Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2013

Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2013 Undervisningsministeriet Januar 2014

Forord Evalueringsrapporten over resultaterne ved de skriftlige prøver i matematik sommeren 2013 henvender sig både til offentligheden, til lærerne i gymnasiet og hf og til opgavekommissionerne. Rapporten rummer følgende afsnit: En beskrivelse af hvordan det gik ved prøverne, herunder en sammenligning med resultaterne de senere år. En særlig analyse af, om der er forskel i præstationerne i relation til køn og i relation til brug af værktøjsprogrammer. Overordnet set tilstræber opgavekommissionerne at sammensætte et opgavesæt, der på den ene side rummer tilbud til de elever, der er fagligt svage, men som gør deres bedste og laver deres ting, tilbud i form af opgaver der tester en række af de mindre komplekse færdigheder og kompetencer inden for de forskellige faglige emner; omfanget af sådanne opgaver skal række til, at man kan bestå. På den anden side skal opgavesættene have en sådan taksonomisk progression, at elever, der behersker meget af stoffet, men dog har en del mangler kan opnå karakterer omkring 7. Der skal således også være opgaver, der differentierer i toppen. Rapporten indeholder en analyse af opgavesættenes arkitektur ved hjælp af klyngeanalyser, og som opfølgning på evalueringsrapporten fra 2011 en SOLO taksonomisk analyse af de tre B niveau sæt. Afsnittet om solotaksonomi er skrevet således, at det kan danne udgangspunkt for drøftelser i en faggruppe om taksonomier i matematik. SOLO taksonomien præsenteres generelt, og illustreres med detaljerede analyser, som er med til at karakterisere sættenes opbygning. Opgavesættene, der analyseres, kan hentes her: http://www.uvm.dk/uddannelser/gymnasiale uddannelser/proever og eksamen/skriftligeopgavesaet Til grund for evalueringsgruppens analyse ligger de indberetninger og tilbagemeldinger, censorerne gav i forcensuren. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det. Evalueringsgruppen bestod af lektor Claus Jessen, Ørestad Gymnasium, lektor Jes Sixtus, Espergærde Gymnasium og lektor Kasper Berthelsen, Institut for Matematiske Fag, Ålborg Universitet foruden undertegnede. En stor tak til de tre. Bodil Bruun, fagkonsulent

Konklusioner Med denne rapport afsluttes evalueringsgruppens arbejde med de skriftlige prøver ved eksamen maj juni 2013 i matematik på stx og hf. I første del at rapporten opgøres det samlede eksamensresultat i form af karakterfordelingen på stx og hf. Her ses, at på stx A niveau viser resultatet, at både karaktergennemsnit og dumpeprocenter har været nogenlunde stabile gennem de seneste par år. I år er eksamensgennemsnittet på 6,75 og dumpeprocenten er på 9,5%. På stx B niveau karaktergennemsnittet i år på 5,26 og dumpeprocenten er på 21,4%. I 2012 var karaktergennemsnittet 4,61 og dumpeprocenten 17,0%, mens tallene fra 2011 gav et karaktergennemsnit på 6,00 og en dumpeprocent på 17,5. Et lignende resultat ses på hf B niveau, hvor karaktergennemsnittet er på 5,48 og dumpeprocenten er på 17,9%. Her var karaktergennemsnittet 6,32 i 2012 og dumpeprocenten var 23,1%, mens resultaterne fra 2011 gav et karaktergennemsnit på 5,19 og en dumpeprocent på 28,4%. På hf deltager alle kursister i de skriftlige prøver, mens det på stx kun er de elever, der ikke vælger at hæve matematik B til A niveau, eller ikke er udtrukket til denne prøve ved lodtrækning. Både karaktergennemsnit og dumpeprocenter ligger på samme niveau i år som de foregående år. I år var der en stor del af kursisterne, nemlig 15%, der på C niveau opnåede karakteren 12. Ud fra forcensuren er elevernes resultater opgjort på køn i det omfang, det har været muligt for censorerne ud fra navnet at afgøre elevernes køn. Her viser det sig, at der stort set ingen forskel er på, hvordan piger og drenge præsterer på stx A niveau og på hf B og C niveau. Men på stx B niveau klarer drengene sig markant dårligere end pigerne. Samme resultat har de forrige års evalueringsrapporter også vist. Gennem censorernes indberetning har evalueringsgruppen undersøgt, om det er af betydning, om eleverne har anvendt computer ved eksamen. Her viser det sig for det første, at rigtigt mange elever nu udarbejder deres skriftlige opgaver på computer. På stx er det omkring 80% af elevbesvarelserne, der er udarbejdet på computer. Resten er håndskrevne, og eleven har brugt et håndholdt CAS værktøj til udregninger. På hf B niveau er det 55%, der bruger computer, og på hf C niveau er det omkring 20%. På alle niveauer viser det sig, at elever, der udarbejder deres opgaver på computer, klarer sig væsentligt bedre end de, der bruger et håndholdt værktøj og skriver i hånden. Men det er meget bemærkelsesværdigt, at elever, der har brugt computer i delprøven med hjælpemidler, også klarer prøven uden hjælpemidler, hvor alle i princippet er stillet lige, en del bedre.

Indhold Samlet opgørelse for eksamensresultaterne maj juni 2013... 1 Stx matematik A niveau... 1 Stx matematik B niveau... 4 Hf matematik B niveau... 7 Hf matematik C niveau... 9 Analyser fra forcensuren... 11 Stx matematik A: Pointtildeling for enkeltopgaverne... 11 Sammenligning af resultaterne af de to delprøverne på stx A... 13 Stx Matematik B: Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver... 15 Sammenligning af resultaterne af de to delprøver på stx B... 16 Hf Matematik B: Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver... 18 Sammenligning af resultaterne af de to delprøver... 19 Hf Matematik C: Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver... 20 Kønsforskelle i eksamensresultaterne i de skriftlige prøver... 21 Resultater efter brug af computer eller håndholdt CAS værktøj... 26 Taksonomiske analyser... 32 Nærmere om brugen af SOLO taksonomi... 32 SOLO taksonomiske analyser af opgaverne på B niveau... 33 Eksamenssættene B niveau... 36 Klyngeanalyser... 39 Bilag 1: Talmaterialet fra den samlede opgørelse fra UVM... 42 Stx: Matematik A:... 42 Stx: Matematik B... 43 HF: matematik B... 44 HF: Matematik C... 44 Bilag 2: Hierarkisk klyngeanalyse... 45 Bilag 3: Klyngeanalyser af Matematik A og C... 46

Samlet opgørelse for eksamensresultaterne maj juni 2013 Stx matematik A niveau Ved sommereksamen 2013 var 10.810 elever til den skriftlige prøve i matematik A. Deres resultater fremgår af dette diagram: Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 Stx 2013 Matematik A - begge prøver Karaktergennemsnit: 6,75 5.0 0.0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter I diagrammet herunder ses udviklingen i karaktergennemsnit for matematik A gennem de seneste år: Karaktergennemsnit 12 10 8 6 4 2 0 Stx Matematik A - skriftlig prøve Karaktergennemsnit 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Udviklingen i dumpeprocent på matematik A ses i dette diagram: 1

