Kapitel 2 Tal og variable

Transkript

1 Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder er ikke så interessante i matematikken som fag. Men mange af de metoder, der udvikles til at løse problemer inden for et fagområde, kan overføres til andre fagområder. Derfor er det matematikkens opgave at beskrive disse metoder i ren form og på abstrakt måde, så de nemt kan anvendes i mange forskellige sammenhænge. Da tal indgår i alle disse problemer, er det naturligt at tage udgangspunkt i tallene, og hvordan de er opbygget. Men da metoderne skal gælde for mange forskellige talstørrelser, vil vi oftest arbejde med tal uden at angive deres konkrete værdi. Sådanne talstørrelser kaldes variable. Tal og variable er fundamentale størrelser i matematik. 2.1 Variable Tit møder man talstørrelser, hvis værdi kan ændre sig. Tænk fx på temperaturen i det lokale, hvor du sidder nu. Den vil variere i tidens løb. Sådanne talstørrelser kaldes variable. Variable har et navn, der fortæller, hvad talstørrelsen beskriver. Det kunne fx være temperaturen i lokalet eller blot temperaturen. Men for at kunne bruge talstørrelsen i ligninger og andre regneudtryk, anvender vi et symbol for talstørrelsen. Hvis vi der på temperaturen, kunne vi vælge at bruge T som symbol. Hvis temperaturen så et tidspunkt er 22 o C, vil vi skrive det således: T = 22, og vi kalder 22 for en aktuel (realiseret) værdi af den variable. Temperaturen ikke kan komme under det absolutte nulpunkt, der svarer til temperaturen 273 o C, men den kan i princippet blive vilkårligt høj. Derfor vil de mulige værdier af variablen T være alle tal mellem 273 og uendelig. Dette skriver vi således [-273 ; [. side 19

2 Definition En variabel er en talstørrelse, der kan antage forskellige værdier. En variabel har et navn, forkortes med et symbol og har et muligt variationsområde inden for de reelle tal. Eksempel Sidelængden af et kvadrat er en variabel talstørrelse, for der findes jo kvadrater i alle mulige størrelser. Et symbol kunne være s for denne variabel. De mulige værdier er tallene fra 0 til uendelig. Kvadrat med sidelængde 1, 2 og 2,5. Eksempel Vinkel A i en trekant ABC er en variabel. Vi kunne passende bruge symbolet A for denne. De mulige værdier er alle tal mellem 0 o og 180 o. Trekanter med A = 10 o, A = 90 o, A = 155 o Vinkelsummen i en trekant, S = A + B + C, betragtes derimod ikke som en variabel. På forhånd ved vi jo, at værdien altid er 180 o. Eksempel Grafen på figuren viser, hvordan temperaturen varierer inde i et kølerum. Man kan se, at om natten, hvor ingen arbejder i kølerummet, er temperaturen konstant. Når folk begynder på arbejde kl. 6,30, stiger temperaturen og den svinger en del i løbet af dagen, mens dørene til kølerummet åbnes og lukkes. Efter arbejdstids ophør bliver temperaturen igen stabil. side 20

3 Temperaturen er en variabel, men man lægger mærke til, at der er lange tidsrum, hvor den faktisk ikke ændres. En variabel kan altså godt have samme værdi. 2.2 Anvendelse af variable hverdagssprog og formelsprog. Når du skal regne noget ud, har du brug for at vide, hvordan man gør. Hvis vi skal udregne arealet af et gulv med længde 7,2m og bredde 4,3m, skal vi blot gange de to tal med hinanden, og vi får arealet til at være: Areal = 7,2m 4,3m = 30,96 m 2 Nu er det nok de færreste, der lige er interesseret i arealet af netop dette gulv. Men metoden til at finde arealer af andre rektangler kunne man måske få brug for. Hvis vi skal finde arealet af et rektangel, skal vi blot kende de to sidelængder og så gange dem med hinanden. Da rektangler findes i alle mulige størrelser og former, vil både rektanglets længde og bredde være variable. Lad os bruge symbolet l for rektanglets længde og symbolet b for rektanglets bredde. Arealet er også en variabel, da det også varierer fra det ene rektangel til det andet. Lad os bruge symbolet A for denne variabel. side 21

