Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer er tilladt. Det er ikke tilladt at anvende internet adgang, udover i forbindelse med aflevering/adgang til blackboard systemet. Eksamenssættet består af 6 opgaver på siderne (2 8). Fuld besvarelse er besvarelse af alle opgaver. De enkelte opgavers vægt ved bedømmelsen er angivet i procent. Der må gerne refereres til resultater fra lærebogen og ugesedlerne. Specielt må man gerne begrunde en påstand med at henvise til, at den umiddelbart følger fra et resultat i Sipser (hvis dette altså er sandt!). I må gerne bruge metoder eller udvidelser af sætninger som er udledt i opgaver, der er stillet i løbet af kurset. Bemærk dog, at det ikke er tilladt, at besvare et delspørgsmål, udelukkende med en henvisning til, at det følger af en af opgaverne. Henvisninger til andre bøger (ud over lærebogen) accepteres ikke som besvarelse af et spørgsmål! Husk at begrunde alle dine svar! 1
OPGAVE 1 (12%) q q 1 1 1 1 p,1 s,1 r q q 4 u 1 1 1 t 1 q 2 1 q 3 M 1 M 2 Figure 1: Lad M 1 og M 2 være de endelige automater i Figur 1. Spørgsmål a: Hvilke af M 1,M 2 er DFA er og hvilke er NFA er? Du skal begrunde dit svar. Spørgsmål b: For hver af følgende strenge skal du angive hvilken tilstand (hvilken mængde af tilstande) de to automater vil være i, når de læst strengen (eller det af den de kan). Forklar kort hvordan du kommer frem til svaret. 11111 111 11 Spørgsmål c: Hvilke af følgende udsagn er korrekte? 1. L(M 1 ) L(M 2 ) = 2. L(M 2 ) L(M 1 ) 3. L(M 1 ) L(M 2 ) = {,1} 4. L(M 1 ) = L(M 2 ) 2
OPGAVE 2 (2%) Betragt følgende 5 kontekstfrie grammatikker, hvor ǫ betegner den tomme streng: 1. G 1 : S aasa ǫ 2. G 2 : S asaa a 3. G 3 : S aaa, A as ǫ 4. G 4 : S Saaa aa ǫ 5. G 5 : S aaa a ǫ, A as Betragt også følgende sprog over Σ = {a}: 1. A = {a i i = 3n+2 or i = 3n for some n } 2. B = {a 3n+1 n } 3. C = {a i i = 3n+1 or i = 3n for some n } 4. D = {a 3n+2 n } 5. E = {a 3n n } Spørgsmål a: Angiv, med begrundelse, hvilket af de 5 sprog A E som genereres af hver af de 5 grammatikker G 1 G 5. Spørgsmål b: Hvilke af sprogene L(G 1 ) L(G 5 ) er regulære? For dem som er regulære, skal du angive et regulært udtryk som genererer sproget. Spørgsmål c: Angiv en kontekstfri grammatik G 5 som er på Chomsky normal form og opfylder, at L(G 5 ) = L(G 5 ). Spørgsmål d: Angiv en kontekstfri grammatik for L(G 3 ) L(G 5 ). Spørgsmål e: Beskriv, enten i ord, eller ved angivelse af M s transitioner, en PDA M som opfylder, at L(M) = L(G 5 ). 3
OPGAVE 3 (15%) Lad x = x 1 x 2...x k og y = y 1 y 2...y k være ord over det samme alfabet Σ. Vi siger, at x er et shufle af y og skriver dette som x y, hvis der findes en permutation π af {1,2,...,k} så x π(j) = y j for j = 1,2,...,k. Lad nu S = {x,y x,y Σ og x y}. For eksempel er abba,bbaa et element i S, da vi f.eks. kan tage π = (3,2,1,4). Spørgsmål a: Beskriv i ord (ved angivelse af de væsentligste skridt) en deterministisk Turing maskine M, som opfylder at L(M) = S. Din Turing maskine må gerne benytte flere bånd og den behøver ikke løse problemet i polynomiel tid. Du må gerne antage at du har givet koden for en Turing maskine M perm som for et vilkårligt k kan liste alle permutationer af mængden {1,2,...,k}. Spørgsmål b: Forklar kort, hvordan mankan lave en non-deterministisk TuringmaskineM med L(M ) = S som, aldrig læser det samme element (plads) fra y mere end et konstant antal gange (een gang er nok). Hint: brug flere bånd eller flere hoveder. 4
