Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015

Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes hierarki udenad og vær sikker på, at du forstår den. 3. Grundlæggende regneregler Slå de grundlæggende regneregler op og skim dem igennem. 4. Reducering Reducér følgende udtryk, idet du husker din lærdom om hhv. plus- og minusparenteser. (a) 3x (4x + 2) (b) 2 + (6x + 3) 5. Faktorer Opløs i faktorer (a) 3a + 60b (b) 27ax 2 9a 2 x (c) a 2 bc ab 2 c 3 (d) 11a 22b + 55 6. Kvadratet på en toleddet størrelse Udregn ved brug af formlerne for kvadratet på en toleddet størrelse: (a) (s + t) 2 (b) (3x + 2y) 2 (c) (4a 3b) 2 (d) (5u + 3v)(5u 3v) 1

KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL MATEMATIKKEN 2 7. Brøkregneregler Slå brøkregnereglerne op og udregn (a) 3 4 + 2 3 (b) 5 x 2 y (c) 3x+1 4 y x 7 (d) 2+a 3 : b 4 b (e) 2 + 3 x (f) 3 4 y (g) a b : 7 (h) a + a b 8. Rødder Slå regnereglerne for rødder op og udregn derefter i hovedet (a) 9 (b) 25 + 49 (c)» 100 16 (d) 0, 64 (e) (f) 3 8 3 125 (g) (h) 5 32 3 27 9. Potensregneregler (a) Bevis regnereglen a m a n = a m+n, for m, n N (b) Bevis regnereglen am a n = a m sn for m > n og m, n N. (c) Bevis regnereglen (a m ) n = a mn for m, n N (d) Udvid potensbegrebet, så der kan stå 0 i eksponenten. (e) Udvid potensbegrebet, så der kan stå negative tal i eksponenten. (f) Udvid potensbegrebet, så der kan stå brøker i eksponenten. (g) Fremfør for en kammerat, som du ikke plejer at arbejde sammen med. 10. Ligninger Forklar, hvad en ligning er og gør rede for begreberne grundmængde og løsningsmængde. 11. Løsning af ligninger Gør rede for reglerne for løsning af en ligning og løs ligningerne herunder idet du grundigt gennemgår alle fire trin (a) 3x 4 = 7 (b) 2x 5 = 4x + 3 12. Andengradsligninger (a) Bevis løsningsformlen for en andengradsligning og giv et eksempel på anvendelse heraf. Gør desuden rede for betydningen af koefficienterne a, b og c. (b) Løs generelt ligningerne ax 2 + c = 0 og ax 2 + bx = 0. (c) Gør rede for Viéts sætning og anvend den til at løse ligningen x 2 x 6 = 0 (d) Løs ligningen x 6 x 3 12 = 0

KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL MATEMATIKKEN 3 13. To ligninger med to ubekendte Løs ligningssystemet 3x 2y = 7 og 6x + y = 11 14. Maple og skriftlig eksamen Ligninger opstår i alle mulige slags eksamensopgaver. Det skal være problemfrit for jer at løse dem til skriftlig eksamen. Bemærk syntax i Maple: (a) Løsning af en ligning med én ubekendt (som ikke indeholder trigonometriske funktioner): solve(f(x) = g(x)) (b) Flere ligninger med flere ubekendte løses: solve({ligning 1, ligning 2}, {variabel 1, variabel 2}). Løs ligningerne fra øvelsen ovenfor i Maple.

Kapitel 2 Geometri 1. Vinkelsummen i en trekant Bevis, at vinkelsummen i en trekant er 180. 2. Nabovinkler Bevis, at en nabovinkel til en vinkel i en trekant er summen af trekantens to andre vinkler. 3. Navngivning af sider i en trekant Forklar, hvordan man navngiver en trekants sider i forhold til en vinkel. 4. Navngivning af vinkler i en trekant Forklar, hvordan man navngiver en trekants vinkler i forhold til en side. 5. Kongruenssætningerne Lær kongruenssætningerne udenad. Forklar, sammenhængen mellem kongruenssætningerne og trekantsberegning i trigonometri - det er en rigtig god idé, at fremhæve dette til eksamen. 6. Størrelser i en trekant Tegn en stor trekant og indtegn hhv. højde, median, midtnormal og vinkelhalveringslinje for en af dens vinkler. 7. Ensvinklethed og ligedannethed. (a) Definér ensvinklethed. (b) Definér ligedannethed. (c) Bevis, at ensvinklede trekanter er ligedannede. (d) Bevis, at ligedannede trekanter er ensvinklede. 4