4 At vi skal gange længde med bredde for at finde arealet kan udtrykkes ved formlen: A = l b Herved har vi opnået en ligning, der udtrykker en sammenhæng mellem de tre variable: længde, l, bredde, b og areal, A. Fordelen ved at skrive en sådan formel op er, at man hurtigt kan se, hvordan arealet udregnes. Desuden kan man nemt selv udregne arealet ved blot at indsætte de aktuelle værdier for længde og bredde på de tilsvarende variables plads i formlen og så udregne værdien. På denne måde er formlen for rektanglets areal en kort måde at beskrive, hvordan rektanglets areal udregnes. Samtidig er formelsproget internationalt, så formlen vil blive forstået over det meste af verden, hvis altså folk kan matematik. Eksempel Arealet af en cirkel kan findes ved at multiplicere π med radius i anden potens. Her er både cirklens radius en variabel, hvor vi bruger symbolet r, og arealet er også en variabel, og her bruger vi symbolet, A. Formlen kan så skrives: A = π r 2 Rumfanget af en cylinder kan findes ved at multiplicere arealet af grundfladen med cylinderens højde. Grundfladen er en cirkel med radius, r, og lader vi h betegne højden, kan formlen for rumfanget, V, skrives: V = π r 2 h side 22

5 Eksempel Hvis vi skal finde rumfanget af en pyramide, så kan vi gange grundfladens areal med en tredjedel af højden. Her er to variable, nemlig højden af pyramiden. Lad os bruge symbolet, h, for denne. Grundfladens areal er en anden variabel, og lad os bruge symbolet, A, for denne. Så kan vi omsætte beskrivelsen i ord til formlen: V = h A hvor symbolet, V, betegner rumfanget. Ofte vil man i matematik arbejde med metoder til at løse konkrete problemer uden at arbejde med de konkrete tal, der optræder i forskellige problemstillinger. Derfor vil det være hensigtsmæssigt ikke at angive de konkrete tal i en udregning, men at lade bogstaver repræsentere de tal, der skal indgå i regningerne altså at bruge variable for tallene i stedet for de konkrete tal. På denne måde kan man bedre analysere selve beregningsmetoderne og man kan nemmere overskue de regnemetoder, som anvendes. Lad os se på et eksempel: Tænk på et tal, læg 4 til tallet. Gang så med 2. træk 6 fra resultatet. Gang nu med 5. Træk endelig 10 fra. Prøv proceduren på et par konkrete tal, som du selv vælger, og få herigennem en ide om, hvad der sker med tallet. Måske kan du allerede overskue, hvad der sker i regneprocessen. Hvis du starter med 7 ender du med 70. Hvis du starter med 3 ender du med 30. Ligegyldigt hvad du starter med, så ender du med et resultat, der er 10 gange større end starttallet. Lad os analysere regningerne. Det tal, du starter med, er en variabel, for du kan jo starte med, hvad du vil. Lad os kalde tallet for a: side 23

6 Tænk på et tal, læg 4 til tallet. a + 4 Gang så med 2. 2a = 2a + 8 træk 6 fra resultatet. 2a = 2a + 2 Gang nu med a = 10a + 10 Træk endelig 10 fra. 10a = 10a Heraf ses, at slutfacit præcis er 10 gange større end starttallet. Eksempel Et reb lægges omkring Jorden ved ækvator, så det er helt stramt. Så forlænges rebet med 1 meter og løftes op, så det overalt er lige højt over jorden. Hvor højt ligger rebet nu? Jordens omkreds er m ved ækvator, og det er således også rebets længde inde vi forlængede det. I en cirkel er de to variable, radius r, og omkreds O, forbundet ved følgende formel: O = 2π r eller Vi kan derfor udregne Jordens radius, og det er også radius i den cirkel, som rebet danner: Når vi så udvider rebet med 1 meter, vil omkredsen af den cirkel, som rebet nu danner være O = m. Radius i den nye cirkel, som rebet danner bliver: side 24