30 Stx Matematik A - skriftlig prøve Procentdel der dumper Procent 25 20 15 10 5 0 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Vi ser, at det opnåede karaktergennemsnit er meget jævnt fordelt uden de store udsving omkring 6,4 gennem årene, og andelen af elever, der dumper til den skriftlige prøve, er faldet i år til 9,5%, men har ligger stabilt på omkring 13% de sidste fire år. Ligesom de forrige år var der også i år to skriftlige prøver i matematik på A niveau på stx. Den ene afholdtes 24. maj 2013 (efterfølgende kaldt prøve A1) og den anden afholdtes 29. maj 2013 (efterfølgende kaldt A2). I den første prøve, A1, deltog 1772 elever, og i den anden prøve, A2, deltog 9038 elever. Karakterfordelingerne ved de to prøver ses af de følgende diagrammer: Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 Stx 2013 Matematik A1 Karaktergennemsnit: 6,15-3 00 02 4 7 10 12 Karakter 2

Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 Stx 2013 Matematik A2 Karaktergennemsnit: 6,87-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Antallet af elever, der gik til de to prøver er som nævnt meget forskelligt, idet antallet ved prøven A2 er væsentligt større end antallet, der deltog i prøven A1. Samtidigt er resultatet af de to prøver også forskelligt, idet eleverne ved prøven A2 klarede sig en del bedre end eleverne ved prøven A1. Her var andelen af elever, der fik 10 og 12 større, og andelen, der opnår dumpekarakter, er mindre. Umiddelbart giver udformningen af de to sæt ikke indtryk af at være væsentligt forskellige, så det kan ikke forklare den store forskel. En forklaring kan være, at populationerne til de to prøver er forskellige. Skolerne kan af planlægningsmæssige årsager være tvunget til at sende elever fra bestemte hold og studieretninger til en bestemt af de to prøver. Fx var den første skriftlige prøve i dansk lagt på samme dag som prøven A1. En anden forklaring kan være forskellen i andele af elever fra gymnasier og hf kurser ved de to prøver. Opgørelsen fra UVM viser, at omkring halvdelen af deltagerne i prøve A1 var fra studenterkurser, VUC eller hf kurser, hvor disse grupper kun udgjorde ca. 3% ved prøven A2. 3

Stx matematik B niveau Ved sommereksamen 2013 deltog 8.570 elever i den skriftlige prøve i matematik B. På stx udtrækkes de elever, der skal til skriftlig eksamen i matematik B, ved lodtrækning blandt samtlige elever, der har faget, og som ikke har valgt at opgradere til A niveau. Deres resultater fremgår af dette diagram: Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 Stx 2013 matematik B - begge prøver Karaktergennemsnit: 5,26 5.0 0.0-3 00 02 4 7 10 12 Karakter I nedenstående diagram ses udviklingen i gennemsnitskarakter for matematik B på stx: Karaktergennemsnit 12 10 8 6 4 2 0 Stx Matematik B - skriftlig prøve Karaktergennemsnit 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Det efterfølgende diagram viser udviklingen i dumpeprocenter: 4

Procent 30 25 20 15 10 5 0 Stx matematik B - skriftlig prøve Procentdel der dumper 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Når man betragter udviklingen både i karaktergennemsnit og dumpeprocenter gennem de seneste år, ser man store udsving. Det opnåede karaktergennemsnit på matematik B ligger omkring 5,2 men med store udsving. Ligeledes er andelen af elever, der ikke består den skriftlige prøve i matematik B på stx meget varierende, og andelen ligger over 20% i de fleste år. Ligesom de forrige år var der også i år to skriftlige prøver i matematik på B niveau på stx. Den ene afholdtes 24. maj 2013 (efterfølgende kaldt prøve B1) med deltagelse af 722 elever, og den anden afholdtes 29. maj 2013 (efterfølgende kaldt B2), og her deltog 7848 elever. Karakterfordelingerne ved disse to prøver ses i de efterfølgende diagrammer: Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 Stx 2013 Matematik B1 Karaktergennemsnit: 5,08-3 00 02 4 7 10 12 Karakter 5

Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 Stx 2013 Matematik B2 Karaktergennemsnit: 5,28-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Antallet af elever, der gik til de to prøver er som nævnt meget forskelligt, idet antallet af elever ved prøven B2 er væsentligt større end det antal, der deltog i prøven B1. Men samlet set er resultatet af de to prøver på matematik B niveau på stx ret ensartet. 6

Hf matematik B niveau Ved sommereksamen 2013 var 4444 kursister til skriftlig prøve i matematik B niveau på hf. På hf er den skriftlige prøve obligatorisk for samtlige kursister. Deres karakterfordeling ses i dette diagram: Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 HF 2013 Matematik B Karaktergennemsnit: 5,48-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Udviklingen i karaktergennemsnit og dumpeprocenter gennem de seneste år i matematik B på hf ses i de følgende diagrammer: Karaktergennemsnit 12 10 8 6 4 2 0 HF Matematik B - skriftlig prøve Karaktergennemsnit 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 7

Procent 30 25 20 15 10 5 0 HF Matematik B - skriftlig prøve Procentdel der dumper 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Både karaktergennemsnit og dumpeprocent har været stærkt svingende gennem perioden. 8

Hf matematik C niveau Ved sommereksamen 2013 var 9232 hf kursister til skriftlig prøve i matematik C med følgende resultater. På hf er der ikke lodtrækning om eksamensdeltagelse, så derfor er alle kursister, der ikke opgraderer til hf B niveau til prøve i hf matematik C. Det skal nævnes, at skoler i særlige tilfælde kan lade alle kursister gå til eksamen på hf C niveau, uanset om de har valgt at opgradere eller ej for at sikre, at de dog har et C niveau i matematik, hvis de skulle falde ved opgradering til B. Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 HF 2013 matematik C Karaktergennemsnit: 5,34-3 00 02 4 7 10 12 Karakter Karakterne på hf C niveau i matematik har en bemærkelsesværdig fordeling, idet andelen af kursister, der opnår topkarakteren 12, er stor. Samtidigt er det bemærkelsesværdigt, at selv på C niveau er andelen af elever, der opnår karaktereren 3 omkring 5%. Herunder ses udviklingen i dumpeprocenter og karaktergennemsnit på hf matematik C gennem den seneste årrække: 9

Karaktergennemsnit 12 10 8 6 4 2 0 HF Matematik C - skriftlig prøve Karaktergennemsnit 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Procent 30 25 20 15 10 5 0 HF Matematik C - skriftlig prøve Procentdel der dumper 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Dumpeprocenten på hf C har været svingende, men har stabiliseret sig lige under 25%. Gennemsnittet har ligeledes været svingende, men har i de seneste par år stabiliseret sig omkring 5,3. I lighed med matematik B på hf har der på matematik C været et stigende antal kursister til den skriftlige prøve. Men variationerne i dumpeprocenter og karaktergennemsnit følger ikke stigningen i antallet af prøvedeltagere, så her kan den ændrede population ikke forklare de observerede udsving. 10

