5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

Transkript

1 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer og deres egenskaber fortaber sig i forhistorien. Vi finder geometriske og stiliserede figurer anvendt som dekoration på redskaber langt tilbage i stenalderen. Allerede her må man have opdaget de første geometriske egenskaber ved figurer - for eksempel symmetri. Med de første kulturers handel og vareudveksling fik man behov for at kunne måle og veje. Man har haft brug for at kunne bestemme arealer og rumfang. Desuden kan man ikke forestille sig, at de store byggerier i Ægypten og Mesopotamien i oldtiden kunne planlægges og gennemføres uden en stor og grundig geometrisk viden. Keops- og Kefrenspyramiden ved Cairo i Ægypten. Stiliserede mennesker dekoreret med geometrisk mønster fra jægerstenalderen. (Nationalmuseet) e-math.dk/c Vi kender en del til oldtidens geometriske viden gennem nogle få papyrusskrifter fra Ægypten fra Kapitel 5: Trigonometri Side 5.1

2 omkring 2000 fvt. og en hel del lertavler med kileskrift fra Mesopotamien fra omtrent den samme tid. Her er en række konkret gennemregnede problemer. Man må forestille sig, at hvis man skulle løse et geometrisk problem, har man fundet en eksempel der ligner, og så brugt samme metode. Nogle af de anvendte metoder giver det helt rigtige resultat, hvorimod andre metoder kun i visse specialtilfælde giver et rigtigt resultat. Beviser for, at metoderne er rigtige, finder vi ikke. De ses først i det antikke Grækenland (ca. 500 fvt. og fremefter). 5.1 Trekanter Når vi skal beskæftige os med geometriske figurer er trekanten den simpleste figur. Samtidig er det også en meget grundlæggende figur, fordi andre mere komplicerede figurer ofte kan opdeles i trekanter. Ordet trigonometri betyder også simpelt hen trekantmåling (trigon = trekant og metri = måling). bogstaver for eksempel a, b og c. En vinkelspids og den modstående side i en trekant betegnes altid med samme bogstav. trekant. Navngivning af sider og vinkler i en Afstanden mellem to punkter A og B betegnes AB, og dette vil vi undertiden også benytte for længden af en side i en trekant, altså AB = c. Hvis vi ser på en trekant, plejer vi at betegne vinklerne med store bogstaver fx A, B og C. Tilsvarende betegnes sidelængderne med små e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.2

3 Hvis vi måler alle tre vinkler i en trekant og lægger vinklerne sammen, får vi som bekendt 180. Dersom alle vinkler i en trekant er under 90, kaldes trekanten spidsvinklet. Hvis en af vinklerne er over 90 kaldes trekanten stumpvinklet. Og endelig kaldes en trekant, hvor en af vinklerne er 90, for en retvinklet trekant. 5.2 Ligedannede figurer Tegningerne herunder forestiller samme figur. De er blot gengivet i forskellige størrelser. Vinkler, der ligger samme sted i de tre figurer, har samme størrelse, og sidelængderne er forstørret eller formindsket med samme tal. I figur b) er alle længderne det dobbelte af de tilsvarende længder i a), og i figur c) er alle længderne 1 3 af de tilsvarende i figur b). Vi siger, at figur b) er en forstørrelse af figur a) med en skalafaktor på 2. Tilsvarende siger vi, at figur c) er en formindskelse af figur b) med en skalafaktor på 1 3. Når vinklerne i de to figurer er de samme, og alle sider i den ene figur er forstørret eller formindsket med samme faktor i forhold til de tilsvarende sider i den anden figur, vil de to figurer se ens ud. Vi siger at de to figurer er ligedannede. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.3

4 Eksempel (5.2.1) Landkort Når man tegner landkort, laver man en tegning, der er ligedannet med det landområde, som kortet skal vise. Alle vinkler er de samme som i landskabet, men alle afstande er gjort mindre. Ved korttegning kaldes skalafaktoren for målestoksforholdet. Her ses et kort over Danmark i målestoksforholdet 1: På kortet måles afstanden fra Gedser til Skagen til 7,5 cm. I virkeligheden er afstanden så ,5 cm = cm = 360 km e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.4