7 Forskellen på r og R er netop den højde, som rebet løfter sig. Det bliver 0,16 m eller 16 cm hele vejen rundt. Lad os analysere situationen lidt nærmere og generalisere problemstillingen. Vi vil nu betragte en vilkårlig cirkel, hvis omkreds forlænges med 1 meter. Den oprindelige cirkels omkreds sættes til, O. Den udvidede cirkels omkreds bliver så: O 1 = O + 1m. De tilsvarende radier bliver: og Forskellen på de to radier er: Vi ser altså, at det faktisk er ligegyldigt, hvor stor den oprindelige cirkel er, den forlængede cirkel har altid en radius, der er 16 cm større. Det gælder uanset om den oprindelige snor var lagt om et æble med en radius på 3cm eller Jorden, der jo har en noget større radius. 2.3 Grafisk fremstilling af variabelsammenhænge. Ofte har man en række data med samhørende værdier for to variable, x og y, fx opstillet i en tabel. For at undersøge, om der er en matematisk sammenhæng mellem de to variable, kan man tegne et xy-plot af disse. Her vil man hurtigt kunne se, om der er en sammenhæng eller om værdierne af de variable varierer på tilfældig måde. Hvis de indtegnede punkter i xy-plottet ligger omkring en kurve, er der stor sandsynlighed for at side 25

8 der er en sammenhæng, hvorimod hvis punkterne danner en sky af punkter i koordinatsystemer, er der ingen sammenhæng. I figuren herunder er indtegnet en opgørelse over hvor længe buspassagerer har ventet på bussen 1A i København, hvor længe deres tur har varet, og hvor lang en strækning de har kørt med bussen. Ventetid Køretid Afstand 1,1 2,9 2,4 6,0 3,3 2,4 7,0 Både ventetid ved stoppestedet og afstanden man skal køre i bus er variable, men der er selvfølgelig ingen sammenhæng mellem disse to variable. Dette ses også i figur 1, hvor punkterne ligger tilfældigt fordelt i koordinatsystemet. Hvorimod man må forvente, at der er en sammenhæng mellem afstand og tid, når man sidder i bussen. Punkterne ligger forholdsvist pænt omkring en ret linie, der går gennem (0,0). Vi siger, at de to variable med tilnærmelse er ligefrem proportionale. Når man ønsker at finde et mønster i et datasæt mener man oftest at finde den type sammenhæng, der bedst beskriver data. Derfor har vi brug for at beskrive forskellige typer af sammenhænge og deres karakteristiske egenskaber. En sammenhæng mellem to variable beskrives mest hensigtsmæssigt ved en formel, der angiver sammenhængen. side 26

