, og de udvikler på længere sigt egne strategier til opgaveløsning. Arbejdet med marginspørgsmål kan sagtens følges ad med den normale løsning af opgaverne, så underviseren enten supplerer opgave-teksten med marginspørgsmål eller fletter dem ind i en samtale på klassen, inden eleverne løser opgaverne. Se eksempel på marginspørgsmål i bilag 8 og 9 Skelettekst opgaver der mangler oplysninger Hvis underviseren vil arbejde med elevernes forståelse af matematiske problemstillinger, kan et led i processen være at stille opgaver, hvor vigtig information enten ikke er defineret eller er visket ud/skjult for læseren. I en opgave som nedenfor skal eleven først finde ud af, hvilke oplysninger der er nødvendige for at regne den samlede udgift ud og bagefter bestemme nogle værdier for de oplysninger. Jonas har fødselsdag og vil invitere sine kammerater med i biografen. De skal have sodavand og popcorn til filmen. Hvad mangler du at få at vide før du kan regne ud, hvad det kommer til at koste for Jonas i alt? Du skal selv finde på nogle tal og vise, hvordan du regner opgaven ud. Eleven får her mulighed for at få øje på, hvordan oplysninger kan præsenteres og ordnes i opgaver altså fokus på opgavens struktur. Opgaver af denne type kan udbygges og åbnes og lukkes i forskellige grader. Fx kan priser på popcorn og sodavand være givet, eller navne på kammeraterne kan være oplyst så skal der jo blot tælles. I den anden retning kan man udelade spørgsmålet men oplyse hvor mange kammerater der er og priser på de forskellige ting. Eleverne skal så selv definere noget, de vil regne ud. De forskellige oplysninger kan stilles til rådighed gennem tabeller, prisskilte, skemaer, flyers o. lign. Derved skal eleven forholde sig til, i hvilken rækkefølge de forskellige elementer på en side skal læses, hvilket giver anledning til at tale om læsestier. Opgaven kan også krydres med overflødige oplysninger som datoer, klokkeslæt, åbningstider, numre og antal sæder i biografsalen osv. Fokus kan så ligge på at afkode hvilke data, der er er relevante for hvilke spørgsmål. Perspektivet er hele tiden på at afkode, hvad man skal, og hvor man får de nødvendige informationer samtidig tilgodeses det faglige aspekt ved, at der hele tiden regnes på de fremkomne opgaver. Se bilag 10 for eksempler på hvordan den samme opgave kan ændres på flere måder. 9
Bilag 1 10
11
Bilag 2 Særlige strukturer ved matematiksprog Sproget er fortættet. Det er kort og præcist. Fx På en tallinje ligger de negative tal til venstre for nul. De positive tal ligger til højre for nul Subjekt er afpersonaliseret. Brug af vi, vores, man. Nogle skolebøger bruger oftere du. Fx I Grønland betaler man afgifter på sukker og chokolade for at få varerne ind i landet. I det afsnit vil vi se på,.. Der er mange passivkonstruktioner. Fx forventedes, kan aflæses, har vist sig, er afsat..kan bestemmes ved hjælp af følgende to formler. Afgiften for sukker kan beskrives ved ligningen: Der bruges logiske forbindere. Fx altså, da, idet, hvis.så, hverken eller, både og Hvor mange kg sukker er der indført, hvis afgiften er på 1858,50 kr. Der bruges mange bydeformer (imperativ). Fx beregn, aflæs, tegn, konstruer, uddrag, læg, tag Reducer udtrykkene: Multimodalitet Informationer skal afkodes i billeder, tegninger og tekst. Der er ikke nødvendigvis en logisk læserækkefølge. Fx Lis Sørensen on tour et eksempel på billeder, der ikke skal læses er Kanotur. 12
Bilag 3 Fra Kolorit 7 (Gyldendal, 2007) 13
Bilag 4 Fra Kristiansen, H. (2010): Faglig læsning i matematik 14
Bilag 5 Ordliste Ord Ordklasse/bøjning Modersmål Synonym Forklaring/brug i sætning Gæld er når man gæld substantiv dług (polsk) skyld (at skylde) skylder noget væk. Fx penge til en bank. Egne notater / billede 15
Bilag 6 Procesnotat matematik frit efter Brudholm mfl. Hjælpespørgsmål Er der et klart spørgsmål i opgaven? Kan du se med det samme, hvad du skal gøre? Er oplysningerne i opgaven fortalt på en klar måde? Kan du se, hvilken slags regning du skal bruge? Hvad skal jeg finde ud af? Her kan du skrive opgaven, gerne med dine egne ord. Hvad får jeg at vide? Hvad ved jeg allerede? Tegn Her skriver du nøgleord til de oplysninger du skal bruge for at regne opgaven. Her prøver du at tegne opgaven. Hvordan gør jeg? Her forklarer du med ord hvordan du vil regne opgaven. Regn opgaven ud Her laver du dine udregninger. Forklar løsningen Her forklarer du med ord, hvordan du har regnet opgaven. 16