5 Eksempel (5.2.2) Hvis ikke alle vinkler er ens i de to figurer, vil de se helt forskellige ud. Herunder er sidelængderne i de to figurer ens, men vinklerne er ændret. Det er tydeligt, at de to figurer ikke ligner hinanden ret meget. I figuren herunder er alle tilsvarende vinkler i de to figurer ens, men sidelængder er ikke forstørret eller formindskes med samme skalafaktor. Igen ser figurerne forskellige ud. For at to figurer vil se ens ud, skal vinklerne i de to figurer parvis være ens, og alle sidelængderne i den ene figur skal ganget med samme faktor være lig med sidelængderne i den anden. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.5

6 For trekanter gælder der dog noget specielt. Hvis to trekanter er ensvinklede, dvs. at vinklerne i de to trekanter er parvis ens, er de ligedannede. De tilsvarende sidelængder i de to trekanter vil altså være forbundet med hinanden ved samme skalafaktor. (5.2.3) Sætning om ligedannede trekanter Hvis to trekanter ABC og A'B'C' er ensvinklede, (A = A', B = B' og C = C'), så er de ligedannede. De tilsvarende sider er forbundet med hinanden med samme skalafaktor. a' = k a eller a = a' k b' = k b eller b = b' k c' = k c eller c = c' k hvor skalafaktoren, k, udregnes ved: k = a' a = b' b = c' c (her bruger du den brøk, hvor du kender både tæller og nævner) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.6

7 Eksempel (5.2.4) Herunder ses to ensvinklede trekanter: Og: c = c' : k = 4 : 2 = 2 Da sidelængderne b og b er kendt, kan vi finde skalafaktoren: 5.3 Cosinus og sinus I resten af dette kapitel vil vi se på beregninger af vinkler og sidelængder i trekanter. Hertil har vi brug for to hjælpestørrelser, der kaldes cosinus og sinus. Vi betragter en cirkel i et koordinatsystem. Cirklens centrum ligger i koordinatsystemets midtpunkt (0,0) og radius er r = 1. Sådan en cirkel kaldes for en enhedscirkel. k = b' b = 6 3 = 2 Alle sidelængder i trekant A'B'C' er derfor 2 gange større end de tilsvarende sidelængder i trekant ABC. Vi kan derfor finde: a' = k a = 2 3,2 = 6,4 e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.7

8 Hvis vi så har en vinkel, v, kan vi indlægge den i koordinatsystemet med højre vinkelben på x-aksen. Vinklens venstre ben vil skære enhedscirklen i punktet P v. Dette punkt kaldes for vinklens retningspunkt. Førstekoordinaten til retningspunktet, P v, kaldes for cosinus til vinkel v, og vi skriver tallet som cos(v). Andenkoordinaten kaldes for sinus til vinkel v, og dette tal skrives som sin(v). Altså er P v = (cos(v), sin(v)). Vinkler kan godt være negative, og det betyder blot, at du skal dreje vinklen den anden vej (med uret) ud fra x-aksen. Definition af cosinus og sinus: Cosinus til en vinkel findes således: 1. Læg vinklen ind i et koordinatsystem 2. Find retningspunktet. 3. Gå lodret ned til x-aksen og cos(v) aflæses som førstekoordinaten. Sinus til en vinkel findes således: 1. Læg vinklen ind i et koordinatsystem 2. Find retningspunktet. 3. Gå vandret ind til y-aksen og sin(v) aflæses som andenkoordinaten. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.8

