Fra talfornemmelse til talforståelse

Fra talfornemmelse til talforståelse 1 Fra talfornemmelse til talforståelse Pernille B. Sunde og Lisser Rye Ejersbo 2 pindogbjerre.dk 1

Antalsfornemmelse Antalsfornemmelse Evnen til at skelne mellem to mængder med relativt mange elementer. 3 Subitizing Subitizing Evnen til at skelne små antal (typisk op til 4) uden at tælle. 4 pindogbjerre.dk 2

Tæl mindre og tal mere om tal! Vi skal turde snakke om antal på baggrund af subitizing. Vi skal turde snakke om antal uden altid at tælle én ad gangen. Selv små børn kan se tre, de ved bare ikke hvad det hedder. 5 Strategier 6 pindogbjerre.dk 3

Strategier Backup strategier Konkrete handlings strategier. Tællestrategier Retrieval strategier Strategier, hvor eleven bruger viden fra hukommelsen. Hukommelsesstrategier. Tænkestrategier. 7 Forskning Ca. 100% af eleverne i matematikvanskeligheder bruger backup strategier (tællestrategier) gennem hele skoletiden. Snorre Ostad 8 pindogbjerre.dk 4

Forskning Backup strategier bliver alt for resursekrævende når matematikken bliver sværere. 9 Undervisning i strategier Eleverne skal undervises i strategier. De svageste finder ikke selv på dem. 10 pindogbjerre.dk 5

Tællestrategier Tæller alt og forfra igen. Tæller videre. Viser begge på fingrene og siger resultatet. 11 Retrieval Retrieval strategier er at bruge de talsammenhænge, man har automatiseret, til at komme frem til nye. Retrieval er således baseret på to ting: 1. Nogle automatiserede talsammenhænge 2. Strategier for at kombinere disse. 12 pindogbjerre.dk 6

De første strategier 13 Hvordan undervise i strategier? Tydelighed Repræsentationer Gentagelser 14 pindogbjerre.dk 7

Tydelighed Godt: At kunne talsammenhænge udenad. At tænke sig frem til et resultat. At turde gætte. Skidt: Altid at satse på det sikre og tælle At give op 15 Fra ydre til indre stemme 6 + 6 = 12 eller 5 7 = 35 Læse inde i hovedet Hviskelæse Læse højt 16 pindogbjerre.dk 8

Fra ydre til indre billede Dækket til På afstand I egne hænder 17 Hjælpemiddel eller konkret materiale? Brug konkrete materialer som repræsentationer, dvs. billeder på talsammenhænge ikke som hjælpemidler. Hvis eleverne får brug for konkrete materialer, som hjælpemiddel så find tal, hvor de ikke har brug for dem. 18 pindogbjerre.dk 9

De første additionsstrategier +1 er det samme som at tælle én videre Automatiser plus-par: 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3 osv. Plus-par +1 (og -1): 2 + 3, 3 + 4, 4 + 5 osv. Automatiser 10 er venner: 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7 osv. 10 er venner +1 (og -1): 2 + 9, 3 + 8, 4 + 7 osv. Regne videre fra 5 19 20 pindogbjerre.dk pindogbjerre.dk 10

Minus, gange og division 21 Minus er to ting! 8-3 Det, der er tilbage: Forskellen: 22 pindogbjerre.dk 11

Multiplikationsstrategier 2 er fordobling. Automatiser noget af 2-, 5- og 10-tabellerne. Opdel andre gangestykker i 1-, 2-, 5- og 10- tabel. 1 er det samme som tallet selv. Automatiser noget af 3-tabel. 23 Opdel gangestykker 6 8 6 4 + 6 4 5 5 + 5 2 + 5 + 5 + 2 + 1 24 pindogbjerre.dk 12

Multiplikation, gentaget addition 6 8 8+8+8+8+8+8= 16+16+16= 32+16=48 Gentaget addition MÅ IKKE stå alene. Kan ikke håndtere decimaltal gange decimaltal. 25 Ligedeling 28 : 4 20 5 5 5 5 28 8 2 2 2 2 7 7 7 7 26 pindogbjerre.dk 13

Måling 28 : 4 7 27 Regning med større tal Vi har et positionssystem med ti cifre. Al regning er baseret på, at man kan regne med de første ti tal. Regning med de små tal er fundament for al regning! 28 pindogbjerre.dk 14

Hvordan? På mange måder! Først og fremmest snak om strategier. 29 Paradigmeskifte Det hele starter med, at vi skal undervise i regning med små tal. Ikke bare tælling! 30 pindogbjerre.dk 15

Regnemetoder 31 God til at regne? Hvad vil det i dag sige at være god til at regne? Ready, willing and able. Musical fra 1937 Titlen er siden blevet brugt som slogan for en organisation, der arbejder med at få hjemløse, handicappede og tidligere straffede i job. 32 pindogbjerre.dk 16

Fokus, vilje og evne Fokus At have fokus på hvornår, på hvad og hvordan der skal regnes. Vilje At have viljen til at tage arbejdet på sig, med det bøvl det eventuelt måtte give. Evne At have evner til at udføre arbejdet. 33 Ikke kun evne! I dag betyder fokus og vilje mere end tidligere, da ydre krav om at regne næsten er forsvundet. Skolen bruger for megen tid på evnen til at regne, og for lidt tid på fokus og vilje. Fokus og vilje kommer ikke af sig selv, det skal også læres. 34 pindogbjerre.dk 17