KAPITEL 2. GEOMETRI 5 8. Pythagoras sætning. (a) Vis Pythagoras sætning, som Bhaskara gjorde det. (b) Vis Pythagoras sætning ved at regne på samme figur som Bhaskara tegnede. (c) Vis Pythagoras sætning, højde- og katetesætningerne vha. ensvinklede trekanter. (d) Hvad siger Den omvendte Pythagoras sætning? Frivilligt: Kan du bevise den? (e) Hvor mange hele tal passer ind i Pythagoras sætning? Kan du bevise det? 9. Eksempel. Maple og skriftlig eksamen Til skriftlig eksamen begrænser geometrien sig stort set til løsning af ligninger, som opstilles ud fra ligedannet hed eller Pythagoras læresætning. (a) Pythagoras sætning. I ABC skal den manglende side findes, når a = 7, c = 11 og C = 90. Siden b findes nu ved at indsætte i Phytagoras sætning og derpå løse ligningen. solve(7. 2 + b 2 = 11. 2 ) 8, 485. Vi får altså b = 8, 485. (b) Ensvinklede trekanter Om de ensvinklede trekanter ABC og A 1 B 1 C 2 gælder a 1 = 7, b 1 = 11 og a 2 = 13. Vi finder b ved at huske, at ensvinklede trekanter er ligedannede. Dermed er forholdet mellem de tilvarende sider konstant og vi kan finde b ved at løse den fremkomne ligning: solve Ä 13. = b ä 2 7. 11 20, 4286. Vi får altså b2 = 20, 4286

Kapitel 3 Analytisk Geometri 1. Afstandsformlen Lær afstandsformlen udenad og giv et eksempel på anvendelse heraf. 2. Midtpunkt Bevis formlen for midtpunkt og giv et eksempel på anvendelse heraf. 3. Cirklen (a) Cirklens ligning Bevis cirklens ligning. (b) Bestemmelse af centrum og radius Bestem centrum og radius for cirklen x 2 4x + y 2 + 12y + 36 = 9 (c) Bestemmelse af ligningen for en cirkel gennem tre punkter. Opstil de tre ligninger, der skal til for at finde ligningen for cirklen gennem punkterne A(4, 2), B(6, 1) og C(1, 2) (d) Bestemmelse af cirklens skæringspunkt med akserne. Opstil ligningen, som skal løses, hvis du vil finde skæringspunkter mellem cirklen x 2 4x + y 2 + 12y + 36 = 9 og x-aksen. Opstil endvidere ligningen der skal til for at finde skæringspunkter mellem cirklen (x 5) 2 + (y 3) 2 = 7 2 og y-aksen. (e) Bestemmelse af ligningen for tangenten til en cirkel. Lad en cirkel have ligningen (x 3) 2 + (y + 7) 2 = 169. Vis, at P (6, 5) er et punkt på cirklen og find tangenten til cirklen i P. 4. Den rette linje (a) Bestemmelse af ligningen for en skrå ret linje. Bevis formlen y = ax + b for en skrå ret linje både ud fra ensvinklede trekanter og ud fra foldning. 6

