Matematiske metoder - Opgaver
|
|
- Aage Nissen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014
2 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn. Byt med din sidemand og forsøg at afgøre hvilke af hans/hendes udtalelser, der er udsagn. Diskuter jeres svar. Opgave 2 (øvelse fra slides) Opskriv sandhedstabeller for disjunktion, negation, implikation og biimplikation. Opgave 3 Opskriv sandhedstabeller for følgende sammensatte udtryk, og afgør om der er tale om en tautologi, en modstrid eller ingen af delene. a) (p p) b) p (p p) c) p (p q) d) (p q) ( p q) e) (p (q q) f) (((p q) p) p) Opgave 4 Vi ved hjælp af sandhedstabeller at følgende logiske ækvivalenser er gældende. a) ( p) p b) (p q) p q c) p q p q d) (p q) r (p r) (q r) Opgave 5 Formaliser følgende sproglige sætninger med udsagnslogik. a) Hvis det regner bliver vi våde. b) Vi rejser hvis og kun hvis det er efterårsferie. c) Kurt spiser kun is når solen skinner. d) Hvis Anna ikke kommer til festen så bliver festen kedelig og Martin bliver skuffet. Opgave 6 (svær) På en fjern ø er der to typer af mennesker: 1
3 Sandsigere, som altid fortæller sandheden (alt hvad de siger er sandt) Løgnere, som altid lyver (alt hvad de siger er falsk) a) Engang besøgte en fremmed øen, her mødte han to af øens indbyggere, Peter og Signe. Han spurgte dem: Er nogen af jer løgnere?. Mindst en af os er løgner, svarede Peter. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Peter og Signe hver i sær er løgner eller sandsiger. Hint: Betegn udsagnet Peter er sandsiger med p og udsagnet Signe er sandsiger med s. Opstil et sammensat udsagn, der udtrykker at mindst en af dem er løgner. b) Senere mødte den fremmede to andre indbyggere, Anne og Bob. Han spurgte Anne: Er nogen af jer sandsigere?. Hvis Bob er en løgner, så er jeg også en løgner, svarede Anne. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Anne og Bob hver i sær er løgner eller sandsiger. Opgave 7 Skriv i ord hvad følgende udsagn betyder. Afgør desuden om udsagnet er sandt eller falsk. a) x R : x 2 = 16 b) x R y R : y > x c) x Q : x > 0 x 2 > x d) x R : x = 0 (x + x = x) Opgave 8 Oversæt følgende sætninger til udsagn (brug prædikater). a) Ikke alle reelle tal er positive. b) Der findes et rationalt tal, der er større end 10. c) For ethvert naturligt tal n findes der et reelt tal x, så x > n. d) Der findes et reelt tal x, som, når det multipliceres med et vilkårligt andet tal y, giver y. e) Ligningen x 2 2x 5 = 0 har ingen rational rod. f) Alle ligninger på formen ax + b = 0, a 0, har en reel løsning. Uanset hvad a og b er. 2
4 Opgave 9 Skriv i ord hvad følgende to udsagn siger Er kvantorernes rækkefølge ligegyldig? Direkte bevis y R x R : x 2 > y x R y R : x 2 > y I de følgende opgaver, må du gerne udnytte følgende uden videre bevisførelse. Definition 1 Et helt tal x kaldes lige, hvis der findes et andet helt tal k, så x = 2k. Definition 2 Et helt tal der ikke er lige, kaldes ulige. Sætning 3 Et helt tal x er ulige hvis og kun hvis det kan skrives på formen 2k + 1, hvor k Z. Bevis. Se opgave 19 og 27. Definition 4 Ethvert kvadrattal kan skrives på formen k 2, hvor k N. Opgave 10 Vis at produktet af to lige tal er lige. Opgave 11 Vis at produktet af et lige og et ulige tal er lige. Opgave 12 Vis at kvadratet på et ulige tal er et ulige tal. Opgave 13 Vis at hvis m og n begge er ulige tal så er mn også ulige. Opgave 14 Vis at hvis m og n begge er kvadrattal så er mn også et kvadrattal. Opgave 15 Vis at hvis 3 går op i både m og n så går 9 op i mn. 3
