Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi med effekten 120MW. a) Hvor meget energi leverer anlægget til forbrugerne i løbet af et år? Det udnyttes, at den totale effekt, der kommer ud fra anlægget er givet ved: P tot = P varme + P elektrisk = 300MW + 120MW = 420MW. Da effekt er energi pr. sekund kan denne effekt omregnes til en energi ved at gange med den tid, som vi ønsker skal forløbe. I dette tilfælde er det et år. E tot = P tot t = 420MW 1r = 420 10 6 J s 31536000s = 1, 3245 10 16 J 13P J Anlægget sender varmt vand med temperaturen 83 C ud til forbrugerne. Når vandet vender tilbage til anlægget, har det temperaturen 42 C. b) Beregn, hvor mange liter vand der pr. sekund passerer anlægget. Det udregnes, hvor meget energi, der produceres, til varme, i løbet af 1sek. E 1s = P varme 1s = 300MJ. Da denne energi skal bruges til opvarmning af det vand, der kommer retur beregnes nu hvor meget masse af vand, denne energi svarer til. 1

E 1s = m v c v T = m v c v (T efter T fr ) J 300MJ = m v 4186 g C (83 C 42 C) m v = 300 10 6 J 4186 J g C (83 C 42 C)) m v = 1, 7480 10 3 kg. Omregnet til en volumen fås dette til. ρ v = m v V v V v = m v ρ v = 1, 7480 103 kg 1 kg L = 1, 7480 10 3 L En tur med elevator a) Bestem lufttrykket i elevatoren ved turens start. Ved brug af regression findes den bedste rette linje til datapunkterne, der er oplyst i tabellen. Nedenfor ses et billede, hvori fittet kan ses sammen med datapunkterne. Regressionsværktøj giver forskriften for den rette linje til: f(t) = 0, 03 kp a t + 101, 1kP a s Ved beregning af f(0) fås lufttrykket ved starten af elevatorturen: f(0) = 0, 03 kp a s 0s + 101, 1kP a = 101, 1kP a Luftens densitet er 1, 20 kg m 3. 2

Gør rede for, at elevatorens fart under turen op tilnærmelsesvis er konstant. Bestem ud fra dataene i tabellen en værdi for denne konstante fart Det bemærkes, at, fra formlen for trykket af en væskesøjle, at p = ρhg, hvor p er lufttrykken, h er højden af luftsøjlen over elevatoren, g er tyngdeaccelerationen og ρ er luftens densitet, at ved ændring af højden skal trykket ændres med en lige så stor faktor. Der er dermed tale om en linær afhængighed i trykket fra højden, hvormed det kan ses, at ved konstant ændring af højden (konstant hastighed) vil trykket ændres linært med tiden. Dette ses også af ovenstående figur, og der er dermed redegjort for, at hastigheden af elevatoren tilnærmelsesvis er konstant. Ved differentiation mht. tiden på begge sider af ligningen for trykket af en væskesøjle fås, i det tyngdeaccelerationen og luftens densitet er konstanter: d dt p = d dt ρhg dp dt = ρg dh dt = ρgv, hvor ændringen af højden er hastigheden af elevatoren. Ændringen af trykket (venstre side) haves fra opgave a), i det hældningen på den bedste rette linje angiver denne sammenhæng. Dermed findes hastigheden til, hvis g = 9, 82m/s 2, og opad dermed regnes positivt: dp dt = ρgv v = v = dp dt ρg 30 N s m 2 1, 20 kg m 3 ( 9, 82 N kg ) = 2.5458 m s 1 Datering af havvand Argonisotopen 39 Ar er radioaktiv. a) Opstil reaktionsskemaet for henfaldet af 39 Ar. Ved opslag på en isotoptabel findes 39-Ar til at være β aktiv. Dermed opstilles henfaldsskemaet. 39 Ar 39 K + e + ν e Argon udveksles hele tiden mellem atmosfæren og oceanernes overflade, så en fast procentdel af alle argonatomerne befinder sig i overfladevandet. Nogle få af de opløste argonatomer er 39 Ar. En prøve på 20 liter havvand fra overfladen indeholder 1, 3 10 5 atomer af isotopen 39 Ar. Det er så få 39 Ar-kerner, at det er meget vanskeligt at måle deres aktivitet. 3

