VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

Transkript

1 VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner omkring cosinus, sinus og tangens i forhold til retvinklede trekanter. Derefter kan man se et bevis af cosinusrelationerne i forbindelse med vilkårlige trekanter. Man kan ligeledes også se hvordan man udregner en retvinklet trekant. Der er tale om jordens afstand til solen. Efterfølgende vil man også kunne se hvordan en enhedscirkel fungerer og man kan også se en række eksempler på, hvordan man gør brug af hhv. cosinusog sinusrelationerne, men også hvordan man kan beregne længderne ved hjælp af formlerne. Derved kan man se hvordan sinussvingninger fungerer. Endelig kan man se en række grafer og funktioner i trigonometrien.

2 2. Definition af sinus, cosinus og tangens Definition af cosinus og sinus For at give en definition af sinus og cosinus, så gøres der brug af enhedscirklen. Sinus er givet ud fra y-aksen og cosinus er givet ud fra x-aksen, de vil altid være mellem -1 og 1, da sinus og cosinus er defineret ud fra enhedscirklen med radius = 1. Vi indsætter en vinkel ind i sinus og cosinus, den kaldes for v. Vinkel v indtegnes i samme koordinatsystem som en enhedscirkel hvor den placeres med toppunktet i Origo og har sit højre vinkelben langs x-aksen. Det venstre vinkelben vil skære enhedscirklen i et punkt som vi vælger at kalde p v, det kaldes retningspunktet. Koordinatsættet til punktet p v vil være henholdsvis cos(v) og sin(v). I den ovenstående beskrivelse af hvor sinus og cosinus befinder sig på akserne i et 2- dimensionalt koordinatsystem, fik vi af vide at sinus er givet ud fra y-aksen og cosinus er givet ud fra x-aksen, således at x-koordinaten er cos (v) og y- koordinaten er sin (v). Visualisering af sin(v) og cos(v) ved hjælp af enhedscirkel:

3 Definition af tangens Tangens er ligesom sinus og cosinus en trigonometrisk funktion. Det er en funktion hvor man kommer en vinkel ind. I modsætning til sinus og cosinus hvor man kun kan få et tal ud mellem -1 og 1, så kan man få alle de reelle tal ud med tangens, dog skal man bemærke at tangens er defineret som en brøk og i en brøk må nævneren aldrig være lig med 0. Tangens er defineret som: tan(v) = sin (v) cos (v) Ligesom at som sinus og cosinus kunne visualiseres ved hjælp af enhedscirklen, så kan tangens aflæses på samme måde. Man starter med at indtegne en linje x=1, som er en lodret linje, der tangerer enhedscirklen i punktet (1, 0). Så ser man på, hvor venstre vinkelben skærer på denne lodrette linje. Skæringspunktets y- koordinat er tangens til vinklen. Visualisering af tan(v) ved hjælp af enhedscirkel:

4 3. Bevis af cosinusrelationerne cos A = b2 + c 2 a 2 2bc cos B = c2 + a 2 b 2 2ac cos A = a2 + b 2 c 2 2ab Ved omskrivning kan sidelængderne findes ved følgende formler: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) Til at lave et bevis af cosinusrelationerne skal der bruges Pythagoras læresætning: c 2 = a 2 + b 2 Samt cosinus til en vinkel for en retvinklet trekant: cos V = hosliggende katete hypotenusen For at lave beviset bruger man en vilkårlig trekant, som opdeles i to trekanter, så vi har de rette vinkler at arbejde med. Linjen fra A til siden a danner højden (h) Og så kan der laves et bevis af sætningen: b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) Bevis: Ved brug af Pythagoras læresætning får man af den gr/hvide trekant (a x) 2 + h 2 = b 2 b 2 (a x) 2 Og tilsvarende får man af den anden trekant: h 2 + x 2 = c 2 h 2 = c 2 x 2 Da h 2 er isoleret i begge ovenstående ligninger, kan de derfor sættes lig med hinanden: b 2 (a x) 2 = c 2 x 2 Det næste man gør er at isolere b 2 og man får således: b 2 = c 2 x 2 + (a x) 2