Dårlig til at regne? Er selvfølgelig at få helt forkerte resultater af en udregning. Men man er også dårlig til at regne, når man er for bange eller for doven til at regne. Og man er også dårlig til at regne, når man ikke ved eller ikke opdager, hvornår det kunne være nyttigt at regne. 35 Min overbevisning Min overbevisning: Så længe vi kræver, at alle elever skal lære de klassiske standardalgoritmer fastholder vi nogle elever i matematikvanskeligheder, - og resten bliver bare for dårlige til at regne. 36 pindogbjerre.dk 18

Klassiske standardalgoritmer Addition Subtraktion Forskellige mellemregninger 37 Klassiske standardalgoritmer Multiplikation Division 38 pindogbjerre.dk 19

Uenighed Det er ikke urimeligt at skrive, at vandene skiltes, og to grundlæggende forskellige matematiksyn kom frem. På den ene side var synspunktet, at eleverne skulle arbejde meget med konkrete materialer frem mod standardalgoritmen for at forstå dens regneproces. På den anden side var synspunktet, at eleverne skulle eksperimentere med egne algoritmer og her igennem forstå regneprocesserne, og først på et passende tidspunkt senere i skoleforløbet præsenteres for forskellige traditionelle algoritmer. 39 Fire dimensioner Direkte instruktion Klassisk algoritme Én Indskoling Undervisningen Regnemetode Antal metoder Klassisk algoritme hvornår? Eksperiment Alternativ metode Mange Aldrig 40 pindogbjerre.dk 20

Undervisningen Forskning: Direkte instruktion er mest effektivt for elever, der oplever vanskeligheder ved at lære. Men det betyder ikke, at de blot skal lære udenad uden at forstå. Og det betyder heller ikke, at de skal instrueres/programmeres som maskiner de skal tænke! 41 Regnemetode De klassiske algoritmer er maskinregning. Det fungerer faktisk bedst når man ikke længere skal tænke. Mennesker er ikke maskiner. I dag har alle mennesker maskiner. Mennesker har brug for metoder, der er tættere på overslagsregning. Mennesker kan og skal regne med tal - ikke kun cifre! 42 pindogbjerre.dk 21

Antal metoder Jo flere metoder man behersker, jo bedre er man til at regne. Det er ofte begrænset, hvor mange den enkelte kan rumme. Så den enkelte metode må gerne være så fleksibel, at den i sig selv kan rumme forskellige valg. 43 De klassiske De klassiske algoritmer er smukke eksempler på, hvor genialt vores positionssystem er, det synes jeg, alle har ret til at stifte bekendtskab med. Men det er for dannelsens skyld på lige fod med lære om Big Bang og kristendom. Mit forslag er at tage emnet Sådan regnede man i gamle dage, som obligatorisk emneuge i 8. klasse på alle skoler. 44 pindogbjerre.dk 22

Regning hvor og hvordan? Hvor? Daglig indkøb Personlige pengesager Arbejde Hvordan? Støttet hovedregning Lommeregner (IT) Traditionelle algoritmer??? 45 De traditionelle regnemetoder Med de traditionelle regnemetoder kan alle elever regne med store tal blot ved at tælle. Er det godt? De traditionelle regnemetoder skjuler de elever, som faktisk ikke kan regne, men blot tæller. 46 pindogbjerre.dk 23

Smarte metoder Nettets mange løsninger på problemet! 47 Smarte metoder Nettets mange løsninger på problemet! Det smarte er, når du ikke behøver at forstå noget for at kunne gøre noget. Du behøver ikke at kunne andet end at tælle for at kunne gange. Og så synes jeg, det er ret usmart, at de, der viser mig metoderne, aldrig kan huske dem. 48 pindogbjerre.dk 24

Regning før og nu Før: Hovedregningsmetoder: Gode til overslagsregning Udnytter talsammenhænge Skriftlige metoder: Præcise Uafhængige af tallene Nu: Lommeregner: Præcise Uafhængige af tallene Skriftlige metoder: Præcise Uafhængige af tallene 49 Regning i fremtiden? Hovedregningsmetoder med skriftlige notater: Gode til overslagsregning Indbygget fleksibilitet Lommeregner: Præcise Uafhængige af tallene 50 pindogbjerre.dk 25

Regnemetoder Lær eleverne enkle fleksible, rummelige og huskbare regnemetoder og ikke andet! Accepter brug af hjælpemidler til dele af arbejdet i en startfase. Udfas hjælpemidlerne. 51 Regnemetoder Fleksibilitet og rummelighed betyder at to elever, der bruger samme metode ikke behøver samme mellemregninger. Og samme elev behøver ikke samme mellemregninger når hun bliver øvet. Man bliver bedre og bedre! 52 pindogbjerre.dk 26

Regning med forskellige slags tal Små tal: 1, 2, 3, 4..20 Nemme tal: 10, 25, 50, 100 Hovedet Overslagstal: 100, 200, 250, 5000 Lange præcise tal: 3275,69 Lommeregner 53 Og alt det andet? Lærebogen? Forældrene? Nationale tests? Afgangsprøverne? De efterfølgende uddannelser? 54 pindogbjerre.dk 27

