1 Bits og Bytes Computere er fortræffelige til at opbevare data og behandle data Af data vil vi i dette afsnit primært beskæftige os med billeder, tekst og lyd, og se på, hvordan sådanne data lagres i en computer Data lagres som bits i en computer, hvor er bit er den mest fundamentale lagerenhed Det er nemmest at tænke på en bit som noget, der kan repræsentere to muligheder Almindeligvis benyttes tallene 0 og 1 som symboler for de to muligheder Det er så op til os (eller det computerprogram vi benytter) at fastlægge, hvad der i en given situation menes med 0 og 1 Rent fysisk kan en bit fx realiseres ved hjælp af en elektrisk pære, der kan være tændt eller slukket en elektromagnet, der kan have nordpol i den ene eller den anden ende - men det er ikke noget vi skal bekymre os om nu Nedenfor ser du et billede af Mona Lisa Dette billede vil vi gerne have lagt ind i en computer, så vi kan se det i et billedprogram Vi skal altså på en eller anden måde beskrive billedet ved hjælp af en række 0 er og 1 ere Denne proces kaldes digitalisering Digitalisering af billeder Digitalisering af billeder foregår ved at man så at sige lægger et net ud over billedet Hvert eneste felt i dette net kaldes et billedelement eller en pixel Hvis nettet er tilpas finmasket, vil hvert billedelement være (næsten) ensfarvet Vi skal se på et net med en maskestørrelse på ca 0 25mm x 0 25mm Med ovenstående billede af Mona Lisa giver det et net med 180 x 216 = 38800 masker Nedenfor er vist Mona Lisas højre øje og en stor forsørrelse opdelt i kvadrater svarende til det net der er lagt på Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 1

1 bits gråtoner Vi skal nu til at bestemme gråtonen inden for hver pixel Til en start vil vi kun benytte os af to gråtoner: Sort og hvid - altså to muligheder Vi skal således for hvert felt afgøre, om feltet er mest sort eller mest hvidt Vi vælger tolkningen: 0 = 1 = Det kan være lidt svært at afgøre om et felt er mest sort eller mest hvidt I den øverste række skal alle felter pånær det sidste være sorte (øjenvipperne) I den anden række er der i midten et større sammenhængende hvidt område (det øverste af øjet) O s v Svarende til felterne i forstørrelsen af øjet, kan vi opstille et skema med den valgte farve: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 Med lidt god vilje kan man genkende øjet ud fra mønstret af 0 er og 1-taller Med de valgte værdier kommer øjet til at se sådan ud Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 2

Udfører vi digitaliseringen for hele billedet kommer det til at se sådan ud: Til digitaliseringen har vi brugt 38 800 bits Denne 1-bit digitalisering svarer til det man kan se på en lystavle, hvor hver pixel er repræsenteret ved en lille pære, der enten kan være tændt eller slukket Pærerne skal naturligvis være opstillet i 180 rækker og 216 søjler for at billedet skal kunne genkendes 2 bits gråtoner For at opnå en bedre gengivelse af Mona Lisa skal vi have flere gråtoner i sving Lad os fordoble antallet af gråtoner til 4: sort 66% 33% hvid Til beskrivelsen af de fire gråtoner kan vi ikke nøjes med en enkelt bit, da vi med en enkelt bit kun kan skelne mellem to muligheder Men benytter vi 2 bits til beskrivelsen, så har vi præcis 4 muligheder: = 00 = 01 = 10 = 11 Her kommer koderne for Mona Lisas højre øje til at se sådan ud: Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 3

Billedet af Mona Lisa kommer med 4 gråtoner til at se sådan ud - stadigvæk ikke helt godt, men langt bedre end før Prisen for denne forbedrede udgave er det dobbelte antal bits, altså 180 x 216 x 2 = 77 760 bits Øvelse 1: Lad os igen fordoble antallet af gråtoner denne gang til 8 Hvor mange bits skal bruges til at beskrive 8 gråtoner? Sæt systematisk bitkoder på de 8 gråtoner = = = = = = = = Nedenfor ser du billedet af Mona Lisa i 8 gråtoner Hvor mange bits er anvendt i alt? Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 4