9 Dit CAS-værktøj har indbygget cosinus og sinus, og du indtaster blot cos(v) og sin(v). På denne måde er vi fri for at tegne enhedscirkler og indlægge vinkler, og samtidig får vi resultater der i præcision langt overgår, hvad vi kunne få ved den nok så præcise tegning. Eksempel (5.3.1) Hvis v = 57 o kan vi finde retningspunktets koordinater som P v = (cos(57 o ), sin(57 o )) = (0,54 ; 0,84) Nogle gange er vi i den situation, at vi kender cosinus- eller sinusværdien til en vinkel og vil så gerne finde ud af, hvilken vinkel der er tale om. Hvis vinklen er mellem 0 o og 180 o er dette enkelt nok. Hvis vi kender cosinus, ved vi hvad førstekoordinaten til retningspunktet P v er. Vi kan altså gå fra dette tal på x-aksen lodret op til vi skærer enhedscirklen, og her finder vi retningspunktet. Så kan vinklen nemt findes. På samme måde kan vi finde vinklen, hvis vi kender sinus og vinklen ligger mellem -90 o og 90 o. Vi starter så på y-aksen i stedet for og går vandret ind mod højre til vi rammer enhedscirklen. Her ligger retningspunktet P v, og vinklen kan nu nemt bestemmes. Disse procedurer er også indbygget CAS-værktøjet. Her kaldes se for arccos (udtales arcus-cosinus) og arcsin (arcus-sinus). Som forkortelse for disse procedurer anvender vi symbolerne cos 1 og sin 1. De kaldes også for invers cosinus og invers sinus. Eksempel (5.3.2) Hvis vi ved, at cos(v) = 0,5, kan vi bestemme v som: v = arccos(0,5) = 60 o Hvis vi ved, at sin(v) = 0,5, kan vi bestemme v som: v = arcsin(0,5) = 30 o e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.9

10 5.4 Anvendelse af cosinus og sinus Nu kan vi knytte vores viden om ensvinklede trekanter og cosinus og sinus sammen. Hvis vi har en retvinklet trekant ABC, kan vi indlægge den i et koordinatsystem med vinkel A i punktet (0,0) og siden b ud langs x-aksen. Herved har vi opnået to ensvinklede trekanter, for de har jo vinkel A til fælles og så er de begge retvinklede. Derfor må B og B' så også være ens. Når vi så indtegner enhedscirklen, så ser vi, at der fremkommer en lille retvinklet trekant AB'C' inde i enhedscirklen. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.10

11 Sidelængderne i den lille trekant AB'C' kender vi. Da den ligger i en enhedscirkel og c' er radius i enhedscirklen, vil: Skalafaktoren kan af sidelængderne c og c' beregnes til at være: c c' = c 1 = c c' = 1. Punktet B' er retningspunkt for vinkel A, og det har derfor koordinaterne (cos(a), sin(a)). Derfor kan vi slutte, at: b' = cos(a) a' = sin(a) Derfor får vi: b = c cos(a) a = c sin(a) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.11

12 Disse formler kan omformes ved division med c på begge sider af lighedstegnet til: b c = c cos(a) = cos(a) c (5.4.1) Sætning I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90 o, gælder følgende formler: a c = c sin(a) = sin(a) c Herved har vi bevist følgende vigtige sætning: b = c cos(a) eller cos(a) = b c a = c sin(a) eller sin(a) = a c e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.12

13 Eksempel Beregning af sidelængder I trekant ABC er A = 27 o og C = 90 o. Endvidere er c = 7. Vi ønsker at beregne sidelængderne a og b. Eksempel Beregning af sidelængder I trekant ABC er A = 78 o og a = 9. Vi ønsker at beregne sidelængderne c og b. Vi finder: og: a b = c sin(a) = 7 sin(27 o ) = 3,18 = c cos(a) = 7 cos(27 o ) = 6,24 I formlen: a = c sin(a) indsættes de tal vi kender: 9 = c sin(78 o ) Her isolerer vi c: 9 c = sin(78 o ) = 9,20 Dernæst kan vi finde b: b = c cos(a) = 9,20 cos(78 o ) = 1,91 e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.13

14 Eksempel Beregning af vinkler. I trekant ABC er a = 5 og c = 7. Vi ønsker at finde vinkel A. 5.5 Tangens Foruden cosinus og sinus har vi flere andre hjælpestørrelser i trekantsberegning. En af disse er tangens, som defineres ved: (5.5.1) Definition af tangens: Tangens til en vinkel A defineres ved: tan(a) = sin(a) cos(a) På CAS-værktøjet udregnes tangens til fx 35 o blot ved at taste: tan(35). Ud fra formlen: sin(a) = a c beregnes: sin(a) = 5 7 = 0, Ligesom ved sinus kan man udregne værdien af en vinkel, hvis den ligger mellem -90 o og 90 o, og man kender dens tangensværdi. Hertil bruges arctan (udtales arcus-tangens) eller tan -1. Hermed kan vinkel A bestemmes: A = arcsin(0,71425) = 45,58 o e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.14