9 2.4 De naturlige og de hele tal Tal bruges hver dag. De er en helt naturlig del af vores sprog. Vi bruger tallene 1, 2, 3, 4, 5, osv. til at tælle med. Vi har to øjne og ti fingre. Der er fx 3600 sekunder på en time og 365 dage i året Danmark havde indbyggere d. 30 juni Disse tal, som vi bruger til at tælle med, kaldes for de naturlige tal og betegnes med symbolet N: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Der findes uendeligt mange naturlige tal, så vi kan af gode grunde ikke angive dem alle i opremsningen ovenfor. Derfor sætter vi tre prikker for at angive, at talrækken fortsætter efter samme mønster i det uendelige. Vi behøver ikke tælle hver gang vi skal finde et bestemt antal. Hvis vi har 10 kasser øl, så ved vi, at vi har 300 øl. Oftest kan vi regne os frem til resultatet ved hjælp af de fire regningsarter plus (+), minus (-), gange ( ) eller dividere (:). Hvis vi kun bruger de naturlige tal, kan vi altid lægge sammen og gange, resultatet bliver igen et naturligt tal. Men hvis vi trækker to naturlige tal fra hinanden, får vi ikke nødvendigvis et naturligt tal. Udregningen 5 5 = 0 giver som bekendt nul, og det regnes ikke for et naturligt tal. Regnestykket 5 7 kan egentlig slet ikke udføres, for man kan jo ikke fjerne mere end man har. Der mangler 2. Alligevel har det ofte mening at foretage sådanne udregninger. Man kan jo skylde, hvis det drejer sig om en vare, man køber. Her kan man angive, hvor mange der faktisk mangler ved at sætte et minustegn foran tallet, så resultatet bliver 5 7 = 2. Herved opstår de negative hele tal. De hele tal består af de naturlige tal, nul og alle de negative hele tal. De betegnes med symbolet Z: Z = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, } Igen er der uendeligt mange hele tal, og de strækker sig nu både i positiv og negativ retning, hvorfor vi forsyner opremsningen med både før og efter de angivne tal. Tallene kan illustreres ved en tallinie. Det er en ret linie forsynet med et nulpunkt, der skal illustrere tallet 0, og forsynet med en pil, der angiver retningen af de positive tal. Så afsættes alle de naturlige tal i pilens retning med lige stor afstand og tilsvarende symmetrisk om nulpunktet anbringes de negative hele tal i den modsatte retning. side 27

10 2.5 Konkrete eksempler og generelle regler Når man arbejder med tal, opdager man tit visse egenskaber ved tallene. Når vi ganger to tal med hinanden, finder vi ud af, at det er ligegyldigt i hvilken rækkefølge, tallene ganges i. Fx er: 5 7 = 7 5 = = 3 11 = 33 og sådan kunne man blive ved med at finde konkrete taleksempler, hvor det gælder. Men nu giver to eller for den sags skyld mange eksempler jo ikke sikkerhed for, at reglen altid vil gælde. Man kan generalisere reglen til en formodning om, at faktorernes orden er ligegyldig i en multiplikation. Men man kan ikke være sikker på, at formodningen vil være rigtig for alle tal, for der er jo uendeligt mange tal, og det er umuligt at efterprøve reglen i alle tilfælde. Derfor må man undersøge, om den generelle regel kan bevises. Det vil sige, om man kan opstille en argumentation for reglens gyldighed på en sådan måde, at alle overbevises om reglens rigtighed. Lad os første analysere situationen i det konkrete eksempel. Regnestykket 5 7 betyder , altså 7 lagt til sig selv fem gange. Regnestykket 7 5 betyder derimod: , og det kan illustreres ved følgende figur: Nu kan vi nemt se, at der faktisk er tale om samme figur, blot er den ene drejet 90 o i forhold til den anden. Men drejningen vil ikke ændre figuren, så derfor er der samme antal prikker i de to figurer. Vi kan se, at metoden med prikfiguren ikke afhænger af antallet af prikker, og en multiplikation af to vilkårlige naturlige tal vil altid kunne illustreres ved en lignende figur. Argumentet vil stadig gælde: De to figurer er ens, blot er den ene drejet 90 o i side 28