Analyser fra forcensuren Ved forcensuren angiver hver censor pointfordelingen for de fem første eksaminander på hvert hold både i de enkelte opgaver og det samlede pointtal. Desuden indberetter censorerne eksaminandernes køn, og om eksaminanderne har anvendt computer til at udarbejde deres besvarelse. Forcensuren udgør et meget detaljeret datamateriale som muliggør særlige analyser, og vi har valgt at fokusere på elevernes besvarelse af enkeltopgaver, forskelle på resultater af delprøven uden og delprøven med hjælpemidler, kønsforskelle og endelig forskelle på resultater for elever, der har brugt computer, og elever, der ikke har. Stx matematik A: Pointtildeling for enkeltopgaverne Ved første prøve, A1, er pointfordelingen for 542 elever indberettet, og ved anden prøve, A2, er pointfordelingen for 2150 elever indberettet. For at se, hvordan eleverne klarer de enkelte opgaver, vises diagrammer over elevernes pointfordeling i de enkelte delspørgsmål i opgavesættene. I hvert delspørgsmål kan eleven opnå maksimalt 10 point. Hvert diagram viser opgavenummer på den lodrette akse, og de vandrette søjler angiver procentdelen af eleverne, der har opnået de forskellige pointtal. Der gives ikke karakter for hvert delspørgsmål, eleven besvarer, men kun ud fra det samlede pointtal opnået i hele prøven. Alligevel har vi angivet et karakterniveau ud for hvert delspørgsmåls pointtal, og det svarer til den karakter, man ville opnå, hvis alle opgaver i sættet var besvaret med samme pointandel. Der er i diagrammerne brugt følgende farvekode: Pointtal Kommentar Svarer til karakteren 0 point Eleven har intet lavet ved eller helt misforstået 3 opgaven. 1 3 poinmes Eleven har lavet en smule, der bedøm 00 som korrekt. 4 6 poinrende Eleven har besvaret spørgsmålet sva 02 4 til omkring halvt korrekt 7 9 point Her har eleven besvaret spørgsmålet 7 10 med nogle (få) mangler 10 point Her er spørgsmålet korrekt besvaret med ubetydelige mangler. 12 Man kan således hurtigt få et overblik over elevernes besvarelser af de enkelte delspørgsmål, idet de orange felter svarer til en præstation i spørgsmålet under bestågrænsen. Det grå felt angiver, at eleven lige er bestået, mens de blå felter betyder, at eleven er bestået med en middelkarakter eller en karakter over middel. På denne måde vil delspørgsmål, hvor de orange felter fylder meget, svare til de vanskelige delspørgsmål, som mange elever ikke kan besvare tilfredsstillende, mens de opgaver, hvor de blå felter fylder meget, svarer til de lettere delspørgsmål, som mange elever kan besvare tilfredsstillende. Delspørgsmål, hvor de lyse felter fylder lidt, er knald eller fald spørgsmål, hvor eleverne typisk enten besvarer delspørgsmå 11

let helt korrekt eller også slet ikke kan besvare spørgsmålet. Omvendt er delspørgsmål, hvor de lyse felter fylder meget, spørgsmål, hvor der er stor spredning i elevernes besvarelser. Stx 2013 Matematik A1 Pointtal opnået i enkeltopgaver Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a 10b 11a 12a 12b 13a 13b 13c 14a 14b 15a 15b 16a Procent af elever 0% 25% 50% 75% 100% 0 point 1-3 point 4-6 point 7-9 point 10 point I dette sæt ser vi en progression i sværhedsgraden inden for de seks første opgaver, der udgør prøven uden hjælpemidler, idet andelen af elever, der ikke leverer en tilfredsstillende besvarelse stiger hen gennem opgavenumrene, mens andelen af elever, der besvarer dem korrekt, falder. På samme måde ses ser vi en progression i sværhedsgraden inden for prøven med hjælpemidler (fra opgave 7a) samt inden for den enkelte opgave, når der er tale om opgaver med flere delspørgsmål. Delspørgsmålene 7b og 12 a har begge en stor variation i pointtallene. Her finder vi delspørgsmål, der hver indeholder to spørgsmål, og vi ser en spredning i pointtallene, fordi eleverne evt. kan besvare det ene, men ikke det andet, og herved opnår ca. halvt pointtal. De vanskeligste opgaver er opgaverne 5, 6 i første delprøve, og delspørgsmålene 13c, 14b, 15b og 16a, hvor omtrent halvdelen af eleverne slet ikke opnår point overhovedet. Disse spørgsmål ligger alle sidst i delprøve 2, så disse har ikke stoppet eleverne tidligt i deres arbejde med opgavesættet. Endvidere ses, at op mod 75% af eleverne har fået point i delspørgsmål 14a og 15a, som er sidst i sættet. Det tyder på, at sættet har haft et arbejdsmæssigt passende omfang, så de fleste elever er nået igennem sættet i den afsatte tid. I dette sæt er 12

der 6 delspørgsmål, som over 50% af eleverne kan besvare korrekt. Så på denne baggrund vurderes sværhedsgraden af sættet at være passende. Stx 2013 Matematik A2 Pointtal opnået i enkeltopgaver Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7a 7b 8a 8b 8c 9a 9b 9c 10a 11a 12a 13a 13b 13c 14a 14b 14c 15a 15b Procent af elever 0% 25% 50% 75% 100% 0 point 1-3 point 4-6 point 7-9 point 10 point I sættet A2 ses det samme som i sættet A1, nemlig, at der er en fin progression i delprøve 1 (op til opgave 6) og igen i delprøve 2 (fra delspørgsmål 7a). Opgaverne med stor spredning i elevpoint er delspørgsmålene 6, 9c og 11a, og det er delspørgsmål, der indeholder to spørgsmål, så en del elever besvarer kun det ene delspørgsmål. I dette sæt er der 4 delspørgsmål, som over 50% af eleverne kan besvare helt korrekt, og der er 4 delspørgsmål, som næsten 50% af eleverne kan besvare med fuldt pointtal. Endvidere er 10 af de 25 delspørgsmål så vanskelige, at mere end 25% af eleverne slet ikke kan besvare det. Derved vurderes, at også dette sæt har en passende sværhedsgrad. Sammenligning af resultaterne af de to delprøverne på stx A Ved den skriftlige prøve i stx matematik A besvarer eleverne to delprøver. Første delprøve tester elevernes paratviden og de kompetencer, eleverne umiddelbart kan mobilisere. Anden delprøve tester derimod de kompetencer, som eleverne yderligere kan mobilisere, når de har 13

