Ugens emner. Regulære sprog og digitale billeder. Adressering af områder. Et alfabet. Dette billede: kan repræsenteres af en FA med 832 tilstande

Transkript

1 Ugens emner Regulære sprog og digitale billeder Digitale billeder og regulære sprog Regulære udtryk i Java og Unix Dette billede: Turing-maskiner [uddrag af Martin kap. 9-0] Church-Turing tesen, beregnelighed definition af Turing-maskiner, rekursivt nummererbare og rekursive sprog uindskrænkede grammatikker, Chomskys hierarki uafgørlige problemer (kardinalitetsargumentet) DAIMI-kursus: Beregnelighed og Logik (Q) Resterende forelæsningstid bruges på repetition af udvalgte emner efter foreslag fra kursusdeltagerne kan repræsenteres af en FA med 8 tilstande Et alfabet Adressering af områder Lad Σ={0,,,} hvor alfabetsymbolerne repræsenterer fire kvadranter i et billede: En streng over Σ adresserer et område strengen 0 4

2 Sprog og billeder En mængde af strenge (dvs. et sprog) L Σ* repræsenterer et billede, givet en opløsning Hvis vi ønsker en opløsning på f.eks. 56x56 (= 8 x 8 ), så find alle strenge i L af længde 8 for hver streng, tegn det tilhørende område sort Eksempel Lad L være defineret af det regulære udtryk (+)(0+++)* Billedet af L med opløsning (mindst) x: 5 6 Eksempel Lad L være defineret af det regulære udtryk (0+++)(0+++)(+)(0+++)* Billedet af L med opløsning (mindst) 8x8: Eksempel Lad L være defineret af det regulære udtryk (++)*0(+)*0(0+++)* Billedet af L med opløsning 56x56: 7 8

3 Automatoperationer Billedkomprimering Komplement: Forening: Snit: Konkatenering: Homomorfier: Kvotient:... ombyt sort og hvid forening af sorte områder forening af hvide områder billeder i billeder spejlvendinger m.m. zoom Givet et billede, find en minimal FA, der repræsenterer billedet eksakt repræsenterer billedet approksimativt ( lossy ) Generalisering til gråtone/farve-billeder Regulære udtryk i Java og Unix Forskellige typer regexp engines Regulære udtryk bruges i mange Unix-værktøjer: emacs (tekstredigering) grep / egrep (søgning i tekstfiler) sed, awk (tekstmanipulering) lex / flex (leksikalsk analyse i oversættere)... Programmeringssprog med understøttelse af regulære udtryk: Java (Sun JDK.4 m.fl.) Perl Scala... FA-baserede (typisk kaldt DFA-baserede ): svarer direkte til regulære udtryk og FA er som præsenteret på dette kursus som regel tilsat syntaktisk sukker (f.eks. [a-z] som alternativ til a+b+c+...+z) optimal tidskompleksitet for pattern-matching (tid proportional med strengens længde - uafhængigt af det regulære udtryk) NFA-baserede determiniserer (og minimerer) ikke automaterne bruger i stedet backtracking mindre effektivt greedy/reluctant/possessive quantifiers (varianter af Kleene *) tillader ikke snit- og komplement-operatorer giver mulighed for andre ekstra operatorer: grouping boundary matchers lookahead bruges oftere end FA-baserede i praksis

4 java.util.regex Pattern: repræsentation af NFA, der svarer til et regulært udtryk Matcher: objekt der kan lave pattern-matching på en streng Computere vs. endelige automater Er endelige automater en god model for rigtige computere? Se [Martin 5.5]... Eksempel: Pattern p = Pattern.compile("a*b"); Matcher m = p.matcher("aaaaab"); boolean b = m.matches(); 4 Church-Turing tesen Turing-maskiner Enhver algoritme der kan udføres af computere eller mennesker kan udføres af en Turing-maskine [A. Church,96] En Turing-maskine (TM) er en FA med en uendeligt stor notesblok notesblokken er en uendeligt lang streng indeholder initielt input-strengen og uendeligt mange blanke symboler en pegepind peger på et symbol i strengen dvs. Turing-maskiner er en generel model for beregnelighed 5 En transition: aflæser maskinens tilstand og symbolet ud for pegepinden skriver et symbol ud for pegepinden, flytter pegepinden et trin højre eller venstre og skifter tilstand i maskinen 6