KAPITEL 3. ANALYTISK GEOMETRI 7 (b) Betydningen af konstanterne a og b. Forklar konstanterne a og b s betydninger. (c) Formlen for stigningstallet. Bevis formlen for stigningstallet. (d) Etpunktsformlen. Bevis etpunktsformlen og anvend den til at bestemme den rette linje gennem P (4, 7) med stigningstal a = 3 2. (e) Den generelle ligning for en ret linje. Vis den generelle ligning for en ret linje og find en ligning for linjen gennem A(2, 5) og B(4, 7) på generel form. (f) Ortogonale linjer. Bevis, at to linjer er ortogonale, når produktet af deres stigningstal er 1 (g) Afstand fra punkt til linje, hvis y = ax + b. Vis formlen for afstand mellem l : y = ax+b og P (x 1, y 1 ) og find afstanden mellem l : y = 2x 4 og P (7, 6). (h) Afstand fra punkt til linje, hvis ax + by + c = 0. Vis formlen for afstand mellem l : ax + by + c = 0 og P (x 1, y 1 ) og find afstanden mellem l : 4x + 2y 5 = 0 og P (1, 3). 5. Parablen (a) Definitionen af en parabel Gør rede for, hvordan vi har indført parablen. (b) Ligningen for en parabel. Gør rede for at ligningen for en parabel er y = ax 2 + bx + c (c) Bestemmelse af toppunktet for en parabel. Bevis formlen for toppunktet for en parabel og bestem på to forskellige måde toppunktet for parablen y = ax 2 + bx + c (d) En parabels skæringspunkter med akserne. Gør rede for bestemmelse af en parabels skæringspunkt mht. til hhv. x- og y-aksen. 6. Punktledelinje egenskaben for parabel, ellipse og hyperbel. Gør rede for punktledelinjeegenskaben for hhv. parablen, ellipsen og hyperblen. 7. Ligningen for parabel, ellipse og hyperbel. Hvad er ligningen for hhv. en parabel en ellipse og en hyperbel? 8. Bestemmelse af skæringspunkter. Skim eksemplerne på bestemmelse af skæringspunkt igennem med henblik på at se, hvordan man opstiller de relevante ligninger.

KAPITEL 3. ANALYTISK GEOMETRI 8 9. Maple og skriftlig eksamen (a) Bestemmelse af centrum og radius Lav et eksempel til bestemmelse af centrum og radius for en cirkel. Brug kommandoen kvadrat. (b) Ligning for cirklen gennem tre punkter Lav et eksempel til bestemmelse af ligningen for en cirkel gennem tre punkter. (c) Cirklens skæringspunkter med akserne Lav et eksempel til bestemmelse af en cirkels skæringspunkt med akserne. (d) Cirkeltangentens ligning Lav et eksempel til ligningen for en tangent til en cirkel (e) Den rette linje gennem to punkter Lav et eksempel til bestemmelse af den rette linje gennem to punkter. (f) Etpunktsformlen Lav et eksempel til bestemmelse af ligningen for en ret linje vha. etpunktsformlen. (g) Ligningen for en linje ortogonal på en anden Lav et eksempel til bestemmelse af ligningen for en linje, som er ortogonal med en anden. (h) Toppunktet for en parabel Lav et eksempel til bestemmelse af toppunktet for en parabel. (i) Skæringspunkter Lav et eksempel til bestemmelse af skæringspunktet mellem i. to linjer ii. en linje og en cirkel iii. en linje og en parabel iv. en linje og en ellipse v. en linje og en hyperbel vi. to cirkler vii. en cirkel og en parabel viii. en cirkel og en ellipse ix. en cirkel og en hyperbel x. to parabler xi. en parabel og en ellipse xii. en parabel og en hyperbel. xiii. to ellipse xiv. en ellipse og en hyperbel xv. to hyperbler

Kapitel 4 Trigonometri 1. Radian Indfør vinkelmålet radian. 2. De trigonometriske funktioner Definer funktionerne sin(t), cos(t) og tan(t). 3. Trigonometriske grundligninger (a) Løs ligningerne sin(t) = 0, 7, cos(t) = 0, 3 og tan(t) = 1, 2 generelt og i intervallet [0; 5π[ (b) Løs ligningerne sin(v) = 0, 4, cos(v) = 0, 6 og tan(v) = 0.6 generelt og i intervallet [0; 720 [ 4. Den retvinklede trekant (a) Indfør sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant. (b) Beregn alle sider og vinkler i ABC, når B = 90 og i. A = 25 og a = 5 ii. a = 4 og b = 13 iii. a = 2 og c = 6 9

KAPITEL 4. TRIGONOMETRI 10 5. Den vilkårlige trekant (a) Bevis sinusrelationerne. (b) Bevis cosinusrelationerne. (c) Fem trekantstilfælde i. I ABC er A = 4, B = 6 og C = 5, 7. Tegn en skitse og beregn vinklerne. ii. I ABC er a = 16, b = 20 og C = 30. Tegn en skitse og beregn c, A og B. iii. I ABC er A = 30, a = 3, 5 og b = 5. Tegn en skitse og beregn B, C og c. iv. I ABC er A = 50, B = 60 og c = 15. Tegn en skitse og beregn C, a og c. v. I ABC er A = 35, B = 70 og b = 10. Tegn en skitse og beregn C, a og c.

