Den Specielle Relativitets teori

2012 Den Speielle Relativitets teori Simon Bruno Andersen 21-12-2012

Abstrat This study explains the priniples behind Einstein s speial theory of relativity, furthermore the Lorentz-transformation in omparison to the Galilean transformation. It explains inertial frame of referenes and how these an be used to ompare events for different observers. It also desribes the basis for the theory of speial relativity, and how Einstein hanged the view of the moving light in the aether wind. It talks about the Mihelson-Morley-experiment, and how it was the first step towards the Lorentz-transformation. It uses mathematial methods to derive the Lorentz-transformation from the Galilean transformation, and uses these transformations to explain length ontration, time dilation, and relativity of simultaneity. To understand these onepts, the study proves them to be right, using thought experiments and real life phenomenons like the ourrene of muons near the surfae of the earth. Last it disusses the thought of Einstein being wrong with the speed of light not being the fastest speed in the universe. 1

Indhold Abstrat... 1 Indledning... 3 Transformationer... 3 Referenesystemer... 3 Galilei transformationen... 4 Æteren... 5 Lysæteren... 5 Mihelson-Morley-forsøget... 6 Lorentz æter... 9 Lorentz transformationen... 9 Udledning af Lorentz transformationen... 9 Videre beregning af Lorentz transformationen... 13 Konsekvenser af Lorentz transformationen... 16 Samtidighed... 16 Længdeforkortning... 16 Tidsforlængelse:... 17 Reelle eksempler på den speielle relativitet... 20 Myoners levetid... 20 Konklusion... 22 Litteraturliste... 23 Bøger... 23 Hjemmesider... 23 Film... 23 2

Indledning Når vi hører om Einsteins relativitets teorier, og knytter begreber som længdeforkortelse, tidsforlængelse og samtidighed, så forbinder vi det med ukonkrete eksempler som tvillingeparadokset, hvor den ene tvilling i et tvillingepar tager på rumrejse, og da han vender tilbage til jorden er han yngre end den tvilling der blev på jorden. Men prinipperne i relativitetsteorien bliver ikke kun brugt til tanke eksperimenter, som vi ikke har nogen reel nytte af alligevel. De fleste mennesker bruger den hver eneste dag uden at bemærke det. Det er nemlig bl.a. de matematiske prinipper bag relativitetsteorien, der bruges når en GPS beregner hvor du befinder dig, hvor du skal hen og hvor langt der er. Desuden er nærmest al moderne fysik bygget op på den bagrund af relativitetsteorien. Hvor begreber som absolut tid ikke findes. Det er jo heller ikke for ingenting, at mere eller mindre samtlige mennesker på kloden har en eller anden form for kendskab til navnet Albert Einstein. I denne opgave vil der altså blive kastet lys på begrebet relativitetsteori, og på baggrund for den. Transformationer Referenesystemer For at forstå begrebet transformationer må vi første forstå den matematiske baggrund for begrebet. Her kommer referenesystemer. Et referenesystem er et koordinatsystem der indeholder et sæt akser. Man kan et sådant referenesystem kigge på en begivenhed og gennem et andet referenesystem kigge på samme begivenhed i et andet miljø, i forhold til hinanden. I disse referenesystemer kan man f.eks. undersøge forskellige fysiske senarier, f.eks. partiklers bane imellem to forskellige systemer. Et mere jordnært eksempel kunne være en bus i bevægelse. Vi forstiller os at en bus kører med en konstant hastighed v. Derved har vi allerede to systemer S værende vejen et sted på vejen som bussen kører fra og bussen. Relativistisk set kan man sige, at fra bussens synspunkt er det punktet på vejen der bevæger sig modsatrettet væk fra bussen, men lad os indtil videre bare sige at bussen bevæger sig. Nu rejser en passager sig fra bussens bagende og går fremad i bussen. Passagerens hastighed, v 0 er den hastighed han bevæger sig i forhold til bussen, altså i referenesystemet S men, hans hastighed i forhold til vejen, referenesystem S, er lig v 1 (v + v 0 ). Man kan sige at passagerens hastighed er relativ i forhold til synspunktet. 3