adgang til relevante computerprogrammer, deres lærebøger, formelsamling og diverse noter. Derfor er det interessant at sammenligne, hvordan eleverne klarer sig i de to delprøver. For at sammenligne elevernes præstationer er hver elevs pointtal i de to delprøver afsat som ét punkt i diagrammet. På den vandrette akse er afsat det opnåede pointtal i prøven uden hjælpemidler. Det maksimale pointtal i denne prøve er 60 point. På den lodrette akse er afsat det pointtal, eleven opnåede ved prøven med hjælpemidler. Her er det maksimalt opnåelige pointtal 190. Point med hjælpemidler 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 STX 2013 Matematik A1 Pointtal uden og med hjælpemidler 0 10 20 30 40 50 60 Point uden hjælpemidler STX 2013 Matematik A2 Pointtal uden og med hjælpemidler Point med hjælpemidler 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 Point uden hjælpemider Hver elevs præstation i de to delprøver er repræsenteret ved en prik i diagrammet. Hvis flere elever opnår samme pointtal i de to prøver, vil de optræde som samme prik, så derfor kan mange af prikkerne repræsentere flere elever. Diagrammet viser en spredning omkring diagonalen, og det tyder på, at de to delprøver faktisk tester forskellige kompetencer hos eleverne, og ikke alle elever har samme kompetenceprofil. 14

Stx Matematik B: Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver Ved forcensuren for matematik B på stx er der ved første prøve, B1, indberettet pointfordelingen for 265 elever, og ved anden prøve, B2, er pointfordelingen for 2258 elever indberettet. Her ses pointfordelingen for eleverne ved prøven B1. (For en uddybning af farvekoderne se indledningen til stx A beskrivelsen). Stx 2013 Matematik B1 Pointtal opnået i enkeltopgaver Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c 8a 8b 9a 9b 10a 10b 11a 11b 12a 12b 12c Procent af elever 0% 25% 50% 75% 100% 0 point 1-3 point 4-6 point 7-9 point 10 point Progressionen i sættet B1 er ikke tydelig som på A niveauerne. Allerede i opgave 4 i delprøve 1 og i delspørgsmål 10b i delprøve 2 møder eleverne spørgsmål, som de vanskeligt kan løse. Delspørgsmålene 7a, 8a og 12a udviser stor spredning. I dette opgavesæt er der kun et spørgsmål, nemlig opgave 1, der er besvaret fuldt korrekt af mere end 50% af eleverne, og kun to opgaver/del spørgsmål, der er besvaret fuldt korrekt af næsten 50%. Der er 11 af de 20 delspørgsmål, som over 25% af eleverne ikke kan besvare. 15

Her ses det tilsvarende diagram for prøven B2: Stx prøven B2: Pointtal opnået i enkeltopgaver Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c 10a 10b 11a 11b 12a 12b 12c Procent af elever 0% 25% 50% 75% 100% 0 point 1-3 point 4-6 point 7-9 point 10 point I B2 sættet ses en tydelig progression i delprøve 1, mens progressionen er mere uklar i delprøve 2. Der er en opgave, som over 50% af eleverne besvarer korrekt, nemlig opgave 1, og tre delspørgsmål, hvor næsten 50% af eleverne opnår fuldt pointtal. Endelig opnår 25% af eleverne ikke nogen point i 13 af de 20 delspørgsmål. Sammenligning af resultaterne af de to delprøver på stx B Ved den skriftlige prøve i matematik B besvarer eleverne to delprøver. Første delprøve tester elevernes paratviden og de kompetencer, eleverne umiddelbart kan mobilisere. Anden delprøve tester derimod de kompetencer, som eleverne yderligere kan mobilisere, når de har adgang til relevante computerprogrammer, deres lærebøger, formelsamling og diverse noter. Derfor er det interessant at se, hvordan de klarer sig i de to delprøver. For at sammenligne elevernes præstationer er hver elevs pointtal i de to delprøver afsat som et punkt i diagrammet. På den vandrette akse er afsat det opnåede pointtal i prøven uden hjælpemidler. Det maksimale pointtal i denne prøve er 60 point. På den lodrette akse er afsat 16

det pointtal, eleven opnåede ved prøven med hjælpemidler. Her er det maksimalt opnåelige pointtal 140. Point med hjælpemidler 140 Stx 2013 Matematik B1 Pointtal uden og med hjælpemidler 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 Point uden hjælpemidler Point med hjælpemidler 140 Stx 2013 Matematik B2 Pointtal uden og med hjælpemidler 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 Point uden hjælpemidler Hver prik i diagrammet repræsenterer en elevs præstation i de to delprøver. Begge diagrammer viser spredning, og det tyder på, at de to delprøver faktisk tester forskellige kompetencer hos eleverne, og ikke alle elever har samme kompetenceprofil. Vi ser, at der er en del elever, der opnår et forholdsvist godt resultat i prøven uden hjælpemidler, men som næsten ingen point opnår i prøven med hjælpemidler. 17

Hf Matematik B: Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver Ved forcensuren for hf matematik B indberettede censorerne pointtallene for 1390 kursister. For at få overblik over hvordan kursisterne har klaret de enkelte opgaver, ses her diagrammer over pointfordelingen i de delenkelte spørgsmål. I hvert del spørgsmål kan kursisten opnå maksimalt 10 point. På den lodrette akse er angivet opgavenummer, og de vandrette søjler angiver procentdelen af kursisterne, der har de forskellige pointtal. (For en uddybning af farvekoderne se indledningen til stx A beskrivelsen) HF 2013 Matematik B Pointtal opnået i enkeltopgaver Opgavenummer 1 2 3 4 5 6 7a 7b 7c 8a 8b 8c 9a 9b 10a 10b 10c 11a 11b 11c Procent af elever 0% 25% 50% 75% 100% 0 point 1-3 point 4-6 point 7-9 point 10 point I dette sæt ses ikke nogen tydelig progression gennem opgavesættet som helhed, men i opgaver med flere delspørgsmål, undtagen opgave 10, ses en tydelig progression inden for den enkelte opgave. I opgavesættet uden hjælpemidler (de seks første opgaver) har de fire første opgaver nogenlunde samme sværhedsgrad, mens de to sidste er noget vanskeligere. I opgavesættet med hjælpemidler (fra delspørgsmål 7a) ses en varieret sværhedsgrad gennem opgavesættet. I besvarelsen af delspørgsmål 11a er der en stor andel af kursisterne, der har besvaret dele af dette spørgsmål, og det betyder, at mange tilsyneladende er nået gennem hele opgavesættet, og at opgavesættet ikke har været tidsmæssigt af for stort omfang. Der er 9 af de 20 delspørgsmål, som over 25% af kursisterne ikke opnår nogen point i, og der er 3 delspørgsmål, som over halvdelen af kursisterne kan besvare fuldt korrekt. 18

