t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
|
|
- Olivia Mikkelsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Slide 1/25
2 Indhold Slide 2/25
3 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25
4 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling. Slide 3/25
5 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling. Hvad tager vi med herfra? Slide 3/25
6 Hvad er matematik? Hvad er matematik ifølge dig? 1) Hvad er de mest grundlæggende elementer i matematik? 2) Kan man diskutere om = 4? Og hvordan? 3) Er alt hvad matematikken siger sandt? Og hvis ja, hvorfor? Slide 4/25
7 Hvad er matematik? - fortsat Lad os se på definitionen af de naturlige tal N: 0 := har 0 elementer 1 := { } har 1 elementer 2 := {, { }} har 2 elementer 3 := {, { }, {, { }}} har 3 elementer 4 := {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} har 4 elementer.. Slide 5/25
8 Hvad er matematik? - fortsat Lad os se på definitionen af de naturlige tal N: 0 := har 0 elementer 1 := { } har 1 elementer 2 := {, { }} har 2 elementer 3 := {, { }, {, { }}} har 3 elementer 4 := {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} har 4 elementer.. Definér efterfølgerfunktionen S : N N ved S(x) = x {x} Slide 5/25
9 Hvad er matematik? - fortsat Lad os se på definitionen af de naturlige tal N: 0 := har 0 elementer 1 := { } har 1 elementer 2 := {, { }} har 2 elementer 3 := {, { }, {, { }}} har 3 elementer 4 := {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} har 4 elementer.. Definér efterfølgerfunktionen S : N N ved Definér nu addition + : N N N ved S(x) = x {x} n + 0 = n for alle n N n + (m + 1) = (n + m) + 1 for alle n, m N Slide 5/25
10 Opvarmning Hvornår bruger vi tal, og hvornår bruger vi bogstaver? Slide 6/25
11 Opvarmning Hvornår bruger vi tal, og hvornår bruger vi bogstaver? Geometrisk bevis for Pythagoras læresætning: I enhver retvinklet trekant gælder, at summen af kvadraterne på kateterne er lig kvadratet på hypotnusen. Med andre ord a 2 + b 2 = c 2 Slide 6/25
12 Lad os først definere begrebet mængde: Slide 7/25
13 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Slide 7/25
14 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: Slide 7/25
15 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: De naturlige tal N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Slide 7/25
16 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: De naturlige tal De hele tal N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Slide 7/25
17 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: De naturlige tal De hele tal De rationale tal N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { a Q = b } a Z, b N To rationale tal a 1 b 1 og a 2 b 2 er ens, hvis der findes n Z så a 1 = n a 2 og b 1 = n b 2. Slide 7/25
18 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: De naturlige tal De hele tal De rationale tal N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { a Q = b } a Z, b N To rationale tal a 1 b 1 og a 2 b 2 er ens, hvis der findes n Z så a 1 = n a 2 og b 1 = n b 2. Findes der tal, som ikke kan skrives som brøker..? Slide 7/25
19 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: De naturlige tal De hele tal De rationale tal N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { a Q = b } a Z, b N To rationale tal a 1 b 1 og a 2 b 2 er ens, hvis der findes n Z så a 1 = n a 2 og b 1 = n b 2. Findes der tal, som ikke kan skrives som brøker..? rationalt tal! Vi viser, at 2 ikke er et Slide 7/25
20 Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: De naturlige tal De hele tal De rationale tal N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { a Q = b } a Z, b N To rationale tal a 1 b 1 og a 2 b 2 er ens, hvis der findes n Z så a 1 = n a 2 og b 1 = n b 2. Findes der tal, som ikke kan skrives som brøker..? Vi viser, at 2 ikke er et rationalt tal! De reelle tal R er alle tal, der kan tilnærmes vilkårligt ved en følge af rationale tal. Slide 7/25
21 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Slide 8/25
22 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Slide 8/25
23 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel Slide 8/25
24 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel = Slide 8/25
25 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel = = Slide 8/25
26 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel = = = 5 8 Slide 8/25
27 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel = = = 5 8 Eksempel: Betragt følgende eksempel Slide 8/25
28 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel = = = 5 8 Eksempel: Betragt følgende eksempel = Slide 8/25