Et sådant referenesystem som nævnt ovenfor kaldes et inertialsystem. Dette betyder at det opfylder Newtons første lov om bevægelse: "Et legeme som ikke er påvirket af en kraft, eller af kræfter der ophæver hinandens virkning, vil enten være i hvile eller foretage en jævn retlinet bevægelse." 1 Fordelen ved at bruge inertialsystemer er at man sikre sig, ved at Newtons første lov er opfyldt er de andre også. 2 Desuden er inertialsystemer mere overskuelige da der ikke er flere parametre der spiller ind end den egentlige bevægelse, eller begivenhed. Alle inertialsystemer er bygget op af tre asker; x,y,z, og er Euklidisk geometriske. Der er dog også et fjerde koordinat, nemlig tiden, t. Men da inertialsystemerne opfylder Newtons love så er tiden defineret i et hvert inertialsystem til at være den samme. Dette kaldes absolut tid. Galilei transformationen Vi vil kigge nærmere på Galilei transformationen da denne var den aepterede før Einstein fremlagde sin speielle relativitetsteori der var understøttet af Lorentz transformationen. Hvis vi har et inertialsystem, med to systemer S og S med akserne x,y,z og x,y,z. Vi forestiller os et datidens eksempel med S værende en havn og S et skib der er ved at forlade havnen med en konstant hastighed v i retning af x-aksen. Ud fra dette vil Galilei sige at, da der ingen bevægelse er ud af hverken y og y eller z og z må forholdet mellem disse være: Og y = y z = z Dertil kommer det helt intuitive at tiden må være den samme om bord på skibet som den er i havnen. Derved har vi at: t = t Nu mangler vi kun x. Som i bus eksemplet hvor passagerens far i forhold til vejen var has fat i forhold til bussen adderet til bussens fart har vi på samme måde her: x = x + vt x = x vt Derved kan vi opskrive forholdet mellem de to inertialsystemer: 1 http://da.wikipedia.org/wiki/newtons_love 2 Dam Mogens Introduktion til den speielle relativitetsteori s. 2 4

x = x vt y = y z = z t = t Vi kan se Galilei transformationen illustreret, hvor forskellen på x og x er præis afstanden vt. Umiddelbart som vi ser disse transformationer virker de åbenlyst korrekte, og det er de også i en hvis grad så længe vi kigger på et reelt forsøg med et skib. Men hvis vi ændrer skibet til f.eks. en lysstråle så kigger vi på helt andre hastigheder og i disse hastigheder kan man ikke bruge Galilei transformationen for x og begreberne absolut rum og -tid forsvinder. Æteren Lysæteren Æter i sig selv er et ældgammel begreb, første gang beskrevet af Aristoteles som det 1. element. Aristoteles beskrev æter som værende det usynlige element som er overalt omkring os og som leder de andre elementer 3. Altså er æteren en form for altomfattende kraft som gør at andre kræfter kan forløbe. I starten af 1700-tallet brugte man æteren til at beskrive 3 http://iraknol.wordpress.om/artile/aristotle-s-physis-the-five-elements-3nxde0rz8dtk-7/ 5

fænomenerne tiltrækningskraft og tyngdekraft. Næsten et århundrede senere arbejdede fysikere som Hooke med idéen om en lysæter. De forstillede sig at lysbølger svingede i æteren som lyd svinger i luft, og på samme måde som der er nød til at være noget for at lyd kan spredes, var der også i deres teori nød til at være æter for at lyset kunne spredes. 4 I midten af 1900-tallet blev den gamle teori om lys som bølger i en æter genoplivet. På dette tidspunkt udførte Maxwell forsøg med elektromagnetisme. I teorien bag disse forsøg indgik en konstant, som var defineret ud fra forholdet mellem den elektrostatiske og den elektrodynamiske enhedsladning. Konstanten havde en enhed for hastighed og stemte overens med den hidtil målte hastighed for lysten. Ud fra teorien bag forsøget måtte denne hastighed også svare til hastigheden for udbredelse af elektromagnetiske bølger i vakuum. Dette fik selvfølgeligt Maxwell og andre fysikere til at formode at lys var elektromagnetiske bølger. Ydremere ville man opstille inertialsystemer der i forhold til æteren ville være i hvile. Dette system overførte man fra Newtons teorier og kaldte det absolutte rum. Derved blev æterteorien genoplivet og det er denne her idé om en æter som blev holdt fast ved helt frem til 1905 hvor Einstein gør op med æteren og begrebet absolut rum. Mihelson-Morley-forsøget Oven på Maxwells opdagelse omkring lys begyndte der meget forskning omkring æterforsøg. Man prøvede at måle jordens hastighed igennem den såkaldte æter. I det berømte Mihelson- Morley-forsøg gik ud på at påvise æter-vinden ved at måle lysets hastighed i to ortogonale retninger. Derved burde man kunne se en lille forskel på lysets hastighed alt efter om jordens rotation om solen fulgte med æter-vindens bevægelse eller ej. Forsøget blev opstillet således at der var en monokromatisk lyskilde (en lyskilde med kun én bølgelængde) og et halvforsølvet spejl med en indfaldsvinkel i forhold til lyskilden på 45. Da spejlet er halvforsølvet vil lysstrålen spaltes til to lige stærke stråler den ene vil gå igennem spejlet og den anden reflekteres videre. Strålerne vil ramme to nye spejle henholdsvis S 1 og S 2 der har samme afstand til første spejl nemlig afstanden L. hvorefter strålerne sendes tilbage, spaltes og forenes for at ramme en kikkert hvor man her kunne iagttage interferensstriber. Vi kan nu beregne tiden på forsøget: 4 Dam Mogens Introduktion til den speielle relativitetsteori s. 5-6 6