Bilag 7 Først kostede bukserne 800,- kr. Først kigger jeg på hvad bukserne koster først. Du starter med at finde førprisen. Nu koster de 550,- kr. Så ser jeg hvad de koster, når der er tilbud. Så finder du tilbudsprisen. Jeg siger 800 550 kr. Så laver jeg minus med de 2. Så trækker du tilbudsprisen fra førprisen. Det giver 250,- kr. Så ved jeg, hvad jeg sparer. Så har du besparelsen/rabatten i kroner. Jeg dividerer 250 med 800 og ganger med 100. Så dividerer jeg den første pris op i det, jeg sparer og ganger med 100. Så dividerer du besparelsen med førprisen og ganger med 100. Det giver 31,25% Så har jeg det, jeg sparer i %. Så får du besparelsen/rabatten i %. De 3 kolonner forklarer det samme regnestykke opdelt i faser. På den vandrette led er det den samme fase der forklares. Den blå kolonne er tættest på situationen (hverdagssprog). Den gule er på vej væk fra situationen (en bro mellem hverdagssprog og fagsprog), mens den grønne er uafhængig af situationen (fagsprog). Eleverne vælger til hvert trin den forklaring, som de forstår bedst og kan forklare for hinanden /underviseren. 17
Bilag 8 Fra Faktor Arbejdsbog 8 (Malling Beck,1999) 18
Bilag 9 Fra MATEMATIK-TAK for ottende klasse (Alinea, 2000) 19
Bilag 10 A. Jonas har fødselsdag og vil invitere sine kammerater med i biografen. De skal have sodavand og popcorn til filmen. Hvad mangler du at få at vide, før du kan regne ud, hvad det kommer til at koste for Jonas i alt? Du skal selv finde på nogle tal og vise, hvordan du regner opgaven ud. B. Jonas har fødselsdag og vil invitere sine kammerater, Ahmed, Per og Abdallah med i biografen. De skal have sodavand og popcorn til filmen. Hvad mangler du at få at vide, før du kan regne ud, hvad det kommer til at koste for Jonas i alt? Du skal selv finde på nogle tal og vise, hvordan du regner opgaven ud. C. Jonas har fødselsdag og vil invitere sine 3 kammerater med i biografen. De skal have sodavand og popcorn til filmen. Sodavand koster 25,- kr. og popcorn koster 20,- kr. pr. person. Biografbilleten koster 65,- kr. pr. person. Du skal finde noget, du kan regne ud og vise, hvordan du gør. D. Jonas har 17 års fødselsdag og vil invitere sine 3 kammerater med i biografen på fredag d. 18 marts. De skal se den nye film med Matt Damon kl. 19.30, Den bliver vist i sal nr. 3, hvor der er plads til 120 gæster, så de regner ikke med, at det er nødvendigt at bestille billetter i forvejen. De skal nemlig være afhentet 30 min før, og så passer det dårligt med deres bus nr.7, som først er der 10 min., før filmen starter. Billetterne koster 65, - kr. pr. person. De skal have ½ liter sodavand og den største popcorn til filmen. Det koster 25,- kr. for sodavand og 20,- kr. for popcorn. Hvad kommer det til at koste for Jonas i alt? Yderligere arbejde med formen: Eleven formulerer selv en historie og laver opgaver. Hvis der gennem arbejdet med opgaver af ovenstående type, har været fokus på struktur i opgaverne, kan eleverne lave opgaver, som falder inden for de forskellige typer. Altså opgaver som indeholder mange og irrelevante data, og opgaver som går fra meget lukkede til meget åbne. 20
Litteratur: Brudholm, M. (2002): Læseforståelse hvorfor og hvordan, København: Alinea Niss, M. og T. Højgaard Jensen (2002): Kompetencer og matematiklæring, Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18, Undervisningsministeriet Simoni Hedegaard, S., Zacher Nielsen, H., Rostgaard, P. (2010): Idékatalog - Faglig læsning i matematik matematik i læreruddannelsen, Forlaget Navimat Kristiansen, H. (2010): Faglig læsning i matematik. I: Faglig læsning for matematiklæreren. København: Gyldendal, side 194 207. Pedersen, T. og M. Ellehuus (2005): Sproget kan man regne med Om indtænkning af den andetsproglige dimension i folkeskolens matematikundervisning. Specialerapport, Afdeling for Lingvistik, Institut for Antropologi, Arkæologi og Lingvistik. Århus: Århus Universitet. 21