Sammenligning af resultaterne af de to delprøver Ved den skriftlige prøve besvarer kursisterne to delprøver. Første delprøve tester kursisternes paratviden og de kompetencer, kursisterne umiddelbart kan mobilisere. Anden delprøve tester derimod de kompetencer, som kursisterne yderligere kan mobilisere, når de har adgang til computer, deres lærebøger, formelsamling og diverse noter. Derfor er det interessant at se, hvordan klarer sig i de to delprøver. For at sammenligne kursisternes præstationer er hver kursists pointtal i de to delprøver afsat som et punkt i diagrammet. På den vandrette akse er afsat det opnåede pointtal i prøven uden hjælpemidler. Det maksimale pointtal i denne prøve er 60 point. På den lodrette akse er afsat det pointtal, eleven opnåede ved prøven med hjælpemidler. Her er det maksimalt opnåelige pointtal 140. Point med hjælpemidler 140 HF 2013 Matematik B Pointtal uden og med hjælpemidler 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 Point uden hjælpemidler Hver kursists præstation i de to delprøver er repræsenteret ved en prik i diagrammet. Men hvis flere kursister opnår samme pointtal i de to prøver, vil de optræde som samme prik. Derfor vil mange af prikkerne repræsentere flere kursister. Diagrammet viser nogen spredning, og det tyder på, at de to delprøver tester forskellige kompetencer hos kursisterne, og at ikke alle kursister har samme kompetenceprofil. 19

Hf Matematik C: Pointtildeling og resultat af enkeltopgaver Ved forcensuren angav hver censor pointfordelingen for de fem første kursister på hvert hold både i de enkelte opgaver og det samlede pointtal. Ved denne prøve er der indberettet pointtal for 2796 kursister. Her ses pointfordelingen for kursisterne ved hf matematik C (For en uddybning af farvekoderne se indledningen til stx A beskrivelsen): HF 2013 Matematik C Pointtal opnået i enkeltopgaver Procent af elever 0% 25% 50% 75% 100% Opgavenummer 1a 2a 2b 2c 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 7c 0 point 1-3 point 4-6 point 7-9 point 10 point Dette opgavesæt viser ikke tydelig progression i sværhedsgraden gennem hele sættet, men som for hfb ses en tydelig progression inden for de enkelte opgaver. Der er 10 af de15 delspørgsmål, som over 25% af kursisterne ikke kan besvare, og i 13 af de 15 delspørgsmål opnår mere end 25% af kursisterne et meget lavt pointtal. Samtidigt ses, at alle delspørgsmål besvares fuldt korrekt af over 15% af kursisterne. 20

Kønsforskelle i eksamensresultaterne i de skriftlige prøver Ligesom de tidligere år har vi i år opgjort eksamensresultaterne for hvert af de to køn, så eventuelle kønsforskelle kan afdækkes. Censorerne er som nævnt blevet bedt om at registrere eksaminandens køn ud fra navnet i det omfang, det var muligt. På denne måde kan vi se resultaterne for hvert køn for sig. Resultaterne fremgår af disse oversigter: Stx 2013 Matematik A1 Karakterfordeling for mænd og kvinder 35 30 25 20 15 10 5 0 Mænd 271 personer Kvinder 232 personer -3 0 2 4 7 10 12 Stx 2013 Matematik A1 Karaktergennemsnit Dumpeprocent Mænd: 5,63 16,3% Kvinder: 5,89 13,8% 21

Stx 2013 Matematik A2 Karakterfordeling for mænd og kvinder 35 30 25 20 15 10 5 0 Mænd 892 personer Kvinder 1149 personer -3 0 2 4 7 10 12 Stx 2013 Matematik A2 Karaktergennemsnit Dumpeprocent Mænd: 6,78 9,6% Kvinder: 6,65 10,6% I begge prøver på matematik A er der ikke stor forskel i de to køns karaktergennemsnit og karakterfordeling. Dumpeprocenterne for de to køn er heller ikke væsentlig forskellige. På matematik B niveau på stx er der markant forskel på drengenes og pigernes præstationer. Gennemsnitskarakteren for drenge er næsten 1 karakterpoint lavere end for pigerne. 22

Stx 2013 Matematik B1 Karakterfordeling for mænd og kvinder 35 30 25 20 15 10 5 0 Mænd 82 personer Kvinder 171 personer -3 0 2 4 7 10 12 Stx 2013 Matematik B1 Karaktergennemsnit Dumpeprocent Mænd: 5,08 24,4% Kvinder: 5,68 23,4% Stx Matematik B2 Karakterfordeling for mænd og kvinder 35 30 25 20 15 10 5 Mænd 802 personer Kvinder 1378 personer 0-3 0 2 4 7 10 12 Stx 2013 Matematik B2 Karaktergennemsnit Dumpeprocent Mænd: 4,82 30,7% Kvinder: 5,80 20,7% 23

Samtidigt viser fordelingerne, at drengene generelt klarer sig dårligere end pigerne særligt er drengenes dumpeprocenter markant større end pigernes med næsten 10 procentpoint i prøven B2, hvor langt de fleste elever deltog. Tendensen har været den samme siden 2008, hvor man første gang undersøgte kønsforskelle på resultaterne ved stx matematik B eksamen. På både hf matematik B og C niveau er der ikke nævneværdig forskel på resultaterne for de to køn. Karaktergennemsnittet er næsten ens på begge niveauer. Der er forskelle på de to køns karakterfordelinger, men der er ikke som på stx en entydig tendens i disse forskelle. HF 2013 Matematik B Karakterfordeling for mænd og kvinder 35 30 25 20 15 10 5 0 Mænd 616 personer Kvinder 682 personer -3 0 2 4 7 10 12 HF 2013 Matematik B Karaktergennemsnit Dumpeprocent Mænd: 5,67 23,1% Kvinder: 5,57 19,6% 24

HF 2013 Matematik C Karakterfordeling for mænd og kvinder 35 30 25 20 15 10 5 0 Mænd 1157 personer Kvinder 1453 personer -3 0 2 4 7 10 12 HF 2013 Matematik C Karaktergennemsnit Dumpeprocent Mænd: 5,57 22,6% Kvinder: 5,21 27,6% Der er således generelt ikke store forskelle i de to køns præstationer ved de skriftlige prøver med undtagelse af matematik B på stx. 25

Resultater efter brug af computer eller håndholdt CAS værktøj Ved forcensuren har censorerne som nævnt også anført, om eksaminandernes besvarelser er udarbejdet og indskrevet på computer ved brug af et CAS program, eller om de er udfærdiget i hånden med brug af CAS lommeregner. På dette grundlag har vi opgjort andelen af elever i de to grupper ved alle prøverne, og vi har undersøgt, hvordan de to elevgrupper har klaret prøven. For stx A niveau er fordelingen af elever, der bruger CAS lommeregner og elever, der har brugt CAS på pc, vist i dette lagkagediagram: Stx 2013 Matematik A Elever med lommeregner (LR) eller PC LR 22% PC 78% Karakterfordeling for de to elevgrupper på matematik A var: Stx 2013 Matematik A: Karakterfordeling efter anvendt CAS-værktøj Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 LR (511 elever) PC (1844 elever) -3 00 02 4 7 10 12 Karakter Stx 2013 Matematik A: Karaktergennemsnit Lommeregner brugt: 5,42 PC brugt: 6,72 26