Kapitel 5 Funktioner 1. Funktioner Defininér en funktion og forklar begreberne ens funktioner, injektiv, graf, definitionsmængde, værdimængde, surjektiv, bijektiv. 2. Omvendt funktion. Bestem den omvendte funktion til funktionen f(x) = 3x 4 3. Sammensat funktion. Lad f(x) = 2x 4 og g(x) = 3x 2 5x 1. Find f g og g f. 4. Monotoniforhold Undersøg betydningen af ordet monotoniforhold. 5. En funktions begrænsning Undersøg betydningen af hhv. opadtil og nedadtil begrænset. Hvad betyder begrænset? 6. Største- og mindsteværdi. Undersøg betydningen af hhv. størsteværdi og mindsteværdi. 7. Lineære funktioner (a) Egenskaber Lær lineære funktioners egenskaber udenad. (b) Regneforskrift ud fra to punkter. Find ligningen for den rette linje gennem punkterne A(4, 3) og B(2, 7) uden brug af lommeregner. 11

KAPITEL 5. FUNKTIONER 12 (c) Regneforskrift ud fra mange punkter I forbindelse med optagelse på et College i USA blev der afholdt en test 1. Herunder er testresultaterne angivet som funktion af antal år efter 1963. Tidspunkt t/år 0 4 7 11 14 Resultat R 502 492 488 480 470 i. Tegn en perfekt graf, som viser testresultatet som funktion af tiden. Husk Titel (med ord), aksetitler (med symboler og evt. enhed) og regneforskriften (angivet med de korrekte symboler t og R). ii. Redegør for, at testresultatet med god tilnærmelse afhænger linjeært af tidspunktet. iii. Angiv regneforskriften på formen R = a t + b 8. Rentesregning (a) Fremskrivningsfaktor Find fremskrivningsfaktoren, når en værdi aftager fra 7 til 3. (b) Fremskrivningsformlen. Bevis fremskrivningsformlen og isoler hhv. K 0, K, n og r. 9. Logaritmer (a) Definition Defininér log a (b), log(b) og ln(b). (b) Logaritmeregneregler Bevis logaritmeregnereglerne (c) Ligninger Løs ligningerne i. log(x) = 3. ii. log(x + 2) = 2 iii. 10 x = 0, 001 iv. 5 x = 200 v. 2 7 x = 30. (d) Logaritmisk skala Indfør den logaritmiske skala. (e) Enkelt og dobbeltlogaritmisk papir Indfør hhv. enkelt logaritmisk og dobbelt logaritmisk papir 1 Opgaven er taget fra vejledende eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010. Opgave 9.044.

KAPITEL 5. FUNKTIONER 13 10. Eksponentiel udvikling (a) Egenskaber Lær egenskaberne for en eksponentiel udvikling udenad. (b) Graf Præsentér Tegn de forskellige mulige grafer for en eksponentiel udvikling og gør rede for, at grafen for en eksponentiel udvikling er en ret linje på enkelt logaritmisk papir. (c) Bestemmelse af a-værdien Vis formlen for a-værdien i en eksponentiel udvikling. (d) Bestemmelse af b-værdien Vis formlen for b-værdien i en eksponentiel udvikling. (e) Regneforskrift ud fra to punkter Bestem ligningen for en eksponentiel udvikling gennem A(2, 12) og B(4, 48) (f) Regneforskrift ud fra mange punkter Tabellen herunder 2 viser antallet af børn der blev behandlet for ADHD som funktion af antal år efter 1997. t/år 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 511 697 954 1305 1525 1921 2490 3284 4452 5804 i. Tegn en perfekt graf, som viser antallet af behandlede børn som funktion af tiden. Husk Titel (med ord), aksetitler (med symboler og evt. enhed) og regneforskriften (angivet med de korrekte symboler t og A). ii. Redegør for, at antallet af behandlede børn med god tilnærmelse afhænger eksponentielt af tidspunktet. iii. Angiv regneforskriften på formen A = b a t (g) Bestemmelse af y, når x er kendt Lad y = 4 2 x. Beregn y, når x = 2. (h) Bestemmelse af x, når y er kendt Lad y = 2 10 x. Beregn x, når y = 2000. (i) Procentvis stigning Vis formlen f(x + h) = a h f(x) og brug dette til at beregne den procentvise stigning i børn behandlet for ADHD i løbet af 6 år i eksemplet ovenfor (se 5). 2 Opgaven er taget fra vejledende eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010. Opgave 9.077.