5 Parenteserne i ligningen udregnes og man får følgende: b 2 = c 2 x 2 + a 2 2ax + x 2 Dette bliver reduceret til: b 2 = c 2 + a 2 2ax B i den hvide/grå retvinklede trekant kan udregnes af: cos B = x c Ved at isolere x denne ligning får man: x = cos(b) c Da x = cos(b) c kan man i ligningen b 2 = c 2 + a 2 2ax erstatte x med cos(b) c Dvs. at b 2 = c 2 + a 2 2ax b 2 = c 2 + a 2 2a c cos (B) Nu er beviset færdigt og de andre varianter af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde. For at føre et bevis af cosinusrelationer der bestemmer cosinus til en vinkel i en vilkårlig trekant, tages der udgangspunkt i formlen cos (B) = c2 +a 2 b 2. Formlen kan bevises ved hjælp følgende formel: b 2 = c 2 + a 2 2a c cos (B) Bevis: Fremgangsmetoden er at isolere cosinus til vinkel B. Det første trin er at addere 2ac cos (B) til begge sider af lighedstegnet, da man vil isolere cos (B): b 2 = c 2 + a 2 2ac cos (B) b 2 + 2ac cos (B) = c 2 + a 2 2ac cos (B) + 2ac cos (B) Da man har adderet med 2ac cos (B) på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: b 2 + 2ac cos (B) = c 2 + a 2 Næste trin er at subtraktere med b 2 på begge sider af lighedstegnet: b 2 b 2 + 2ac cos (B) = c 2 + a 2 b 2 Da man har subtrakteret med b 2 på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: 2ac cos (B) = c 2 + a 2 b 2 I det sidste trin for at isolere cos(b), skal man dividere med 2ac på begge sider af lighedstegnet: 2ac

6 2ac cos (B) 2ac = c2 + a 2 b 2 2ac Da man har divideret med 2ac på begge sider af lighedstegnet, ser formlen således ud: cos (B) = c2 + a 2 b 2 2ac Dvs. at cosinus til vinkel B i en vilkårlig trekant, kan findes ved formlen: cos (B) = c2 +a 2 b 2 2ac Nu er beviset færdigt og de andre varianter af cosinusrelationen der bestemmer en vinkel i en vilkårlig trekant, bevises på tilsvarende måde. 4. Afstanden fra jorden til solen Da man kender alle vinklerne og længden a, som er den tid, det tager jorden at dreje en kvart omgang om solen. Det antages at afstanden er km. Længden AC kan derfor beregnes ved hjælp af denne formel: b = a SinB AC = BC SinB Derved sætter vi vores oplysninger ind, og da man ved at det er en retvinklet trekant, så kender man alle vinkler, og derfor kan finde alle siderne med den kendte længde. AC = Sin(45) = ,6 Det er afstanden AC, når jorden er på sit første punkt. (Jorden 1 ) Man kan derved også sige at længden AB må være det samme, men man kan udregne den også, ved hjælp af denne formel: c = a CosB AB = BC CosB Her sætter man sine oplysninger ind i formlen og regner på det. AB = Cos(45) = ,6 Afstanden er derfor den samme, bare et kvart år efter. (Jorden 2 ).

7 5. Omløbsretningen i enhedscirklen I den her opgave skal man finde koordinaterne efter forskellige tidspunkter. Her er der tale om 2, 3, 10 og 20 sekunder. Man antager derfor at cirklen er 360 o og omløbstiden er på 5 sekunder. Derfor tager man 360 og får resultatet til 72. Efterfølgende tager man sit resultat 72 og 5 ganger med det første, nemlig 2 sekunder. Dvs = 144. Da man gerne vil vide hvilket punkt det ligger på i enhedscirklen, tager man og sætter 144 ind i hhv. cosinus og sinus. Resultatet vil være følgende: Cos(144) = 0,809 Sin(144) = 0,587 Her kan man se, at punktet er givet på den negative side af x-aksen. Som gjort før, skal man blot tage sine 3 sekunder og regne. Altså = 216 Her tager man og sætter dem ind i cosinus og sinus og regner. Man får punkterne Cos(216) = 0,809 Sin(216) = 0,587 Her kan man se, at punkterne er på de negative sider i koordinatsystemet. Som gjort før, skal man blot tage sine 10 sekunder og regne. Altså = 720 Her tager man og sætter dem ind i cosinus og sinus og regner. Man får punkterne Cos(720) = 1 Sin(720) = 0 Her kan man se, at den ligger på x-aksen og punktet P. Som gjort før, skal man blot tage sine 20 sekunder og regne. Altså = 1440 Her tager man og sætter dem ind i cosinus og sinus og regner. Man får punkterne Cos(1440) = 1 Sin(1440) = 0 Her kan man se, at den giver de samme punkter som før.