For stx B niveau er tallene: Stx 2013 Matematik B: Elever med lommeregner (LR) eller PC LR 17% PC 83% Karakterfordelingen er: Stx 2013 Matematik B: Karakterfordeling efter anvendt CAS-værktøj Procent 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 LR (1740 elever) PC (345 elever) -3 00 02 4 7 10 12 Karakter Stx 2013 Matematik B: Karaktergennemsnit Lommeregner brugt: 4,54 PC brugt: 5,68 Det ses, at langt den overvejende del af eleverne nu benytter computer ved de skriftlige prøver på stx både på A og på B niveau. På begge niveauer ses en overvægt i gruppen, der bruger computer, i karakterer over middel og en overvægt af elever, der bruger lommeregner, i karakterer under middel. Samtidigt er gennemsnitskarakteren for elever, der bruger computer, over et karakterpoint bedre end elever, der bruger lommeregner. 27

For kursister, der gik til prøve i matematik B niveau på hf, er tallene: Hf 2013 Matematik B Elever med lommeregner (LR) eller PC PC 56% LR 44% Karakterfordeling her er: Hf 2013 Matematik B: Karakterfordeling efter anvendt CAS-værktøj Procent 35 30 25 20 15 10 5 0 LR (390 kursister) PC (497 kursister) -3 00 02 4 7 10 12 Karakter HF 2013 Matematik B: Karaktergennemsnit Lommeregner brugt: 5,37 PC brugt: 6,11 28

På hf C niveau er opgørelsen: Hf 2013 Matematik C Elever med lommeregner (LR) eller PC PC 21% LR 79% Karakterfordelingen her er: Hf 2013 Matematik C: Karakterfordeling efter anvendt CAS-værktøj Procent 35 30 25 20 15 10 5 0 LR (1699 Kursister) PC (442 kursister) -3 0 2 4 7 10 12 Karakter HF 2013 Matematik C: Karaktergennemsnit Lommeregner brugt: 5,16 PC brugt: 5,64 På hf matematik B er den andel af kursister, der benytter computer, langt mindre end på stx. Forskellen i de to gruppers resultater ved prøven med hjælpemidler er også mindre udtalt end i stx, men dog til stede. På hf C niveau er der ikke krav om, at eleverne skal anvende et 29

CAS værktøj, men alligevel er der en del kursister (21%), der også her bruger computeren som arbejdsredskab (med eller uden CAS). Også på dette niveau klarer elever med computer sig bedre end elever uden computer. Man kunne formode, at computerbrug alene er en hjælp i prøven, hvor eleverne faktisk anvender computer. Her kan eleverne formodentlig hurtigere indskrive deres besvarelse sammen med deres beregninger, og de kan eventuelt finde ældre besvarelser af lignende opgaver på deres computer, og bruge dem som skabeloner i deres besvarelse. For at undersøge dette nærmere, har vi undersøgt elevernes præstationer ved prøven uden hjælpemidler fordelt på, om de har brugt computer eller lommeregner ved delprøve 2. Ved delprøven uden hjælpemidler er alle elever i prøvesituationen ligestillede. Resultaterne ses i disse diagrammer: Stx 2013 Matematik A - pointtal opnået i prøven uden hjælpemidler Gennemsnit med PC: 39,5 point Gennemsnit med lommeregner: 36,7 point Med PC (1844 elever) Med Lommeregner (511 elever) 35.0 30.0 25.0 Procent 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0-10 point 11-20 point 21-30 point 31-40 point 41-50 point 51-60 point Stx 2013 Matematik B - pointtal opnået i prøven uden hjælpemidler Gennemsnit med PC: 35,1 point Gennemsnit med lommeregner: 32,8 point Med PC (1740 elever) Med lommeregner (345 elever) 35.0 30.0 25.0 Procent 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0-10 point 11-20 point 21-30 point 31-40 point 41-50 point 51-60 point 30

På stx viser det sig, at elever, der arbejder med computer ved delprøve 2, også klarer delprøve 1 bedre, end elever, der arbejder med lommeregner og besvarer deres opgaver håndskrevne. Deres præstationer er her ca. 7% bedre. HF 2013 Matematik B - pointtal opnået i prøven uden hjælpemidler Gennemsnit med PC: 29,4 point Gennemsnit med lommeregner: 28,4 point Med PC (497 kursister) Med lommeregner (390 kursister) 35.0 30.0 25.0 Procent 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0-10 point 11-20 point 21-30 point 31-40 point 41-50 point 51-60 point På hf B niveau er der en mindre forskel, og her er det igen kursister, der har arbejdet med computer i delprøve 2, der klarer sig bedst i delprøve 1, hvor de ikke har adgang til computer. På hf C niveau er der ikke en prøve uden hjælpemidler, hvorfor vi ikke kan gennemføre denne undersøgelse her. Overordnet set klarer elever, der bruger computerbaseret CAS værktøj, sig altså en del bedre ved prøven med hjælpemidler end de elever, der benytter et håndholdt CAS værktøj. Samme tendens optræder også på hf C, hvor CAS værktøj ikke er et krav. 31

Taksonomiske analyser I denne del af evalueringsrapporten analyseres opgavesættene for matematik B niveau ud fra en taksonomisk synsvinkel. Elevernes kompetencer er på forskellige taksonomiske niveauer, og dette bør afspejle sig i den karakter, de opnår ved eksamen. Derfor bør der i de skriftlige prøver være forskellige opgavetyper, der kan afdække elevernes forskellige taksonomiske niveauer. Vi har valgt at benytte SOLO taksonomien, hvor SOLO står for Structure of the Observed Learning Outcome. SOLO taksonomien er udviklet af Biggs og Collins og blev fremlagt i 1982. En taksonomisk vurdering af læringsudbyttet afspejler i sagens natur den teori om læring og indsigt, som taksonomien bygger på. Vi indleder derfor med en kort redegørelse. I sit udgangspunkt er SOLO taksonomien et redskab til præcisering af det tilstræbte læringsudbytte (intended learning outcome) og deraf afledt organisering og formulering af undervisningens tilrettelæggelse og krav (constructive alignment). SOLO taksonomien er hierarkisk opbygget. Med en konstruktivistisk sprogbrug betyder dette, at de kognitive skemaer fra højere taksonominiveauer bygger på skemaer fra lavere niveauer. Den SOLO taksonomiske models læringssyn er handlingsorienteret. Indsigt udtrykkes gennem de operationer og aktiviteter, som læringen har givet mulighed for. Ved constructive alignment forstås derfor tilrettelæggelse af undervisning med de rette læringsfremmende handlingsmuligheder. I dette perspektiv bliver en SOLO taksonomisk analyse af eksamenssættene til en udredelse af hvilke handlingsmuligheder for besvarelse eleven tilbydes (og vurderingen vil afgøre, om disse modsvarer det tilstræbte læringsudbytte). Ideelt vil en sådan udredning fokusere på to yderpunkter dels vedrørende en fastlæggelse af det laveste taksonomiske niveau, som kræves for at en besvarelse honoreres, dels hvor højt et niveau, der rimeligvis kan honoreres. Det første har relevans for certificering og er altså rettet mod, at elever, som i eksemplarisk forstand bør bestå, også får de faglige handlemuligheder, der viser, at de er gode nok. Udredningen af det andet yderpunkt forstået i samme handlingsperspektiv må være lidt anderledes. I princippet er der jo ingen øvre grænse for, hvilke handlinger en given elev kan udføre med dyb forståelse, abstraktion osv. i en given kontekst. Kernepunktet er, i hvilken grad det kan honoreres ud fra en eksamensbesvarelse. Et lidt karikeret eksempel kunne være: En nærmere redegørelse for differentiationsbegrebets betydning i forbindelse med en traditionel vækstmodelopgave kan ikke honoreres til skriftlig eksamen (hvorimod den sagtens kan til mundtlig eksamen). De resultater, som en given problemstilling adspørger, kan således opnås på forskellige taksonomiske niveauer afhængigt af den konkrete udformning af opgaven. Vi har i vores analyse forsøgt at reducere opgaverne til specifikke grundlæggende handlinger eller operationer. Disse vil i almindelighed kun give anledning til monostrukturel tilgang, dersom de udføres én for én. Det er altså i kombinationen af disse operationer, at en besvarelse kan hæves til højere niveauer. Derfor bestemmes en given opgaves taksonomiske indplacering overvejende af, hvilke kombinationer og sammenfatninger af delhandlinger opgaveformuleringen overlader til eleven. Nærmere om brugen af SOLO taksonomi I overensstemmelse med handlingsperspektivet fastlægges de enkelte niveauer ved tilknyttede adfærdsverber, som skal fortolkes i en fagspecifik sammenhæng. 32