b) Beregn aktiviteten fra 39 Ar i prøven. Vi får opgivet antallet af isotoper, så for at beregne aktiviteten skal vi blot have udregnet henfaldskonstanten. Denne beregnes ved at slå halveringstiden for 39-Ar op i en isotoptabel og efterfølgende benytte sammenhængen k = ln 2 τ 12. k = ln 2 τ 1 2 = ln 2 269yr = ln 2 8, 4832 10 9 s = 8, 1708 10 11 s 1 Hermed kan aktiviteten beregnes ved brug af A = kn: A = kn = 8, 1708 10 11 s 1 1, 3 10 5 = 1, 0622 10 5 s 1 Australske forskere har udviklet en metode, hvor antallet af 39-Ar-atomer i en vandprøve kan bestemmes ret nøjagtigt ved hjælp af et massespektrometer. En prøve på 20 liter havvand udtaget fra Atlanterhavet i 5 kilometers dybde indeholdt 4, 2 10 4 atomer af isotopen 39-Ar. c) Hvor længe er det siden, at vandet i prøven fra Atlanterhavets dyb var i kontakt med atmosfæren? Ved at udnytte, at vandet i dybden ikke får tilført nyt 39-Ar kan alderen af vandet beregnes ud fra kendskab til henfaldsloven. I det antallet af en radioaktiv ) τ ( kerne følger N(τ) = N 1 τ 12 0 2, kan τ beregnes. Jeg sætter dermed τ = 0 til den tid, hvor vandet sidst var i kontakt med overfladen. Vandet i overfladen har (fra opgave b) N = 1, 3 10 5 39-Ar isotoper, så denne størrelse sættes til N 0. Ved at sætte N(τ) = 4, 2 10 4 kan alderen nu beregnes, i det τ 1 er den samme som 2 opslået i opgave b. N(τ) = N 0 ( 1 2 ) τ τ 12 N(τ) τ = τ 1 ln (2) ln 2 N 0 ( ) 4, 2 10 4 τ = 269yr ln (2) ln 1, 3 10 5 = 210, 7yr Cykelrytter a) Vurdér cykelrytterens fart, hvis han yder samme effekt som i oprejst kørestilling, men nu bøjer sig forover. I denne opgave udnyttes, at i oprejst stilling kan luftmodstanden på cykelrytteren beregnes ved brug af F luft = 1 2 c wρav 2, hvor A er arealet af cykelrytteren, ρ er luftens densitet (vi kommer til at se, at den går ud af beregningen, c w er den såkaldte formfaktor, der bliver opgivet i opgaven og v er rytterens hastighed. I det følgende ved index 1 angive tilstanden oprejst og index 2 vil angive tilstanden foroverbøjet. 4

I det rytteren vil yde den samme effekt i oprejst som i foroverbøjet stilling er den eneste begrænsning på hans hastighed luftmodstanden. Det betyder, at F luft,1 = F luft,2, og ved indsættelse i formlen nævnt ovenfor fås da: F luft,1 = F luft,2 1 2 c w,1ρa 1 v1 2 = 1 2 c w,2ρa 2 v2 2 c w,1 A 1 v 2 = v 1 c w,2 A 2 v 2 = 25 km h 1, 1 0, 51m 2 0, 88 0, 36m 2 = 33, 3 km h Bjergbestigning På en klatretur befinder en bjergbestiger sig 22 m under en kammerat, der uheldigvis løsriver en sten, som rammer bjergbestigerens hjelm. a) Beregn stenens fart, når den rammer bjergbestigerens hjelm. Til dette formål vælger jeg at bruge energibevarelse. Energien for stenen er bevaret, hvis man ikke tager højde for luftmodstanden, der i denne opgave antages for irrelevant. Dermed haves, at den potentielle energi, hvis nulpunkt vælges til at være bjergbestigerens position, skal være lig den kinetiske, når stenen er faldet de 22m. E kin = E pot 1 2 mv2 = mgh v = 2gh v = 2 9, 82 m s 2 22m = 20, 79 m s En bjergbestiger klatrer på en klippevæg og er bundet fast til et elastisk sikkerhedsreb, som har fjederkonstanten 1,20 kn/m. Ved et uheld falder bjergbestigeren lodret ned. Når sikkerhedsrebet strækkes, bliver faldet bremset. Under faldet opnår sikkerhedsrebet en maksimal forlængelse på 5,5 m. Massen af bjergbestigeren er 86 kg. b) Beregn størrelsen af den største acceleration, som bjergbestigeren udsættes for, mens sikkerhedsrebet strækkes. Fra Hookes lov vides, at den største acceleration er ved fuldstændig ustrakt fjeder. Dermed bruges Hookes lov sammen med Newtons anden lov til at finde 5

accelerationen på bjergbestigeren, mens rebet udstrækkes. F fjeder = kx = 1, 20 kn m = 6600N 5, 5m Ved brug af Newtons anden lov fås da, idet det huskes, at loven gælder for resulterende kræfter: F tot = F g + F fjeder m a = m g 6600N a = g 6600N m a = 9, 82 m s 2 6600 kg m s 2 86kg = 66, 92 m s 2 Det negative fortegn er kommet på, i det positiv retning regnes nedad. Accelerationen er dermed opad, som det også forventes af sikkerhedsrebet. Sikkerhedsrebet er 13,0 m langt, og det er fastgjort til klippevæggen 3,1 m under bjergbestigeren. Ved uheldet falder bjergbestigeren derfor frit 16,1 m ned, før det elastiske reb forlænges og bremser hans fald. Efter nogle få svingninger op og ned hænger bjergbestigeren stille. c) Hvor langt under rebets fastgørelsespunkt ender bjergbestigeren med at hænge stille? Beregn den største fart, som bjergbestigeren opnår under faldet. For at beregne, hvor langt under rebets fastgørelsespunkt bjergbestigeren vil hænge stille benyttes en kræftanalyse. Når bjergbestigeren hænger stille vil tyngdekræften være lig kræften fra rebet, der forsøger at trække ham op igen. Tyngdekræften på manden er F g = mg, mens kræften fra rebet er F fjeder = kx. Disse to er lig hinanden, når bjergbestigeren hænger stille. F g = F fjeder mg = kx x = mg k x = 86kg 9, 82 m s 2 1, 20 kn m = 0, 7m Denne værdi angiver udstrækningen af rebet, for hvilken fjederkræften er lig tyngdekræften. Da rebet i forvejen har en længde på 13m vil bjergbestigeren 6