8 6. Trigonometri a. Man kan finde vinklerne ved hjælp af cosinusrelationerne. Her er kravet om at kende alle længderne. Eksempel: a = 4 b = 5 c = 6 Nu kan man beregne vinklerne. A = Cos 1 ( b2 + c 2 a 2 ) = Cos 1 ( ) = 41,4 o 2bc B = Cos 1 ( a2 + c 2 b 2 ) = Cos 1 ( ) = 55,77 o 2ac Nu kan man finde den sidste vinkel på to metoder. Man kan vælge cosinusrelationerne eller vinkelsummen. C = 180 A C = ,4 55,77 = 82,83 Trekanten vil se sådan ud. De blå tal er resultater. Endelig er opgaven løst.

9 b. Man kan finde vinklerne og længden ved hjælp af cosinusrelationerne. Her er kravet om at man kender en vinkel og 2 længder. Eksempel: a = 8 b = 10 C = 54 o Nu har man oplysninger nok til at beregne resten af trekanten. c 2 = a 2 + b 2 2 a b cosc c = cos (54) = 8,36 Nu kender man alle længder. Endelig kan man finde resten af vinklerne. B = Cos 1 ( a2 + c 2 b 2 ) = Cos 1 ( , ) = 75,32 o 2ac 2 8 8,36 Nu kan man finde vinkel A. A = 180 C B = ,32 = 50,68 Trekanten vil se sådan ud. De blå tal er resultater. Nu er opgaven løst.

10 c. Man kan finde vinklerne og længden ved hjælp af sinusrelationerne. Her er kravet om at man kender en vinkel og to længder eller omvendt. Når man taler om sinusrelationer, så findes der to løsninger, afhængig om trekanten er stump eller spids. Eksempel: a = 20 c = 13 A = 117 o Nu har man oplysninger nok til at beregne resten af trekanten. Derfor laver man en ligning. SinA a = SinC C Sin(117) = SinC SinC 20 = Sin(117) 13 SinC 20 Sin(117) = 20 C = Sin 1 Sin(117) 13 ( ) 20 C = 35,39 o Nu kan man finde vinkel B ved at tage summen af trekanten. B = 180 A C = ,39 = 27,61 o Endelig kan man finde den sidste side ved hjælp af cosinusrelationerne. b 2 = a 2 + c 2 2 a c cosb b = cos (27,61) = 10,4 Nu er opgaven løst.

11 d. Man kan finde vinklen og længderne ved hjælp af sinusrelationerne og vinkelsummen. Her er kravet om at man kender to vinkeler og en længde. Eksempel: a = 24 A = 67 o B = 36 o For at finde den sidste vinkel kan man tage vinkelsummen som er 180 grader. C = 180 A B = = 77 o Resten af trekantens længder kan beregnes ved hjælp af sinusrelationerne. a SinA = b SinB = c SinC 24 Sin(67) = b Sin(36) b Sin(67) = 24 Sin(36) b Sin(67) Sin(67) = 24 Sin(36) Sin(67) b = Sin 1 24 Sin(36) ( ) Sin(67) b = 15,32 24 Sin(67) = c Sin(77) c Sin(67) = 24 Sin(77) c Sin(67) Sin(67) = 24 Sin(77) Sin(67) c = Sin 1 24 Sin(77) ( ) Sin(67) c = 25,40 Nu er opgaven løst.

12 e. I den her opgave kender man alle vinklerne i en trekant. Man kan derfor ikke regne siderne, da man skal have følgende for at kunne udregne dem: To vinkler og en side. En vinkel og to sider. Alle sider. Formlen for sinussvingninger: 7. Sinussvingninger * Sinussvingninger er om de funktioner, der har form som en bølge. Formlen for disse funktioner er f(x) = a sin(bx + c) + k a, b, c og k er alle konstanter, hvor man på forhånd går ud fra, at b er større en 0. Til at begynde med er k = 0. Betydning af a a kaldes svingningens amplitude, og angiver hvor meget bølgen svinger, eller hvor høj bølgen er. Er a for eksempel 1, går bølgen 1 op af y-aksen og på samme måde 1 ned af y-aksen. Betydninger af b b er defineret som 2π. Svingningstiden for f(x) = sin(x) er 2π, hvilket betyder b at fra 0 til 2π udgør 1 svingning. Som oftest regner man x for tid, som vi betegner for T. T = 2π b Betydning af c Grafen for vores formel f(x) = a sin(bx + c) + k, skærer 0 på x-aksen dvs. x = c hvilket bliver kaldet for faseforskydning, og er samtidig også formlen for b at finde c. så det kræver, at man først har fundet b.