Hvis vi forstiller os at retningen mod S 1 forløber med jordensretning, derved har vi at mens lysstrålerne bevæger sig fra S til henholdsvis S 1 eller S 2 og tilbage til S, så bør deres hastigheder være forskellige. Hastigheden for strækningen SS 1 S må være først plus jordens hastighed og derefter minus på vej tilbage altså: T SS1 S = L + v + L v T L( v) SS 1 S = ( + v)( v) + L( + v) ( v)( + v) T SS 1 S L Lv + Lv + L = v 2 T SS1 S = 2L v 2 Nu kan vi beregne tiden for den anden strækning. Dog skal vi huske på at hastigheden mod S 2 ikke bare er da hele vores forsøgsopstilling bevæger sig med jorden, og altså er i bevægelse i forhold til æteren som lyset bevæger sig i. Derved vil vi beregne hastigheden geometrisk: Vi kan altså se at hastigheden mod S 2 må være v 2, og må være det samme på tilbagevejen også. Derved kan vi opskrive ligning for tiden: 7

2L T SS2 S = v 2 Som tidligere nævnt er afstandene L ens og vi kan derved finde et udtryk for tidsforskellen: 2L T = T SS1 S T SS2 S = v 2 2L v 2 2L T = v 2 2L v = 2L ( 2 v 2 1 v = 2L 1 1 1 v2 v 2 ( ) = 2L 2L = 2) ( 1 v 2 1 1 v2 ( 1 ) 1 v 2 Da hastigheden v er meget lavere end hastigheden kan vi lave en tilnærmelsesvis korrekt omskrivelse: ) T = 2L 1 1 1 v2 ( ) 2L + 2L v 2 2L T 2L v2 (1 + 2 L 2 v 2 1 1 2 2) T v 2 T L v 2 Vi kan nu beregne forskellen i bølgetallet n ud fra formlen: n = v(t 1 t 2 ) n = v T n = v L v 2 n = L v 2 λ Efter første måling af bølgetallet roterede man forsøgsopstillingen præis 90 for derefter at lave forsøget igen. Ud fra teorien bag forsøget skulle man forvente en ændring i bølgetallet da opstillingen nu stod anderledes i forhold til æteren og jordens bane. Dette var dog ikke tilfældet. Hvordan skulle man så tolke dette resultat? Det umiddelbare svar blev at jorden or æteren bevægede sig samme. Altså at æteren var en del af hele atmosfæren, og bevægede sig med den. Dette ville forklare, hvorfor der ingen ændring var i bølgetallene, da bevægelsen for jorden og æteren var den samme. Til gengæld åbnede denne tilsyneladende løsning op for nye problemer. Hvis æteren fulgte jorden og vores atomsfære hvordan kunne man så observere stjerner fra fjerne galakser. Tanken om at æteren skulle hænge sammen med jordens bane men alligevel brede sig i hele universet virkede usandsynligt. Og hvis dette endeligt var tilfældet så burde fænomenet lysaberration ikke kunne finde sted. 5 5 Dam, Mogens Introduktion til den speielle relativitetsteori s. 11 8

Derved var der splid i teorien om lys som elektromagnetiske bølger. Ud fra Maxwells forsøg virkede det som den eneste konklusion, men ud fra Mihelson-Morley-forsøget virkede teorien til at falde. Lorentz æter Nogle år senere kom Lorentz frem med en hypotese om at afstanden L blev forkortet for lyset der bevægede sig i retning med æteren. Da forkortelsen var præis L 1 = L 2 1 v 2 / ville dette kunne forklare resultatet i Mihelson-Morley-forsøget da: T = 2L 1 v 2 2L v 2L 2 2 1 2 v = 2 v 2 2L 2 v = 2L 1 2 v 2 v 2 ( ) = 2L ( = 2L 2 ( = 2L 2 ( v 2 1 v2 1 v2 1 v 2 ) 1 ) = 2L 2 = 0 1 v2 ) ( = 2L 2 ( 1 v2 1 v2 1 v 2 ) ) Altså vil der ikke være nogen forskel i tiden og derved ikke nogen forskel at observere. Dette gik dog i modstrid med selve idéen bag forsøget, som var at påvise at lyset var retningsuafhængigt af æteren. Selvom der stadig blev holdt fat i teorien og æteren var denne opdagelse dog et skridt i den rigtige retning. Både ved at man blev introdueret til begrebet længdeforkortelse, men ydremere får man øjnene op for at datidens fysiske regler måske kan bøjes eller justeres. Lorentz transformationen Udledning af Lorentz transformationen Hvis vi et øjeblik kigger tilbage på Galilei transformationen kan vi modifierer denne til at blive til Lorentz transformationen. 9