29 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel = = = 5 8 Eksempel: Betragt følgende eksempel = = Slide 8/25
30 En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel = = = 5 8 Eksempel: Betragt følgende eksempel = = = 2 21 Slide 8/25
31 - regneregler Generelt får vi følgende regler for addition (+) og subtraktion ( ) af brøker a b + c ad + bc = d bd hvor a, b, c, d R med b, d 0. og a b c ad bc = d bd Slide 9/25
32 - regneregler Generelt får vi følgende regler for addition (+) og subtraktion ( ) af brøker a b + c ad + bc = d bd hvor a, b, c, d R med b, d 0. Generelt får vi følgende regel for multiplikation ( ) af brøker og a b c ad bc = d bd hvor a, b, c, d R med b, d 0. a b c d = a c b d Slide 9/25
33 - regneregler Generelt får vi følgende regler for addition (+) og subtraktion ( ) af brøker a b + c ad + bc = d bd hvor a, b, c, d R med b, d 0. Generelt får vi følgende regel for multiplikation ( ) af brøker og a b c ad bc = d bd hvor a, b, c, d R med b, d 0. a b c d = a c b d Generelt får vi følgende regel for division (/) af brøker a b c d = a b d c = a d b c hvor a, b, c, d R med b, c, d 0. Slide 9/25
34 - gæt en formel Afgør hvilke af følgende formler er korrekte, og hvilke er falske. I tilfælde af korrekthed skal der argumenteres ud fra de kendte regneregler; i tilfælde af falskhed skal der angives et modeksempel. Lad a, b, c, d R være valgt, så der på intet tidspunkt deles med 0 i det følgende. a) b) c) d) a b c = a c b c a + b + c a + b + d = a a + b b + c d a b c = ac b a b c b c = a e) f) g) h) a b c ad bc = d bd a b c + d = a c b d. a b c = a c b c. a b c + d = a c + b d. Slide 10/25
35 - Opsummering Addition og subtraktion af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b + c ad + bc = d bd og a b c ad bc = d bd Slide 11/25
36 - Opsummering Addition og subtraktion af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b + c ad + bc = d bd og a b c ad bc = d bd Multiplikation af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b c d = a c b d Slide 11/25
37 - Opsummering Addition og subtraktion af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b + c ad + bc = d bd og a b c ad bc = d bd Multiplikation af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b c d = a c b d Division af brøker: Lad a, b, c, d R med b, c, d 0. Da haves a b c d = a b d c = a d b c Slide 11/25
38 - Opsummering Addition og subtraktion af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b + c ad + bc = d bd og a b c ad bc = d bd Multiplikation af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b c d = a c b d Division af brøker: Lad a, b, c, d R med b, c, d 0. Da haves a b c d = a b d c = a d b c Pas på med at finde på dine egne regneregler! Alle opgaver kan løses ud fra de 4 ovenstående! Slide 11/25
39 Lad n N være et naturligt tal, mens a R er reel. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Slide 12/25
40 - regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Slide 13/25
41 - regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved a n a m = a n+m Slide 13/25
42 - regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange m gange n+m gange { }} {{ }} {{ }} { a n a m = a a... a a a... a = a a... a = a n+m Slide 13/25
43 - regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange m gange n+m gange { }} {{ }} {{ }} { a n a m = a a... a a a... a = a a... a = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved a n a m = an m Slide 13/25
44 - regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange m gange n+m gange { }} {{ }} {{ }} { a n a m = a a... a a a... a = a a... a = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange { }} { a n n-m gange a m = a a... a { }} { = a a... a = a n m a a... a } {{ } m gange Slide 13/25
45 - regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange m gange n+m gange { }} {{ }} {{ }} { a n a m = a a... a a a... a = a a... a = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange { }} { a n n-m gange a m = a a... a { }} { = a a... a = a n m a a... a } {{ } m gange Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved a n b n = (a b) n Slide 13/25
46 - regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange m gange n+m gange { }} {{ }} {{ }} { a n a m = a a... a a a... a = a a... a = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved n gange { }} { a n n-m gange a m = a a... a { }} { = a a... a = a n m a a... a } {{ } m gange Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved n gange n gange n gange { }} {{ }} {{ }} { a n b n = a a... a b b... b = (a b) (a b)... (a b) = (a b) n Slide 13/25
47 - regneregler fort. Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Slide 14/25