Mat og MG test Mat Hm, metoden er da næsten givet. MG Hvad! frem for at lære procedurer for opstilling. 55 Prøven uden hjælpemidler Prøven uden hjælpemidler maj 2016 56 pindogbjerre.dk 28

stx Matematik A/B/C, stx Vejledning Undervisningsministeriet Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Gymnasiekontoret, marts 2018 57 stx Eleverne skal opnå en talforståelse, så de behersker regningsarternes hierarki og beregninger i almindelighed samt kan vurdere rimeligheden af fundne resultater. Elevernes talforståelse fra folkeskolen skal vedligeholdes og udvikles, fx bør eleverne opnå forståelse af, at det på trods af let adgang til lommeregnere pa ; fx mobiltelefoner er en stor fordel i mange typer af beregninger umiddelbart at kunne aktivere den store tabel og især kvadrattallene. 58 pindogbjerre.dk 29

Addition, 100 ere, 10 ere, 1 ere Eller 485 + 367 = 400 + 300 = 700 = 852 80 + 60 = 140 5 + 7 = 12 485 + 367 = 400 + 300 = 700 = 852 5 + 7 = 12 80 + 60 = 140 59 Addition, se på tallene Måske kan man flytte lidt fra den ene til den anden, så det bliver nemmere: 39 + 43 = 40 + 42. 60 pindogbjerre.dk 30

Subtraktion, fylde op 644 385 = 15 + 200 + 44 = 259 61 Subtraktion, rullegardin 644 385 = 604-345 = 600 341 = 300-41 = 260 1 = 259 62 pindogbjerre.dk 31

Subtraktion, se på tallene Måske er det nemmere at gå lidt tilbage: 7986-2 Måske er det nemmere at gå meget tilbage: 7986-986 Måske er det nemmere at lægge lidt til begge: 99 74 = 100-75 63 Multiplikation, Rektangel * 700 500 200 30 5 20 14000 600 100 10000 4000 6 4200 3000 1200 180 30 26 * 735 = 14000 + 4200 + 600 + 180 + 100 + 30 = 19110 64 pindogbjerre.dk 32

Multiplikation, se på tallene Måske er det nemmere at gange med for meget og trække fra: 9 36 Måske er det nemmere at gange med for meget og bagefter dividere eller omvendt: 25 1248 65 Division, Dele ud 340 : 4 200 50 50 50 50 300 100 25 25 25 25 340 40 10 10 10 10 340 85 85 85 85 66 pindogbjerre.dk 33

Division, se på tallene Gæt og prøv efter! 67 Fra tekstopgaver til resultat Tekstopgave Regnestykke Resultat Støttet hovedregning Lommeregner 68 pindogbjerre.dk 34

Mit mål med regnemetoder Fleksible rummelige regnemetoder Hvor man kan udnytte de talsammenhænge man kan. Og som man kan huske og forstå så godt at man selv kan samle masker op 69 Positionssystem Der er (i hvert tilfælde) følgende forskellige repræsentationer af titalssystemet: Titalsystem kortene, dvs. 1, 2 9, 10, 20,.90, 100, 200 900 osv. Triptælleren, dvs. cifrene 0, 1, 2 9 på et hjul på hver plads. Bunke-sammen modellen som i et kabel, og i centicubes, tierstang, og cube. 70 pindogbjerre.dk 35

Positionssystem Positionssystemer er SVÆRE! Lad være med at tro på den fuldkomne forståelse for eleverne inden I går videre. Forståelsen vokser ved brug. 71 Aktivitet SEND + MORE = MONEY Hvad ved vi med det samme? 72 pindogbjerre.dk 36

Brøker Brøker kan opfattes på flere måder: En del af en helhed Forhold Divisionsstykke, der ikke er færdigt Punkt på en tallinje Hverdags(mis)forståelse brøker er mindre end én 73 Decimaltal Opfattelser og misopfattelser af decimaltal: Decimaltal er hele tal, delt i nogle store og nogle små, fx 2,25 m er 2 m og 25 cm Lange tal er store tal, derfor er 1,00007 større end 1,07 Undervisning i decimaltal er ofte meget maskinelt/rituelt, det er noget med pladser efter kommaet, tiendele, hundrededele osv., komma under komma, og hvad man ikke må sige. 74 pindogbjerre.dk 37

Irrationale tal Opfattelser og misopfattelser af irrationale tal: Der er to: π og 2 Der er mange, mange flere fx 3, 5, 6, 7, 8, 10 Der er faktisk uendelig mange af dem, faktisk overtællelig mange af dem. Hvorimod der er kun tællelig mange rationale tal. Irrationale tal har en decimalfremstilling der er uendelig og uden system. Det er korrekt at den er uendelig, men der kan være smukke systemer i dem fx 0,101100111000111100001111100000.. 75 Procent Procent misopfattelse at % er en enhed, der fx kan adderes. Afslutning på folketingsdebatten 16/11 1999 Aase D. Madsen (Dansk Folkeparti):... Og med hensyn til, hvem der kommer på bibliotekerne, og hvem der ikke kommer, er der en tabel 18 med en gruppe delt ind efter alder, og der står, at 39 pct. af den mandlige del af befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne, og at 30 pct. af den kvindelige del af befolkningen, altså fordelt gennemsnitlig over alder, aldrig kommer, og når jeg lægger mænd og kvinder sammen - det skal man være lidt forsigtig med, men på det her område tør jeg godt - så giver 39 pct. af mændene og 30 pct. af kvinderne befolkningen tilsammen, og det må være 69 pct. Tager jeg fejl?" 76 pindogbjerre.dk 38