De SOLO taksonomiske niveauer er blevet illustreret på følgende måde: Kilde: Bodil Bruun, oversættelse fra Biggs og Collins 1982 Nedenfor følger en nærmer angivelse af adfærdsverber, der kan knyttes til niveauerne i forbindelse med eksamensadfærd. Men først nogle overordnede betragtninger om yderniveauerne. Det præstrukturelle niveau er karakteriseret ved, at eleven kun kan udføre rudimentære operationer og argumenter udelukkende baseret på almindelig (prægymnasial) viden om størrelser og relationer, dvs. uden at demonstrere indsigt i opgavens sigte på gymnasieniveau. Der kan således godt være tale om en vis forståelse, men ikke i en grad hvor det kan honoreres i gymnasiet. Det er en vigtig pointe, at den fagspecifikke fortolkning af adfærdsverberne også indbefatter et fagligt trin. Eksempelvis kan opgaven: Gør rede for, hvilket af tallene 111/112 og 112/113 er størst, besvares både på prægymnasialt niveau og på gymnasialt niveau (faktisk kan det på begge uddannelsestrin besvares på alle taksonomiske niveauer). Det abstrakte niveau er bl.a. karakteriseret ved adfærd, som går ud over, hvad der direkte adspørges. Det er evalueringsgruppens synspunkt, at denne type adfærd kan honoreres på baggrund af opgaver, som kræver, at man svarer med resultater, der er eksplicit adspurgte, men selvfølgelig også på baggrund af opgaver, der eksplicit beder om analyse og refleksion (jf. adfærdsverber fra abstrakt niveau). Vi pointerer, at en opgaves krav om at analysere og reflektere ikke i sig selv placerer opgaven på højeste taksonominiveau. SOLO taksonomiske analyser af opgaverne på B niveau Vores SOLO taksonomiske analyse af opgavesættene ved de skriftlige prøver er foregået på denne måde: For hvert spørgsmål vurderes det SOLO taksonomiske trin, en elev skal være på for at kunne besvare spørgsmålet med næsten fuldt pointtal. For at simplificere fremstillingen og for at kunne eksemplificere er følgende beskrivelse af de SOLO taksonomiske niveau er gældende for opgaver på B niveau. 33

SOLO taksonomiske niveauer 1. Præ strukturelt niveau Kan enkelte ord og begreber, men kan ikke bruge dem. Blander ting sammen. Tilfældige udregninger og tilfældigt ordvalg. 2. Mono strukturelt niveau Kan udføre enkle procedurer som fx Løse en førstegradsligning uden brøker. Anvende nulreglen på produkter, hvor hver parentes er af formen (x r). Anvende formler på udtryk/figurer, hvor betegnelser er magen til formelsamlingens. Bestemme hældning og skæring med y aksen for en lineær funktion både som graf og som forskrift. Udføre regression i CAS ud fra data i tabel (data skal ikke bearbejdes, fx angivet som antal år efter ). Bestemme differentialkvotient på CAS. Bestemme tangentligning på CAS. Bestemme minimum og maksimum på CAS for funktioner uden begrænsning i Dm uden opmærksomhed på dokumentation. 3. Multi strukturelt niveau Kan udføre rutinemæssige færdigheder som fx Anvende formler på udtryk/figurer, hvor betegnelser er forskellige fra formelsamlingens. Anvende cosinus og sinusrelationer på trekanter med vilkårlige betegnelser. Bestemme regneforskriften for en funktion ud fra to punkter på grafen hvor det ikke er muligt at anvende regression (evt. fordi det er i en opgave uden hjælpemidler). Udføre regression med CAS ud fra data i tabel, hvor data skal forarbejdes eller hvor regressionstypen er skjult i tekst. 4. Relationelt niveau Kan vælge og kombinere rutinemæssige operationer og/eller anvende forskellige repræsentationsformer samtidigt (sproglig beskrivelse/tabel/graf/formel) som fx Grafkending invers repræsentation Detaljeret redegørelse for monotoniforhold 5. Abstrakt niveau Kan vurdere en model kan ræsonnere om en matematisk problemstilling som fx Bestemme maksimum eller minimum for en geometrisk figurs overfladeareal eller rumfang. Geometrisk situation UDEN figur. 34