x = x vt y = y z = z t = t Vi vil kigge bort fra transformationerne for y og z da disse ifølge Einstein og den moderne fysik ikke afviger fra Galilei- til Lorentz transformationen. Ved kun at kigge på disse to værdier nemlig t og x kan vi opskrive hvordan de har effekt på hinanden. Hvis vi har igen to inertialsystemer, hvor det ene S bevæger sig væk fra det andet S med en hastighed på v. Efter tiden t er afstanden mellem S og S vt. Vi kan altså opstille to ligninger på afstanden mellem S og S : Og x = x vt x = x + vt Alt efter om man ser det som afstanden fra S til S eller fra S til S. Selvom det er en afstand er der stadig modsatrettet fortegn da den her er beskrevet i et koordinatsystem. Dette er stadig Galilei transformationen. Hvad Einstein kommer frem med er at længde og tid er relativ. Derved har vi altså to nye transformationer: Og x = γ(x vt) 10

x = γ(x + vt ) Hvor tiden ikke er den samme t t dog kan den være sammenfaldende i visse punkter. Og hvor længden er relativ, hvor vi derfor har indsat γ. γ er dog det samme for begge ligninger. Vi vil nu finde γ ud fra to afstande. Vi forstiller os afstanden ud til punktet fra henholdsvis S og S med hastigheden. Da Einstein siger at altid er konstant lige gyldigt hvad, er de to afstande derved: Og x = t x = t Vi kan nu isolere γ ved at indsætte de to punkter og multiplierer ligningerne sammen: Og Nu multiplierer vi den samme. x = γ(x vt) t = γ(t vt) x = γ(x + vt ) t = γ(t + vt ) t t = γ(t vt) γ(t + vt ) t t = γ 2 (t vt)(t + vt ) γ 2 t t = (t vt)(t + vt ) t t γ2 = t t + tvt tvt v 2 t t γ2 = t t t t v 2 t t γ2 = γ = 1 2 v 2 γ = v γ = 1 2 v 2 Vi bemærker umiddelbart at kvadratroden under brøken svarer til samme kvadratrod som Lorentz brugte til at forklare længdeforkortelse i forhold til æteren. Nu kan vi indsætte γ i transformationen: Og x = x vt 11

x = x + vt Vi kan se at den relative afstand afhænger af hastigheden imellem S og S hvis hastigheden er lille vil en forskel ikke kunne bemærkes og vi vil være tilbage til Galilei transformationerne. Vi vil nu også finde transformationen for tiden. Vi gør dette ved at indsætte værdierne fra før x = t og x = t ind i ligningen for x. Desuden erstatter vi t med x = t t = x. x = x vt t = t vx t = Nu har vi altså også fundet en transformation for tiden. (t vx ) t = t vx Vi kan derved opskrive Lorentz transformationen som vi opskrev Galilei transformationen: x vt x = y = y z = z t = t vx Det skal til sidst siges at vi ud fra transformationerne har en restriktion i forhold til hastigheden v. Vi har allerede sagt at hvis v er meget lille forsvinder brøken og vi sidder tilbage med Galilei transformationerne, men hvad med hvis v bliver meget stort. Vi kan se på hastigheden v = : x = x vt x = x t 1 2 x = x t 1 1 x t x = 0 v må altså ifølge ligningen ikke være lig lysets hastighed. v må heller ikke rent matematisk overskride da dette vil fører til at der skulle tages kvadratroden af et negativt tal. Derved har vi i transformationen taget højde for at er den højeste hastighed noget kan bevæge sig med, og at v ikke kan nå lysets hastighed. 12