Procent 77 Procent Hvad er det man skal? Skal man gange eller dele med 100? Forkerte lighedstegn!: 5/25=0,2*100=20% Mange elever mangler fleksibel omformning mellem procent og decimaltal. 78 pindogbjerre.dk 39

Procent I Matematiske formler og fagord: 79 Brøk, decimaltal og procent Opfordring: Start med de mest anvendte tal: 1/2, 1/4, 1/3, 3/4, 2/3 gå videre med 1/5, og 1/10. Som brøker, decimaltal og procent. I så mange repræsentationer som muligt! 80 pindogbjerre.dk 40

Regning med bogstaver Man skal være voldsomt bevidst om forskellen på at vide at 2*(3+5)=2*3+2*5 til at vide at a*(b+c)=a*b+a*c Det første kan man regne ud er rigtigt, det andet må man lære at stole på. Men lær eleverne at det er ok at tjekke med tal. 81 Regning med bogstaver Ofte kan man anvende en geometrisk repræsentation: (a+b) 2 a b a a 2 a b b a b b 2 82 pindogbjerre.dk 41

Regning med bogstaver Opfordring: Arbejd med at lære eleverne at erstatte bogstaver med tal. Start helt konkret med store formler og paptal Arbejd med at lære at udtrykke hverdagssammenhænge med algebra. 83 Irrationale tal Opfattelser og misopfattelser af irrationale tal: Der er to: π og 2 Der er mange, mange flere fx 3, 5, 6, 7, 8, 10 Der er faktisk uendelig mange af dem, faktisk overtællelig mange af dem. Hvorimod der er kun tællelig mange rationale tal. Irrationale tal har en decimalfremstilling der er uendelig og uden system. Det er korrekt at den er uendelig, men der kan være smukke systemer i dem fx 0,101100111000111100001111100000.. 84 pindogbjerre.dk 42

Lighedstegnet Opfattelser af lighedstegnet: En ordre til at regne fx 2+3= En vægt fx 2x+3=3x-2 En definition fx S=5 Misopfattelser Lighedstegnet er en måde at komme videre i en udregning fx 2x+5=19=14=7 Det var her man i gamle dage brugte ækvivalenspile. 85 Nul Opfattelser: Ingenting Pladsholder i positionssystem Tal midt mellem -1 og 1 Neutralt element for addition 86 pindogbjerre.dk 43

Nul Ingenting: 3x+2x+x=5x 5*(x-x)*10=50 87 Funktioner Opfattelser af funktioner: En maskine/ en procedure sæt et tal ind, gør noget, få et tal ud En sammenhæng mellem to variable 88 pindogbjerre.dk 44

Funktioner Repræsentationer af funktioner: Funktionsforskrift (udtryk, ligning, ) En tabel (sildeben, gebis ) Graf (kurve) Procedureopfattelsen alene gør det svært at gå fra graf til tabel eller forskrift. En procedure er dynamisk en graf er statisk. 89 Funktioner 90 pindogbjerre.dk 45

Sandsynlighed Opfattelser og misopfattelser: Stokastiske eksperimenter har hukommelse. Jo flere gange et udfald er sket, jo mere sandsynligt er det at det vi ske igen. 7 eren spiller godt i aften. Jo færre gange et udfald er sket, jo mere sandsynligt er det at det vi ske igen. Nu må 7 eren snart komme, den er ikke kommet meget længe. Alt er lige sandsynligt, når det er tilfældigt. 91 Matematikvanskeligheder 92 pindogbjerre.dk 46

Forskellige reaktioner Resignation Aggression Godt nok børnene Alternative strategier 93 Diagnoser 1. Dyskalkuli/Talblind 2. Generelle matematikvanskeligheder 3. Matematikmodstand/angst/blokering 94 pindogbjerre.dk 47

Talblindhed Har svært ved at huske tal og cifre. jeg har udviklet mit eget talsystem, så tallene ikke hedder 1, 2, 3, 4, 5 og så videre. De hedder fiskekrog, liggestol, sidestol, træ, svane, derudaf. Og så regner jeg med dem. Og det er også den måde jeg husker tal på, jeg husker rigtig godt pinkoder og jeg har ikke noget problem med at få nye pinkoder, jeg sætter bare svaner og fiskekroge ind i stedet for. Og så har jeg en teknik med, når jeg skal huske lange tal eller nye pinkoder. At jeg kigger på dem i lang tid, kigger væk, kigger på dem igen, kigger væk, siger dem højt nogen gange, siger dem inde i mit hoved nogen gange, omkoderdem til mine egne ord og mine egne figurer og så kan jeg huske det. 95 Talblindhed Har særlig svært ved at regne selv simple regnestykker i hovedet Jamen, altså jeg kan altså De mest simple 5+5 og 2+2. Og så regner jeg på mine fingre og hvis jeg ikke har flere fingre tilbage så kan jeg bare ikke mere. Nej nej, jeg kan ikke (red: lægge sammen) i hovedet, det kunne jeg ikke drømme om. Andet end 5 og 5 eller De pæne tal. Under ti ik. Jeg kan også kun 5 tabellen og så kan jeg 2 tabellen. Men 5 tabellen, det er sjovt, den har altid været min yndlings. Siden jeg var lille så var det 5 tabellen. 10 divideret med 2 det kan jeg godt. Og fem gange to. Hvor de bliver fordoblet, så kan jeg godt, ellers kan jeg ikke. Altså jeg tæller også på fingrene. Men hvis jeg får sat nogle minusstykker og plusstykker op, så kan jeg være heldig at jeg kan dem. Hvis det fx er alt under fem så kan jeg nok godt, men det er ikke sikkert at jeg kan fra 6 og op. Det kan jeg slet ikke, det forstår jeg ikke. Og gange, jeg kan være heldig der måske er noget med fem i og det kan jeg godt. Altså den her fem ti femten. Øhm.. 96 pindogbjerre.dk 48

