Løsninger til kapitel 9

Opgave 9.1 a) test for spredning, ensidet b) test for middelværdi, ensidet c) test for andel, ensidet d) test for to andele, ensidet e) test for spredning, tosidet f) test for middelværdi, ensidet g) test for to middelværdier, ensidet h) test for andel, ensidet i) test for to andele, ensidet j) test for middelværdi, ensidet k) test for spredning, ensidet l) test for middelværdi, ensidet m) test for spredning, ensidet n) test for middelværdi, ensidet o) test for andel, ensidet p) test for to andele, ensidet q) test for to spredninger, tosidet r) test for to middelværdier, ensidet s) test for to andele, ensidet t) test for andel, ensidet u) test for middelværdi, ensidet v) test for to spredninger, tosidet Opgave 9. a) og b) og c) og d) og e) og Opgave 9.3 a) Der tegnes et normalfraktildiagram for stikprøven: Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og. 1

b) Idet stikprøvens gennemsnit er på under 5 ml, vælges alternativhpotesen og den tilsvarende nulhpotese bliver derfor. Da vi har en lille, men normalfordelt stikprøve med ukendt populationsspredning, så tester vi disse hpoteser med en t-test. HpoStat giver: α =,5 H : µ 5, H 1 : µ < 5, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / = 499,7 s 181,63 n =,,1 P-værdi,461 Forkast H, hvis T < - t n-1, α = 1,79 Idet p-værdien for testen er på 46,1%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke udelukkes, at det gennemsnitlige indhold i en ølflaske er på over 5 ml.

c) Her skal vi teste tosidet med nulhpotesen kontra alternativet. HpoStat giver: X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ = 4 H 1 : σ 4 ( n 1) σ s n = s 181,63 8,65 P-værdi,4915 Forkast H, hvis T > χ n-1, α/ = 3,8533 eller hvis T < χ n-1, (1-α/) = 8,96517 p-værdien er på 4,1%, og da dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og det konkluderes, at spredningen ikke er lig med. d) Vi undersøger først, om den ne stikprøve er normalfordelt. Normalfraktildiagrammet bliver: Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og. 3

Vi tester nu for varianshomogenitet: Løsninger til kapitel 9 α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige s s 1,43161 n = n = s 181,63 s = 19,395 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,56451 P-værdi,46795 Det ses, at p-værdien er på 46,7%, og da dette er langt højere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det kan ikke afvises, at de to spredninger er ens. 4

e) Idet den anden stikprøve har et større gennemsnit end den første, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. Hpostat giver α =,5 H: µ - µ H1: µ - µ < Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 t fordelingen bruges.σ =σ antages. X og Y er normalfordelte og uafhængige D n + n Se n n n = = 499,7 s 181,63 n = 1,853 = 53,75 s = 19,395 P-værdi,15511 s e = 155,513 Forkast H, hvis T < - t n+n-, α = 1,68595 Det ses, at testens p-værdi bliver 15,5%, og da dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises. Det kan således ikke konkluderes, at det gennemsnitlige indhold i en Redberr Beer er større end i en Blueberr Brew. 5

Opgave 9.4 a) I stikprøven er der ud af i alt personer, som gerne vil købe den ne øltpe. Dette giver et estimat for denne andel på. Da dette estimat er større end 5%, så testes der højresidet med alternativhpotesen imod nulhpotesen. HpoStat giver: n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 α =,5 H : P,5 H 1 : P >,5 p pˆ p (1 p )/ n n = P^ =,3 1,63993 P-værdi,5135 Forkast H, hvis T > Z α = 1,644854 Idet p-værdien er på 5,1%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at andelen er på under 5: 6

b) Blandt de -4-årige er der ud af, svarende til en andel på, der vil købe den ne øl, mens der blandt de ældre over 4 år er ud af, svarende til en andel på. Da den estimerede andel i den første stikprøve er større end i den anden, så tester vi højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P - P n ˆ ˆ p 5, n (1 p) 5 H 1 : P - P > n pˆ 5, n (1 pˆ ) 5 pˆ pˆ pˆ p n + n (1 pˆ ) ( ) n n n = 56 n = 75 P^ =,4464 ( n pˆ ) + ( n pˆ ) pˆ = P^ =,189 n + n 3,18561,99148 P-værdi,735 Forkast H, hvis T > Z α = 1,644854 Idet p-værdien er på,73%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at andelen af personer over 4 år, som gerne vil købe den ne øl, er signifikant mindre end den tilsvarende andel blandt de -4 årige. 7