5 Opgave 16 Lad x, y R + (x og y er to positive reelle tal). Vis at x y + y x 2 (x y)2 0 Opgave 17 (svær) Vis at hvis 3 går op i m + 2, så går 3 også op i m 2 1. Opgave 18 (svær) Lad x, y R +. Vis at Hint: Udnyt at (x y) 2 0 x + y 2 xy Opgave 19 (svær) Vis at hvis x er et ulige tal, så kan det skrives på formen 2n + 1, hvor n Z. Hint: Da x er ulige er det pr. definition ikke lige. Da findes et største tal m Z så 2m < x. Kan du lave en begrænsning på x opad? Opgave 20 (svær) Vis at n(n + 1) n = 2 Hint: sæt x = n og bestem et udtryk for 2x. Opgave 21 (svær) En retvinklet trekant ABC med sidelængderne a, b, c har arealet T = 1 4 c2, hvor c er hypotenusen. Vis at trekanten er ligebenet. Opgave 22 (meget svær) Bestragt summen af de første k naturlige tal. Vis at hvis der findes et q N så k = 4q + 1, så er summen ulige. Modeksempel Opgave 23 Vis ved et modeksempel at følgende udsagn er falske. a) a, b R : a 2 + b 2 = (a + b) 2 b) x R : x x c) n N x R : n > x (et sprogligt argument er tilstrækkeligt i spørgsmål c). 4
6 Opgave 24 Vis med et modeksempel, at følgende sætning ikke gælder Summen af to irrationale tal er (altid) irrational. Opgave 25 Vis at følgende sætning ikke er sand. Hvis man har ti tal, hvis sum er delelig med tre og hvis et ulige antal af tallene ikke selv er delelig med tre, da kan det aldrig lade sig gøre at dele tallene i to grupper, hvor summen af hver gruppe er delelig med tre. Opgave 26 Vis at følgende sætning ikke er sand. Hvis man har x meter reb, og ønsker afgrænse det størst mulige areal med rebet, da skal man lægge rebet i en kvadrat med sidelænge x 4. Bevis ved kontraposition Opgave 27 Vis at hvis n 2 er ulige, så er n ulige. Opgave 28 Hvilken sætning kan du lave ved at ved at kombinere resultaterne af opgave 12 og 27? Hvilket resultat fra slidsne trækker du på? Opgave 29 Vis at hvis et helt tal q ikke går op i et helt tal n 2, så går q heller ikke op i n. Opgave 30 Vis at hvis 3n + 2 er ulige så er n ulige. Opgave 31 Lad x og y være hele tal. Vis, at hvis x y er ulige, så er både x og y ulige. Opgave 32 (svær) Vis at hvis 3 går op i n 2 så går 3 også op i n. Hint: ethvert tal, som 3 ikke går op i, kan skrives som 3k 1 eller 3k + 1, hvor k Z. Modstridsbeviser Opgave 33 Lad x, y og z være tre reelle tal. Vis at x > y y > z x > z Hint: Antag at x z og vis, at det fører til modstrid. 5
7 Opgave 34 Lad x, y og z være tre reelle tal. Vis at x y y z x z Hint: Antag at x > z og vis, at det fører til modstrid. Opgave 35 Lad x, y og z være tre reelle tal. Vis at x y y x x = y Hint: Antag at x z og vis, at det fører til modstrid. Opgave 36 Der findes inden reelle talpar (x, y), der løser ligningen x = 2xy y 2 Hint: Antag at der findes et talpar (x, y) R 2 + som løser ligningen. Prøv derefter at omskrive ligningen, så du kan bruge en kvadratsætning. Opgave 37 Lad x være et helt tal, der kan skrives på formen 2n + 1, hvor n Z. Vis at x er ulige. Hint: Antag at x er lige og brug definition 2. Opgave 38 Vis at der ikke findes et heltal k, så 4k + 3 er et kvadrattal. Opgave 39 Lad x og y være to forskellige positive reelle tal. Vis at Hint: Brug resultatet fra opgave 16. x y + y x > 2 Opgave 40 Når du skal løser denne opgave, er det vigtigt, at du argumenterer for hvert eneste skridt. Du skal undervejs bruge nogle af resultaterne fra tidligere opgaver. a) Vis at 3 er irrational. b) Vis at 6 er irrational. c) Afgør om er irrational. Opgave 41 Vis at der ikke findes hele tal x og y, der løser ligningen x 2 y 2 = 2 Hint: faktoriser højresiden og overvej hvilke tal, der gange med hinanden giver 2. 6
