Mundtlig prøve i Matematik Mandag d. 9. september 2013 CFU Sjælland Mikael Scheby
Dagens indhold Velkomst, præsentation, formål med dagen Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler til inspiration i den daglige undervisning Prøveoplæg, eksempler til diskussion og bearbejdning Slide 2
Hvorfor en mundtlig prøve? Der er trinmål, vi ikke kan prøve eleverne i ved en skriftlig prøve, eller kun delvist kan prøve i. 1. Formålet med folkeskolens afsluttende prøver er at dokumentere, i hvilken grad eleven opfylder de mål og krav, der er fastsat for det enkelte fag. Det er især målene i 1. CKF: Matematiske kompetencer, og det 4. CKF: Matematiske arbejdsmåder, der kun kan prøves delvist i skriftlige prøver. Slide 3
10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof. Det gode prøveoplæg skal: Have en eller flere problemstillinger både rene og praktiske. Åbne problemstillinger med matematisk problemløsning. Give mulighed for matematiske undersøgelser. Kunne løses på flere niveauer. Åbne for at vise de otte kompetencer. Have bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. Have det lokale islæt! Slide 4
10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. 10.7. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. Slide 5
Fra læseplanen Eleverne arbejder både mundtligt og skriftligt, på egen hånd og i samarbejde med andre på at udbygge kompetencer, viden og kunnen. Aktiviteterne må give anledning til at anvende matematik og til at indgå i dialog om og med matematik. På den måde sigtes mod elevernes udvikling af problembehandlings-, repræsentations- og kommunikationskompetence. Det er især igennem dialogen i forbindelse med ovennævnte type problemstillinger, at læreren kan udfordre elever, der arbejder med det samme faglige indhold, på forskellige måder. I den forbindelse kan kompetencebeskrivelserne med fordel betragtes som forskellige tilgange til og perspektiver på det samme indhold. Ud fra hvilke kriterier giver du mundtlig karakter? Slide 6
Slide 7
Kompetencer Fra KOM rapporten. indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer Slide 8
Hvad stod der i den foregående slide? Kompetencer er det, der er tilbage, når du har glemt alt, hvad du har lært. Slide 9
Slide 10
Matematiske kompetencer At besidde matematisk kompetence vil sige - at have viden om - at forstå - at anvende - at kunne tage stilling til matematik og matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Mikael Scheby og Mari-Ann Skovlund 11
Matematikfaget Både proces og produkt Læring både tilegnelse af viden og kunnen og et aspekt af deltagelse i fællesskaber, hvor der arbejdes med matematik Undervisning skal skabe gode betingelser for at eleverne kan lære med de forståelser, der er hensigten Slide 12
4 x 10 = 40; 3 x 8 = 25; 7 X 4 = 28; 5 x 5 = 25 Der er 1 ø og 6 bølger. Palmen er 4 høj og der er 6 og der er 6 blade det bli r 40 Jeg ganger 3 gange 8 sammen, og tegner 3 ringe med 8 stjerner i hver, så tæller jeg dem sammen og så er jeg færdig Jeg har lavet 28 firkanter 7 grupper med 4 i hver. Man kan egentlig godt sige at det er 47 flag men så ville det ikke være en gangetegning Mikael Scheby og Mari-Ann Skovlund 13
Problembehandlingskompetence Problembehandlingskompetence at kunne formulere og løse matematiske problemer A: Kan man få en trekant ud af tre vilkårlige sidelængder? B: Nej. Har vi fx sidelængderne 3, 5, og 10 og starter med at placere de to korte sider ved hver deres endepunkt af den lange side, vil de to korte sider ikke kunne nå hinanden. Der dannes derfor ingen trekant. eller.. Hvad er sandsynligheden for, at man kan lave en trekant med en stang spaghetti? Slide 14
Problemløsning Problemløsning lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som Find rumfanget af, Hvor meget koster vil udgøre reelle matematiske problemer for alle elever i en klasse. Der vil i de vejledende prøveoplæg være eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning. Slide 15
