Forunderlig matematik Svanholm Matematik trin 2 Matematik trin 2 avu Almen voksenuddannelse 8. december 2005
Forunderlig matematik Matematik trin 2 Opgavesættet består af: informationshæfte (dette hæfte) opgaveark svarark Opgavearket indeholder følgende opgaver: 1 Arkimedes gravsten 2 Den knækkede flagstang 3 Picks regel 4 Megatal 5a Senecio 5b Fibotal Du skal besvare 5 opgaver: Opgave 1, 2, 3, 4 og opgave 5, hvor du vælger enten a eller b. Du har 4 timer til besvarelse af opgaverne. Forsidefoto: Zefa/Scanpix Øvrige fotos: Michael Mottlau/Polfoto, Zefa/Scanpix (s. 3), John Eduard Petersen/Scanpix, private fotos (s. 4), Corcis/Scanpix, PhotoAlto/Scanpix (s. 5), private fotos, Biofoto/Scanpix (s. 6), Johner/Scanpix, Masterfile/Scanpix, AGE/Scanpix (s. 7).
Arkimedes gravsten En af oldtidens store matematikere, Arkimedes, levede fra 287 til 212 f.kr. Eksempel på kugle med omskreven cylinder: Han fandt ud af, at forholdet mellem rumfanget af en kugle og kuglens omskrevne cylinder er 1:1 1 2. Han fandt også ud af, at arealet af kuglens overflade er det samme som arealet af cylinderens krumme overflade. 20 cm Omskreven cylinder Arkimedes var så glad for sin opdagelse, at han forlangte, at en kugle, indskrevet i en cylinder, blev indhugget på hans gravsten. 3
Den knækkede flagstang I Kina har matematikken været højt udviklet i mange tusinde år. Sammenhæng mellem x og y på billedet kan beskrives ud fra formlen: En af de kinesiske opgaver er en klassiker i matematikhistorien. Opgaven handler om en knækket bambus. y = 3-2x + 9 for 0 x 4,5 y er afstanden i meter ud til det sted på I vestlige matematikbøger er bambussen blevet til en flagstang. græsplænen, hvor flagstangen rammer x er længden i meter af den lodrette del af I en storm knækkede en 9 meter høj flagstang. Den knækkede flagstang dannede sammen med græsplænen en retvinklet trekant. flagstangen Se billedet. x y 4
Picks regel Georg Alexander Pick blev født 1859 i Wien. Han var professor ved universitetet i Prag. Hans regel blev offentliggjort i 1899. Picks regel A = 1 2 k + i -1 Skitse 1 viser en femkant med 4 gitterpunkter inde i figuren og 7 på kanten. A er arealet af polygonen k er antal gitterpunkter på kanten i er antal gitterpunkter inde i polygonen Skitse 1 Reglen gælder for arealer af polygoner, der opfylder følgende betingelser: Gitterpunkter på kanten 1. Alle hjørner ligger på gitterpunkterne i et kvadratisk gitter. 2. Ingen kanter skærer hinanden. Gitterpunkt inde i polygonen Skitse 2 5
Megatal Det kan være svært at forestille sig meget store tal. Hvor meget er en billion for eksempel? En billion er lig med en million millioner. Altså 1000000 1000000 eller 10 12. Vejrtrækning En person trækker vejret i gennemsnit 12 gange i minuttet. Tal Navn på dansk 10 6 Million 10 9 Milliard 10 12 Billion 10 15 Billiard 10 18 Trillion 10 21 Trilliard 10 24 Kvadrillion 10 27 Kvadrilliard 10 30 Kvintillion... 10 100 Googol Jordens befolkning i milliarder 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2,46 2,66 2,91 3,20 3,55 3,93 4,30 4,69 5,12 5,57 6,02 6,52 Senecio Ved Flade på Mors står en skulptur skabt i 1995 af den hollandske kunstner Sjoerd Buisman. Skulpturen har fået navnet Senecio, fordi det var denne plante, der inspirerede kunstneren. 1m 1m Skulpturen består af cylindere i 5 lag oven på hinanden. Den nederste cylinder har en diameter og en højde på 2 meter. For hvert lag man går op, fordobles antallet af cylindere, og diameteren og højden halveres. 2m Se foto. 2m Den anvendte betons massefylde er 2,3 6
Fibotal Fibo-talrækken er første gang omtalt i 1202 af italieneren Fibonacci. Tallene indgår i kunsten, i musikken og i naturen, bl.a. i opbygningen af solsikker, grankogler og sneglehuse. Binets formel Ved hjælp af Binets formel kan man beregne det n te fibotal Talrækken fremkommer ved at de to første tal er 1, og at det følgende tal er summen af de to foregående: 1, 1, 2, 3, 5, F(n) = 1 + 2 n 2 5 n 1 1 5 5 Kvadrater med sider af fibotal kan sammensættes til rektangler. Hvis man tegner en kvartcirkel i hvert af kvadraterne, vil der fremkomme en spiral, som ligner de spiraler, der kan ses i sneglehuse. Se skitse. 7