fs10 10.-klasseprøven Matematik Maj 2014 1 På rejse til VM i fodbold 2 VM-fodbolden Brazuca 3 Brasilien og Danmark 4 Fodboldkampe og odds 5 Korde i en cirkel
1 På rejse til VM i fodbold Ane og Bjarne planlægger at rejse til Brasilien for at se to kampe ved VM i fodbold. Herunder kan du se planen for Ane og Bjarnes rejse med fly fra København til São Paulo i Brasilien. Afgang (lokal tid) København Tirsdag den 24. juni kl. 14:35 London Tirsdag den 24. juni kl. 18:40 Madrid Onsdag den 25. juni kl. 00:35 Ankomst (lokal tid) London Tirsdag den 24. juni kl. 15:30 Madrid Tirsdag den 24. juni kl. 22:10 São Paulo Onsdag den 25. juni kl. 07:25 Kilde: Google Maps Kilde: http://www.travelmarket.dk 1.1 Hvor lang tid skal Ane og Bjarne ifølge planen vente i London? Tidsforskellen mellem København og São Paulo er fem timer. Når klokken er 14:00 i København, er den 09:00 i São Paulo. 1.2 Hvor lang tid går der fra afgang i København til ankomst i São Paulo? Inden Ane og Bjarne rejser til Brasilien, køber de billetter til åbningskampen og en gruppekamp. Tabellen til højre viser, hvad en billet til forskellige kampe koster i amerikanske dollar (USD). 1.3 Du skal vise med beregning, at Ane og Bjarnes billetter til de to kampe i alt koster 1340 USD. Ane og Bjarne betaler 7377,91 danske kroner (kr.) for billetterne. 1.4 Hvilken kurs for USD er brugt i Ane og Bjarnes betaling? Kamp Åbningskampen Gruppekampe Ottendedelsfinaler Kvartfinaler Semifinaler Bronzekampen Finalen Pris 495 USD 175 USD 220 USD 330 USD 660 USD 330 USD 990 USD
Ane og Bjarne har tilsammen 50 000 kr. til turen. De skal bruge pengene til fodboldbilletter, flybilletter, hotelovernatninger, mad og lommepenge. Prisen for flybilletter er 8117 kr. pr. person. Hotelovernatning for dem begge koster 1059 kr. pr. nat, og Ane og Bjarne forventer at bruge ca. 1000 kr. tilsammen om dagen til lommepenge og mad. 1.5 Du skal udarbejde et budget for turen og undersøge, hvor mange dage Ane og Bjarne har råd til at opholde sig i Brasilien. Brug evt. regnearksfilen BUDGET_MAJ_2014. Budget fodboldtur Fodboldbilletter Flybilletter Hotelovernatninger Mad og lommepenge I alt Antal Pris pr. stk. (kr.) 2 8117 1059 1000 I alt (kr.) 7377,91 2 VM-fodbolden Brazuca Brazuca er navnet på den fodbold, som fodboldspillerne skal bruge ved VM i Brasilien. I skemaet herunder kan du se mål på fodbolde i forskellige størrelser. Størrelse Omkreds 3 57-59 cm 4 63,5-66 cm 5 69,5 cm Kilde: Adidas Kilde: FIFA Ane ved, at Brazuca fodbolden har størrelse 5. 2.1 Du skal vise med beregning, at Brazucafodbolden har en diameter på ca. 22 cm, når omkredsen er 69,5 cm. Ane påstår, at fodbolde i størrelse 5 har et rumfang på fem liter. 2.2 Har Ane ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.
3 Brasilien og Danmark Danmarks befolkningstal er ca. 5,5 millioner, og Brasiliens befolkningstal er ca. 201 millioner. Brasilien Danmark 3.1 Hvor mange gange er Brasiliens befolkningstal større end Danmarks befolkningstal? Kilde: Google Maps Danmarks areal er ca. 43 000 km 2, og Brasiliens areal er ca. 8 516 000 km 2. I Danmark bor der ca. 128 mennesker pr. km 2. 3.2 Du skal vise med beregning, at antallet af mennesker pr. km 2 i Brasilien er mindre end antallet af mennesker pr. km 2 i Danmark. I Københavns Kommune bor der ca. 570 000 mennesker. København er den eneste kommune i Danmark, hvor der bor mere end 500 000 mennesker. 3.3 Hvor stor en procentdel af Danmarks befolkning bor i Københavns Kommune? I Brasilien bor ca. 43 % af befolkningen i byer med over 500 000 mennesker. 3.4 Hvor mange mennesker i Brasilien bor i byer med over 500 000 mennesker? Du kan bruge filen ALDERSFORDELING_MAJ_2014 til opgave 3.5. Tabellen til højre viser befolkningens aldersfordeling i Brasilien og i Danmark. 3.5 Tegn et eller to diagrammer, der viser aldersfordelingen i Brasilien og i Danmark, og sammenlign aldersfordelingen i de to lande. Aldersintervaller Brasilien Danmark ] 0; 10] 15 % 11 % ]10; 20] 18 % 12 % ]20; 30] 18 % 12 % ]30; 40] 16 % 12 % ]40; 50] 13 % 15 % ]50; 60] 10 % 14 % ]60; 70] 6 % 12 % ]70;110] 4 % 12 % Kilde: Demographics of Brazil og Danmarks Statistik Medianen for den danske befolknings alder er ca. 42 år. 3.6 Hvor stor er medianen cirka for den brasilianske befolknings alder, og hvad viser medianerne om forskellen på aldersfordelingen i Danmark og Brasilien?