Problemløsning - problembehandlingskompetencen Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, afgrænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, rene såvel som anvendte, åbne såvel som lukkede, dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og, om fornødent eller ønskeligt, på forskellige måder. Slide 16
Problembehandlingskompetence Den mest komplekse kompetence - Fordrer brug af de andre kompetencer Man må vide hvilke slags spørgsmål og svar, der er matematiske Man må kunne tolke problemet i forhold til omverdenen Man må kunne ræsonnere Man må kunne veksle mellem forskellige repræsentationer Man må kunne forstå andres formulering af problemstillingen eller selv kunne formulere den Man må kunne formidle løsningen for andre Man må kunne bruge symboler og inddrage relevante hjælpemidler Slide 17
Problemløsning Fra Fælles Mål: erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (slutmål) opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse) Slide 18
Fra prøvevejledningen Kompetencen i prøvesammenhæng Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå ved bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer? Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet? Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse? Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem? Slide 19
Undersøgelseslandskaber Hvad nu hvis.? Kunne det tænkes at.? Slide 20
Et undersøgelseslandskab F = ac - bd Forskydning Hvad nu hvis? Andre figurer G = (a c)(b d)
Formulering 1 Find omkredsen af et rektangel med længde 12m og bredde 18 m Mikael Scheby og Mari-Ann Skovlund 22
Formulering 2 Susan vil bygge en hundegård af form som et rektangel. Hun har 60 m hegn. Hvilke rektangler har hun mulighed for at lave? Hvilken form vil være bedst? Mikael Scheby og Mari-Ann Skovlund 23
Åbenhed i opgaverne? 3*375 Find to tal, der giver 10 tilsammen Hvilke summer af to tocifrede tal kan laves så resultatet giver 99? Slide 24
Problemstilling 1 Talbehandling Find et 10-cifret tal, hvor 2 går op i de to bageste cifre, 3 i de tre bagerste cifre, 4 i de 4 bageste osv. Slide 25
Problemstilling 2 Rumfang Lav et stykke af en tagrende af et stykke A4 papir og find ud af, hvilke to steder det skal bukkes for at give det størst mulige rumfang. Slide 26
Ekstra - Grublere Blandt tallene 9, 13, 22, 1, 8, 19, 5, 15 og 28 er der visse tal, som er summen af to af de andre tal, mens andre ikke er det. Vi får nu lov til at fjerne tal, et ad gangen, forudsat at det tal, vi fjerner, er summen af to af de tilbageværende. Hvor mange tal kan fjernes på denne måde? Mikael Scheby og Mari-Ann Skovlund 27
Modelleringskompetence at kunne analysere og bygge matematiske modeller kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. kunne afmatematisere foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer og -resultater kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv vedrørende andre felter Slide 28
Modelleringskompetence Det vil sige, at modelleringskompetencen handler om at kunne analysere, forstå og bruge matematiske modeller og kunne udvikle modeller af virkeligheden Slide 29
Modelleringskompetence Slide 30
Modelbygning Hvad angår aktiv modelbygning, kan man fx opstille en model til behandling af udfordringer som nedenstående. I alle tilfælde er det nødvendigt at foretage afgrænsninger, gøre antagelser, eller indhente data for at behandlingen kan foretages. En undersøgelse af hvordan grundplanen for et hus kan se ud, hvis dets areal skal være 120 m2. En undersøgelse af hvor dyrt det er at tale i mobiltelefon. Er det muligt, at gennemsnitsalderen i en befolkning er 35 år samtidig med at mindst 40% af befolkningen er 60 eller derover? Slide 31
Ræsonnementskompetence at kunne ræsonnere matematisk at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk bevis er, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis og hvornår ikke. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modeksempel. Det indgår tillige i kompetencen at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter. at kunne udtænke og gennemføre infomelle og formelle ræsonnementer (på basis af intuition), herunder omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser. Slide 32