Talblindhed Har svært ved at anvende og bedømme størrelser som afstande, vægt, flade -og rummål m.m. Jeg stod og jeg var meget præcis med at måle, for der var et begrænset antal stykke pap til rådighed så det skulle bare sidde i skabet og det gjorde det ikke, eller i rammen. De var alle sammen forskellige selvom jeg var sikker på at jeg tog de samme mål. Man skulle have orienteringsløb og sådan noget og så fik man stukket et kort i hånden. Og så den her lille streg, det er så den der er lang herude. Det kan jeg ikke finde ud af, jamen det er bare lige 2 km. Jeg ved ikke hvor meget 2 km er Nej. Jeg ville ikke lige vide hvor langt 10 meter sådan lige var. Jeg bryder mig ikke særligt om at lave mad og jeg holder fra bagning. Kilogram og sådan det. Det holder jeg mig fra. Jeg er også blevet spurgt hvor højt der er til loftet, ej. Det kan jeg heller ikke. Også med vægte det kan jeg heller ikke, med gram og, det er nej. Det kan jeg ikke. 97 Talblindhed Har svært ved at overskue pengebeløb og mønter/sedler Jeg har lært mig, at når der står 95 bag en pris, så skal jeg runde op. Hvis ehh, at man skal give penge ik, hvis jeg skal hen og handle i Føtex, man kan meget let komme til at give mig for lidt tilbage for jeg tænker ikke over det altså, det gør jeg ikke. Jeg handler sådan lidt i blinde og giver min kæreste bonnen når jeg kommer hjem Eh, jeg kan ikke se forskel på nullerne, så jeg ved ikke om jeg betaler med en 100 kroneseddel eller en 1000 kroneseddel, det ved jeg kun på farverne på sedlerne. Og et lille eksempel var, at jeg står i en bar til hverdag bl.a. og jeg havde selv købt noget i baren som kostede 2,50 kr. Og så afleverede jeg en 20 er til mig selv oppe i baren og jeg kunne simpelthen ikke finde ud af hvor mange penge jeg skulle have tilbage. Altså jeg bruger altid kun mit Dankort. Jeg bruger aldrig kontanter, aldrig nogensinde. 98 pindogbjerre.dk 49

Talblindhed Er retningsforstyrrede og har vanskeligt ved at orientere sig Ja. Jeg kan heller ikke højre og venstre. Det er et problem når man danser Hvis jeg skal et sted hen, jeg har heldigvis en bil, det har jeg fået af min mor, fordi hun er blevet for gammel til at køre sin. Jeg bruger min GPS til det mest vanvittig. Bl.a. det med højre og venstre, det har jeg også meget svært ved, hvorfor jeg har fået lavet nogle tatoveringer (en stjerne og et får) på mit håndled. Som gør at jeg ved at højre er stjerne og venstre det er får. Så når jeg er ude og køre bil, og folk siger højre og venstre, så kan jeg kigge ned på mine håndled og navigere efter det. Og det er også trods af, at jeg har prøvet at lære det på andre måder, har jeg bare fundet ud af at det her er den nemmeste måde for mig. Jeg kan heller ikke finde vej, når jeg går ud af min lejlighed, så ved jeg ikke hvor jeg er. Jeg ved bare at hvis jeg går til (kigger på sit håndled) højre, så ved jeg bare at jeg går væk fra byen mod Fakta. Altså jeg ved at Fakta er væk fra byen og Lidl er ind mod byen. 99 Talblindhed Har vanskeligheder med at aflæse tid på ure og fornemme tidslængde.. så jeg glemmer meget hurtigt fx klokken ti minutter i syv og der Inde i mit hoved der er 10 min, det er åbenbart ikke eh det langt Og jeg har stadigvæk, altså.. Klokken 15 vil jeg gerne have skal være kl 5 ik, fx Jeg kører også bil og jeg har det med, også med ure apropos, med P-skiven når den skal stilles. (griner) Der er kun én viser frem for to lige pludseligt. Og det gør det ikke bedre, og P-skiven er jo spejlvendt inde i bilen Det var det jeg lærte sidste, for jeg blev forvirret af alle stregerne og jeg kunne slet ikke finde ud af hvad jeg skulle bruge alle de her mellemstreger til. Så når de var væk så skulle jeg kun koncentrere mig om hvor viserne gik hen. Jeg blev vant til at hvis folk sagde at jeg skulle komme klokken 17, så talte jeg. 12, 13-14 -15-16 -17 (viser fingre). Så skulle jeg komme kl 5. 100 pindogbjerre.dk 50