KAPITEL 5. FUNKTIONER 14 (j) Fordoblingskonstant Vis formlen for fordoblingskonstant og beregn fordoblingskonstanten i tilfældet f(x) = 3 1, 7 x. (k) Mundtlig eksamen Foretag en mundtlig eksamen i eksponentielle udviklinger sammen med en kammerat, idet din kammerat er eksaminator og bestemmer hvilke(n) af taleksemplerne, du skal regne. 11. Potensudviklinger (a) Egenskaber Lær potensudviklingers egenskaber udenad (b) Graf på almindeligt og dobbelt logaritmisk papir Tegn de forskellige grafer for potensudviklinger og gør rede for, at grafen for en potensudvikling er en ret linje på dobbeltlogaritmisk papir. (c) Bestemmelse af regneforskrift ud fra to punkter i. Vis formlerne for bestemmelse af hhv. a- og b-værdi for en potensudvikling. ii. Find forskriften for potensudviklingen, hvis graf indeholder punkterne A(4, 2 og B(5, 13) (d) Bestemmelse af regneforskrift ud fra de procentvise tilvækster i. Vis formlen f(qx) = q a f(x) ii. Bestem regneforskriften for den potensudvikling, som opfylder f(7) = 18 og at f vokser med 15%, når x vokser med 22%. (e) Bestemmelse af forskriften ud fra mange punkter Tabellen viser sammenhængen mellem tovværks diameter D målt i mm og dets brudstyrke B målt i kg. D/mm 5 8 14 20 26 B/kg 400 1000 3200 6000 10000 i. Tegn en perfekt graf, som viser Brudstyrken som funktion af diameteren. Husk titel (med ord) aksetitler (med symboler og evt. enhed) og regneforskriften (angivet med de korrekte symboler B og D) ii. Redegør for, at der er tale om en potensudvikling. iii. Angiv regneforskriften på formen B = b D a (f) Bestemmelse af B, når D er kendt Beregn brudstyrken, når diameteren er 17. (g) Bestemmelse af D, når B er kendt Beregn diameteren, når brudstyrken er 5000.

KAPITEL 5. FUNKTIONER 15 (h) Procentvis stigning Bestem den procentvise stigning for brudstyrken, hvis diameteren stiger med 25%. (i) Mundtlig eksamen Foretag en mundtlig eksamen i potensudviklinger sammen med en kammerat, idet din kammerat er eksaminator og bestemmer hvilke(n) af taleksemplerne, du skal regne. 12. Trigonometriske funktioner og svingninger (a) Cosinus, sinus og tangens Præsentér funktionerne cosinus, sinus og tangens, idet du bruger så mange ord fra funktionsterminologien som muligt. (b) Løsning af trigonometriske grundligninger Løs ligningerne i. sin(t) = 0, 6, hvor t [0; 2π[ ii. cos(t) = 0.3, hvor t [ π; 3π[ iii. tan(t) = 1.3, hvor t [π; 4π[ (c) Definition af en svingning Forklar betydningen af alle konstanterne i definitionen for en svingning (d) Beregninger med svingninger En svingning har ligningen y = 4 sin(3x + 0, 2) + 2. i. Bestem i hånden og på Maple de første to tidspunkter, hvor y-værdien er 2,2. ii. Angiv konstanterne A, ω, T, B og f for svingningen.