4 bits gråtoner Benytter vi 4 bits gråtoner, får vi i alt 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4 = 16 forskellige gråtoner: En metode til systematisk nedskrivning af bitkoderne, hvor du starter med 0000 og slutter med 1111, er følgende: 1) Start med 0000 2) Skriv dernæst den anden mulighed for den bageste bit: Din liste ser nu sådan ud: 0001 0000 0001 3) Den næstbageste bit er 0 i begge bitkoder De to næste bitkoder fremkommer ved at sætte den næstbageste bit til 1, så din liste nu er 0000 0001 0010 0011 4) Den tredje bageste (eller næst forreste) bit er 0 i alle fire ovenstående bitkoder De næste fire næste bitkoder fremkommer ved at skrive et 1-tal i tredje bageste bit: 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 5

5) De næste (og sidste) 8 bitkoder får du nu ved at erstatte 0 erne i den forreste bit med 1-taller : 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Læg mærke til at fjerner du de to forreste bits i listen i 3), får du netop de 4 kombinationer der er med 2 bits Fjerner du den forreste bit i listen i 4), får du netop den systematiske liste du skulle opskrive i øvelse 1 Pladsforbruget ved 16 gråtoner er: 180 x 216 x 4 = 155 520 bits, og med 16 gråtoner kommer Mona Lisa til at se sådan ud (billedet til venstre) Nu begynder det for alvor at ligne, men vi kan naturligvis gøre det endnu bedre ved at benytte flere og flere gråtoner De næste i rækken vil være 32, 64, 128 og 256 gråtoner svarende til hhv 5-, 6-, 7- og 8-bits koder Almindeligvis benyttes 256 gråtoner ved digitalisering af sort/hvid billeder Ovenfor til højre ser du en udgave af Mona Lisa med 256 gråtoner Kan du se forskel? Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 6

Vi samler vores undersøgelser i et skema, hvor den sidste kolonne viser pladsforbruget for billedet af Mona Lisa Bits Gråtoner Pladskrav 1 2 38880 2 4 77760 3 8 116640 4 16 155520 5 32 194400 6 64 233280 7 128 272160 8 256 311040 Farvebilleder Alle farver kan mixes af rød, grøn og blå Derfor taler man om RGB-farver Når en pixel i et farvebillede skal beskrives, sker dette ved at angive, hvor meget rødt, grønt og blåt der skal blandes i Vi kan således dele et farvebillede op i 3 almindelige gråtonebilleder, hvor det ene er rødtone, det andet er grøntone og det tredje er blåtone - alle 3 farvelægges med en 8-bits farvekode Nedenfor ses et farvebillede af Kylie Minogue (vises i sort-hvid her): Dette billede deles op i 3 - en rødtone, en grøntone og en blåtone Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 7

Farvebilleder kommer således til at fylde 3 gange så meget som et sort-hvidt billede Hver pixel i et farvebillede farves med tre 8-bits koder for hhv rød, grøn og blå Der skal altså bruges 24 bits til farvning af hver pixel Deraf kommer udtrykket 24-bits farver Undertiden benyttes endda yderligere 8 bits til at angive farvemætningen Herved kommer man op på 32-bits farver Øvelse 2: Ved at højreklikke på din computers skrivebord og vælge Egenskaber i menuen kan du få Egenskaber for Skærm frem Vælger du her fanebladet Indstillinger, vil du få oplysninger om din skærmindstilling frem (du får sikkert ikke de samme som dem, der er vist her) Hvor mange bits skal bruges til et skærmbillede i denne opløsning? Bytes En bit er den mest fundamentale lagerenhed i en computer Næsten lige så fundamental er enheden en byte, som er det samme som 8 bits At man har lavet enheden bytes er af rent praktiske årsager Vi har set, at i sort-hvid billeder fastlægges gråtonen i hver pixel vha en byte I farvebilleder fastlægges farven vha 3 bytes, en byte til den røde farve, en byte til den grønne og en byte til den blå farve Dette er blot et par eksempler blandt mange, hvor enheden en byte er praktisk at benytte I det følgende vil du se flere 1 byte = 8 bits Kilo-, Mega- og GigaBytes Når man vejer ting, er gram et udmærket enhed for små vægte Når man skal veje tungere ting, benyttes kilogram i stedet Forstavelsen kilo betyder her 1000 På samme måde med bytes, men her betyder kilo i kilobytes ikke 1000 Vi har set, at hver gang vi tilføjer en bit, så fordobles antallet af muligheder Denne fordobling svarer til at gange med 2, så potenserne af 2 er meget nyttige at kende: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 n 2 4 8 16 32 64 128 256 521 1024 Fx betyder 2 4 at 2 er ganget med sig selv 4 gange: 2 4 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 8