Talblindhed Har problemer med at etablere og huske regneprocedurer Hvis jeg får at vide, at det er det samme du skal gøre hver gang. Hvis jeg så lægger det væk og tager det frem ugen efter, så kigger jeg på de her minusstykker og tænker, gad vide hvad jeg skal. Som om jeg ikke har set det før og det er selvfølgelig det samme med plus og dividere og bare generelt med matematik. Jeg kan godt plusseog minusse, sådan på papiret. Det er ikke altid resultatet bliver rigtigt, for når det er minus kan jeg aldrig rigtig finde ud af hvad der skal stå øverst og nederst. Så derfor bliver resultatet ikke altid rigtigt og jeg kan ikke se om resultatet måske ser underligt ud, som mange andre gør. Nej det kan ikke passe. Så på den led har jeg lidt svært ved det. Men jeg kan godt. Som regel kan jeg godt øhhmatematikken i det, hvis man kan sige det sådan, jeg kan bare ikke regne det. Jeg har jo min bibel som er en bog, der er lidt tykkere end den her med alle mine opskrifter på matematik Vi kunne sidde og lave en opgave og han kunne vise mig det 10 gange indtil jeg fandt ud af det og når jeg så fandt ud af det, så var det jo fint og når der så var gået nogle dage og vi skulle have timer igen, så havde jeg glemt det 101 Talblindhed Anvender næsten konsekvent tælling ved antalsbestemmelse Jeg bruger mine hænder, jeg kan tælle til mere end mine hænder, fordi jeg også har mine fødder og er benene overkors så er jeg nået til tyverneog gør jeg sådan her er jeg i trediverne (har armene krydset), gør jeg sådan her er jeg i fyrrerne (læner sig tilbage i stolen).. Altså jeg bruger også fingre og sådan noget. Hvis det er de små tabeller så kan jeg nogenlunde. Jeg bruger også fingrene.. Jeg laver sådan nogle små streger simpelthen for at kunne følge med i, hvad jeg laver. Hvis det er sådan noget på papir og sådan noget. 102 pindogbjerre.dk 51

Talblindhed Er særligt følelsesmæssigt påvirket af deres vanskeligheder Altså lige siden jeg var helt lille og gik i folkeskole ikke kunnet lide matematik, jeg valgte så bare at blive væk til sidst. Være helt opgiven faktisk, fordi mine forældre de prøvede virkelig alt for at hjælpe mig og min matematiklærer gjorde også. Og til sidst blev de bare enige om, at det var fordi jeg ikke gider og jeg ikke gider høre efter og alle de her ting. Så så lærte jeg at holde kæft Men jeg har dumpet alt med matematik. Jeg har ikke bestået eller sådan noget. Og det har givet nogle ar, men jeg vil også sige, at jeg er blevet en fighter og megastædig. Så på den måde har jeg bare følt at mine forældre var bedre foruden mig. Altså, de skulle bare have min lillebror (red: som opfattedes dygtig), fordi jeg var jo bare så dårlig til matematik og jeg var fanmebare sådan.. ja, et vanskeligt barn. Hvor ville de have det bedre af at jeg ikke var der. Så min selvtillid har virkelig fået nogen hak, og det lider jeg stadig lidt under. 103 Talblindhed Det er handicappende! 104 pindogbjerre.dk 52

Talblindhed/dyskalkuli Definitionen bag testen Talblindhed/dyskalkuli er en læringsudfordring, der er påvirket af en specifik neurologisk udviklingsforstyrrelse, som kan have forskellige udtryk men som ikke kun kan forklares på baggrund af generelle indlæringsvanskeligheder, mangelfuld undervisning, psykologiske eller sociologiske årsager. Talblindhed/dyskalkuli omfatter vanskeligheder ved at automatisere tal, antal og størrelser samt fastholde og anvende aritmetiske færdigheder. 105 Talblindetesten 4. kl Alle Laveste Neurologiske Markører Laveste matematik præstationer Udenfor undervisning Generelle indlæringsvanskeligheder 106 pindogbjerre.dk 53

Andres definitioner DSM5 American Psychiatric Association De samler ordblindhed, læsevanskeligheder, talblindhed og matematikvanskeligheder i én Specific Learning Disorder. Det betones, at de specifikke vanskeligheder ikke bedre må kunne forklares ud fra generelle neurologiske, udviklingsmæssige, sensoriske (høre og se) eller motoriske faktorer. 107 Andres definitioner ICD 10 WHO s definition: En specifik læringsvanskelighed knyttet til aritmetiske færdigheder som ikke kun kan forklares på baggrund af generelle indlæringsvanskeligheder eller mangelfuld undervisning. Vanskelighederne omhandler beherskelse af basis regnefærdigheder inden for addition, subtraktion, multiplikation og division snarere end mere abstrakte matematiske færdigheder inden for algebra, trigonometri, og geometri. 108 pindogbjerre.dk 54