Ræsonnementskompetence Det vil sige at ræsonnementskompetencen handler om at kunne bedømme matematiske modeller og om at kunne finde på matematiske argumenter. Herunder skal man kunne vurdere, hvad der er den bærende idé i et matematiske argument og vide, at i matematik er selv nok så mange afprøvninger ikke er bevis Slide 33
Følge og bedømme ræsonnementer A: Når man kvadrerer et tal, bliver resultatet altid større. Det gælder jo for alle de uendeligt mange hele tal, og så må det også gælde for alle andre tal. B: Nej, påstanden er for det første forkert, idet fx 1/2 ^2 = ¼ < 1/2 For det andet kan man ikke overføre alle egenskaberne ved mængden af hele tal til egenskaber ved en mere omfattende talmængde, fx de rationale tal. Slide 34
Kommunikationskompetence Kommunikationskompetence handler om at kunne forstå matematisk kommunikation og selv kunne udtrykke sig matematisk Slide 35
Hjælpemiddelkompetence Hjælpemiddelkompetence handler om at have kendskab til, hvilke matematiske hjælpemidler der findes, vide, hvad de kan bruges til og kunne bruge dem. Slide 36
Generelle kompetencer Begreber Begrebet vinkel Færdigheder Matematikmaskine Strategier Har man strategier til at løse matematiske problemer. Veksle mellem forskellige strategier, holde styr på resultater og bygge videre på dem Slide 37
Oversigt mundtlig matematik - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. Slide 38
Eksempler fra KOM - tankegang På hvor mange forskellige måder kan man udtrykke tallet 3 som differens mellem to naturlige tal? Er det sandt, at man blandt rektanglerne med et bestemt areal kan opnå vilkårligt store omkredse? Er det sandt, at man blandt rektanglerne med en bestemt omkreds kan opnå vilkårligt store arealer? Er 0, 99999 det sidste tal før 1? Slide 39
Prøvebekendtgørelsen Slide 40
10.2. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne. Kun individuelt hvis eleven pga.: sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve eller andre forhold. fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve. Undtagelsesvis 4 elever. Antal prøveoplæg: a=e:2:2+3. Prøveoplæggene skal dække det opgivne stof bredt. Slide 41
10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof. Det gode prøveoplæg skal: Have en eller flere problemstillinger både rene og praktiske. Åbne problemstillinger med matematisk problemløsning. Give mulighed for matematiske undersøgelser. Kunne løses på flere niveauer. Åbne for at vise de otte kompetencer. Have bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. Have det lokale islæt! Slide 42
10.4. Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. Internet GeoGebra eller et andet dynamisk geometriprogram Regneark Formelsamling Egne noter Bøger til opslag Slide 43
10.5. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale. En runde varer 120 minutter. Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca. 5-10 minutter. Cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupper. 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition. 2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt censor. Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer. Votering ca. 15-20 minutter. Eleverne får deres karakterer eventuelt med en kort begrundelse. Slide 44
10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. 10.7. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. Slide 45
Kompetencer og matematiklæring http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf http://nyfaglighed.emu.dk/kom/kom-pixi.pdf Slide 46
4 x 10 = 40; 3 x 8 = 25; 7 X 4 = 28; 5 x 5 = 25 Der er 1 ø og 6 bølger. Palmen er 4 høj og der er 6 og der er 6 blade det bli r 40 Jeg ganger 3 gange 8 sammen, og tegner 3 ringe med 8 stjerner i hver, så tæller jeg dem sammen og så er jeg færdig Jeg har lavet 28 firkanter 7 grupper med 4 i hver. Man kan egentlig godt sige at det er 47 flag men så ville det ikke være en gangetegning Mikael Scheby og Mari-Ann Skovlund 47
Mikael Scheby og Mari-Ann Skovlund 48
Og så er der procenterne Mari-Ann Skovlund 49