Opgave 9.5 a) Der tegnes et normalfraktildiagram for observationerne i den første stikprøve: Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og. 8

b) Idet stikprøvens gennemsnit er større end km, så testes der højresidet med nulhpotesen og alternativhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : µ, H 1 : µ >, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / =,477 s 1,371 n =, 1,8 P-værdi,4 Forkast H, hvis T > t n-1, α = 1,79 og da p-værdien er på 4,%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det kan konstateres, at den gennemsnitlige skolevejlængde er signifikant større end km. 9

c) Vi tester nulhpotesen imod alternativet : X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ = 1 H 1 : σ 1 ( n 1) σ s n = s 1,3755 6,445 P-værdi,58131 Forkast H, hvis T > χ n-1, α/ = 3,8533 eller hvis T < χ n-1, (1-α/) = 8,96517 Idet p-værdien er på 5,8%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at spredningen på skolevejlængden er forskellig fra 1 km. d) Først og fremmest undersøges, om observationerne i den anden stikprøve kan stamme fra en normalfordeling. Dette gøres ved at tegne normalfraktildiagrammet: 1 Idet datapunkterne ses at ligge jævnt fordelt og tæt omkring den rette linje i normalfraktildiagrammet, kan det konstateres, at indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes stikprøvens gennemsnit og spredning til henholdsvis og.

Vi tester for varianshomogenitet i HpoStat: α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige s s 1,55196 n = n = s 1,3755 s = 1,9191 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,56451 P-værdi,658 Idet p-værdien er på 6,5%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det konkluderes, at de to spredninger godt kan være ens 11

e) Vi tester tosidet: α =,5 H: µ - µ H1: µ - µ < Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 t fordelingen bruges.σ =σ antages. X og Y er normalfordelte og uafhængige D n + n Se n n n = =,4765 s 1,3755 n = 1,714 =,85 s = 1,9191 P-værdi,145653 s e = 1,316 Forkast H, hvis T < - t n+n-, α = 1,68595 (1-α) Nedre Øvre,95 1,8584,334836 ( ) ± t n n, α / S + e n n + n n Idet p-værdien er på 14,6%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det konkluderes, at der ingen signifikant forskel er på de gennemsnitlige vejlængde for de to skoler. 1

Opgave 9.6 a) Idet der er hppige læsere blandt de personer, svarende til en andel på 3,5%, og dette er mere end 3%, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 α =,5 H : P,3 H 1 : P >,3 p pˆ p (1 p )/ n n = P^ =,35,15433 P-værdi,438685 Forkast H, hvis T > Z α = 1,644854 Idet p-værdien er på 43,8%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det kan derfor ikke konkluderes, at andelen af hppige læsere er på mindst 3%. 13

b) Idet der blandt de 1 kvinder er 38 hppige læsere, svarende til en andel på 37,5%, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P,4 H 1 : P <,4 n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 p pˆ p (1 p )/ n n = 1 P^ =,375,56693 P-værdi,8538 Forkast H, hvis T < - Z α = 1,64485 Idet p-værdien er på 8,5%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke forkastes, og det kan derfor ikke afvises, at andelen af kvindelige læsere er på mindst 4%. 14

c) Vi har nu 41 ud af 1 kvinder, som aldrig læser K!, svarende til 4,%, og 55 ud af 98 mænd, som aldrig læser K!, svarende til 56,1%. Idet andelen blandt mændene er større end hos kvinderne, så testes alternativhpotesen imod nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P - P n ˆ ˆ p 5, n (1 p) 5 H 1 : P - P < n pˆ 5, n (1 pˆ ) 5 pˆ pˆ pˆ p n + n (1 pˆ ) ( ) n n n = 1 n = 98 P^ =,4 ( n pˆ ) + ( n pˆ ) pˆ = P^ =,561 n + n,4997,47991 P-værdi,16 Forkast H, hvis T < - Z α = 1,64485 Idet p-værdien er på 1,%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det kan konkluderes, at andelen af kvinder, der aldrig læser K!; er signifikant mindre end den tilsvarende andel hos mændene. 15