Videre beregning af Lorentz transformationen Hvis vi tænker os at vi har to begivenheder. På nuværende tidspunktet er det ligegyldigt hvilke begivenheder og om de har nogen relation til hinanden. Disse begivenheder må have koordinaterne (x 1, y 1, z 1, t 1 ) og (x 2, y 2, z 2, t 2 ) for det ene inertialsystem S og koordinaterne (x 1, y 1, z 1, t 1 ) og (x 2, y 2, z 2, t 2 ) for systemet S. Da vi i Lorentztransformationen har at y = y og z = z fjerne vi disse fra koordinaterne og ender med: (x 1, t 1 ) og (x 2, t 2 ) for S, og (x 1, t 1 ) og (x 2, t 2 ) for S. Vi kan indsætte koordinaterne i Lorentz transformationen og få: Nu kan skrive ligningerne op som forskellen mellem de forskellige punkter: altså som x = x 2 x 1 og t = t 2 t 1. x = x 2 x 1 x = x 2 vt 2 x 1 vt 1 x = x 2 vt 2 (x 1 vt 1 ) x x v t = Derved har vi fundet afstanden mellem to begivenheder for det ene inertialsystem S i forhold til afstanden og tiden fra det andet S. Vi gør det samme med tiden: t = t 2 t 1 t = t = t 2 vx 2 t v x t 1 vx 1 t = t 2 vx 2 (t 1 vx 1 ) På samme måde som før har vi her fundet tiden for systemet S i forhold til afstanden og tiden for systemet S. Hvad kan vi sige ud fra dette? Hvis vi ser to begivenheder ske i forhold til S 13

samme sted og samme tid, altså t = 0 og x = 0 så vil de to begivenheder også ske samme sted og samme tid i forhold til S, altså: Og for stedet: t = t v x t = 0 v 0 t = 0 x x v t = x = 0 v 0 x = 0 Altså hvis tid og sted ikke er ændret imellem de to begivenheder for S så er der ikke nogen relativitet og både S og S vil være enige om tiden og stedet. Som et virkeligt eksempel kunne vi forstille os to biler der kører sammen. Ligegyldigt om du står ved vejkanten og kigger på eller om du sidder i et tog med en høj hastighed vil bilerne stadig ramme sammen for begge observatører. Dette er ikke relativt men derimod absolut. Hvis nu kun det ene koordinat for begivenhederne er det samme i forhold til dig, f.eks. tiden t = 0 men x har en værdi så får vi t til: t = t v x t = v x 0 t = v x Altså: t 0 Derved indfører vi begrebet samtidighed som et relativt begreb. Dette vil sige at hvis jeg observerer to begivenheder finde sted samtidigt vil en anden observator i bevægelse i forhold til mig ikke opleve de to begivenheder samtidigt. Her gør vi igen op med at tid er et relativt begreb og ikke et absolut begreb. Da Lorentztransformationen ikke lader os addere hastigheder sammen som vi gjorde det med Galilei transformationen, må vi derved opstille en ligning for hastighed. Vi forstiller os et tog med en høj hastighed v, i forhold til S, som værende inertialsystem S. Indeni toget bliver der affyret et pistolskud, med hastigheden u i forhold til S og w i forhold til S, i bevægelsesretningen. Hvor man i Galilei transformationen ville addere hastigheden for toget og hastigheden for kuglen sammen vil vi nu udlede den relativistiske hastighed. Vi ser nu på begivenhederne 1 og 2. Begivenhed 1: Pistolen affyres. Begivenhed 2: Kuglen når enden af toget 14

Hastigheden for u, altså kuglens hastighed i forhold til S, må altså være: u = x t Forskellen i afstand over forskellen i tid. Vi gør det samme for den anden hastighed: w = x t Nu kan vi indsætte værdierne for x og t i ligningen for hastigheden w: w = x t w = x v t t v x w = x v t t v x Nu vil vi dividerer alle leddene i brøken med t for at får hastigheden u ind: w = x x v t t v x w = t v t t t t v x t w = u v 1 vu Nu har vi altså en ny transformation. Hvor vi kan beregne hastigheden mellem to begivenheder for S i forhold til hastigheden mellem de samme to begivenheder for S. Vi ved at den maksimale hastighed noget kan bevæge sig med er lysets hastighed. Men hvad hvis toget kører med hastigheden v og i stedet for at kuglen affyres udsendes der en lysstråle i toget, så vil man inde i toget opleve en lysstråle med lysets hastighed. Hvilken hastighed vil en observatør uden for toget så opleve? Hvis vi indsætter w = får vi: w = u v u v 1 vu = 1 vu u v = = ( + v) u = v u u v = vu u( + v) Lysets hastighed er konstant, og dette forhold er bygget ind i ligningen. Dette virker selvindlysende, men det er vigtigt at vide at vide at ligningen fungerer selvom vi når den maksimale hastighed. 15