15 Eksempel (5.5.2) Hvis A = 52 o, bliver: Hvis vi ved, at tan(a) = tan(52 o ) = 1,2799 (5.5.3) Sætning om tangens: I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90 o, gælder følgende formler: tan(a) = 0,25 bliver: A = arctan (0,25) = o Tangens er nyttig i beregninger, hvor længden af hypotenusen i trekanten ikke indgår. Dette skyldes, at der gælder følgende formler for tanges: a = b tan(a) eller tan(a) = a b Beviset for disse former foregår ud fra de tilsvarende formler for cosinus og sinus. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.15

16 Fra sætning (5.4.1) har vi: Heraf får vi: a = c sin(a) og b = c cos(a) a b = c sin(a) c cos(a) = sin(a) cos(a) = tan(a) Den anden formel bevises således: b tan(a) = b a b = a 5.6 Generelt udtryk for trigonometriske formler Nu er det jo ikke altid, at trekanterne hedder ABC. Derfor kan det være en fordel at formulere de trigonometriske formler uden brug af bogstavsymboler. Hvis vi ser på en retvinklet trekant ABC med C = 90 o, kaldes siden c for hypotenusen. Siderne a og b, som danner den rette vinkel, kaldes for kateter. Særligt kaldes siden b for vinkel A s hosliggende katete, og siden a for vinkel A s modstående katete. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.16

17 Med disse betegnelser kan de trigonometriske formler angives således: hosliggende katete = hypotenuse cos(v) cos (v) = hosliggende katete hypotenuse Eksempel På figuren ses trekant FHL, hvor H = 90 o. Med udgangspunkt i vinkel F er siden f vinkel F s modstående katete, siden l er vinkel F s hosliggende katete og h er hypotenusen. modstående katete = hypotenuse sin(v) sin(v) = modstående katete hypotenuse modstående katete = hosliggende katete tan(v) tan(v) = modstående katete hosliggende katete Derfor kan formler i denne trekant skrives: l = h cos(f) eller l cos(f) = h f = h sin(f) eller sin(f) = f h f = l tan(f) eller tan(f) = f l e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.17

18 5.7 Areal af trekanter Nu vil vi se på trekanter, der ikke nødvendigvis er retvinklede, men kan have alle mulige udseender. Indtil nu har vi kun udviklet formler til beregning af sider og vinkler i retvinklede trekanter, og denne viden vil vi udnytte i trekanter, der ikke er retvinklede. Her ses en sådan trekant: Hvor h er en af trekantens højder og g er den tilhørende grundlinje. Vi ser på højden på siden b, som herved bliver grundlinje i trekanten. Altså er g = b. Men højden deler jo trekanten op i to retvinklede trekanter, og i hver af disse gælder vores trigonometriske formler. Arealet af trekanten, T, udregnes som: T = ½ h g e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.18

19 Vi ser på den venstre trekant: Vi lægger mærke til, at de elementer, der indgår i formlen, er en vinkel og de to sider, som støder op til vinklen. I stedet for at bruge vinkel A, kunne vi lige så godt have brugt vinkel B eller C sammen med de sider, som støder op til hver af dem. Derfor er der tre formler for trekantens areal: I denne retvinklede trekant er højden h modstående katete til vinkel A. Vi kan derfor skrive en formel op for dens længde ved hjælp af sinus: h = c sin(a) Indsætter vi nu dette sammen med g = b i arealformlen for en trekant får vi: T = ½ h g = ½ c sin(a) b = ½ b c sin(a) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.19

20 (5.7.1) Sætning om areal af en trekant: I trekant ABC kan arealet beregnes ved en af disse formler: 5.8 Sinusrelationerne Nu vil vi udlede nogle formler til beregning af sidelængder og vinkler i vilkårlige trekanter. Sinusrelationerne er tre formler med sinus, der kan bruges til dette. Udledningen af disse formler tager udgangspunkt i formlerne for arealet af en trekant: T = ½ b c sin(a) T = ½ a c sin(b) T = ½ a b sin(c) I denne trekant kan vi bestemme arealet med tre formler, men da de alle tre giver samme tal, nemlig trekantens areal, vil der gælde: 1 2 b c sin(a) = 1 2 a c sin(b) = 1 2 a b sin(c) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.20