13 Betydning af k k angiver parallelforskydning af grafen i lodret retning, dvs. at der tale om den samme funktion, som foregår forskellige steder på y-aksen, altså parallelt. Eksempel: Først aflæser man afstandene mellem bølgerne på x-aksen. 3,5 0,375 = 3,125 også kaldet perioden eller T = 3,125. b = 2π 3,125 Ligningen løses for T vha. CAS-værktøjet WordMat. b = 2, Derefter aflæser vi afstandene på y-aksen. a = Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat. a = 3 Derefter anvender vi vores ligning c b 1 = c 2,01 Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat. c = 2,01 Derefter aflæser vi toppunktet på bølgetoppene og dividere dem.

14 k = = 1 Funktionen ser således ud: f(x) = 3 sin(2,01x + 2,01) + ( 1) *Et andet eksempel findes som bilag. Bilaget tager udgangspunkt i tidevand. 8. Sinussvingninger med grafer I den her opgave skal man tegne en graf over de forskellige funktioner. Funktionerne har hver sin farve, og kan derfor ses på følgende tegning: Endelig kan amplituderne bestemmes, og det er blot sinuskurvens svingninger som går fra origo og til hhv. 1 og 1 på y-aksen. Man skal derfor huske på, at der er konstanter i disse svingningerne. Der er følgende konstanter: a, som angiver højden af bølgerne. a betyder derfor amplitude. b, som angiver længden af en svingning, og derfor kaldes svingningstiden. c, er angivet som faseforskydningen. k, angiver parallelforskydning af grafen i lodret retning Hvis man f.eks. skriver f(x) = 3 sin (2x 1) vil man få en helt anden tegning 2 med anderledes amplituder. Perioden i disse tre funktioner, kan derfor bestemmes ved at regne på følgende: f(x) = sin (x) Da er b=0 og derfor kan man finde ud af hvordan den svinger på x-aksen. Man kan regne på det ved at benytte denne formel: T = 2π b dividere og derfor må den svinge 1 gang per bølge. da b er 0 kan man ikke I de andre funktioner kan man regne perioden og dette gøres - ligesom før - ved hjælp af forskellige formler.

15 g(x) = sin (2x) Her skal man benytte sig af formlen T = 2π og da b er 2, kan man blot indsætte b det i formlen. T = 2π 2 3, Endelig kan man bestemme frekvensen ved hjælp af formlen: F = 1 T = b 2π man vælger selv hvilken del af formlen man vil bruge afhænger af sine værdier. F = 1 3,14 0, Da kan man runde op og få 0,32 som vil være frekvensen som svinger 0,32 gange pr. enhed på x-aksen. h(x) = sin ( 1 3 x) Her skal man benytte sig af formlen T = 2π og da b er 2, kan man blot indsætte b det i formlen. T = 2π ,84956 Endelig kan man bestemme frekvensen ved hjælp af formlen: F = 1 T = b 2π man vælger selv hvilken del af formlen man vil bruge afhænger af sine værdier. F = 1 18,84 0, Da kan man runde op og få 0,053 som vil være frekvensen som svinger 0,053 gange pr. enhed på x-aksen. 9. Afledede funktioner Den afledede af f(x) = sinx er f (x) = cosx Man gør brug af differentialkvotienter for følgende bevis. y h = f(x + h) f(x) h = sin(x + h) sin (x) h Da man kan vise, at der gælder en trigonometrisk sammenhæng for en differens mellem to sinus-værdier, sker følgende: x + y y sinx siny = 2 cos ( ) sin (x 2 2 )