48 - regneregler fort. Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved a n ( a ) n b n = b Slide 14/25
49 - regneregler fort. Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved n gange n gange { }} {{ }} { a n b n = a a... a a = b b... b b a b... a ( a ) n b = b } {{ } n gange Slide 14/25
50 - regneregler fort. Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved n gange n gange { }} {{ }} { a n b n = a a... a a = b b... b b a b... a ( a ) n b = b } {{ } n gange Regel 5: En potens af et potensudtryk er bestemt ved (a n ) m = a mn Slide 14/25
51 - regneregler fort. Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved n gange n gange { }} {{ }} { a n b n = a a... a a = b b... b b a b... a ( a ) n b = b } {{ } n gange Regel 5: En potens af et potensudtryk er bestemt ved n gange (a n ) m { }} { = a a... a mn gange m { }} { = a a... a = a mn m gange { }} { n gange n gange n gange { }} {{ }} {{ }} { = a a... a a a... a... a a... a Slide 14/25
52 - regneregler fort. Lad i det følgende a R +, mens m, n N. Slide 15/25
53 - regneregler fort. Lad i det følgende a R +, mens m, n N. Definition: Vi definerer eksponenter med rationale eksponenter som følger a m/n = n a m Ovenstående regler for heltalige eksponenter gælder ligeledes for rationale (og reelle) eksponenter. Slide 15/25
54 - regneregler fort. Lad i det følgende a R +, mens m, n N. Definition: Vi definerer eksponenter med rationale eksponenter som følger a m/n = n a m Ovenstående regler for heltalige eksponenter gælder ligeledes for rationale (og reelle) eksponenter. Regel 5 (for rationale eksponenter): Lad os vise regel 5 for rationale eksponenter p, q Q. Vi bemærker først, at der findes r, s, t Z, så p = r/s og q = s/t. Da fås (a p ) q = a p q Slide 15/25
55 - regneregler fort. Lad i det følgende a R +, mens m, n N. Definition: Vi definerer eksponenter med rationale eksponenter som følger a m/n = n a m Ovenstående regler for heltalige eksponenter gælder ligeledes for rationale (og reelle) eksponenter. Regel 5 (for rationale eksponenter): Lad os vise regel 5 for rationale eksponenter p, q Q. Vi bemærker først, at der findes r, s, t Z, så p = r/s og q = s/t. Da fås (a p ) q = ( a r/s) s/t ( = ) t s s a r t = a r = a r/t = a s r st = a p q Slide 15/25
56 - gæt en formel Afgør hvilke af følgende formler er korrekte, og hvilke er falske. I tilfælde af korrekthed skal der argumenteres ud fra de kendte regneregler; i tilfælde af falskhed skal der angives et modeksempel. Lad a, b R + og lad m, n N. a) a n + b m = (a + b) m b) a n a m = a m n a n b m c) a n = b m e) ( a m/n) n/k = k a m f) a n a n = 1. g) a n = a n. d) 1 = an a n h) n a 2n = a 2. Slide 16/25
57 - opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Slide 17/25
58 - opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = a n+m Slide 17/25
59 - opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = an m Slide 17/25
60 - opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = an m Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n b n = (a b) n Slide 17/25
61 - opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = an m Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n b n = (a b) n Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n ( a ) n b n = b Slide 17/25
62 - opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = an m Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n b n = (a b) n Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n ( a ) n b n = b Regel 5: En potens af et potensudtryk (a n ) m = a m n Slide 17/25
63 - opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da n gange { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } n gange Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = an m Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n b n = (a b) n Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n ( a ) n b n = b Regel 5: En potens af et potensudtryk (a n ) m = a m n Definition: Vi definerer potensudtryk med rationale eksponenter som følger Slide 17/25 a m/n = n a m
64 Lad a, b R være givet. Slide 18/25
65 Lad a, b R være givet. Første kvadratsætning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Slide 18/25
66 Lad a, b R være givet. Første kvadratsætning: Anden kvadratsætning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Slide 18/25
67 Lad a, b R være givet. Første kvadratsætning: Anden kvadratsætning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Tredje kvadratsætning: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Slide 18/25