8 Beviser delt op i tilfælde Opgave 42 Lad n være et naturligt tal. Vis at n + n 3 er lige. Opgave 43 Lad n være et naturligt tal. Vis at 2n 2 1 er ulige. Opgave 44 Lad n være et helt tal. Vis at n 2 5n + 7 er ulige. Opgave 45 Lad n være et helt tal. Vis at 3n 2 + n + 14 er lige. Opgave 46 Lad n være et naturligt tal. Vis at 9 går op i n 3, n 3 1 eller n Hint: Del beviset op i tre tilfælde. Det har noget med 3-tabellen at gøre. Opgave 47 Lad n være et helt tal, der ikke er deleligt med 5. Vis at n 2 divideret med 5 efterlader en rest på enten 1 eller 4. Opgave 48 Vi indfører nu x, som siges den numeriske værdi af x og er lig afstanden fra tallet og hen til 0 på den reelle akse. Eksempelvis er 3 = 3, 7 = 7 og 2 3 = 1. Vi at for alle x R gælder at 2 x + 1 x 1 2 Hint: prøv at dele beviset op i tre tilfælde. Det første tilfælde kunne være x 1. Opgave 49 Vis at for alle x R gælder sin(x) x Eksistensbeviser Opgave 50 Vis at der eksisterer tre heltal a, b og c således at a 2 + b 2 = c 2 Opgave 51 Vis at der eksisterer to heltal m og n således at 2m + 3n = 12 7
9 Opgave 52 Vis at der eksisterer et primtal p således at p + 4 og p + 6 også er primtal. Opgave 53 Vis at der for alle ulige heltal k eksisterer to på hinanden følgende heltal x og y så k = x + y Opgave 54 Vis at der til ethvert ulige tal k findes to kvadrattal x 2 og y 2 således at k = x 2 y 2 Entydighedsbeviser Opgave 55 Vis at der kun findes ét n N sådan at Opgave 56 Vis at der kun findes ét tal x R sådan at n + 2 = 9 x 2 + 4x + 4 = 0 (Det er ikke nok at løse ligningen med løsningsformlen. Du skal også vise, at der ikke findes andre løsninger.) Hint: Anvend første kvadratsætning. Induktionsbeviser Opgave 57 Vis at For alle n N Opgave 58 Vis at For alle n N Opgave 59 Vis at 4 går op i 5 n 1 for alle n N (3n 1) = n(3n + 1) (4n 3) = n(2n 1) 8
10 Opgave 60 Lad x være et reelt tal og n være et naturligt tal. Vis at og bestem dernæst summen Opgave 61 Gæt på en formel for summen og bevis, at din formel passer. Opgave 62 Vis at for alle n N går 5 op i 11 n 6. Opgave 63 Vis at for alle n N går 5 op i 8 n 3 n. Opgave 64 Lad n N og undersøg udtrykket 1 + x + x 2 + x x n = xn+1 1 x n(n + 1) 4n < 2 n Hvornår gælder det? Formuler en sætning og vis den. Mængder Opgave 65 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1 til og med 100. b) En mængde C indeholder alle rationelle tal større end 1 3 og mindre end 7. c) En mængde D indeholder alle tal i 4-tabellen. d) En mængde E indeholder alle positive ulige tal. e) En mængde B indeholder alle de reelle talsæt (x, y), hvor y er 3 gange x. Opgave 66 Betragt mængderne Vis at A B. A = {1, 2} B = {x R x 2 + 2x 3} 9
11 Opgave 67 Betragt mængderne Vis at A B. Opgave 68 Betragt mængderne Vis at A B. Opgave 69 (svær) Betagt følgende mængder A = {x R x 2 < 9} B = {x R x < 4} A = {x R + x < 5} B = {x R x < 100} A = {x N x = 11 k, k N} Vis at A B. B = {x N sidste ciffer i n er 1} Hint: Brug induktion til at vise, at 11 k ender på 1 for alle k N. Opgave 70 (svær) Betragt mængderne Vis at A = B. A = ( 1, 1) B = {x R x 2 x} Hint: når man skal vise at B A, er det en god ide at betragte tilfældene x = 0 og x 0. Opgave 71 Tegn Venn-diagrammer der illustrerer følgende situationer: a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder. b) A B C c) A C, B C og A B = d) A B C, men hverken A eller B er delmængder af C. Opgave 72 Betragt mængderne A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 5, 7, 9} C = {2, 4, 6, 8} 10