Konsekvenser af Lorentz transformationen Samtidighed Vi forstiller os et tog der kører med en høj hastighed v. Toget kan altså defineres som det ene inertialsystem S og omverden udenfor toget er S. Toget kører derved på en strækning i tordenvejr, og i det øjeblik toget kører forbi en person slår der et lyn ned i både forenden og bagenden af toget og efterlader mærker på skinnerne og hjulene. Denne person ser de to lysglimt på præis samme tid og ved senere opmåling af de af afstanden mellem de to mærker, finder personen ud af at han står præis ud for midten af disse. Derved vil personen altså sige at de to lyn slog ned præis samtidigt. Indeni toget sidder en passager som sidder præis i midten af toget og derfor var lige ud for personen udenfor da de to lyn slog ned. Personen udenfor tænker da at passageren må have oplevet det forreste lysglemt først da toget bevægede sig imod dette og det bagerste lysglemt efter. Dette er præis hvad passageren oplever hvilket får passageren til at gøre den konklusion at da lysets hastighed er konstant og hun ser det forreste lys først, så er lynene ikke slået ned samtidigt, men derimod er det forreste lyn slået ned først. Her ser vi første eksempel på at Einsteins relativitets teori kan virke absurd. Hvordan kan noget ske samtidigt og alligevel ikke? Man kan ikke givet et simpelt svar. Men man kan sige at det eneste der får os til at undre os mere over dette end over Galilei transformationen er at dette ikke er noget vi oplever. Vi oplever den klassiske mekanik hverdag og kan derfor umiddelbart aepterer den men vi oplever ikke den speielle relativitetsteori i det her omfang og derfor virker den absurd. Længdeforkortning Vi holder fast ved de opbyggede inertialsystemer med toget. Personen udenfor toget måler nu den eksakte afstand mellem de to brandmærker på skinnerne. Da toget stoppes måler man længden på toget og opdager at toget er længere end afstanden mellem de to brandmærker. Vores passager vil selvfølgeligt forklare dette ved det faktum at lynene ikke slog ned samtidigt og derfor er afstanden mellem brandmærkerne kortere end togets længde. Men hvad med personen udenfor som oplevede at lynene slog ned samtidigt. Han vi forklarer problemet i længde med længdeforkortning. Hvis vi går tilbage til ligningen for x kan vi udlede faktoren som toget bliver forkortet med. Vi tænker igen i parvise begivenheder. Vi har bagenden af toget der bliver ramt af lynet og forenden af toget der bliver ramt af lynet. Dette er vores to begivenheder. Vi har derved koordinaterne (x 1, t 1 ) og (x 2, t 2 ), da vi ser den fra personen udenfor toget og derved fra system S. Vi husker nu på at disse to begivenheder fandt sted samtidigt for personen udenfor toget. Derved bliver t = 0: 16

x x v t = x = x Hvis vi ændrer x og x til L 0 og L, hvor L er længden af toget i forhold til S mens det kører, og L 0 er længden af toget i hvile forhold til S, får vi derved: x = x L 0 = L L = L 0 Denne ligning har vi tidligere studset på. Det er nemlig selvsamme sammenhæng Lorentz beskrev for at prøve at redde æterteorien. Hvis vi spørg passageren om han har været forkortet med faktoren 2 under turen vil han selvfølgeligt være uenig. I forhold til ham har hverken han eller toget på noget tidspunktet været længere eller kortere end det er nu. Dette skyldes at tiden for ham heller ikke har været den samme og derved fungerer vores forkortelse slet ikke i forhold til ham selv. Tidsforlængelse: Begrebet tidsforlængelse har vi allerede strejfet da vi snakkede om samtidighed. For at to begivenheder skal være samtidige for den ene observatør og ikkesamtidige for den anden observatør så skal tiden selvfølgeligt også være forskellig for de to observatører. Hvis vi kigger tilbage på Lorentz transformationen for t kan vi finde dette tidssammenhæng. t = t v x Hvor vi i det forrige sagde at tiden var den samme for at måle toget sætter vi nu at urets position er den samme for begivenhed 1 og 2 for S. Derved er x = 0: t = t v x t = t Da vi tidligere har kigget på værdier for v, ved vi at v < og derved at 2 < 1. derved ved vi også at t < t. Hvis vi går tilbage til toget kan vi sige, at personen udenfor toget oplever at hans ur går stærkere end det ur passageren har indeni toget. Men hvad vil passageren i toget sige? 17