Et hurtigt kig i tabellen viser, at 2 10 = 1024 er den 2-potens, der er nærmest på 1000 Derfor har man vedtaget, at 1 kilobyte skal betyde 1024 bytes Kilobyte forkortes KB 1 KB (kilobyte) = 1024 bytes Da antallet af bytes, der skal benyttes eller er til rådighed, ofte er megastort, har man indført betegnelsen megabyte (MB) Her er fastsættelsen 1 MB (megabyte) = 1024 KB I nyere tid er betegnelserne gigabyte og terabyte også kommet på banen: 1 GB (gigabyte) = 1024 MB 1 TB (terabyte) = 1024 GB Øvelse 3: 1) Billedet af Mona Lisa i 8 bits gråtoner fylder 311040 bits Hvor mange KB er det? 2) I øvelse 2, skulle du bestemme, hvor meget et bestemt skærmbillede fylder Som resultat skulle du gerne have fået 47040000 bits Hvor mange bytes er det? Hvor mange KB og hvor mange MB? Et skærmkort skal kunne rumme et skærmbillede i den indbyggede hukommelse Moderne skærmkort har typisk en hukommelse på 64 MB Hvad mon de overskydende megabytes bruges til? 3) 1 KB = 1024 bytes = 2 10 bytes Skriv tilsvarende 1MB, 1GB og 1 TB som en 2-potens Digitalisering af lyd Hvis du tilslutter en mikrofon til lydkortet på din PC kan du let lave en lille lydoptagelse på dim PC Det, der kommer ud af det, er en lille WAV-fil, som indeholder en digitalisering af den lyd, mikrofonen modtog Lyden er analog af natur, men WAV-filen er digital Omsætningen sker i lydkortets A/D (analog/digital)-konverter Programmet til lydoptagelse finder du under Programmer / Tilbehør / Underholdning / Lydoptager Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 9

Under Filer / Egenskaber finder du følgende oplysninger, der fortæller noget om lydformatet: Mikrofonen omdanner lyden til et elektrisk signal, der har form som en vekselspænding: Musiksignalet hakkes nu i småbidder, og jo flere småbidder jo bedre Størrelsen 22,050 khz i indstillingen af Lydoptager ovenfor betyder, at der er 22050 småbidder pr sekund - eller med andre ord: Lyden registreres 22050 gange pr sekund Hver bid måles nu: Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 10