Diagrammet herunder viser udviklingen i befolkningstallet i Brasilien og Danmark fra 1961 til 2010. Befolkningstal i Brasilien 200 000 000 180 000 000 160 000 000 140 000 000 Brasilien Befolkningstal i Danmark 20 000 000 18 000 000 16 000 000 14 000 000 120 000 000 100 000 000 12 000 000 10 000 000 Brasilien Danmark 80 000 000 60 000 000 40 000 000 20 000 000 Danmark 8 000 000 6 000 000 4 000 000 2 000 000 0 1960 1970 1980 1990 2000 2010 0 årstal Kilde: Demographics of Brazil og Danmarks Statistik Brasiliens befolkningstal var i 1961 ca. 75 millioner. 3.7 I hvilket årstal var befolkningstallet i Brasilien dobbelt så stort som i 1961? 3.8 Du skal vise, at Brasiliens befolkningstal i gennemsnit er vokset med ca. 2 % om året fra 1961 til 2010. Brug evt. et it-værktøj. 3.9 Undersøg, hvornår Danmarks befolkningstal ser ud til at blive dobbelt så stort som i 1961.
4 Kampplan Ved fodbold-vm i Brasilien deltager 32 lande, som er inddelt i otte grupper med lige mange lande i hver gruppe. 4.1 Du skal vise med en beregning, at der er fire lande i hver gruppe. De fire lande i hver gruppe skal spille en kamp mod hvert af de andre lande i deres gruppe. Kilde: FIFA 4.2 Hvor mange kampe skal der i alt spilles i de otte grupper. Bjarne spiller 300 kr. på, at Brasilien bliver verdensmester i fodbold. Odds på, at Brasilien bliver verdensmester, er 4,33. Boksen til højre forklarer, hvordan odds har betydning for, hvor stor en gevinst en spiller kan vinde. 4.3 Hvor mange penge får Bjarne i gevinst, hvis Brasilien bliver verdensmester? Indsats, odds og gevinst Indsatsen er det beløb, en spiller satser på et bestemt resultat af fx en fodboldkamp. Odds er det tal, som indsatsen bliver ganget med, når man beregner gevinsten. Gevinsten, er det beløb, som bliver udbetalt til dem, der har spillet på det rigtige resultat. Et eksempel: En spiller satser 50 kr. på, at en kamp ender uafgjort. Odds på, at kampen ender uafgjort, er 2,12. Gevinsten, der bliver udbetalt, hvis kampen ender uafgjort, er 50 kr. 2,12 = 106 kr. Formlen i den gule boks til højre viser, hvordan Danske Spil beregner odds. 4.4 Hvor stor er P(A), når odds på, at Brasilien bliver verdensmester, er beregnet til 4,33? odds = 1 P(A) 0,85 P(A) er Danske Spils vurdering af sandsynligheden for hændelsen A. Ane og Bjarne skal se kampen mellem England og Italien. Der er følgende odds på kampen: 2,80 på, at England vinder. 3,25 på, at kampen ender uafgjort. 2,50 på, at Italien vinder. Bjarne påstår, at hvis de spiller 100 kr. på hvert af de tre mulige resultater, vil de være sikre på at tjene penge. 4.5 Har Bjarne ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.
5 Korde i en cirkel Skitsen viser en cirkel og en trekant, der er tegnet ved hjælp af to radier og en korde i cirklen. 5.1 Tegn cirklen og trekanten med de mål, der står på skitsen, og mål centervinklen. Hvis du bruger et it-værktøj til tegningen, behøver enheden ikke være i centimeter. korde 6 cm 4 cm radius 4 cm radius centrum centervinkel Du kan bruge et it-værktøj og/eller formlen i den gule boks til at finde længden af en korde i en cirkel. 5.2 Hvor stor er længden af korden i en cirkel, hvor radius er 4 cm, og centervinklen er 80? 5.3 Undersøg, om formlen gælder, hvis centervinklen, v, er 180. 5.4 Hvor stor skal centervinklen, v, være for, at korden og radius i cirklen er lige store? Du skal begrunde dit svar. Skitse k = 2 r sin 1 2 v k er kordens længde r er længden af radius v er centervinklens størrelse For at bevise formlen i den gule boks bruger Ane tegningen til højre. Ane ved, at linjestykket h både er vinkelhalveringslinje og højde i trekanten. Ane påstår, at vinkelhalveringslinjen, h, halverer korden, k. k h r r v 1_ 2 1_ v 2 5.5 Forklar, hvorfor Ane har ret i sin påstand. Ane skriver regneudtrykket under cirklen. 5.6 Forklar, hvorfor Anes regneudtryk er rigtigt. 5.7 Du skal vise, hvordan Ane kan omskrive regneudtrykket til formlen i den gule boks. 1_ k 1 2 2 sin ( v) = r
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001