Klausur Stochastik und Statistik Sommersemester 2009

Klausur Stochastik und Statistik Sommersemester 2009 Prof. Dr. Torsten Hothorn Institut für Statistik Name: Name, Vorname Matrikelnummer: 023456 Wichtig: ˆ Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur besteht aus vier Aufgaben (jeweils zwei Seiten), einem Deckblatt und der Standardnormalverteilung im Anhang. Kontrollieren Sie Ihren Namen und die Matrikelnummer. ˆ Verwenden Sie für Ihre Lösungen ausschließlich den Klausurbogen (Vorder- und Rückseite), Zusatzblätter werden auf Anfrage ausgeteilt. ˆ Als Hilfsmittel zugelassen sind alle Mitschriften der Vorlesung und der Übung, das ausgedruckte Skript sowie Bücher und ein Taschenrechner. ˆ Die Bearbeitungszeit beträgt 20 Minuten. Ich bin damit einverstanden, daß das Klausurergebnis unter Angabe meiner Matrikelnummer auf der Seite http://www.stat.uni-muenchen.de/ hothorn veröffentlicht wird. (Bei Nichtzutreffen bitte streichen.) Viel Erfolg! Punkte: Note: 27. Juli 2009 LMU München

Aufgabe Eine Markov-Kette X mit Zustandsraum S {A, B, C} habe die Übergangsmatrix α α 0 P α α α, 2 2 0 α α wobei der Parameter α im Intervall (0, ] liegt. a) Für welche Werte von α ist X aperiodisch? Begründen Sie Ihre Antwort! (2 Pkt.) Für welche Werte von α ist X periodisch? Geben Sie die Periode an. (2 Pkt.) α : P 0 0 2 0 2 0 0 Für α ist die Markovkette X periodisch mit Periode 2: Wenn sich die Markovkette im Zustand B befindet, so ist sie im übernächsten Schritt wieder in B. α (0, ): Die Matrix P 2 und somit auch alle Übergangsmatrizen P k, k 2, enthalten keine Einträge 0 mehr. Somit ist die Markovkette X aperiodisch für α (0, ). b) Zeigen Sie, dass (für alle Werte von α) π ( 4, 2, 4) die stationäre Verteilung von X ist. (2 Pkt.) zu zeigen: πp π ( πp 4, 2, ) α α 0 α α α 2 2 4 0 α α ( 4 ( α) + 2 α 2, 4 α + 2 ( α) + 4 α, 2 α 2 + 4 ( 4, 2, ) π 4 c) Es sei α 0.25. Die Startverteilung sei gegeben durch P (X 0 A) 0.3, P (X 0 B) 0.3. ) ( α) > P <- matrix(c(0.75, 0.25, 0, 0.25, 0.75, 0.25, 0, 0.25, 0.75), ncol 3) > mu0 <- c(0.3, 0.3, 0.4) > P [,] [,2] [,3] [,] 0.750 0.25 0.000 [2,] 0.25 0.75 0.25 [3,] 0.000 0.25 0.750 27. Juli 2009 Aufgabe, Blatt LMU München

> P2 <- P %*% P > P2 [,] [,2] [,3] [,] 0.59375 0.375 0.0325 [2,] 0.8750 0.625 0.8750 [3,] 0.0325 0.375 0.59375 Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: i) P (X 2 B) (2 Pkt.) > PX2 <- mu0 %*% P2 > PX2[2] [] 0.45 ii) P (X 2 B X 0 A) (2 Pkt.) > (mu0star %*% P2)[2] [] 0.375 iii) P (X 2 B X C, X 0 A) (2 Pkt.) > P[3,2] [] 0.25 iv) P (X 0 C X 2 B) (2 Pkt.) > P2[3,2]*mu0[3]/PX2[2] [] 0.3333333 27. Juli 2009 Aufgabe, Blatt LMU München

27. Juli 2009 Aufgabe, Blatt 2 LMU München

Aufgabe 2 Betrachten Sie folgendes Zufallsexperiment: Eine faire Münze mit den Seiten 0 und wird zweimal unabhängig geworfen. Die Zufallsvariable Z beschreibe den ersten Münzwurf und Z 2 den zweiten Münzwurf. Nun sei X min(z, Z 2 ) definiert als das Minimum der beiden Münzwürfe und Y max(z, Z 2 ) als das Maximum der beiden Münzwürfe. P (Z ) P (Z 0) 2 P (Z 2 ) P (Z 2 0) 2 P (Z Z Z Z, Z 2 Z 2 ) 2 P (Z Z ) P (Z 2 Z 2 ) X min(z, Z 2 ) Y max(z, Z 2 ) 0 0 /4 0 0 0 /4 0 0 /4 0 /4 a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y sowie die jeweiligen Randverteilungen. (5 Pkt.) Gemeinsame Verteilung von X und Y : f X,Y (x, y) y 0 y f X (x) x 0 /4 /2 3/4 x 0 /4 /4 f Y (y) /4 3/4 b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X und Y. (4 Pkt.) E(X) 0 3 4 + 4 4 E(Y ) 0 4 + 3 4 3 4 V ar(x) E(X 2 ) (E(X)) 2 2 ( ) 2 4 0.875 4 V ar(y ) 2 3 ( ) 2 3 4 0.875 4 27. Juli 2009 Aufgabe 2, Blatt LMU München