11 forhold til den anden, og derfor vil der være det sammen antal prikker i figuren. Vi har nu generaliseret reglen til at gælde for alle tal i hvert fald for alle naturlige tal. 2.6 Brøker og decimalbrøker Når vi lægger to hel tal samme, trækker dem fra hinanden eller ganger dem med hinanden, får vi altid et resultat, der er et helt tal. Dette gælder ikke ved division. Hvis vi ser på divisionen 1 : 5, bliver resultatet ikke et helt tal. For at kunne angive resultatet af sådanne divisioner benyttes brøker. Resultatet angives: 1 : 5 = Ligeledes kan resultatet af udregningen 3 : 5 angives som brøken. På tallinine kan disse brøker indtegnes ved at inddele stykket mellem 0 og 1 i 5 lige store dele. Første delestreg angiver og tredje delestreg angiver. I brøken kaldes tallet under brøkstregen for nævneren, og det angiver, hvilke slags dele der er tale om i dette tilfælde 5 te dele. Tallet over brøkstregen kaldes for tælleren og angiver, hvor mange dele vi har taget, i dette tilfælde 3 dele. Brøker kan altid opfattes som en division af tæller med nævner. Mængden af alle brøkerne kaldes for de rationale tal og betegnes med symbolet Q. Hvis vi inddeler hver femtedel i tre lige store dele, har vi inddelt stykket mellem 0 og 1 i 15 lige store stykker. Hvor vi før havde brøken har vi nu brøken og hvor der før stod har vi nu. I begge tilfælde har vi ganget både tæller og nævner med samme tal, nemlig tallet 3. Vi siger, at vi har forlænget brøkerne med tallet 3. Selve brøkens værdi ændres ikke. På tilsvarende måde kunne vi gøre det modsatte nemlig i brøken dividere både tæller og nævner med tallet 3 og fået brøken. Vi siger, at vi forkorter brøken med tallet 3. Igen ændres brøkens værdi ikke. Så det samme tal kan altså udtrykkes som brøk på mange forskellige måder ved at forlænge eller forkorte. side 29

12 Forlænge eller forkorte brøker: En brøk forlænges med tallet n ved at gange både tæller og nævner med tallet n: Brøkens talværdi ændres ikke. En brøk forkortes med tallet n ved at dividere både tæller og nævner med tallet n: Brøkens talværdi ændres ikke. I eksempel så vi, at vores talsystem er et positionssystem med grundtallet 10. Decimalbrøker er opbygget ud fra samme system. Hver gang vi bevæger os en position mod venstre bliver cifferets værdi 10 gange større. Hver gang vi bevæger os en plads mod højdre bliver cifferets værdi 10 gange mindre. Decimalbrøker er en udvidelse af dette princip. I tallet 387,25 tæller cifre til højre for kommaet 10 ende dele, 100 ede dele osv. Altså er: 387,25 = Man kan nemt omsætte en decimalbrøk til en rigtig brøk, som det ses i eksemplet herunder. 0,48 = Omvendt kan en brøk omsættes til decimalbrøk ved simpelthen at udføre den division, som brøken repræsenterer: Men det er nu ikke altid, at divisionen slutter som ovenfor. Et eksempel er: Divisionen bliver aldrig færdig, og vi ender med en uendelig decimalbrøk. side 30

13 Øvelser. Øvelse 1: Se på grafen på side 21 og besvar disse spørgsmål: a) Hvad er temperaturen klokken 14? og kl. 17? b) Hvad er den højeste temperatur, der forekommer i fryserummet? c) Hvad er den mindste temperatur? d) Temperaturen må helst ikke kommer over 20 o C. Hvor længe var temperaturen over 20 o C? Øvelse 2: Opskriv en formel for rumfanget af en kasse. Find selv på passende variabelnavne. Hvad er rumfanget af klasseværelset? Øvelse 3: Hastigheden af en bil kan findes som den strækning den kærer divideret med den tid det tager. Opskriv dette som en formel. Øvelse 4: Prøv denne opskrift med forskellige tal: Tænk på et tal. Læg så 15 til tallet. Gang resultatet med 2. Træk 4 fra. Træk endelig 2 gange det tal, som du startede med, fra. Hvad bliver resultatet? Gennemregn opskriften med bogstavregning. Opgave 5: Indtegn disse brøker på en tallinje: a) side 31