Opgave 9.7 a) Der konstrueres et normalfraktildiagram for observationerne: Idet datapunkterne ligger jævnt fordelt omkring den rette linje, så kan det ikke afvises, at der er tale om en normalfordeling. Ved samme lejlighed beregnes gennemsnittet og variansen af stikprøven til at være henholdsvis og. b) Idet stikprøvens gennemsnit er mindre end, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : µ, H 1 : µ <, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / = 195,88 s 64,777 n = 5,,56 P-værdi,9 Forkast H, hvis T < - t n-1, α = 1,711 p-værdien er på,9%, og da dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at den gennemsnitlige udsalgspris er signifikant mindre end kr. 16

c) Idet variansen for stikprøven er på, og dette er mindre end, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ 1 H 1 : σ < 1 ( n 1) σ s n = 5 s 64,77667 15,5464 P-værdi,9651 Forkast H, hvis T < χ n-1, (1-α) = 13,84843 Idet p-værdien er 9,6%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at variansen er signifikant mindre end 1. d) Først og fremmest skal det undersøges, om data fra det ne observationssæt kan stamme fra en normalfordeling. Normalfraktildiagrammet tegnes derfor: Igen ses det, at vi ikke kan afvise, at data kommer fra en normalfordeling. Stikprøvens gennemsnit og spredning er og. 17 Vi tester nu for varianshomogenitet:

α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige 3,59188 s s n = 5 n = 5 s 3,6667 s = 64,77667 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,6977 P-værdi,666 Idet p-værdien er på,7%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og der er således ikke tale om varianshomogenitet. e) Idet stikprøvegennemsnittet for den første stikprøve er større end for den anden, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H: µ - µ µ - µ H1: > Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 Da σ og σ ikke er ens, bruges student t (Scatterwaite). X og Y er normalfordelte og uafhængige D s s + n n n = 5 = 195,88 s 64,77667 n = 5,86359 = 186, s = 3,6667 P-værdi,417 df = 36 Forkast H, hvis T > t df, α = 1,68898 18

Idet p-værdien er,4%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og det konkluderes, at gennemsnitsprisen for selve spillet er signifikant større end for add-on pakken. f) Ved simpel optælling ses det, at der 7 ud af de 5 butikker, som tager mere end kr for selve spillet. Dette svarer til en estimeret andel på: For add-on pakken ses der tilsvarende, at der er 5 ud af 5, eller %, som tager mere end kr for denne. g) Idet estimatet for andelen, der tager mere end kr for selve spillet, er på 8%, og dette er mere end %, så testes der højresidet med alternativhpotesen og med nulhpotesen. HpoStat giver: n 4 eller n p 5 og n (1 p) 5 α =,5 H : P, H 1 : P >, p pˆ p (1 p )/ n n = 5 P^ =,8 1 P-værdi,158655 Forkast H, hvis T > Z α = 1,644854 Idet p-værdien er på 15,87%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises. Vi kan således ikke udelukke, at mindre end % af alle forhandlere tager mere end kr for spillet. 19

h) Idet andelen af forhandlere, der tager mere end for selve spillet, er større end den tilsvarende andel for add-on pakken, så testes der højresidet med alternativhpotesen og med nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : P - P n ˆ ˆ p 5, n (1 p) 5 H 1 : P - P > n pˆ 5, n (1 pˆ ) 5 pˆ pˆ pˆ p n + n (1 pˆ ) ( ) n n n = 5 n = 5 P^ =,8 ( n pˆ ) + ( n pˆ ) pˆ = P^ =, n + n,6666,4 P-værdi,539 Forkast H, hvis T > Z α = 1,644854 Idet p-værdien er på 5,4%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at andelen af forhandlere, der tager mere end kr for selve spillet, er signifikant større end den tilsvarende andel for add-on pakken. Opgave 9.8 Først og fremmest undersøges, om observationerne stammer fra en normalfordeling Idet punkterne i normalfraktildiagrammet ligger jævnt fordelt omkring den rette linje, så kan det ikke afvises, at der er tale om en normalfordeling. Stikprøvens gennemsnit og spredning beregnes til henholdsvis 88,9 og 5,5.

