fra venstre: Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe

fra venstre: Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe fra venstre; Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum Anvendelser af nanoteknologi og nanofotonik af Søren Stobbe, Philip Trøst Kristensen og Peter Lodahl Højeffektive solceller, lynhurtige lasere og kvantekryptografikoder, der er umulige at bryde. Dette er nogle af de mange spændende perspektiver for anvendelser af halvleder kvanteoptik. Indenfor kvanteoptikken udnytter man de kvantemekaniske egenskaber ved stof og lys til at opnå effekter, der er helt forskellige fra hvad vi kender fra den klassiske fysik. Ikke desto mindre er disse nye fænomener virkelige, da de er påvist i eksperimenter. De kvanteoptiske effekter udforskes og udnyttes i særlige materialer som kaldes fotoniske krystaller. Disse materialer har meget specielle optiske egenskaber, som kan designes efter behov. Fotoniske krystaller fremstilles med avancerede moderne metoder indenfor nanoteknologien. Nanoteknologi er også forudsætningen for at fremstille kvantepunkter, som kan opfattes som kunstige atomer, der er få nanometer store (1 nanometer = 10-9 meter). Kvantepunkter udgør en af grundbyggestenene i nanofotonik. I dette kapitel vil vi give en introduktion til fysikken bag disse begreber og se eksempler på nogle af de anvendelser fotoniske krystaller og kvantepunkter forventes at få i fremtiden.

3D fotonisk krystal set indefra. Lysudsendelsen fra atomer placeret indeni den fotoniske krystal kan kontrolleres. 30

31

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum Spontan emission af lys fra atomer og kvantepunkter Kvantemekanikkens love spiller en afgørende rolle i forståelsen af vekselvirkningen mellem lys og stof. I dette afsnit vil vi beskrive den kvantemekaniske teori for lys med udgangspunkt i vekselvirkningen mellem lys og atomer. I 1913 opstillede Niels Bohr sin atommodel i hvilken elektronerne i et atom kan bevæge sig i baner svarende til bestemte tilladte energier. Alle energier, der ligger mellem de tilladte baners energier, er derimod forbudte. Når en elektron henfalder fra en anslået tilstand med høj energi (E 2 ) til en tilstand med lavere energi (E 1 ) udsendes en lyspuls, en såkaldt foton, med en energi svarende til forskellen i energien mellem de to elektrontilstande. Dette er illustreret i Figur 2-1 og kaldes spontan emission af lys. Det udsendte lys har bølgelængden (1) λ = c h (E 2 -E 1 ), hvor c = 3.00 10 8 m/s er lysets hastighed og h = 6.63 10-34 J s er Plancks konstant. Da bølgelængden afhænger af de mulige energier i atomet vil der fra en given type atom (f.eks. brintatomet) kun kunne udsendes lys med visse bestemte bølgelængder. Da farven af lyset bestemmes direkte af bølgelængden betyder dette, at der til hver type atom knytter sig en række bestemte farver. Spontan emission udgør princippet bag både almindelige glødepærer og lysdioder. I begge tilfælde benytter man en elektrisk strøm til at anslå elektroner til tilstande med høj energi, og den energi udstråles som lys når elektronerne henfalder til lavere energitilstande. I næste afsnit ser vi nærmere på hvordan spontan emission foregår og kan beregnes, men først vil vi introducere kvantepunkter, der benyttes i stedet for atomer i mange moderne eksperimenter. Enkelte atomer er små og bevægelige og derfor meget besværlige at håndtere. Dertil kommer, at der fra naturens side kun er et begrænset antal forskellige atomer og dermed energitilstande til rådighed. I mange praktiske anvendelser er det derfor en stor fordel at udnytte metoder fra halvlederteknologien, hvor man beskæftiger sig med faste stoffer (f.eks. silicium), der er bygget op af mange atomer. En halvleder er et materiale, der ligesom atomer har et energiområde med forbudte energier, et energigab. Ligesom i atomer, kan en elektron med energi over energigabet henfalde til en tilstand med energi under gabet, hvorved der udsendes en foton. I øvrigt er moderne nanoelektronik, som sidder i f.eks. mobiltelefoner og computere, netop opbygget af halvledere såsom silicium. Det forbudte energiområde er forudsætningen for den vigtigste komponent i digital elektronik: transistoren. Hvis man indlejrer én type halvledermateriale i et andet halvledermateriale kan man begrænse Figur 2-1. Et atom består af en atomkerne og elektroner, der bevæger sig om kernen. Vakuumfluktuationer (illustreret med stiplede bølgepakker) vil kunne påvirke atomet. Starter man med en elektron i en anslået energitilstand (tegning til venstre) vil denne påvirkes af de tilstedeværende vakuumfluktuationer. Disse kan stimulere atomet til at henfalde til en lavere liggende energitilstand (tegning i midten). I denne proces dannes en foton (blå bølgepakke i tegningen til højre) med en energi svarende til forskellen i energi mellem de to elektrontilstande. 32

Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 - - ++ + - - - - Figur 2-2 Sammenligning af et atom og et kvantepunkt og deres energiniveauer. Et atom (til venstre) består af en positiv ladet kerne og negativt ladede elektroner, der kan springe fra højere liggende energiniveauer til lavere energiniveauer under udsendelsen af en lys bølgepakke (en foton) med en energi svarende til forskellen mellem de to energiniveauer. Et kvantepunkt (til højre) består af to forskellige halvledermaterialer, hvorved elektroner kan lokaliseres til et område af udstrækning nogle få nanometer. Herved opstår adskilte energiniveauer, og elektronen kan henfalde under udsendelsen af en foton. I halvleder materialer er der mange elektroner tilstede, og elektronen henfalder kun hvis der er en ledig plads i en energitilstand. En sådan ledig plads kaldes et hul og svarer til en positiv ladning, som illustreret i tegningen. - + - + elektronens bevægelse i materialet til et meget lille område, som illustreret i Figur 2-2. På denne måde kan man begrænse antallet af mulige energitilstande, ligesom en elektron der er begrænset i et atom har et begrænset antal mulige energitilstande. Kvantepunkter har typiske udstrækninger på 5-20 nm, og et eksempel på kvantepunkter er vist i Figur 2-3. Kvantepunkter er noget større end atomer, der typisk har udstrækninger på omkring 0.1 nm, og dette er en fordel, da kvantepunkter hermed lettere kan håndteres end atomer. Dertil kommer at man kan designe kvantepunkter til at have bestemte energitilstande. For ved at ændre størrelsen ændrer man den plads, elektronen har til at bevæge sig, og dermed energierne. Jo mindre kvantepunkterne er, jo større er energien af det udsendte lys, som vist i Figur 2-4. Bølgelængden af det udsendte lys er omvendt proportional med energien, dvs. små kvantepunkter sender lys ud med kort bølgelængde og vice versa. Vakuumfluktuationer og den optiske tilstandstæthed Vi har set at elektroner i både atomer og kvantepunkter kan henfalde mellem energiniveauer under udsendelse af lys, og at kvantepunkter kan designes til at udsende lys med den bølgelængde, man ønsker. Lad os nu se nærmere på hvordan spontan emission foregår. Ganske overraskende Figur 2-3. Kvantepunkter lavet af halvledermaterialet InAs, som fremstår som små øer på en halvlederoverflade af GaAs. Billedet er taget med et atommikroskop og kvantepunkterne er ca. 20nm i diameter. 33

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum afhænger spontan emission ikke alene af hvilken lyskilde, vi betragter, men også af det omgivende materiales nanostruktur. Dette er overraskende, for hvordan kan atomer eller kvantepunkter vide hvordan omgivelserne er? Svaret skal findes i den kvantemekaniske teori for lys. Ifølge denne er der selv i et fuldstændig tomt rum altid energi tilstede, den såkaldte vakuumenergi. Den udgør en allestedsnærværende fluktuerende baggrund, og tilvejebringer et elektromagnetisk felt der varierer i tid, men i gennemsnit er nul. Uden disse såkaldte vakuumfluktuationer ville en anslået elektron i et atom eller kvantepunkt aldrig henfalde, og vakuumfluktuationer er derfor drivkraften bag spontan emission. I Figur 2-1 er illustreret hvordan vakuumfluktuationerne stimulerer en anslået elektron til at henfalde under udsendelse af en foton. Vakuumfluktuationer forekommer nok som et noget abstrakt begreb, men deres eksistens er dokumenteret i mange eksperimenter. I et senere afsnit vil vi beskrive et sådant eksperiment. Spontan emission kan beskrives ved en kvantemekanisk sandsynlighedsprocess. Det er derfor ikke muligt at forudsige, på hvilket tidspunkt elektronen vil henfalde, men kun sandsynligheden for at den vil henfalde på et givet tidspunkt. Måles henfaldsøjeblikket mange gange, kan man fastlægge den gennemsnitlige henfaldstid som også kaldes levetiden, t L. Levetiden udtrykker hvor længe elektronen i gennemsnit forbliver i den anslåede tilstand, og kan udregnes ved hjælp af formlen: (2) t L =1/[K O(λ)], 1 2 3 Position 1 2 3 Energi Figur 2-4. Energiovergangene for atomer ligger fast, men for kvantepunkter kan energierne designes. For et stort kvantepunkt (1) vil energien være tæt på energien af halvlederens forbudte energigab. Gøres kvantepunkterne mindre og mindre, som i (2) og (3), bliver energiovergangene presset mod højere og højere energier. På den måde kan man altså justere kvantepunkternes energier og dermed også farven af det udsendte lys. Et stort kvantepunkt vil udsende lange bølgelængder (f.eks. rødt lys), mens mindre og mindre kvantepunkter kan udsende grønt elle blåt lys. 34

Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 hvor K er en konstant der afhænger af atomet eller kvantepunktet, og O(λ) er den optiske tilstandstæthed ved bølgelængden λ. Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange vakuumfluktuationer, der er tilstede for en given bølgelængde, se Faktaboks 1. Figur 2-6 viser et plot af den optiske tilstandstæthed som funktion af bølgelængde. Er materialet homogent aftager den optiske tilstandstæthed monotont med bølgelængden (blå kurve i Figur 2-6). Ved at ændre på materialet kan man imidlertid drastisk ændre på den optiske tilstandstæthed. I moderne eksperimenter benyttes ofte fotoniske krystaller, hvor den optiske tilstandstæthed varierer kraftigt som funktion af bølgelængde (rød kurve i Figur 2-6). I næste afsnit beskriver vi fotoniske krystaller nærmere, men lad os først se nærmere på vakuumfluktuationerne og hvorfor det er vigtigt at kunne kontrollere dem. Der er mange ligheder mellem vakuumfluktuationer og vibrationerne af en guitarstreng. Ved at holde forskellige steder om grebet på guitaren ændrer man bølgelængderne af de svingninger, der kan forekomme på strengen. Det samme kan man gøre med vakuumfluktuationer, og med lys i det hele taget. Lys er imidlertid noget mere besværligt at håndtere end en guitarstreng og skal lokaliseres i tre dimensioner for at fastholdes modsat guitarstrengen, som er en svingning i én dimension. Derfor benyttes avancerede materialer, som fotoniske krystaller, til at kontrollere lys. Med fotoniske krystaller kan man radikalt ændre den optiske tilstandstæthed og dermed vakuumfluktuationerne. Man kan endda opnå den spektakulære situation at den optiske tilstandstæthed er nul over et interval af bølgelængder. Dette kalder man et fotonisk båndgab og det betyder at ingen optiske svingningstilstande er tilladte i dette interval, se Figur 2-6. Lad os nu se på hvad der sker hvis vi anbringer et kvantepunkt i en fotonisk krystal. Fra formel (2) ses, at hvis den optiske tilstandstæthed ved en given bølgelængde er meget lille, vil levetiden være meget lang. Ligger bølgelængden i det fotoniske båndgab vil levetiden være uendelig, og elektronen i kvantepunktet vil derfor aldrig henfalde! Omvendt gælder det også, at hvis lyset der udsendes fra kvantepunktet har en bølgelængde hvor den optiske tilstandstæthed er forhøjet, vil elektronen henfalde hurtigere. På denne måde kan man kontrollere den spontane emission. Vi vil senere i dette kapitel beskrive et eksperiment, hvor spontan emission fra kvantepunkter er kontrolleret ved hjælp af fotoniske krystaller. Bragg spejle og fotoniske krystaller Når synligt lys rammer en halvgennemsigtig overflade (f.eks. glas), vil en vis procentdel af lyset reflekteres og resten transmitteres gennem overfladen. Det er derfor man kan se både et spejlbillede af sig selv og varerne i butikken, når man står foran et butiksvindue. Effekten kan benyttes til at lave utroligt gode spejle, for hvis man lægger flere lag reflekterende materiale efter hinanden, kan man øge refleksionen. Faktaboks 2 forklarer princippet bag disse såkaldte Bragg spejle, der beror på interferens af lyset. I et Bragg spejl vil nogle bølgelængder af lys interferere konstruktivt, hvorved refleksionen øges. Herved opstår et interval af bølgelængder, hvor refleksionen er høj. Et Bragg spejl er en éndimensional struktur, der kun reflekterer lys udsendt i én retning (nemlig vinkelret på spejlet). Spontan emission af lys foregår i alle retninger, hvilket man kan overbevise sig om, hvis man betragter lyset fra en glødepære. For at kontrollere spontan emission effektivt, skal man således fabrikere et materiale, der reflekterer lys fra alle retninger. En fotonisk krystal er netop et sådant tredimensionalt spejl, som reflekterer lys, ligegyldigt hvilken retning det bevæger sig i. Som det fremgår af Faktaboks 2, kan man med Bragg spejle opnå en ekstremt høj refleksion for lys, men altså kun i én retning. For at lave et tredimensionelt spejl, skal man derfor lave en struktur som er periodisk i alle retninger. En fotonisk krystal er en 35

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum FAKTABOKS 1 Den optiske tilstandstæthed Overalt omkring os findes elektromagnetiske feltfluktuationer, selv i et fuldstændigt tomt rum. Disse vakuumfluktuationer skyldes de fundamentale kvantemekaniske egenskaber ved lys, og fremstår som tidslige variationer i et elektromagnetiske felt, der i gennemsnit er nul. a 1 A Figur 2-5. For at beregne den optiske tilstandstæthed betragter man en kasse og udregner hvor mange forskellige bølger med en given bølgelængde der kan passe inde i kassen. Hvis bølgelængden er stor (1) kan man indpasse færre stående bølger i kassen end for mindre bølgelængder (2). Derfor aftager den optiske tilstandstæthed med bølgelængden. 2 LDOS Beregning a A Selvom vakuumfluktuationerne er et kvantemekanisk fænomen, kan deres egenskaber i vid udstrækning forstås som bølger, der kendes fra den klassiske fysik. Lys kan beskrives som elektromagnetiske bølger, og det samme er tilfældet for vakuumfluktuationer. Således vil de svingningstilstande, som er mulige for lys, være præcist de samme svingningstilstande som vakuum kan fluktuere ved. Antallet af vakuumfluktuationer bestemmes af den optiske tilstandstæthed. Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange forskellige svingningstilstande der findes ved en given bølgelængde. I det følgende vil vi beskrive principperne bag udregningen af den optiske tilstandstæthed. Målet er at give en fornemmelse af hvordan man foretager den slags beregninger og forklare hvorfor der generelt er flere svingningstilstande, jo mindre bølgelængden af svingningerne er. Svingningerne beskrives ved sinus-funktioner af typen f(x)=sin(2 x/λ), hvor λ er bølgelængden. Betragt en kasse (se Figur 2-5), der afgrænser det område vi ønsker at beskrive. Man undersøger nu hvor mange bølger der kan passes ind i kassen under den betingelse af sinus-funktionen skal være nul på randen af kassen. Lad os først betragte antallet af svingninger med bølgelængden λ 1 =2a og punktet A svarende til den 36

Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 øverste skitse i Figur 2-5. Der er kun tre måder at passe svingningen ind mellem punktet A og det øverste linjestykke i kassen. To af disse svarer til svingninger med en halv bølgelængde, og én svarer til en svingning med en hel bølgelængde. Tilsvarende kan man indpasse yderligere svingninger langs andre punkter på kassens vægge. Lad os nu halvere bølgelængden så vi ser på svingninger med bølgelængden λ 2 =a, jvf. den nederste skitse i Figur 2-5. I dette tilfælde kan man indpasse flere svingninger mellem punktet A og det øverste linjestykke i kassen. Således er den optiske tilstandstæthed større, jo mindre bølgelængden er. Dette er årsagen til, at den optiske tilstandstæthed i et homogent materiale aftager med bølgelængden, som angivet i Figur 2-6. Den optiske tilstandstæthed kan være helt anderledes i materialer der ikke er homogene, f.eks. i fotoniske krystaller, som er nanostrukturerede materialer. Figur 2-6 viser også hvordan den optiske tilstandstæthed kunne se ud i en fotonisk krystal. Den kraftige bølgelængde afhængighed af tilstandstætheden i en fotonisk krystal giver anledning til det farvede vakuum. Figur 2-6. Den optiske tilstandstæthed i en kasse på 1cm 3 som er lavet af et materiale med det optiske brydningsindex n=3.6. Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange mulige svingninger af lys, der findes ved en bestemt bølgelængde, og dermed også hvor mange vakuumfluktuationer der findes. For et homogent materiale aftager tilstandstætheden monotont med bølgelængden (den blå kurve). I nanostrukturerede materialer, som f.eks. fotoniske krystaller, kan man imidlertid drastisk ændre tilstandstætheden (den røde kurve). På denne måde kan man kontrollere vakuumfluktuationerne. 37

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum så det udsender blåt lys, vil levetiden af anslåede elektroner i kvantepunktet være længere hvis det befinder sig inde i krystallen end hvis kvantepunktet sad i et ustruktureret og dermed homogent materiale. Selvorganiserede fotoniske krystaller og nanoteknologi Figur 2-7. Alle farver svarer til en bestemt spektral fordeling af refleksion og absorption. Her er vist et absorptionsspektrum af klorofyl i området for synligt lys. Klorofyl er det stof, som gør at planter kan optage energi fra sollyset og det absorberer lys i de blå og røde områder af farveskalaen. Til gengæld omsættes grønt lys ikke og vil derfor enten blive transmitteret eller reflekteret fra klorofyl. Det er denne effekt som gør planter grønne. sådan tredimensionel periodisk struktur, se Figur 2-7. I praksis kan disse laves på mange forskellige måder og vi vil diskutere to af dem i næste afsnit. Vi kan se farver, fordi vores øjne kan skelne mellem forskellige bølgelængder af lys i det bølgelængdeinterval, der meget passende kaldes det synlige spektrum. Det betyder også, at alle farver svarer til en bestemt spektral profil. Dette er illustreret i Figur 2-8. Fordi alle farver svarer til en bestemt spektral profil vil en spektral profil af vakuum give anledning til et farvet vakuum. Det farvede vakuum er farvet med hensyn til styrken af vakuumfluktuationerne i det elektromagnetiske felt. Fluktuationerne varierer i tid, men er i gennemsnit nul, og det menneskelige øje kan ikke registrere disse fluktuationer, men som beskrevet i det foregående afsnit er de af afgørende betydning for spontan emission af lys. Figur 2-12 viser et eksempel på en tredimensionel fotonisk krystal. Bragg diffraktion mellem krystalplanerne resulterer i at blåt lys reflekteres fra krystallen. Samtidigt er den optiske tilstandstæthed undertrykt ved frekvenser der svarer til blåt lys. Hvis man derfor designer et kvantepunkt, Et farvet vakuum lyder måske meget abstrakt og kun af teoretisk interesse. Dette var også tilfældet for bare få år siden, men i dag har avancerede fremstillingsmetoder såsom selvorganisering og nanoteknologi flyttet det farvede vakuum fra skrivebordet til laboratoriet. Et eksempel på en fotonisk krystal fremstillet ved selvorganisering er vist i Figur 2-11. Billedet er taget med et elektronmikroskop, fordi strukturerne er så små, at de ikke kan ses med lys. Hvis man kigger på strukturen i et almindeligt mikroskop, vil man derimod se effekten af den fotoniske krystal som et smukt farvespil fordi krystallen reflekterer det synlige lys. Et billede taget med et almindeligt optisk mikroskop af den samme krystal er vist i Figur 2-12, hvor vi kan se at det for denne 400 500 600 700 Bølgelængde Figur 2-8. Illustration af en tredimensionel fotonisk krystal bestående af kugler, som f.eks. kan være lavet af silika. I en fotonisk krystal kan lys ikke udbrede sig, fordi krystallen virker som et Bragg-spejl i alle retninger. 38

Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 Bragg spejle Principperne bag en fotonisk krystal kan forstås ud fra Braggs diffraktionslov. Når lys rammer en overflade vil en del af det sendes direkte tilbage, mens resten transmitteres igennem. Den reflekterede andel af lyset kaldes r, og den transmitterede del kaldes t. Hvis det elektrisk felt af den indkomne bølge har størrelsen E 0, vil den direkte reflekterede bølge være E R =r E0. Hvis der ikke er nogen absorption i overfladen gælder at r 2 + t 2 =1. Figur 2-9. Et Bragg spejl består af en periodisk struktur af to forskellige materialer. Overfladerne mellem de to materialer giver anledning til delvis refleksion. Er afstanden mellem overfladerne valgt i overensstemmelse med Braggs lov fås konstruktiv refleksion af lys fra Bragg spejlet. Således kan man få så stor en del intensiteten af lyset reflekteret, som man ønsker, ved at øge antallet af lag i strukturen. θ d sin θ Figur 2-10 Figuren illustrerer princippet bag Braggs diffraktionslov. Når en lysbølge reflekteres fra en periodisk struktur vil man opnå konstruktiv interferens hvis afstanden mellem overfladerne er valgt på passende vis. Således skal lys reflekteret fra lag N+1 i den periodiske struktur tilbagelægge en afstand som er netop en bølgelængde længere end lys reflekteret fra lag N. I Figuren er angivet med rødt denne ekstra afstand for en lysbølge, hvis bevægelsesretning har vinklen i forhold til overfladen. Formel (3) kan udledes ved at beregne denne ekstra vejlængde ved hjælp af trigonometri. d FAKTABOKS 2 Hvis to delvist reflekterende overflader placeres efter hinanden, vil en del af det lys der transmitteres gennem første overflade efterfølgende reflekteres fra den anden overflade og transmitteres tilbage gennem første overflade. Afhængig af afstanden mellem de to overflader, kan de to reflekterede bølger være i fase eller ude af fase med hinanden. En periodisk struktur af mange reflekterende overflader, valgt således at de reflekterede bølger fra hvert lag er i fase med hinanden, kaldes et Bragg spejl og er skitseret i Figur 2-9. Når en lysstråle rammer et Bragg spejl opstår der konstruktiv interferens mellem de reflekterede bølger. Dette sker hvis pladerne er placeret i en afstand d, der er et helt antal (m) gange lysets bølgelængde: (3) 2 d sin = m hvor er den vinkel, som lysets 39

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum FAKTABOKS 2 fortsat udbredelsesretning danner med overfladen, og er bølgelængden af lyset, se Figur 2-10. Dette er Braggs diffraktionslov. Hvis lyset rammer vinkelret på Bragg spejlet ( ), reduceres udtrykket til (4) 2 d= m I det følgende ser vi på tilfældet og i første omgang betragter vi kun to overflader, svarende til det første lag i Figur2-9. Vi ønsker at beregne hvor meget lys der reflekteres fra dette lag. Når en lysbølge rammer den første overflade vil en del af lyset (r E 0 ) blive reflekteret og resten transmitteret. Det transmitterede lys kan efterfølgende blive reflekteret tilbage fra den anden overflade og transmitteres igen gennem den første overflade. Dette giver også et bidrag til refleksionen og svarer altså til én transmission, én refleksion og endnu én transmission, dvs. et bidrag af størrelsen t r t E 0. Der er imidlertid også muligt at lyset kan reflekteres flere gange i hver overflade. Dette svarer til lys der tager to, tre, fire eller endnu flere rundture mellem de to overflader inden det transmitteres ud igennem den første overflade og dermed bidrager til den samlede refleksion fra de to overflader. På grund af den præcise måde afstandene mellem overfladerne er valgt i et Bragg spejl skal man gange med (-1) for hver ekstra rundtur som lyset tager ud over den første. Adderes alle de bidrag får man en samlet refleksionen givet ved: (5) E R = r E 0 + t r t E 0 - t r r r t E 0 +... = r E 0 + r t 2 E 0 ( 1 - r 2 + r 4 -... ) Ved hjælp af teorien for uendelige rækker kan man vise at dette også kan skrives som: (6) E R /E 0 = r + r t 2 /(1+r 2 ). På denne måde kan vi se, at bidragene svarende til at lys reflekteres flere gange frem og tilbage mellem de to overflader bevirker at den samlede refleksion bliver større end r E 0, der er refleksionen fra en enkelt overflade. På en tilsvarende måde kan man vise, at hvis man har flere overflader kan refleksionen øges yderligere. Således vil den samlede refleksion fra et Bragg spejl bestående af N perioder af skiftevis materiale 1 med optisk brydnings index n 1 og materiale 2 med optisk brydnings index n 2 give en samlet refleksion: (7) E R /E 0 = (1-(n 1 /n 2 ) 2N )/(1+(n 1 /n 2 ) 2N ). Ved at gøre N større kan få den effektive refleksion så tæt på 1 som det skal være. Dette er princippet i Bragg spejle og fotoniske krystaller. 40

Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 Figur 2-11. Elektronmikroskop-billede af en såkaldt invers opal fotonisk krystal, der er en tredimensionel periodisk struktur af lufthuller (grå områder) i en skal af titaniumdioxid (hvide områder). Størrelsen af strukturen kan aflæses fra afstandsbjælken, som er en mikrometer lang (1 µm = 1/1000 mm). Den fotoniske krystal er fremstillet baseret på selvorganisering af små kugler. Dernæst er hulrummene blevet fyldt ud med titaniumdioxid (de hvide områder) og endelig er de oprindelige kugler blevet ætset væk. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Willem Vos, AMOLF, Amsterdam. fotoniske krystal specielt er det blå lys der reflekteres fra krystallen. Princippet bag selv-organisering er egentlig ganske simpelt. Hvis man hælder en masse kugler ned i en kasse og ryster kassen, vil kuglerne forme en tredimensionel heksagonal struktur, svarende til den struktur grønthandleren bygger når han stabler appelsiner. En sådan selv-organiseret struktur af små kugler er en fotonisk krystal, men kun hvis størrelsen af kuglerne er valgt på passende vis. En fotonisk krystal reflekterer nemlig kun lys effektivt ved visse bølgelængder (dvs. farver), hvor også vakuumfluktuationerne er ændrede. Størrelsen af kuglerne bestemmer hvilken bølgelængde, der reflekteres, og kan beregnes med Braggs diffraktionslov, se Faktaboks 2. Afstanden d mellem de kraftigst reflekterende planer er Figur 2-12. Fotonisk krystal afbilledet med et almindeligt optisk mikroskop. Bemærk de blå-grønne farver som skyldes at lys svarende til disse bølgelængder ikke kan udbrede sig i krystallen. Den fotoniske krystal er en invers opal svarende til den der er vist i elektronmikroskop-billedet i Figur2-11. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Willem Vos, AMOLF, Amsterdam. givet ved d= 2 r, hvor r er kuglernes radius; d kaldes den fotoniske krystals gitterafstand. Hvis kuglerne f.eks. har radius r=1cm får vi for en førsteordens refleksion (m=1) for lys der rammer vinkelret på overfladen ( = 90 ), at =2 2 d = 5,7cm. Det menneskelige øje kan ikke se lys med så lang en bølgelængde, så derfor vil kuglerne ikke give anledning til synlige optiske effekter. Hvis det skal være synligt for os, skal bølgelængden ligge i området fra 400 til 700 nanometer (nm). Hvis vi f.eks. gerne vil modificere vakuumfluktuationerne omkring de gule farver, skal bølgelængden i stedet være ca. 570 nm og det er altså 100.000 gange mindre end i eksemplet ovenfor. Derfor skal kuglerne også være 100.000 gange mindre, dvs 100nm radius. Fordi størrelserne er så små er det ganske udfordrende at fremstille fotoniske 41

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum Figur 2-13. Mange af naturens smukkeste farvespil i mineraler og dyr skyldes nanostrukturering. Her ses en sommerfugl, hvis vinger består af nanostrukturer der former en fotonisk krystal. Sommerfuglens vinger har omtrent samme nanostruktur som den syntetiske fotoniske krystal i Figur 2-11, og derfor næsten den samme farve. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Shuichi Kinoshita, Osaka Universitet, Japan. krystaller på denne måde. Selvom det først er blevet muligt at fremstille fotoniske krystaller i løbet af de senere år, har naturen længe lavet sine egne fotoniske krystaller. Faktisk har vi lige beskrevet årsagen til de smukke farver i mineralet og smykkestenen opal, som netop består af små kugler af mineralet silika. Silika bruges også i kvartsglas, og er i sig selv gennemsigtigt. Når silikakuglerne former en periodisk nanostruktur reflekteres det synlige lys fra opalen, hvilket er årsagen til dens smukke farve. Også en række fisk, fugle og insekter udnytter fotoniske krystaller til at skabe fantastiske farver. Et eksempel er sommerfugle, og et særligt smukt eksemplar kan ses i Figur 2-13. Denne sommerfugls farver skyldes periodiske nanostrukturer i vingernes overflade, og det er ganske fascinerende at tænke på, at sommerfuglens smukke vinger skyldes at vingerne ændrer på de fundamentale egenskaber ved vakuum. For at fotoniske krystaller kan have anvendelsesmæssige perspektiver er det vigtig at de kan fremstilles med moderne nanoteknologi. Heldigvis har de metoder der benyttes til industriel fremstilling af mikro- og nanoelektroniske komponenter vist sig også at være fremragende til fremstilling af fotoniske krystaller. Hvor man med selvorganiserede fotoniske krystaller kun kan fremstille relativt store områder med fotoniske krystaller, er det med nanoteknologi nærmest kun fantasien, der sætter grænser for hvad der kan fremstilles. F.eks. kan man fremstille nanoskopiske optiske kredsløb, der kan lede lys rundt på en chip eller nanoresonatorer der kan fange lys i et meget lille volumen. Det sidste er vigtigt for højeffektive nanolasere og et eksempel på sådan en laser er vist i Figur 2-14. Nanoresonatorere kan også vise sig at blive vigtige elementer i fremtidens kvantecomputere. For at fremstille sådanne nanostrukturer kræves ekstremt støvfrie laboratorier fordi bare et enkelt støvkorn kan ødelægge et helt optisk kredsløb. Fremstillingen foregår derfor i et såkaldt renrum. I Figur 2-15 ses et billede fra renrummet på Danchip på DTU, hvor vi blandt andet udvikler fotoniske krystaller. Kontrol af spontan emission af lys med fotoniske krystaller Vi har nu gennemgået principperne bag både kvantepunkter og fotoniske krystaller, og rustet med den viden vil vi diskutere nogle af de nyeste resultater indenfor forskningen i disse fascinerende emner. Som det fremgår af formel (2) er et kvantepunkts levetid omvendt proportional med den optiske tilstandstæthed. Som vi ved kan den optiske tilstandstæthed ændres med en fotonisk krystal, og således kan vi kontrollere levetiden af kvantepunktet. Dette blev første gang bevist eksperimentelt i 2004 og i det følgende vil vi diskutere dette eksperiment. I eksperimentet anvendtes fotoniske krystaller svarende til den, der var vist i Figur 2-11 og Figur 2-12. Kvantepunkter blev placeret inde i krystallen og ved hjælp af en kort lyspuls fra en laser blev 42

Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 + - Figur 2-14. Illustration af en fotonisk krystal nanoresonator-laser. Ved at fjerne et hul i en todimensional fotonisk krystal, skabes en resonator med spejle på alle sider. I denne resonator vil lyset for en bestemt frekvens blive lokaliseret og det giver en ultrakompakt og energibesparende laser. elektroner i kvantepunkterne anslået til en højere energitilstand. Efterfølgende henfaldt elektronerne i kvantepunkterne, og man målte hvornår dette skete ved at registrere de fotoner, der blev udsendt. Resultatet af eksperimentet er vist i Figur 2-16. Den blå kurve viser en måling uden kvantepunkter i den fotoniske krystal. Det viser sig nemlig at ikke alene kvantepunkterne udsender lys, men også selve materialet som den fotoniske krystal er lavet af (titanium-dioxid). Heldigvis henfalder dette bidrag meget hurtigt, og efter 5 ns ser man kun lys fra kvantepunkterne. De tre øvrige kurver i Figur 2-16 viser målinger på identiske kvantepunkter placeret i tre forskellige fotoniske krystaller. Krystallerne er lavet af kugler med forskellige størrelser svarende til forskellige gitterafstande fra 370nm til 500nm. Kurverne i Figuren er fremkommet ved at gentage måleproceduren mange gange. Først anslå elektroner i kvantepunkterne med laseren, derefter måle hvornår en foton bliver udsendt, og derefter anslå elektronerne igen osv. Ved at sammenligne resultaterne fra de tre fotoniske krystaller med forskellige gitterafstande ses at henfaldet enten forløber hurtigere (a = 420 nm) eller langsommere (a = 500 nm) relativt til målingen på en fotonisk krystal med gitterafstand a = 370 nm. Sidstnævnte er en referencemåling, Figur 2-15. Fotoniske krystaller fremstilles ved brug af avancerede ætseprocesser i et renrum. 43

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum for i dette tilfælde er gitterafstanden så lille sammenlignet med lysets bølgelængde, at lyset ikke påvirkes af nanostrukturerne. Ud fra forløbet af henfaldskurverne afledes den gennemsnitlige levetid, hvilket giver 9,6 ns (a = 420 nm) og 19,3 ns (a = 500 nm) relativt til referenceværdien på 12,4 ns (a= 370 nm). Dette eksperiment påviste for første gang, at fotoniske krystaller kan bruges til at kontrollere spontan emission af lys. Energibesparende lasere og effektive solceller I de foregående afsnit har vi beskrevet nogle af egenskaberne ved fotoniske krystaller og deres relation til vakuumfluktuationer. Der er stadig en lang række fundamentale videnskabelige spørgsmål, som endnu ikke er blevet besvaret indenfor dette felt, og fotoniske krystaller er derfor genstand for intensive videnskabelige undersøgelser ved en lang række universiteter verden over. Samtidigt giver det farvede vakuum en række muligheder for helt nye teknologiske opfindelser, og derfor er der også en stor forskningsindsats i mange virksomheder og tekniske laboratorier. I dette afsnit vil vi diskutere et par af de mest lovende anvendelser. Laseren er en af de vigtigste opfindelser fra det 20. århundrede og bliver i dag brugt i en lang række anvendelser, herunder CD/DVD-afspillere, medicinske behandlinger, svejsning, datakommunikation f.eks. på internettet, præcisionsmåleudstyr og meget mere. Der kan derfor spares store mængder energi ved at nedbringe energiforbruget i lasere, og fotoniske krystaller er en mulig metode til at gøre dette. I de foregående afsnit diskuterede vi hvordan lys kan udsendes gennem spontan emission, der er stimuleret af vakuumfluktuationer. I en laser bliver lysudsendelsen stimuleret af lys og her virker spontan emission faktisk som en uønsket støjkilde. Hvis laseren består af kvantepunkter placeret i en fotonisk krystal nanoresonator, vil det modificerede vakuum forbyde spontan emission ved uønskede bølgelængder og energien fra kvantepunkterne vil blive koblet hurtigere og mere effektivt til den ønskede laser-bølgelængde. Hermed er det muligt at få en ultrakompakt, energibesparende og hurtig laser, hvilket kan føre til f.eks. hurtigere datatransmissioner. En illustration af en sådan laser er vist i Figur 2-14. Et andet eksempel på mulige fremtidige anvendelser af fotoniske krystaller er til at udvikle højeffektive solceller. I selv de bedste solceller i dag bliver kun 40% af lysets energi omsat til elektricitet. En solcelle virker grundlæggende ved, at en foton fra solen anslår en elektron i det aktive lag i solcellen, hvorved fotonen absorberes. Denne elektron kan nu trækkes ud af det aktive lag som en elektronisk strøm og jo flere elektroner jo større strømstyrke og dermed større elektrisk energi. Imidlertid mistes en del af den elektriske energi ved at elektronen henfalder via spontan emission. Hermed udsendes og forsvinder en foton med samme energi som den oprindelige absorberede foton. Som vi har beskrevet ovenfor kan fotoniske krystaller også bruges til at undertrykke spontan emission. Hvis det aktive lag i solcellen således placeres i en fotonisk krystal vil solcellens effektivitet dermed kunne øges. Solceller baseret på fotoniske krystaller er endnu ikke demonstreret, men er et aktivt internationalt forskningsområde. Enkeltfoton-lyskilder baseret på fotoniske krystaller Moderne kryptering i f.eks. dankort transaktioner foregår ved hjælp af sindrige matematiske metoder, men er ikke fuldstændigt sikre. Heldigvis tager det selv de største computere i verden meget lang tid at bryde koderne. Man kan dog ikke være sikker på at dette vil forblive sådan i fremtiden, hvor mere effektive computere eller smartere kodebrydningsalgoritmer kan blive udviklet. I 1980 erne blev der foreslået en elegant metode til at kryptere meddelelser med en kode der er fuldstændigt ubrydelig. Metoden er baseret på funda- 44