Hvor fin denne måling er, afhænger af, hvor mange bits der benyttes til at repræsentere målingen I Lydoptager måles med 8 bits Dvs 256 forskellige værdier kan registreres Kvaliteten af en indspilning men Lydoptager er ganske jævn Hvis du har installeret et ordentligt lydkort i din computer, har du sikkert fået en del lyd-software med sammen med kortet Du skulle så have mulighed for at lydoptagelse i en fornem musik CD kvalitet (44,100 khz, 16 bit, Stereo) Øvelse 4 Hvor mange Mb vil 1 minuts musik fylde i kvaliteten: 44,100 khz, 16 bit, Stereo Digitalisering af tekster Digitalisering af tekst foregår på den måde, at hvert enkelt tegn tildeles en entydig bitkode Ønsker vi blot at kunne digitalisere bogstaverne i det danske alfabet, behøver vi blot 29 x 2 = 58 bitkode, så har vi kode til såvel små som store bogstaver Men det er slet ikke nok! Vi skal naturligvis også have tallene (0, 1,, 9) med, vi skal også have tegne som komma, punktum, kolon o s v med En kode for mellemrum skal også med - kig på dit tastatur, og overvej, hvad der skal med Man er internationalt blevet enige om en bitkode til hvert tegn (ASCII-koden), denne omfatter ud over de allerede nævnte tegn også specielle tegn fra de øvrige vesteuropæiske sprog og en række specielle kontroltegn Samles revl og krat kommer man ikke over 128 tegn, så 7 bits vil altså være nok Alligevel benyttes en 8-bitskode De ekstra 128 tegn, der herved bliver muligt at få med, kan lay-outes på forskellig måde, men ofte har man de græske bogstaver samt nogle almindelige matematiske tegn med Øvelse 5 I ASCII-koden (der er en 8-bitskode) er koderne for bogstaverne A og B : A = 01000001 B = 01000010 Idet det forudsættes, at bogstaverne kommer i alfabetisk orden, hvad er da bitkoderne for M og N? Øvelse 6 Find vha Karbos Guide på www mkdata dk/pctutor ud af, hvad ASCII betyder Find i Karbos Guide ASCII koden for tallene 0, 1, 9 Øvelse 7 På en almindelig A4 side er de ca 40 linjer med 60 tegn i hver Hvor mange sådanne A4 sider kan der ligge på en 1,44 MB diskette? Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 11

Digitalisering af tal Vi har allerede set, at tallene 0, 1, 2,, 9 har en entydig 8-bits kode fatslagt i ASCII-tabellen Skal vi fx skrive tallet 123, skal vi bruge 3 bytes (24 bits) til formålet Det er fint nok, hvis tallet blot skal være en del af en tekst, men stal tallet bruges i forbindelse med beregninger, er det uhensigtsmæssigt mange bits at benytte Derfor: Der skal skelnes mellem tal opfattet som tekst og tal opfattet som noget, der skal indgå i en beregning Hvis vi nummererer alle systematisk opskrevne 8-bits bitkoder, kan vi repræsentere tallene fra 0 til 255 (altså 256 tal i alt): 0 = 00000000 1 = 00000001 2 = 00000010 3 = 00000011 4 = 00000100 254 = 11111110 255 = 11111111 Denne nummerering skal vise sig at være uhyre hensigtsmæssig Det er den ikke endnu Brugen heraf ville kræve en fuldstændig tabel hvad er fx bitkoden for 123 og hvilket tal har bitkoden 01010101? Øvelse 8 Fortsæt den systematiske nummerering Hvilke tal får følgende koder: 00000100 00001000 00010000 00100000 01000000 10000000 Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 12

2 Lidt om talsystemer Titalssystemet Som bekendt er titalssystemet bygget op med cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 som basis Når vi ser et tal, som fx 5475, ved vi, at de to 5-taller i tallet ikke betyder det samme Her er det cifrets position, der er afgørende Tallet læses og opfattes som 5 1000 + 4 100 + 7 10 + 5 Skriver vi tallene 1000, 100 og 10 som potenser af 10, ser det sådan ud 3 2 1 0 5 10 + 4 10 + 7 10 + 5 10 hvor 10 0 = 1 Heraf kan vi se, hvordan tallets position giver 10-potensen: Vi tæller positionen bagfra i tallet: &LIIHU 3RVLWLRQ 5 4 7 5 3 2 1 0 Totalssystemet Totalssystemet fungerer helt tilsvarende, blot er det bygget op af cifrene 0 og 1 Tal i totalssystemet kaldes binære tal Et binært tal som fx 100101 skal tolkes således: &LIIHU 3RVLWLRQ 1 0 0 1 0 1 5 4 3 2 1 0 Vi oversætter til titalssystemet som før, hvor vi dog erstatter 10-potenserne med 2-potenser, men ellers er princippet det samme: 5 4 3 2 1 0 1 2 + 0 2 + 0 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 Og så ville det jo være godt at kende alle 2-potenser Vi laver en lille tabel (som vi kender i forvejen) Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Ved hjælp af denne tabel kan vi så oversætte 100101 til 32+ 0+ 0+ 4+ 1= 37 Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 13