68 Lad a, b R være givet. Første kvadratsætning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Anden kvadratsætning: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Tredje kvadratsætning: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Bemærk den trivielle betragtning, at kvadratet på et vilkårligt reelt tal er ikke-negativt. Vi kan bruge dette til at vise a + b ab 2 for alle positive tal a, b R +. Slide 18/25
69 En ligning er et prædikat med én eller flere frie variable (typisk x, y, z,...) Slide 19/25
70 En ligning er et prædikat med én eller flere frie variable (typisk x, y, z,...) Målet med ligningsløsning er at bestemme konkrete værdier af de frie variable, så ligningen er opfyldt ved indsættelse af netop disse værdier. Slide 19/25
71 En ligning er et prædikat med én eller flere frie variable (typisk x, y, z,...) Målet med ligningsløsning er at bestemme konkrete værdier af de frie variable, så ligningen er opfyldt ved indsættelse af netop disse værdier. Vi taler om grundmængden; hvilke værdier må x antage i følgende ligninger 1 x = x og x + 5 x + 2 = 6 2x + 4 Slide 19/25
72 En ligning er et prædikat med én eller flere frie variable (typisk x, y, z,...) Målet med ligningsløsning er at bestemme konkrete værdier af de frie variable, så ligningen er opfyldt ved indsættelse af netop disse værdier. Vi taler om grundmængden; hvilke værdier må x antage i følgende ligninger 1 x = x og x + 5 x + 2 = 6 2x + 4 Den grundlæggende teknik er identiske omskrivninger på begge sider af lighedstegnet. Slide 19/25
73 En ligning er et prædikat med én eller flere frie variable (typisk x, y, z,...) Målet med ligningsløsning er at bestemme konkrete værdier af de frie variable, så ligningen er opfyldt ved indsættelse af netop disse værdier. Vi taler om grundmængden; hvilke værdier må x antage i følgende ligninger 1 x = x og x + 5 x + 2 = 6 2x + 4 Den grundlæggende teknik er identiske omskrivninger på begge sider af lighedstegnet. Lidt flere eksempler: a) Betragt ligningen b) Betragt ligningen c) Bestem a, b, c, d R, så x = x = 4 x + 2 ax + b = cx + d har én løsning, ingen løsning og uendeligt mange løsninger. Slide 19/25
74 - et eksempel Vi betragter et mere avanceret eksempel. Slide 20/25
75 - et eksempel Vi betragter et mere avanceret eksempel. Eksempel: Betragt ligningen x 4x 1 = 1 2 Slide 20/25
76 - et eksempel Vi betragter et mere avanceret eksempel. Eksempel: Betragt ligningen Hvilke værdier kan x antage? x 4x 1 = 1 2 Slide 20/25
77 - et eksempel Vi betragter et mere avanceret eksempel. Eksempel: Betragt ligningen Hvilke værdier kan x antage? x 4x 1 = 1 2 4x 1 > 0 x > 1 4 Slide 20/25
78 - et eksempel Vi betragter et mere avanceret eksempel. Eksempel: Betragt ligningen Hvilke værdier kan x antage? x 4x 1 = 1 2 Vi får følgende omskrivninger 4x 1 > 0 x > 1 4 x 4x 1 = 1 2 x2 4x 1 = 1 4 x2 = 1 (4x 1) 4 4x 2 = 4x 1 4x 2 4x + 1 = 0 (2x 1) 2 = 0 2x 1 = 0 2x = 1 x = 1 2 Slide 20/25
79 - et eksempel Vi betragter et mere avanceret eksempel. Eksempel: Betragt ligningen Hvilke værdier kan x antage? x 4x 1 = 1 2 Vi får følgende omskrivninger 4x 1 > 0 x > 1 4 x 4x 1 = 1 2 x2 4x 1 = 1 4 x2 = 1 (4x 1) 4 4x 2 = 4x 1 4x 2 4x + 1 = 0 (2x 1) 2 = 0 2x 1 = 0 2x = 1 x = 1 2 Vi bemærker, at x = 1 2 > 1 4, hvorfor vi kan acceptere løsningen. Slide 20/25
80 kan betragtes som resktriktioner af de frie variable x, y, z,... Betragt følgende to ligninger y = 2x + 3 og y = 3 2 x + 2 Vi har to metoder til at bestemme værdier af de frie variable, så ligningerne er opfyldt. Slide 21/25
81 kan betragtes som resktriktioner af de frie variable x, y, z,... Betragt følgende to ligninger y = 2x + 3 og y = 3 2 x + 2 Vi har to metoder til at bestemme værdier af de frie variable, så ligningerne er opfyldt. Vi skal se nærmere på to løsningsstrategier; grafisk løsning og substitutionsmetoden. Slide 21/25
82 kan betragtes som resktriktioner af de frie variable x, y, z,... Betragt følgende to ligninger y = 2x + 3 og y = 3 2 x + 2 Vi har to metoder til at bestemme værdier af de frie variable, så ligningerne er opfyldt. Vi skal se nærmere på to løsningsstrategier; grafisk løsning og substitutionsmetoden. Vi undersøger flere eksempler a) Betragt ligningssystemet 4y x 1 = 10 2x + 2y = 18 b) Betragt ligningssystemet 2x 3 y = 1 3 3x y 3 = 2y Slide 21/25
83 En andengradsligning er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Vi søger en generel metode til at bestemme en værdi for x, så ligningen er opfyldt. Slide 22/25
84 En andengradsligning er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Vi søger en generel metode til at bestemme en værdi for x, så ligningen er opfyldt. Vi husker at ligningen havde løsningen x = x 2 4x + 1 = 0 Slide 22/25