16 Og benytter man denne formel, får man følgende: y h = 2 cos ( 2x + h 2 ) sin ( h 2 ) h cos (x + h 2 ) sin (h 2 ) ( h 2 ) = cos (x + h 2 ) 2 sin (h 2 ) h Her skal man lade h nærme sig 0. Dvs. når cosinus er kontinuert, så gælder følgende For h 0 cos (x + h 2 ) cosx Hermed skal grænseværdien bestemmes. Grænseværdien er sin ( h 2 ) ( h 2 ) Når h nærmer sig 0, så kan man sige, at man skal gøre følgende: 2 sink lim k 0 k = På enhedscirklen kan man se, at hvis k er et tal, som er vinkel i radianer, tæt på 0, så er sink (y-koordinaten til retningspunktet for k) og k (buelængden for radiantallet k) næste lige store, så her har man: sink k 1 for k 0 Dermed får man af foregående udregninger 1 og 2, at y h cosx 1 = cosx for h 0

17 Da grænseværdien for differentialkvotienten f(x) = sinx er sætningen endelig bevist. Den afledede af funktionen h(x) = cosx er h (x) = sinx Dette bevis bliver udført ved hjælp af enhedscirklen. cosx = sin ( π x) og sinx = cos 2 (π x) 2 I dette tilfælde kan man differentiere sammensatte funktioner. x π 2 x sin (π 2 x) y siny Den indre og ydre funktions afledede er henholdsvis -1 og cosy. Så man får: h (x) = 1 cosy = cosy = cos ( π x) = sinx 2 Endelig er sætningen bevist. Den afledede af funktionen h(x) = tanx er h (x) = 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x For at bevise denne sætning, skal man benytte sig af brøkreglen for differentiation på funktionen.

18 h(x) = tanx = sinx cosx Samme med de aflede for sinx og cosx, fås følgende: h (x) = (sinx) cosx (cosx) sinx cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = cosx cosx ( sinx) sinx cos 2 x Herved kan man benytte sig af grundrelationen for sinus og cosinus: sin 2 x + cos 2 x = 1 og her fås så h (x) = 1 Brøken kan også deles sådan op: h (x) = cos2 x + sin 2 x cos 2 x Hermed er sætningen bevist. cos 2 x = cos2 x cos 2 x + sin2 x cos 2 x = 1 + tan2 x 10. Litteraturliste Carstensen, Jens; Frandsen, Jesper; Studsgaard, Jens - MAT B HF - Systime - 1. udgave 2. oplag 2007 Carstensen, Jens; Frandsen, Jesper; Studsgaard, Jens - MAT B til A STX - Systime - 2. udgave 2. oplag 2010

19 11. Bilag 1 - Havvandsstigning I en bestemt havn er vandstanden ved lavvande 2m og ved højvande 26m. Højvande indtræffer kl. 6 og kl. 18. Vandstanden kan beskrives ved en sinuskurve. Man kan i den her opgave finde sinuskurven ved at finde alle konstanterne a, b, c og d. Forskriften ser sådan ud: f(x) = a sin(bx + c) + d Da a er amplituden, dvs. svingningerne fra top til bund, kan man beregne den ved at sige 26 2 = 24 så amplituden må være 12. d er altså 14, da der skal være 12 på den ene side altså fra 2 og den anden side, altså op til 26. Derfor ser forskriften sådan ud: f(x) = 12 sin(bx + c) + 14 Perioden med vandet kalder man for b, så b kan beregnes på følgende måde: T = 2π b Da man allerede får angivet nogle tider, kan man finde ud af hvad T er. I opgaven står der fra kl. 6 til 18. Derfor må tiden være 12 timer. Derfor har man en ligning: Derfor ser funktionen sådan ud: 12 = 2π b b = 2π 12 f(x) = 12 sin ( 2π x + c)

20 Nu kender man b og derfor mangler man kun at finde c. Når man ser på grafen og bare siger, at c=0 så vil sinuskurven starte fra nr. 14, og toppunktet vil derfor ramme kl. 3 om natten. Men da den først skal starte fra kl. 6 om morgenen så skal man beregne forskydningen og derfor kan man sige 3+3 = 6 hvilket er om morgenen. Så derfor sætter man 3 ind på T s plads. 3 = c b 3b = c 3 2π 12 = c c = 6π 12 Derfor er alle konstanterne fundet og funktionen er derfor angivet. Man kan indsætte den i GeoGebra og få en graf over svingningerne. f(x) = 12 sin ( 2π 6π x ) + 14