Indhold Forord 11 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK Introduktion 17 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21 Matematiske modeller og matematisk modellering 22 Matematisk modellering 23 Modelanvendelse 36 Formål med modellering i skolen 40 Opsamling på kapitel 1 44 2 Vækstmodeller 45 Lineær vækst 46 Genkendelse af lineær vækst i skolen 47 Eksponentiel vækst 50 Logistisk vækst 56 Logistisk vækst som model for antal organismer i lukkede miljøer 58 Den kontinuerte model for logistisk vækst 62 Tilpasning af logistisk vækst til datamateriale 64 Opsamling på kapitel 2 69 3 Rentesregning 71 Termin og rentetilskrivning 74 Simpel rentesregning 75 Nominel og effektiv rente 80 Annuiteter opsparing 81 Annuiteter gæld 86 Indhold 5 71190_omega_2k.indd 5 02-06-2008 14:50:10
Formel for gældsannuitet 88 Opsamling på kapitel 3 93 4 At tilpasse kurver til punkter 97 Lineær regression mindste kvadraters metode 98 Bedste rette linje på øjemål og med computerprogrammer 101 Hvor godt passer modellen? 104 Ikke-lineære modeller 106 Symbolkompetence via lineær regression med formler 109 Opsamling på kapitel 4 113 5 Usikkerhedsberegning 115 Teorien for tilnærmet regning 116 Fejl på summer og differenser 118 Fejl på produkter og brøker 120 Tilnærmet regning i skolen 123 Opsamling på kapitel 5 126 6 Modellering som generel strategi til matematikundervisning 127 Emergerende modeller hos RME 129 Relationen mellem matematik og omverden 131 Model-frembringende aktiviteter hos Lesh og hans kolleger 133 Modellering og problemløsning 137 Mål med matematisk modellering i undervisningen 139 Opsamling på kapitel 6 141 DEL II GEOMETRI Introduktion 145 7 Geometriundervisning i grundskolens sidste trin 149 Geometri som kulturel aktivitet 150 At arbejde med form: repræsentationer og begrebsdannelse 154 Fischbein og figurale geometriske begreber 156 Van Hieles niveauer 158 Geometriundervisning i skolen 163 6 Indhold 71190_omega_2k.indd 6 02-06-2008 14:50:10
Logo og Myresnak 163 Dynamiske geometriprogrammer 164 Geometriske ræsonnementer 167 Opsamling på kapitel 7 171 8 Klassisk geometri 173 Klassisk trekantsgeometri, hvorfor? 173 Afstandsbestemmelsens geometri 174 Bevis for Thales sætning 176 Sætningen om ensvinklede trekanter 178 Thales sætning skabt af og anvendt i praksis 180 Andre beviser baseret på Thales sætning 185 Fischbeins overraskende undersøgelse af et bevis 186 Trekantens klassiske linjer 187 Pythagoras sætning 189 Vinkler ved cirklen 197 Opsamling på kapitel 8 202 9 Trigonometri 205 Trigonometriens definitioner 206 Beregninger i den retvinklede trekant 208 Beregninger i en vilkårlig trekant (3 sider) 210 Sinusrelationerne 214 Cosinusrelationerne 218 Trigonometri i skolen? 220 Landmåling og geometri i naturen 223 Opsamling på kapitel 9 227 10 Analytisk geometri 229 Afstande i planen 231 Midtpunkt af et linjestykke 232 Den rette linje 233 Vinkelrette linjer 236 Geometriske steder 238 Parablen som geometrisk sted 241 Skæring mellem geometriske figurer 249 Løsning af den generelle andengradsligning 252 Geometrisk repræsentation af ligningsløsning 253 Indhold 7 71190_omega_2k.indd 7 02-06-2008 14:50:10
Opsamling på kapitel 10 255 11 Parameterfremstillinger 259 Parameterfremstilling for en ret linje 259 Perspektivtegning 261 Kasteparabler 266 Opsamling på kapitel 11 269 12 Modellering i geometriens univers 271 Færdigudviklede modeller for geometriske målinger 271 Descartes drøm 273 Det firedimensionale rum 274 Trigonometriske funktioner som modelleringsredskab 276 Simulering af bølger 277 Modellering ved hjælp af et dynamisk geometriprogram 279 Optimal placering af en fælles brønd 279 Opsamling på kapitel 12 285 DEL III STOKASTIK Introduktion 293 13 Kombinatorik 297 Udvælgelse 307 Ordnet udvælgelse uden tilbagelægning 308 Uordnet udvælgelse uden tilbagelægning 311 Ordnet udvælgelse med tilbagelægning 317 Uordnet udvælgelse med tilbagelægning 318 Opsamling på kapitel 13 322 14 S andsynligheds fordelinger og indledende induktiv statistik 323 Hypergeometrisk fordeling 328 Binomialfordeling 337 Statistiske test anvendt sandsynlighedsregning 342 Acceptmængde, kritisk mængde og fejl af 1. og 2. art 344 Normalfordeling 350 8 Indhold 71190_omega_2k.indd 8 02-06-2008 14:50:10
Kontinuert stokastisk variabel 351 Normalfordelingen 356 Hvor godt passer data? 362 Opsamling på kapitel 14 371 15 At ræsonnere om data 373 Med fokus på datasæt 375 Elevers forståelse af gennemsnit 376 Mokros og Russels undersøgelse 376 Konold og Pollatseks forslag 382 Cobb og hans kollegers arbejde 384 Boxplots som analyseværktøj 387 Sammenhænge mellem variable 390 Cobb og hans kolleger om samvariation 394 Opsamling på kapitel 15 397 DEL IV TAL, TALTEORI OG KODER Introduktion 401 Udviklingen af talteori i skolens læreplaner 402 16 Anvendt talteori 407 Klassiske skoleanvendelser af primfaktoropløsning 408 Bestemmelse af antal divisorer i et tal 408 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 409 Primiske tal 411 Euklids udvidede algoritme 412 Eulers phi-funktion, φ 414 Moduloregning 415 Opsamling på kapitel 16 419 17 Koder og kryptering 421 De dansende mænd 423 Cæsars kode 424 Vigéneres kode 425 Enigma 429 Moderne systemer 430 Indhold 9 71190_omega_2k.indd 9 02-06-2008 14:50:10
Kryptering ved hjælp af offentlig og privat nøgle 430 Hvor sikker er RSA? 435 Opsamling på kapitel 17 437 18 Komplekse tal 439 Om at kunne løse ligninger en historie om talmængderne 440 De komplekse tal et legeme? 446 Komplekse tal på flere måder 448 Opsamling på kapitel 18 454 Referencer 455 10 Indhold 71190_omega_2k.indd 10 02-06-2008 14:50:10