OPGAVE 4 (15%) Spørgsmål a: Bevis, f.eks. ved hjælp af pumpelemmaet for regulære sprog, at sproget L = {a p b q c r : p,q,r og p q r} ikke er regulært. Spørgsmål b: Hvad skal der stå på kanten med? for at opnå, at PDA en M opfylder at L(M) = L?. Husk, at argumentere for at L(M) præcis er L. ǫ,ǫ $ a,ǫ a b,a ǫ? ǫ,$ ǫ b,a ǫ b,ǫ b ǫ,$ ǫ c,b ǫ b,ǫ b c,b ǫ ǫ,b ǫ Figure 2: En PDA M Spørgsmål c: Er L kontekstfrit? 5
Spørgsmål d: Find fejlen i påstanden nedenfor : Lad M være en PDA som tager input af formen a p b q c r, p,q,r. M fungerer som følger: Start med at lægge $ på stakken. Sålænge der læses a er lægges disse på stakken. Når der læses b er, popper M et a af stakken for hvert læst b, indtil den gætter, at halvdelen af a erne er poppet af. Herefter lægger M de resterende b er som den læser på stakken. Medens den læser c er popper M først b er og siden a er fra stakken (et per læst c). Herefter er alt input læst og hvis stakken samtidig er tom, fjerner M bundmarkøren $ og stopper. Påstand: L(M ) = {a n b n c n : n }. Bemærk, at selvom det ikke fremgår eksplicit ovenfor, kan du antage at M ikke vil acceptere nogen streng som ikke er på formen a p b q c r, p,q,r (det er altså ikke der fejlen ligger!). 6
OPGAVE 5 (2%) For hver af følgende påstande, skal du angive med begrundelse, om de er sande eller falske: 1. Der er altid flere kontekstfrie sprog over et givet alfabet Σ end der er regulære sprog over Σ. 2. Hvis L 1 L 2 ikke er kontekstfrit, så er mindst et af L 1,L 2 ikke kontekstfrit. 3. Hvis L 1 L 2 ikke er kontekstfrit, så er mindst et af L 1,L 2 ikke kontekstfrit. 4. Hvis L 1 er regulært og L 2 ikke er kontekstfrit, så er hverken L 1 L 2 eller L 1 L 2 regulære. 5. Hvis G er en kontekstfri grammatik der er på Chomsky normalform, så gælder der, at L(G). 6. Hvis vi har givet kodningen < G > af en kontekstfri grammatik G så er L(G) afgørligt. 7. Hvis L er et regulært sprog som indeholder uendeligt mange strenge, så findes der et naturligt tal k og en streng w L så w k. 8. Ethvert uafgørligt sprog er uendeligt. 9. Klassen af uafgørlige sprog er lukket under forening. 1. Klassen af Turing-genkendelige (Turing-recognizable) sprog er lukket under forening. 7
OPGAVE 6 (18%) For hvert af følgende sprog skal du kort argumentere for, om de kan afgøres af en Turing maskine, eller er uafgørlige. Du må gerne anvende Rice s sætning, der hvor det er muligt. Hvis du anvender denne, skal du forklare hvorfor den kan anvendes på det pågældende problem. For de problemer som er afgørlige, skal du give en kort forklaring i ord på, hvorfor de kan afgøres af en deterministisk Turing maskine. Hvis der ikke står andet, angiver < M >,< G >,< w > den universelle kode for henholdsvis en Turing maskine, en grammatik og en streng over det relevante alfabet. 1. L 1 = {< M >: M skriver aldrig på sit bånd, når den startes på den tomme streng}. 2. L 2 = {< M >: L(M) indeholder i strenge af længde i for alle i } 3. L 3 = {< M >: L(M) er afgørligt}. 4. L 4 = {< G >< k >: G er en kontekstfri grammatik og L(G) indeholder en streng af længde k} 5. L 5 = {< w >: w 27} 6. L 6 = {< M 1 >< M 2 >: i 1 indeholder L(M 1 ) flere strenge af længde i end L(M 2 )} 8