21 I denne relation vil vi dividere med størrelsen 1 2 a b c på alle sider af lighedstegnene: 1 2 b c sin(a) 1 2 a b c = 1 2 a c sin(b) 1 2 a b c = 1 2 a b sin(c) 1 2 a b c i første brøk kan vi forkorte med 1 2 b c, i den anden med 1 2 a c og i den sidste med 1 2 a b. Herved får vi formlerne: sin(b) b = sin(c) c Vi opsummerer det i følgende sætning: (5.8.1) Sinusrelationerne: I trekant ABC gælder følgende formler: sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c Det er disse formler, der kaldes for sinusrelationerne. Læg mærke til, at der faktisk er tale om tre formler sat samme i en, nemlig de tre formler: sin(a) a sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.21

22 Eksempel I trekant ABC er A = 73,33 o, C = 51,45 o og siden b = 11,4. sin(a) = sin(b) a b og de kendte værdier indsættes: sin(73, 33 ) a = sin(55,22 ) 11,4 Nu har vi en ligning, hvor a er ubekendt, og den løses: a = 13,3 Tilsvarende kan vi finde siden c ved at bruge sinusrelationerne med b og c: Vi udregner vinkel B: B = 180 o A C = 180 o 73,33 o 51,45 o = 55,22 o Nu kan vi bruge sinusrelationerne til at udregne siderne a og c. Vi udregner først a og bruger sinusrelationerne med a og b: sin(b) = sin(c) b c og de kendte størrelser indsættes i formlen: sin(55,22 ) 11,4 = sin(51,45 ) c Denne ligning løser vi: c = 10,9. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.22

23 5.9 Cosinusrelationerne Cosinusrelationerne gælder også i vilkårlige trekanter og bruges til at udregne sidelængder og vinkler. (5.9.1) Cosinusrelationerne: I trekant ABC gælder følgende formler: Nu vil vi udlede cosinusrelationerne. Igen ser vi på en vilkårlig trekant, som vi deler i to retvinklede trekanter ved hjælp af højden på b. Grundlinjen b bliver delt op i to stykker, og vi kalder den ene for x. Den anden bliver derfor b x. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) Vi ser først på trekanten til venstre og bruger Pythagoras sætning her: e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.23

24 Heraf følger: x 2 + h 2 = c 2 Her isolerer vi h 2 : h 2 = c 2 x 2 Ligeledes ser vi på trekanten til højre og bruger også Pythagoras sætning på denne: og vi får: h 2 + (b x) 2 = a 2 Igen isolerer vi h 2 : h 2 = a 2 (b x) 2 Vi sammenligner nu de to udtryk for h 2 : a 2 (b x) 2 = c 2 x 2 I denne ligning isolerer vi a 2 : a 2 = c 2 x 2 + (b x) 2 e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.24

25 Her reducerer vi så højresiden: a 2 = c 2 x 2 + (b x) 2 = c 2 x 2 + b 2 + x 2 2 b x = c 2 + b 2 2 b x Til sidste ser vi igen på den venstre retvinklede trekant i trekant ABC: Dette indsættes i udtrykket: x = c cos(a) a 2 = c 2 + b 2 2 b x = c 2 + b 2 2 b c cos(a) Herved er den ene cosinusrelation udledt. De to andre følger ved omdøbning af vinkler og sidelængder. Her er siden x vinkel A s hosliggende katete, og derfor kan vi bruge formlen for cosinus i en retvinklet trekant her: e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.25

26 Eksempel I trekant ABC er sidelængderne a = 10,7, b = 11,5 og c = 8,3 I denne ligning er A ubekendt og vi får vores CAS-værktøj til at finde A: A = 63,1 o Vi vil beregne vinkel A, og derfor bruger den cosinusrelation, hvor cos(a) optræder: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) Her i indsættes de kendte værdier: =11, , ,5 8,3 cos(a) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.26