5 Turing-maskiner Resultat af en kørsel Mulige resultater af kørsel af en streng på en TM: To specielle tilstande hedder accept og reject kørslen ender i accept-tilstanden (svarer ja ) kørslen ender i reject-tilstanden (svarer nej ) kørslen stopper ikke (svarer aldrig) Maskinen stopper hvis den når accept- eller reject-tilstanden Maskinen accepterer input-strengen hvis kørslen ender i accept-tilstanden 7 8 Rekursivt nummererbare og rekursive sprog Et sprog L er rekursivt nummererbart hvis der findes en TM, der accepterer præcis mængden af strenge i L Sprogklasser Ethvert endeligt sprog er også regulært (Opg.., uge 4) Ethvert regulært sprog er også kontekstfrit (Bevist i uge 0) Et sprog L er rekursivt hvis der findes en TM, der accepterer præcis mængden af strenge i L og stopper på alle input 9 Ethvert kontekstfrit sprog er også rekursivt (Det er muligt at oversætte enhver CFG til en TM) Ethvert rekursivt sprog er også rekursivt nummererbart (Følger trivielt af definitionen) 0

6 Chomskys hierarki Uindskrænkede grammatikker Chomsky Type Sprogklasse (grammatik) regulære (lineære) kontekstfri Maskine endelige automater pushdownautomater Som kontekstfri grammatikker, men produktioner er på den mere generelle form α β hvor α,β (V Σ)* og α indeholder mindst én nonterminal kontekstsensitive lineært begrænsede automater Samme udtrykskraft som Turing-maskiner 0 rekursivt nummererbare (uindskrænkede) Turing-maskiner Beslutningsproblemer og sprog Algoritmer og semi-algoritmer Input PROGRAM ja/nej En TM, der accepterer præcis mængden af strenge i L, svarer til en semi-algoritme for beslutningsproblemet P L Ethvert beslutningsproblem P er et sprog: L P = { de strenge x, hvor svaret på P er ja } Ethvert sprog L er et beslutningsproblem: P L : er input x i L? (en semi-algoritme terminerer ikke nødvendigvis når svaret er nej ) En TM, der accepterer præcis mængden af strenge i L og stopper på alle input, svarer til en algoritme for beslutningsproblemet P L 4

7 Uafgørlighed Hvis et beslutningsproblem ikke kan løses med nogen Turing-maskine, så er det uafgørligt (iflg. Church-Turing tesen) Uafgørlige problemer Der er tælleligt mange Turing-maskiner (vi kan indkode TM er som strenge og nummerere dem) Der er overtælleligt mange sprog over Σ (Cantors diagonaliseringsargument) dvs. der er flere sprog end der er Turing-maskiner! 5 6 Eksempler på uafgørlige problemer Halting: Givet en TM M og en streng x, stopper M nogensinde hvis den køres på input x? CFGTotality: Givet en CFG G, er L(G)=Σ*? CFGIsAmbiguous: Givet en CFG G, er G tvetydig? JavaHalting: Givet et Java-program J og et input x, stopper J nogensinde hvis det køres på x? Rices sætning Enhver ikke-triviel egenskab ved sproget for en TM er uafgørlig [H.G. Rice, 95] ( triviel betyder her at svaret er ja for alle input eller nej for alle input) 7 8

8 Programanalyse To udveje, hvis man vil verificere, at et program har en ønsket egenskab: Approksimation: ja betyder helt sikkert ja nej betyder ved ikke Annoteringer: programmøren hjælper verifikationsværktøjet Kompleksitetsteori Turing-maskiner er også velegnede til at studere kompleksiteten af afgørlige problemer Eksempel: man kan lave en TM, der afgør om inputstrengen x er et palindrom i tid polynomiel i længden af x DAIMI-kurser: Statisk Analyse (Q), Software Verifikation (Q4) 9 DAIMI-kursus: Kombinatorisk Søgning (Q4) 0 Resume Digitale billeder og regulære sprog Regulære udtryk i Java og Unix Turing-maskiner som generel model for beregnelighed Chomskys hierarki Uafgørlige problemer