Talblindhed mine erfaringer De har problemer med ordning. De er langsomme til at oversætte mellem de skriftlige talsymboler og de mundtlige talord. De har få strategier ved simpel regning de tæller oftest. 109 Ordning 110 pindogbjerre.dk 55

Neurologiske kendetegn ved talblindhed 1. Manglende evner indenfor The object tracking system (OTS) og subitizing 2. Manglende evner indenfor ANS, Approximate Number System. 3. Manglende evner i at koble talord, talsymbol og mængde 111 Kendetegn ved matematikvanskeligheder 1. Sproglige vanskeligheder 2. Arbejdshukommelsesvanskeligheder 3. Koncentrationsvanskeligheder 4. Begrænsede matematiske hverdagserfaringer 112 pindogbjerre.dk 56

Matematikangst Når ubehaget bliver så stort, at man ikke kan deltage i det, man ellers gerne ville. Matematikangst medfører lavere præstationer, end man ville have uden angsten. Talblindhed forøger risiko for at udvikle matematikangst. 113 Den negative cirkel Virginia W. Strawderman Fiasko Udenadslære Undvige Angst 114 pindogbjerre.dk 57

Næring for angsten I fordomme og myter kan den angste legitimere sin egen angst. Det forstærker angsten! 115 Fordomme og myter Piger kan ikke matematik. Matematikevner er medfødte. For at være god til matematik skal man være god og hurtig til at regne. Matematik er ikke kreativt. Der er kun et rigtigt svar og en rigtig metode. 116 pindogbjerre.dk 58

Google Matematiker 23. august 2018 23. august 2018 117 Årsager til angsten Én dårlig matematikoplevelse. Forældres og søskendes matematikangst. Faktisk er der solid forskning, der viser at børn, der får hjælp af forældre med matematikangst, klarer sig dårligere, end hvis de ikke fik hjælp! Og måske allermest lærernes egen matematikangst. 118 pindogbjerre.dk 59

Hvad kan der gøres? Undgå at bekræfte myter og fordomme. Undervis mere i begreber end i procedurer. Undervis mere åbent, med færre rigtig/forkert tal-mæssige svar. Mindre fokus på fart! 119 En samlet model Virginia W. Strawderman Succes Forståelse Fordybelse Tillid Fiasko Udenadslære Undvige Angst 120 pindogbjerre.dk 60

Ræsonnement & tankegang De svære argumenter 121 De mere filosofiske aspekter Hvad er et bevis? Hvad er et logisk argument? Er det ikke nok at prøve efter mange gange? Hvad med uendelig mange gange? Hvad er uendelig? 122 pindogbjerre.dk 61

Er dette korrekt? Dette giver altid et primtal. n 2 +n+41 Hvorfor? Hvorfor ikke? 123 Er dette logisk korrekt? Erasmus: En sten kan ikke flyve. Mor Nille: Nej, det er rigtigt nok, undtagen når man kaster den. Erasmus: Du kan ikke flyve. Mor Nille: Det er også sandt. Erasmus: Altså er morlille en sten. 124 pindogbjerre.dk 62

Er dette logisk korrekt? Erasmus: Hør far, tror du på, at den, som drikker meget, er lykkelig? Jeppe: Jeg tror mere, at han er ulykkelig, for man kan drikke forstand og penge bort. Erasmus: Jeg vil bevise, at han er lykkelig. Den, som drikker meget, sover gerne godt. Er det ikke sandt? Jeppe: Det er sandt nok. Når jeg er fuld, sover jeg som en hest. Erasmus: Den, som sover godt, synder ikke. Er det ikke også sandt? Jeppe: Ja, det er sandt nok. Så længe man sover, synder man ikke. Erasmus: Den, som ikke synder, er lykkelig. Jeppe: Det er sandt! Erasmus: Altså gælder: Den, som drikker meget, er lykkelig. 125 Pythagoras sætning Undersøgelse: En bunke trekanter. Undersøg om det passer at summen af kvadraterne på de to korteste sider er lig med kvadratet på den længste side. Påstand: I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med kvadratet på hypotenusen. Og det omvendte gælder også: Hvis af summen af kvadraterne på de to korteste sider er lig med kvadratet på den længste side, så er trekanten retvinklet. 126 pindogbjerre.dk 63

Et geometrisk bevis 127 Uendeligt tælleligt Historien om Hilberts hotel 128 pindogbjerre.dk 64

129 130 pindogbjerre.dk 65

131 132 pindogbjerre.dk 66

133 Uendeligt overtælleligt De reelle tal er overtællelige! Hvis de er tællelige, så kan vi stille dem op i en rækkefølge. Ok, her er så rækkefølgen af alle dem lavet af 0 er og 1 ere, der er mindre end 1: Nr. 1: 0,0000000 1 Nr. 2: 0,1111111 0 Nr. 3: 0,0101010 1 Nr. 4: 0,1010101 1 Nr. 5: 0,1101011 1 Nr. 6: 0,1000100 1 Men jeg kan lave et tal, der ikke er i den mængde! Så de reelle tal kan ikke tælles! Metoden til at lave dette tal er: 0, 101111 134 pindogbjerre.dk 67

Ligninger 135 Mål At eleverne: lærer, at målet er at finde det (eller de) tal, som indsat på den variables plads, får højre side af lighedstegnet til at være lig med venstre side. lærer en, og helst flere, metoder til at arbejde sig hen imod løsningen til en ligning. lærer, at ligninger kan bruges til at udtrykke og løse matematiske problemer fra virkeligheden uden for skolen. 136 pindogbjerre.dk 68