Koordinaterne for ligningen må nu hedde (x 1, t 1 ) og (x 2, t 2 ) for x = 0 da uret ikke bevæger sig i forhold til S. derved skal vi bruge en formel for t afhængig af t og x. Sådan en vil vi nu udlede: Vi starter med at udlede t ud fra at x = t og x = t: x = x + vt Nu indsætter vi t som gjort tidligere: Nu kan vi indsætte værdien x = 0: t = t = t = t + v x t + vx t + v x t = t = t t + vx Det viser sig at vi her får det modsatte forhold nemlig at t < t. Hvordan kan vi forklare, at begge har ret i at den andens ur går langsommere end deres eget? Vi kan prøve at forklare det med et anderledes ur end hvad vi normalt forbinder som et ur. Et ur er egentligt bare en ting som kan tælle en eller anden tid. derved kan vi lave et ur ud af to spejle og en lysstråle: 18

Vi kan se et sådant ur på tegningen. Hvis uret ikke er i bevægelse vil det fungere som på tegningen, og tid (vi vil kalde denne tid τ 0 ) der går mellem at lyset sendes af sted fra spejl 1 til det igen sendes af sted fra spejl 1 er: τ 0 = 2L Hvis uret havde været i bevægelse eller med andre ord hvis spejlene havde bevæget sig ud af x-aksen ville det så således ud 6 : Altså vil lyset skulle bevæge sig en længere afstand end 2L og derved går uret langsommere end uret som er i hvile i forhold til. Derfor vil begge person se den anden persons ur går langsommere end deres eget. Hvilket ur der er i hvile og hvilket der er i bevægelse er jo et relativistisk synspunkt. Passageren på toget kan lige så godt sige at han sidder stille og omgivelserne omkring ham bevæger sig væk fra ham som at sige at han bevæger sig. Bevægelsen er relativ. Vi kan nu kigge nærmere på tvillingeparadokset. Hvor den ene tvilling tager på rumrejse. Efter 20 år vender han tilbage igen, men for tvillingen der var på rumrejse er der ikke gået tyve år. Der er gået mindre, og han er altså yngre end hans jordlige tvilling. Vi har lige sagt at begge parter vil se den andens tid gå langsommere så hvorfor kan vi nu bestemme at det var tvilling som tog på rumrejse hvis tid gik langsommere? Dette kan vi fordi han ikke under hele rejsen holder en konstant hastighed. Under opstart og når han skal vende om aelerer han, hvilket gør at vi kan bestemme ham til at være den person der bevæger sig. Tvillingen der bliver på jorden oplever ikke nogen aeleration og derved kan vi være sikre på at han ikke er i bevægelse. Altså er rumtvillingen yngre end jordtvillingen, da han vender tilbage. 6 http://www.youtube.om/wath?v=202fu9qivk4&list=hl1356032499 42:00 19

Reelle eksempler på den speielle relativitet Myoners levetid En myon er et elementarpartikel som dannes op i den øvre atmosfære, ved henfald fra pioner. Disse partikler har en levetid på 2,2 μs svarende til τ 0 = 2,2 10 6 s. Da disse dannes forskellige steder oppe i den øvre atmosfære vil det uden den speielle relativitets teori være umuligt at forklare deres forekomst ved jordoverfladen. Hvis disse ikke lavede om på tid og rum ville de med lysets hastighed ikke nå længere end: τ 0 = 2,2 10 6 s 3 10 8 m s = 660 m Myoner der dannes så højt oppe i atmosfæren bevæger sig med en hastighed omkring 98 % af lysets. 7 Vi kan se lidt på de relative tider og afstande myonen tilbagelægger, og derved finde ud af hvor langt den reelt kan bevæge sig med hastigheden 0,98. Hvis vi siger at myonen bevæger sig mod jorden med en konstanthastighed v og hele dens levetid, så kan vi på samme tid sige at den slet ikke bevæger sig, men at det er alt omkring den der bevæger sig med modsat hastighed. derved kan vi bruge følgende formlen: t =. Formlen er udledt af at 1 v2 x er nul, hvilket vi lige har augmenteret for at det er. Derved lever myonen i forhold til os som observerer den fra jorden: t = Myonen lever altså 1,11 10 5 s 2,2 10 6 s t = t t v x t = 2,2 10 6 s 1 (0,98)2 t = 1,11 10 5 s = 5,05 gange så lang tid i forhold til os som i forhold til sig selv. 2,2 10 6 s = 1,11 10 5 0,98 x s 1 (0,98)2 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = 3260 m En enkelt myon kan pludselig bevæge sig meget længere i løbet af sin livstid i forhold til S. Da myoner henfalder, kan vi ikke fastslå en fast levetid men kun en gennemsnitlig. For at få et mere sigende resultat om hvorfor myonerne når jordoverfladen, kan vi lave et forsøg ud fra deres halveringstid. 7 http://hyperphysis.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/muon.html 20