c) Bestimmen Sie die Kovarianz und die Korrelation zwischen X und Y und interpretieren Sie diese. (3 Pkt.) Cov(X, Y ) E(X Y ) E(X) E(Y ) 0 0 4 + 0 0 + 0 2 + 4 4 3 4 0.0625 ρ Cov(X, Y ) V ar(x) V ar(y ) 0.0625 3 4 X und Y sind positiv korreliert, d.h. kleine Werte für X sprechen für kleine Werte für Y und umgekehrt. 3 4 3 d) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von Y X 0. ( Pkt.) f Y X0 (y x 0) { 3 y 0 2 3 y 27. Juli 2009 Aufgabe 2, Blatt LMU München

27. Juli 2009 Aufgabe 2, Blatt 2 LMU München

Aufgabe 3 Eine stetige Zufallsvariable X besitze die folgende Verteilungsfunktion: 0, x 0 F X (x) x + x, x > 0 a) Berechnen Sie P (X > ) (2 Pkt.). P (X > ) P (X ) F X () + 2 b) Bestimmen Sie die Dichte f X (x) von X (3 Pkt.). { f X (x) d 0 x 0 dx F X(x) x > 0 (+x) 2 c) Der Definitionsbereich der Zufallsvariablen X sei im folgenden auf R + eingeschränkt. Bestimmen Sie die Dichte f Y (y) der Zufallsvariablen Y log(x) (4 Pkt.). Y log(x) x g (y) exp(y) f Y (y) ( f X g (y) ) dg (y) dy ( + exp(y)) exp(y) exp(y) 2 ( + exp(y)) 2 d) Zeigen Sie, dass f Y (y) f Y ( y) gilt. Was ergibt sich damit für den Erwartungswert von Y? (Die Existenz des Erwartungswertes sei gesichert.) (4 Pkt.) f Y ( y) exp( y) ( + exp( y)) 2 exp(y) ( + exp(y) exp(y) ( exp(y)+ exp(y) (exp(y)) 2 ) 2 ) 2 exp(y) (exp(y) + ) 2 exp(y) ( + exp(y)) 2 f Y (y) Die Dichte von Y ist achsensymmetrisch um y 0. Somit ergibt sich der Erwartungswert E(Y ) 0. 27. Juli 2009 Aufgabe 3, Blatt LMU München

27. Juli 2009 Aufgabe 3, Blatt 2 LMU München

Aufgabe 4 Bei der Abfüllung von Apfelsaft in Einliterflaschen soll der Sollwert von 000 ml eingehalten werden. Für die verwendete Abfüllanlage gilt nach Herstellerangaben, dass die Abfüllungen normalverteilt sind mit µ 000 (ml) und σ 2 00 (ml 2 ). Zur Überprüfung der Abfüllmenge wird eine Stichprobe von n 00 Flaschen gezogen. Dabei ergibt sich für die 00 Flaschen eine durchschnittliche Abfüllmenge von 00 ml. Testen Sie die Hypothese H 0 : µ 000 vs. H : µ 000 auf dem Niveau α 0.05. Die Varianz kann als bekannt mit σ 2 werden. (5 Pkt.) 00 angenommen X i N (µ, σ 2 00), n 00, Xi 0000 Zentraler Grenzwertsatz: Z n Xi nµ nσ N (0, ) hier: 0000 00 000 00 0 0 >.96 z 0.975 H 0 wird abgelehnt. 27. Juli 2009 Aufgabe 4, Blatt LMU München

27. Juli 2009 Aufgabe 4, Blatt 2 LMU München

x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.05 0.599.05 0.853 2.05 0.9798 0.0 0.5398.0 0.8643 2.0 0.982 0.5 0.5596.5 0.8749 2.5 0.9842 0.20 0.5793.20 0.8849 2.20 0.986 0.25 0.5987.25 0.8944 2.25 0.9878 0.30 0.679.30 0.9032 2.30 0.9893 0.35 0.6368.35 0.95 2.35 0.9906 0.40 0.6554.40 0.992 2.40 0.998 0.45 0.6736.45 0.9265 2.45 0.9929 0.50 0.695.50 0.9332 2.50 0.9938 0.55 0.7088.55 0.9394 2.55 0.9946 0.60 0.7257.60 0.9452 2.60 0.9953 0.65 0.7422.65 0.9505 2.65 0.9960 0.70 0.7580.70 0.9554 2.70 0.9965 0.75 0.7734.75 0.9599 2.75 0.9970 0.80 0.788.80 0.964 2.80 0.9974 0.85 0.8023.85 0.9678 2.85 0.9978 0.90 0.859.90 0.973 2.90 0.998 0.95 0.8289.95 0.9744 2.95 0.9984.00 0.843 2.00 0.9772 3.00 0.9987 Tabelle : Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. 27. Juli 2009 Anhang LMU München