Opgave som: Forklar, hvorfor er en given funktion er en velegnet model til beskrivelse af Opgave som Modificer en given funktion, så den opfylder, at Funktionsundersøgelser af alle typer Opgaver i at konstruer en opgave, så sinusfælden er relevant eller lignende. Opgave som: Hvorfor eksisterer der ingen cosinusfælde? Det er åbenbart, at forskellige løsningsmetoder kan give anledning til skift i SOLOtaksonomisk niveau. Vi har derfor valgt at klassificere en opgave til det laveste taksonomiske niveau, inden for hvilket besvarelsen stadig er fuldt pointgivende. Mest udtalt kan kompleksiteten af en opgave afhænge af, om den løses vha. CAS værktøj eller uden. De typiske eksempler er løsning af ligninger (fx andengradsligninger) og bestemmelse af tangentens ligning. Et andet eksempel med reference ovenfor er bestemmelse af værdier af afhængig og uafhængig variabel. Med en solve applikation er der som oftest ingen taksonomisk forskel på disse to handlinger. Af denne grund er det afgørende at være opmærksom på, hvilken faglig viden og kunnen indtastning på CAS værktøj og efterfølgende anvendelse af CAS applikation kræver, så formuleringen af opgaver også eksplicit giver mulighed for taksonomisk variation i besvarelsen. Vi anfører endvidere, at SOLO taksonomisk niveau ikke er det samme som traditionel sværhedsgrad, hvor svær betyder det, som kun få kan klare. Dette illustreres måske bedst ved, at opgaverne i afsnittet uden hjælpemidler som oftest kun har fordret adfærd på uni og multistrukturelt niveau, men klart har været mere varierede mht. det traditionelle sværhedsbegreb. Vi er åbne for, at vores vurderinger af de enkelte opgaver meget vel kan diskuteres og omvurderes. Men vi mener, at en SOLO taksonomisk analyse af opgaverne i de skriftlige opgavesæt vil være et vigtigt redskab til at udarbejde opgavesæt, der giver bedre mulighed for, at elever på forskellige niveauer kan demonstrere deres færdigheder i matematik. Måske skal kriterierne for de forskellige opgavetypers indplacering i det taksonomiske hierarki forfines og afstemmes med B niveau elevernes faktiske færdigheder, og muligvis er der brug for lidt flere trin på den taksonomiske trappe for at indfange hele spektret af elever fra de svageste, der lige kan bestå, til de allerdygtigste, der skal opnå topkarakter. 35

Eksamenssættene B niveau Stx 2013 Matematik B1 Opgave Beskrivelse Niveau 1) Bestem forskrift for lineær funktion ud fra tabel. 2 2) Opstille og løse ligning ud fra arealformlen i en trekant. 3 3) Bestemme toppunkt for given andengradspolynomium. 2 4) Vurdere størrelsen af fordoblingskonstanter ud fra tre grafer. 3 5) Differentiere kendt regneforskrift, et polynomium. 2 6) Areal under graf for positiv funktion. Kunne finde stamfunktion og 3 bestemt integral. 7a) Opgave a) lineær regression ud fra tabel med årstal, der skal omsættes 3 til år efter 2007 niveau 3 Opgave b) niveau 2 Opgave c) niveau 4 7b) Finde antal i 2013, en indsæt x opgave 2 7c) Løs en ligning, en solve opgave. (Men det vanskelige er, at konkludere 4 fornuftigt) 8a) Graftegningsopgave, hvor grafvinduet skal tilpasses. 3 8b) Løs ligning f(x) = 6 og ret ind efter Dm(f) 3 9a) Opstille en eksponentiel model ud fra startværdi og procentstigning. 2 9b) Løse ligning hvor to eksponentielle modeller giver samme resultat. x 3 variabel kan være et problem 10a) Enkel anvendelse af cosinusrelationen dog med andre betegnelser 3 end formelsamlingen. 10b) Trekantsberegning med lidt kompliceret vinkelbestemmelse 4 11a) Udregne forventede værdier i en chi 2 test. Standard CAS procedure. 2 11b) Udføre en chi 2 test. Standard CAS procedure 2 12a) Bestemmelse af monotoniforhold for tredjegradspolynomium. 3 12b) Bestemme en tangentligning. Standard CAS procedure. 2 12c) Bestemme røringspunkt for tangent parallel med given tangent. 4 Dermed vurderes 8 opgaver at være på niveau 2, 9 opgaver at være på niveau 3 og 3 opgaver at være på niveau 4. 36

Stx 2013 Matematik B2 Opgave Beskrivelse Niveau 1) Udregne f(2) ud fra givet regneforskrift en simpel niveau 2 opgave. 3 Dog indeholder opgaven en tabel, der kan forvirre. 2) Isolere y i et udtryk med x og y. Ikke standardopgave, idet det ikke er 3 x, der skal isoleres. 3) Benytte Pythagoras til beregning af en katete, men den retvinklede 3 trekant er skjult i en ligebenet. 4) Løsning af en andengradsligning, men med manglende førstegradsled. 3 5) Bestemmelse af stamfunktion og finde den i graf. 3 6) Bestemmelse af ligning for tangent uden hjælpemidler. 3 7a) Lineær regression ud fra ukompliceret tabel. 2 7b) Løse ligning ud fra kendt y værdi. 2 8a) Skal bestemme en vinkel ved hjælp af viden om vinkler ved parallelle 4 linjer og enkel benyttelse af sinusrelationerne. 8b) Arealbestemmelse ud fra enkel formel, men afhænger af et resultat 4 fra opgave a). Egentlig en opgave på niveau 2, men er nu kædet med en niveau 4 opgave. 9a) Kunne uddrage oplysninger fra en tekst og eftervise en gennemsnitlig 3 procentvækst. 9b) Opstille en eksponentiel vækstmodel 2 9c) Bestemmelse af fordoblingskonstant 2 10a) Graftegning hvor vinduet skal tilpasses. 3 10b) Ligningsløsning ud fra en sproglig beskrivelse. 3 11a) Forklare stikprøve og population og opstille en nulhypotese. 4 11b) Chi 2 test, hvor de forventede værdier skal udregnes. 3 12a) Bestemme monotoniforhold. 3 12b) Tegne grafer og bestemme skæringspunkt. 2 12c) Bestemme areal mellem to grafer. 3 Alt i alt vurderes 5 opgaver at være på niveau 2, 12 opgaver at være på niveau 3 og 3 opgaver at være på niveau 4. 37

Hf 2013 Matematik B Opgave Beskrivelse Niveau 1) Lineær regneforskrift ud fra to punkters koordinater. 2 2) Skitsere graf ud fra regneforskrift på to ukendte koefficienter. 4 3) Bestemme to differentialkvotienter af standardtype. 2 4) Opstille eksponentiel model ud fra renteformlen med alle 2 oplysninger givet. 5) Løse grafisk ligning og bestemme f grafisk. 3 6) Bestemmelse af samtlige stamfunktioner til enkelt polynomium. 3 7a) Lineær regression, hvor x værdier skal bearbejdes. 3 7b) Fortolkning af tallet a i hverdagssprog 3 7c) Løse ligningen y = 6,8 2 8a) Enkel opgave med sinusrelationer. 2 8b) Arealbestemmelse. 2 8c) Bruge to trekanter til at besvare opgaven. 4 9a) Indsætte i formel og udregne. 2 9b) Benytte standard formel for procentstigning i potensfunktioner, 3 skal dog kunne oversætte dobbelt så høj til vækst på 100% 10a) Monotoniforhold. 3 10b) Bestemmelse af tangentligning. 2 10c) Løse ligning f (x) = 1,5 og forklare betydningen. 3 11a) Indsætte i formel. 2 11b) Forstå tekst og indsætte i formel (bestemt integral) 3 11c) Opstille og løse ligning med bestemt integral, hvor den ene grænse er den ubekendte. 4 Samlet set vurderes 9 opgaver at være på niveau 2, 8 opgaver at være på niveau 3 og 3 opgaver at være på niveau 4. 38