Hvis vi forstiller os at 1.000.000 myoner dannes 20 km over jordoverfladen set fra S og sendes mod jorden med en konstant hastighed på 0,98, og halveringstiden for myoner er T1 = 2 1,56 10 6 s, så kan vi beregne hvor mange myoner der vil nå jordoverfladen. Vi starter med at bestemme længdeforkortelsen: L = L 0 L = 20000 m 1 (0,98)2 L = 3,98 10 3 m Myonerne tilbagelægger i forhold til S altså kun 3980 m. Derved kan vi beregne tiden det tager for myonerne at nå jorden: t = L v t = 3,98 103 m 0,98 3 10 8 m s t = 1,35 10 5 s Denne tid dividerer vi nu med halveringstiden for at find hvor mange gange antallet af myoner er blevet halveret: t1 = t t1 = 1,35 10 5 s 2 T1 2 1,56 10 6 s t1 = 8,65 2 2 Nu skal vi finde ud af hvor mange myoner der er tilbage ud fra formlen: I = I 0 100 2 t1 2 I = 1000000 1 I = 2490 28,65 Derved kan vi altså måle myoner ved jordoverfladen. Hvis relativitetsteorien ikke galt men derimod vi holdte os til den klassiske fysik ville kun: t = L 0 v t = 20000 m 0,98 3 10 8 m s t = 6,8 10 5 s t1 = t t1 = 6,8 10 5 s 2 T1 2 1,56 10 6 s t1 = 43,6 2 2 I = I 0 100 2 t1 2 I = 1000000 1 I = 7,5 10 8 243,6 Det ville altså være højest usandsynligt at opleve myoner ved jordoverfladen, hvis Einsteins relativitets teori ikke indtrådte. 21

Konklusion I opgaven har vi vidst hvordan man gik fra at kigge på alt gennem den klassiske fysik. Vi har udledt transformationer for denne såvel som for den mere moderne relativistiske opfattelse som Einstein førstegang fremlagde i 1905. Ydermere har vi set på eksempler fra den virkelige verden såvel som tankeeksperimenter for at forstå og vurdere begrebet relativitet. Vi har set på eksempler som virker absurde, men alligevel så siges at være korrekte. Hvad vi ikke har kigget på er om Einstein i virkeligheden tog fejl. Vi kan se at de eksperimenter vi har beskæftiget os med stemmer over ens med Einsteins relativitetsteori, men dette bestemmer ikke denne til at være det endelige fait. På samme måde som man kan finde eksempler på at Galilei transformationen passer på visse eksperimenter, kan det være at relativitetsteorien også kun tilnærmelsesvis passer. På CERN i Shweitz har forskere tilsyneladende fundet en neutrino som kan bevæge sig med en hastighed hurtigere end lysets. Hvad vil det sige for relativitetsteorien? Det vil i hvert fald sige at den skal revideres hvis lysets hastighed ikke er den maksimale hastighed. det kunne også betyde at vi kigger på tidsrejser, at tiden simpelthen går baglæns for hastigheder over lysets, derved behold vi lysets hastighed som en vigtig konstant, men stadig ikke som den maksimale hastighed. Dog siger fysikere som Mihio Kaku, at der ikke er tale om en omskrivning af relativitet som vi kender den, men at forskerne på CERN simpelthen må have lavet en fejl. Enten i deres måleudstyr eller i deres beregning. 22

Litteraturliste Bøger Dam, Mogens - Introduktion til den speielle relativitetsteori: Niels Bohr Instituttet Kleppner, Daniel og Kolenkow, Robert J. - An Introdution to Mehanis: MGraw-hill Hjemmesider http://da.wikipedia.org/wiki/newtons_love http://en.wikipedia.org/wiki/lorentz_transformation http://hyperphysis.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/muon.html http://iraknol.wordpress.om/artile/aristotle-s-physis-the-five-elements-3nxde0rz8dtk-7/ Film http://www.youtube.om/wath?v=202fu9qivk4&list=hl1356028709 http://www.youtube.om/wath?v=kgjqkze3pti&list=hl1356028709 http://www.youtube.om/wath?v=ajhfnutji0&list=hl1356028709 http://www.youtube.om/wath?v=lip3evulnjs&feature=p%c2%adlp http://www.youtube.om/wath?v=30kfpthe4s http://www.youtube.om/wath?v=xvzfx7iwq94 http://www.youtube.om/wath?v=9xjs4i4oqdy&list=hl1356032499 23