dermed sidde stille i punktet x 13m = 13, 7m, hvor det negative fortegn angiver, at der er under ophængningspunktet. Hastigheden af bjergbestigeren vil være maksimal i det øjeblik før sikkerhedsrebet begynder at bremse ham. Til at finde hastigheden i dette punkt benyttes energibevarelse, i det den potentielle energis nulpunkt sættes til punktet, hvor rebet er fuldstændig udstrakt. E kin = E pot 1 2 mv2 = mgh v = 2gh v = 2 9, 82 m 16, 1m s2 = 17, 78 m s Regnsensor Når forruden er tør, reflekteres lysstrålen i grænsefladen mellem forrudens yderside og luften udenfor, hvorefter lysstrålen registreres af lysmåleren. Glasset i forruden har brydningsindeks 1,48. Vand har brydningsindeks 1,33. a) Gør rede for, at alt lyset fra lysdioden bliver reflekteret, når der ikke er vand på ydersiden af forruden. Forklar, hvordan situationen ændres, når der er vand på forruden. Jeg vælger at kigge på totalreflektion fra overfladen for at redegøre for, at alt lyset bliver reflekteret, når der ikke er noget vand på forruden. Jeg beregner dermed den kritiske vinkel, i c, for overgangen fra forruden til luft ved brug af Snells lov. sin i c = n 2 n 1 sin i c = 1 1, 48 = 0, 67 i c = 42, 02 Da alt lys vil blive reflekteret totalt for vinkler større end dette vil alt lyset i tilfældet, hvor der ikke er vand på forruden, da indfaldsvinklen her er 45 grader, blive reflekteret. Når der kommer vand på forruden ændres brydningsindekset på ydersiden af forruden, og dermed ændres den kritiske vinkel også. Udregnes den kritiske vinkel i tilfældet, hvor der er vand på forruden, fås: 7

sin i c = n 2 n 1 sin i c = 1.33 1, 48 = 0, 89 i c = 63, 98 Dermed vil lyset ikke blive totalreflekteret, hvis der er vand på forruden på grund af det ændrede brydningsindeks på ydersiden. Laserlys mod spejl En af de benyttede lasere er en Nd : LiY F 4 laser. Lasermediet er en krystal af LiY F 4, hvor nogle af yttriumionerne er udskiftet med Nd 3+ -ioner. Krystallen har brydningsindeks 1,470. a) Beregn lysets fart inde i krystallen. Ved brug brydningsloven findes hastigheden i krystallen. v = c n = c 1, 47 = 2, 03 108 m s Laserlyset udsendes ved Nd 3+ 4 -ioners overgang fra energiniveau B til energiniveau A. Laseren udsender lys med effekten 0,50 W. b) Hvor mange Nd3+-ioner overgår hvert sekund fra energiniveau B til energiniveau A? Overgangsenergien fra B til A svarer til E B A = (0, 201 0, 012) 10 18 J = 1, 89 10 19 J. Da effekten er energi pr. sekund kan jeg dermed udregne antallet af overgange fra B til A på et sekund. N = P 1s E B A 0, 50J = 1, 89 10 19 J = 2, 65 10 18 Spejlene skal hænge meget stille, for at man kan registrere de ændringer, der kunne skyldes gravitationsbølger. Selv påvirkningen fra laserlyset kan ændre et spejls placering. Laseren lyser med effekten 0,50 W vinkelret på et spejl. Laserlyset har bølgelængden 1053 nm. c) Beregn størrelsen af den kraft, hvormed laserlyset påvirker spejlet. Da fotoner har en impuls, vil de også give et tryk på den genstand, de rammer. Vi antager, at et areal A rammes af en laserstråle med effekten P. Antallet af 8

fotoner pr. tid med bølgelængden λ, der rammer arealet, er da n = P hf, hvor f er frekvensen af fotonerne og h er Plancks konstant. Den resulterende kraft er fra Newtons anden lov en impulsændring pr. tid, og dermed er kraftpåvirkningen af arealet da givet ved F lys = n p foton = P hf fås lystrykket da til: F lys = P c = 0.5W 3 10 8 m s hf c = P c = 1, 67 10 9 N. Ved brug af denne formel 9