Hvordan kommer vi så den anden vej, altså oversætter fx 157 til totalssystemet? Helt primitivtkan vi blot benytte vores tabel igen: Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 I 157 er der en 128 er Tilbage er 29 Dvs der er ingen 64 er og ingen 32 er, men der er en 16 er Tilbage er så 13 Så er der plads til en 8 er, en 4 er, ingen 2 er, men en 1 er Dette kan vi skrive således: eller 1 128 + 0 64 + 0 32 + 1 16 + 1 8 + 1 4 + 0 2 + 1 hvilket giver det binære tal 10011101 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 + 0 2 + 0 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 Øvelse 9 Hvilket tal i 10-talssystemet repræsenterer det binære tal 10011101? Skriv tallet 123 binært Hvad er de binære 8-bits koder for tallene 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 og 128? Øvelse 10 På din computer ligger der som standard en lommeregner, der kan konvertere decimale tal til binære tal og binære tal til decimale Du finder lommeregneren ved at vælge Start / Programmer / Tilbehør / Lommeregner Som standard kommer der en slavelommeregner frem, men ved at gå ind i menupunktet Vis kan du ændre denne til en videnskabelig lommeregner: Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 14

Konverteringen sker ved at benytte de 4 radiobuttons : I startindstillingen (som vist) skal der indtastes decimale tal Dette kan ændres ved at klikke på en af knapperne Indtastr du fx 123 i indstillingen Dec og derefter trykker på Bin, får du tallet skrevet binært i lommeregnerens display Prøv! Og eksperimenter flittigt med lommeregneren Hexadecimale tal En byte er en af de mest grundlæggende enheder i en computer En byte er en streng bestående af 8 bits Binære tal er ofte meget svære at overskue, så derfor angiver man ofte bytes som hexadecimale tal (tal i 16-talssystemet) Ideen er, at man deler en byte i to 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 På fire bits kan man danne 16 forskellige tal (0000 = 0, 0001 = 1,, 1111 = 15) og det kan udtrykkes som et ciffer i 16-talssystemet Man har valgt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F til at betegne cifrene i 16-talssystemet Det binære tal 10011101 kan altså udtrykkes som 9D hexadecimalt Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 15

1 + 1 = 10 Sådan lægger man binære tal sammen Når du lægger to tal fra titalssystemet sammen, starter du med de bageste cifre og bruger menteoverførsel, hvis summen af cifrene er 10 eller derover: + 155 69 224 Først lægges 5 og 9 sammen Dette giver 4 og 1 i mente Så lægges 5 og 6 sammen med menten (1), og dette giver 2 og 1 i mente Til slut lægges 1 og menten (1) sammen til 2 Tilsvarende sker det i totalsystemet Her er den grundlæggende regel: 1 + 1 = 0 og 1 i mente Lad os skrive tallene 154 og 69 binært på 8 bits og prøve at lægge dem sammen efter denne regel: 155 = 10011011 69 = 01000101 223 = 11100000 Additionen foregår således (menterne er skrevet med fed skrift): Start bagfra 1 + 1 = 0 og 1 i mente 1 + 1 + 0 = 0 og 1 i mente 1 + 0 + 1 = 0 og 1 i mente o s v Øvelse Udregn summen 00010101 + 10100100 Omskriv tallene til titalssystemet og check om du har regnet rigtigt Udregn summen 11001000 + 01010111 Kig nøje på resultatet - hvad sker der? At gange et tal med 2 er det samme som at lægge tallet sammen sig selv Prøv at lægge det binære tal 01010101 sammen med sig selv Kig nøje på resultatet - kan du formulere en regel for at gange et binært tal med 2? Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 16