Snubletråde Lighedstegnet kun opfattet som operation en ordre om at udføre det på venstre side. Den ubekendte skal hedde x. 137 Ligningstyper Førstegradsligninger Isoler en variabel Ligningssystemer Ligninger med x a (Kræver rødder) Andengradsligninger Ligninger med a x (Kræver logaritmer) 138 pindogbjerre.dk 69

Løsningsmetoder Gæt og prøv efter Grafisk Optrævling Algebraisk Flytte over Ligevægt 139 Gæt og prøv efter 7x + 45 = 136 Første gæt: x=3. 7 3+45=66. Langt fra 136. Andet gæt: Et noget større tal, x=10. 7 10+45=115. Tættere på. Tredje gæt: Lidt større endnu, x=15. 7 15+45=150. Lidt for stort. Fjerde gæt: Midt imellem, x=13. 7 13+45=136. Korrekt. 140 pindogbjerre.dk 70

Gæt og prøv efter 2x + 20 = 55 5x Første gæt: x=10. 2 10+20=40 og 55 5 10=5. Noget fra hinanden Andet gæt: Vi prøver noget mindre, x=2. Det er ikke til at vide, om forskellen dermed øges eller reduceres 2 2+20=24 og 55 5 2=45. Forskellen blev mindre, vi er på rette vej. Tredje gæt x=1. 2 1+20=22 og 55 5 1=50. Forskellen blev større igen, så resultatet må være mellem x=2 og x=10. Fjerde gæt: x=5. 2 5+20=30 og 55 5 5=30. Korrekt. 141 Gæt og prøv efter Kræver systematik. + Udvikler forståelse for ligningsbegrebet. + Er langsom. Udvikler ikke forståelse for algebraisk lignings løsning. - 142 pindogbjerre.dk 71

Optrævling 7x + 45 = 143 På venstresiden indgår x. Som regneudtryk betragtet skal man først gange med 7 og derefter lægge 45 til. Det sidste man skal gøre er altså at lægge 45 til. Man holder fingeren over 7x og spørger Hvad skal man lægge til 45 for at få 143? Svaret er 98. Den nye ligning er 7x=98. Så holder man fingeren over x og spørger Hvad skal man gange 7 med for at få 98? Svaret er 14. x=14. 143 Optrævling (2x + 6) : 4 = 8 På venstresiden indgår x. Som regneudtryk betragtet skal man først gange med 2, derefter lægge 6 til og endelig dividere med 4. Det sidste er altså at dividere med 4. Man holder fingeren over 2x+6 og spørger Hvad kan man dividere med 4 for at få 8? Svaret er 32. Den nye ligning er 2x+6=32. Så holder man fingeren over 2x og spørger Hvad skal man lægge til 6 for at få 32? Svaret er 26. Den nye ligning er 2x=26. Så holder man fingeren over x og spørger Hvad skal man gange 2 med for at få 26? Svaret er 13. x=13. 144 pindogbjerre.dk 72

Optrævling Bedst når kun ét x i ligningen. - Kan være et skridt på vejen mod algebraisk ligningsløsning. + 145 Ligevægt -5x + 38 = x 10-5x + 38 38 = x 10 38-5x = x 48-5x x = x 48 x -6x = -48-6x : (-6) = -48 : (-6) x = 8 Nu kontrollerer man ved indsætning, om det er en løsning til ligningen: Venstre side: -5 8+38=-2 Højre side: 8 10=-2. Korrekt. 146 pindogbjerre.dk 73

Ligevægt Understøtter opfattelsen af lighedstegnet som relation mellem de to sider. + Er er en generel metode for arbejdet med alle slags ligninger. + Svært at vide hvad man skal gøre i hvilken rækkefølge. - 147 Flytte over -5x + 38 = x 10-5x = x 10 38-5x = x 48-5x x = -48-6x = -48 x = -48 : (-6) x = 8 Nu kontrollerer man, som før, 148 pindogbjerre.dk 74

Flytte over Understøtter opfattelsen af ligning som relation mellem to funktioner. Er er en generel metode for arbejdet med alle slags ligninger. + Svært at vide hvad man skal gøre i hvilken rækkefølge. Bliver af nogle opfattet som forkert metode. - 149 Grafisk 4x 15 = 21 y = 4x 15 y = 21 Aflæs skæringspunkts x-værdi x=9. Ved indsætning i den oprindelige ligning kontrolleres, om løsningen er korrekt. 150 pindogbjerre.dk 75

Grafisk -5x + 38 = x 10 y = -5x + 38 y = x 10 Aflæs skæringspunkts x-værdi x=8. Ved indsætning i den oprindelige ligning kontrolleres, om løsningen er korrekt. 151 Grafisk 152 pindogbjerre.dk 76

Grafisk Visuel understøttelse af hvad en ligning er. + Generel metode for alle ligninger. + Usikkerhed ifht. aflæsning. Mange angiver både x-værdi og y-værdi som løsning. - 153 Reduktion En måde at rydde op og forenkle algebraiske udtryk! Og derfor en hjælp i ligningsløsning. 154 pindogbjerre.dk 77