Kvanteoptik i et farvet vakuum Kapitel 2 1,000 Titanium dioxid Kvantepunkter a = 370 nm a = 420 nm a = 500 nm Titanium-dioxid 100 0 5 10 15 20 Tid [ns] Figur 2-16. Antal fotoner udsendt per sekund ved spontan emission fra kvantepunkter i fotoniske krystaller, svarende til dem, som var vist i Figur 2-10 og Figur 2-11. Materialet som den fotoniske krystal er lavet af (titanium-dioxid) udsender også lys (den blå kurve), men efter ca. 5 nanosekunder er de tilstande fuldstændigt henfaldet, og man ser alene lys fra kvantepunkterne. Den sorte, den røde og den grønne kurve svarer til kvantepunkter placeret i fotoniske krystaller, der er bygget op af kugler med forskellige gitterafstande a. Der ses en tydelig forskel i levetiden for de tre tilfælde, dvs. elektronerne i kvantepunkterne henfalder langsommere hhv. hurtigere i fotonisk krystaller med a=500 nm og a=420 nm relativt til en fotonisk krystal med a=370 nm. Dette skyldes at den optiske tilstandstæthed er forskellig for de tre gitterafstande. mentale kvantemekaniske egenskaber ved lys, og kræver bl.a. at man har en metode til at udsende én og kun én foton. Ved hjælp af kvantepunkter i fotoniske krystaller kan man lave en effektiv enkeltfoton-lyskilde. Idéen er, at man anslår netop én elektron i et kvantepunkt med en kort laserpuls. Når én elektron henfalder, bliver der nemlig skabt præcist én foton. Da henfaldet sker ved spontan emission, og derfor kan forstærkes gennem vakuumfluktuationerne med en fotonisk krystal, kan fotonen udsendes hurtigere. Herved øges overførselshastigheden af det krypterede signal. Dertil kommer, at hvis man bruger et kvantepunkt uden en fotonisk krystal, så vil lyset blive udsendt i alle retninger og en stor del af lyset gå tabt. Indlejres kvantepunktet derimod i en fotonisk krystal, kan lyset aldrig blive udsendt i de retninger man har blokeret med den fotoniske krystal, men udelukkende i den ønskede retning. Konklusion Vi har præsenteret fysikken bag kvantepunkter, fotoniske krystaller og det farvede vakuum. Udsendelsen af lys sker ved spontan emission. Vi har vist hvordan spontan emission er relateret til kvantemekaniske vakuumfluktuationer, der får en anslået elektron i et kvantepunkt til at henfalde. Vakuumfluktuationerne kan ændres i fotoniske krystaller, og kan enten øges eller undertrykkes. På denne måde kan spontan emission kontrolleres. Vi har desuden beskrevet et nyligt eksperiment hvor spontan emission fra kvantepunkter blev kontrolleret med en fotonisk krystal. Endelig har vi givet en række bud på hvilke fremtidige anvendelser denne nye teknologi kan føre til. 45

Kapitel 2 Kvanteoptik i et farvet vakuum I vores beskrivelse af kontrol af spontan emission har vi emnemæssigt bevæget os vidt fra forskning i fundamental kvantemekanik over nanoteknologi til anvendelser indenfor solceller og kommunikationsteknologi. Disse emner er i disse år genstand for intensiv forskning i nogle af verdens bedste laboratorier, og det eneste der er sikkert er, at fremtiden vil byde på mange spændende opdagelser og anvendelser. Måske vil anvendelser af fotoniske krystaller en dag blive udbredte i mange forskellige teknologier. Indtil da vil de være forbeholdt de videnskabskvinder og mænd der forsker i dem, mens alle andre må nøjes med at nyde synet af naturens egne fotoniske krystaller i fugle, fisk, smykkesten og sommerfugle. Søren Stobbe, Ph.d. studerende Philip Trøst Kristensen, Ph.d. studerende Peter Lodahl, Lektor 46