85 En andengradsligning er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Vi søger en generel metode til at bestemme en værdi for x, så ligningen er opfyldt. Vi husker at ligningen havde løsningen x = x 2 4x + 1 = 0 Sætning (light-udgaven): Betragt ligningen ax 2 + bx = 0, a 0 Da har vi løsningerne x = 0 og x = b a Slide 22/25
86 Bevis for andengradsligningers løsningsformel Sætning: Betragt ligningen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Da har vi løsningerne såfremt b 2 4ac 0. x = b + b 2 4ac 2a og x = b b 2 4ac 2a Slide 23/25
87 Bevis for andengradsligningers løsningsformel Sætning: Betragt ligningen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Da har vi løsningerne såfremt b 2 4ac 0. x = b + b 2 4ac 2a og x = b b 2 4ac 2a Bevis: Antag b 2 4ac 0. Vi får da følgende omskrivninger ax 2 + bx + c = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac (2ax) ax b + b 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = b 2 4ac Slide 23/25
88 Bevis for andengradsligningers løsningsformel Sætning: Betragt ligningen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Da har vi løsningerne såfremt b 2 4ac 0. x = b + b 2 4ac 2a og x = b b 2 4ac 2a Bevis: Antag b 2 4ac 0. Vi får da følgende omskrivninger ax 2 + bx + c = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac (2ax) ax b + b 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = b 2 4ac 2ax + b = ± b 2 4ac x = b ± b 2 4ac 2a Slide 23/25
89 Teoretisk eksempel: Betragt ligningen k 2 x 2 + 2(k + 1)x + 4 = 0 Bestem k, så ligningen har hhv. 0, 1 og 2 løsninger. Slide 24/25
90 Teoretisk eksempel: Betragt ligningen k 2 x 2 + 2(k + 1)x + 4 = 0 Bestem k, så ligningen har hhv. 0, 1 og 2 løsninger. a) Betragt ligningen b) Betragt ligningen c) Betragt ligningen 2x 2 + 8x + 6 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 4x 2 = x 2 Slide 24/25
91 - substitution Somme tider kan et problem omarrangeres, så det ligner en almindelig andengradsligning - vi benævner dette princip substitution. Slide 25/25
92 - substitution Somme tider kan et problem omarrangeres, så det ligner en almindelig andengradsligning - vi benævner dette princip substitution. Betragt ligningerne x 4 x 2 12 = 0, og 2x 4 5x = 0 Slide 25/25
93 - substitution Somme tider kan et problem omarrangeres, så det ligner en almindelig andengradsligning - vi benævner dette princip substitution. Betragt ligningerne Betragt ligningerne x 4 x 2 12 = 0, og 2x 4 5x = 0 x + 5 x 36 = 0, og 2x x + 2 = 0 Slide 25/25
94 - substitution Somme tider kan et problem omarrangeres, så det ligner en almindelig andengradsligning - vi benævner dette princip substitution. Betragt ligningerne Betragt ligningerne x 4 x 2 12 = 0, og 2x 4 5x = 0 x + 5 x 36 = 0, og 2x x + 2 = 0 Betragt ligningen 2x 2 22x = 0 Slide 25/25
t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereLøsning til aflevering uge 11
Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereMatematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring
Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08
Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereÅrsplan i matematik klasse
32-36 Brøker og Én brøk - forskellige betydninger en helhed ved hjælp af brøker. en helhed ved hjælp af brøker. Eleven kan bruge brøker til at beskrive forholdet mellem to størrelser. Eleven kan argumentere
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger
Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08
Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereLÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereEleverne skal lære at:
PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan findes her. PDF. Henrik S. Hansen, version 3.
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Opgaver til noterne kan findes her. PDF Facit til opgaverne kan findes her. PDF Henrik S. Hansen, version 3.1 0 Indhold Tallenes udvikling... 1 Tallenes udvikling...
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereFormelsamling C-niveau
Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................
Læs mereSkolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:
Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05
Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår19, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereUndervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5
Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereMATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål
MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereUndervisningsplan for matematik
Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereMatematik Delmål og slutmål
Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse
Læs mere