12 a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder. b) Bestem A B c) Bestem A C d) Bestem A B C e) Bestem A B C Opgave 73 Betragt følgende intervaller. Reducer udtrykke, hvis det er muligt. a) Bestem (4, 7) [5, 9] og (4, 7) [5, 9]. b) Bestem ( 2, 9) (8, 10] og ( 2, 9) [8, 10]. c) Bestem [ 2, 5] ( 3, 9] og [ 2, 5] ( 3, 9]. d) Bestem [0, 4] ( 5, 11] og [0, 4] ( 5, 11]. e) Bestem ( 2, 1] (2, 5] og ( 2, 1] (2, 5]. Opgave 74 (svær) Vis at n=1 ] 1 n, [ = [0, 1] n Opgave 75 (svær) Vis at n=1 ] 1 n, [ =] 1, 2[ n Opgave 76 Bestem Opgave 77 Bestem n=1 n=1 [ 1, 1 1 n ] [ 1, 1 1 n ] Opgave 78 Tegn følgende mængder i et koordinatsystem a) B = {(x, y) R 2 x + y 1}. 11
13 b) C = [2, 4) ( 1, 3]. c) D = {(x, y) R 2 y = 2x + 1}. d) E = {(x, y) R 2 x + y 1}. Opgave 79 (svær) a) En mængde C indeholder alle de punkter i R 2, der ligger inden i (og altså ikke på) en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Opskriv mængden som en sandhedsmængde. b) En mængde K indeholder alle de punkter i R 3, der ligger inden i eller på en kugle med radius 2 og centrum i punktet (0, 0, 0). Opskriv mængden som en sandhedsmængde. c) En mængde Q er givet ved Q = {(x, y, z) R 3 x 1, 1 < y < 2, z 1}. Tegn mængden. Opgave 80 (Georg Mohr konkurrencen, 2. runde 1991) Betragt den reelle talplan R 2. a) Bestem mængden af alle de punkter, der ligger dobbelt så langt fra punktet P = (3, 0) som fra punktet O = (0, 0). b) Tegn mængden. 12
Matematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereBOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik
( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne
ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereGUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2
GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde esvarelser som falder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemaerne, bedømmes ved analogi så skridt med tilsvarende
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereGrundlæggende Opgaver
Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)
For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereLigninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7
Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereREELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer
LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning
Læs mereBOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net
NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNiels Johnsen Problembehandlingskompetencen
Niels Johnsen Problembehandlingskompetencen Kursus arrangeret af UCC og Danmarks Lærerforening Ringsted 18.9.2015 Matematiske problemer matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereRæsonnement og tankegang. DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC
Ræsonnement og tankegang DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Vivianis sætning - optakt Vicenzo Viviani (1622-1703) var en italiensk matematiker. Han var elev af Galilei. Denne opgave handler
Læs meretal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereKombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft
Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereFørst falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.
ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mere4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))
A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k
Læs mereOM BEVISER. Poul Printz
OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMundtlig prøve i Matematik
Mundtlig prøve i Matematik Tirsdag d. 9. september 2014 CFU Sjælland Mikael Scheby NTS-Center Øst Dagens indhold Prøvebekendtgørelse highlights Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mere