Idet stikprøvens gennemsnit er større end 85, så testes der højresidet med alternativhpotesen og med nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H : µ 85, H 1 : µ > 85, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges = μ s n / 3,471 88,9 s 5,53 n =, P-værdi,1 Forkast H, hvis T > t n-1, α = 1,79 Idet p-værdien på,1% er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at middelværdien er signifikant større end 85. Da stikprøvens spredning er på 5,5, og dette er mindre end 1, så testes der venstresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: X forudsættes Normalfordelt α =,5 H : σ 1 H 1 : σ < 1 ( n 1) s σ n = s 5,563 4,798 P-værdi,4 Forkast H, hvis T < χ n-1, (1-α) = 1,1171 Idet p-værdien er på,4%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at spredningen er mindre end 1. Alt i alt ses, at begge krav er opfldte, og Mums bør derfor markedsføre saucen. 1

Opgave 9.9 a) Vi konstruerer normalfraktildiagrammer for de to stikprøver: før vejarbejdet under vejarbejdet Det ses, at for begge stikprøver ligger datapunkterne jævnt fordelte omkring den rette linje, og det kan derfor ikke afvises, at begge observationssæt stammer fra normalfordelinger. b) HpoStat giver umiddelbart: α =,5 H: σ = σ H1: σ σ X og Y er normalfordelte og uafhængige s s,874138 n = n = s 365,5 s = 17,816 Forkast H, hvis T > F n-1,n-1, α/ =,56451 P-værdi,69 Idet p-værdien er på,6%, og dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen afvises, og det konkluderes, at de to spredninger er signifikant forskellige.

c) Idet stikprøvegennemsnittene for de to stikprøver er henholdsvis 199,85 og 171,75, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H: µ - µ H1: µ - µ > Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 Da σ og σ ikke er ens, bruges student t (Scatterwaite). X og Y er normalfordelte og uafhængige D s s + n n n = = 199,85 s 17,816 n = 5,663599 = 171,75 s = 365,5 P-værdi 1,79E 6 df = 3 Forkast H, hvis T > t df, α = 1,69761 p-værdien er meget mindre end signifikansniveauet på 5%, så nulhpotesen kan afvises, og det kan konkluderes, at vejarbejdet har mindste det gennemsnitlige daglige antal signifikant. 3

d) Idet stikprøvegennemsnittene for de to stikprøver er henholdsvis 199,85 og 171,75, så testes der højresidet med alternativhpotesen og nulhpotesen. HpoStat giver: α =,5 H: µ - µ 5 H1: µ - µ > 5 Begge varianser er ikke kendte og n og n er ikke begge > 3 Da σ og σ ikke er ens, bruges student t (Scatterwaite). X og Y er normalfordelte og uafhængige D s s + n n n = = 199,85 s 17,816 n =,6481 = 171,75 s = 365,5 P-værdi,6841 df = 3 Forkast H, hvis T > t df, α = 1,69761 Idet p-værdien er på 6,8%, og dette er mere end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen ikke afvises, og det kan ikke konkluderes, at faldet i det gennemsnitlige daglige antal kunder er på over 5. Kioskejeren kan således ikke få erstatning. 4

Opgave 9.1 Der er her tale om parvise observationer, idet vi ser på de samme butikker før og efter kampagnen. Vi skal således beregne forskellene på salgstallene før vi tester: Salg før Salg efter Forskel Butik nr. kampagnen kampagnen 1 74 78 4 55 44 11 3 85 87 4 96 96 5 13 1 1 6 1 14 4 7 36 41 5 8 75 87 1 9 98 98 1 59 59 11 66 71 5 1 46 7 6 13 43 63 14 6 7 1 15 64 64 16 38 37 1 17 69 87 18 18 7 69 3 19 83 8 1 73 71 Vi skal dernæst undersøge, om disse differencer er normalfordelte: Idet datapunkterne er jævnt fordelte omkring den rette linje, så kan det ikke afvises, at der er tale om en normalfordeling. Gennemsnittet af stikprøven beregnes til at være 4,35, og da dette er positivt, så testes alternativhpotesen imod nulhpotesen. 5 HpoStat giver:

α =,5 H : µ, H 1 : µ >, Pop. varians er ukendt og X er normalfordelt, så student t bruges μ s n / = 4,35 s 78,345 n =,,198 P-værdi, Forkast H, hvis T > t n-1, α = 1,79 p-værdien er på %, og da dette er mindre end signifikansniveauet på 5%, så kan nulhpotesen forkastes, og det konkluderes, at differencerne i middelværdien er øget efter kampagnen. Altså, at kampagnen har forøget salget. 6