1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!

Transkript

1 1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation Turing maskiner En turing maskine er en beregningsmodel ligesom CFG er, NFA er, NBA er mm. Forskellen ligger i, at Turing maskiner har en meget større udtrykskraft end tidligere formalismer vi har kigget på. En Turing maskine er formelt defineret som: Hvor... T = (Q, Σ, Γ, q 0, δ) Q : Et sæt af states Σ : Inputalfabettet Γ : Tapealfabettet q 0 : Initialtilstanden δ : Q (Γ { }) (Q {h a, h r }) (Γ { }) {R, L, S} Recursivt Enumerable & Recursive sprog Turing maskiner arbejder med såkaldte rekursivt enumerable og rekursive sprog, hvor de rekursive sprog er fuldkommen indeholdt i de rekursivt enumerable. Således kan vi sige at en Turing maskine T accepterer L hvis L(T ) = L og bestemmer L hvis maskinen beregner den karakteristiske funktion χ L : Σ {0, 1}. L siges således at være rekursivt enumerabel hvis der eksiterer en TM T der accepterer L og rekursiv hvis der findes en TM der bestemmer L. 1

2 x er accepteret hvis der eksisterer y, z (Γ { }) og a (Γ { }) således at (q 0, x) T (h a, yaz) Egenskaber for RE/R Theorem 10.1 Ethvert rekursivt sprog er rekursivt enumerabelt. Theorem 10.2 Hvis en TM med sprog L altid stopper, så er L rekursiv. Theorem 10.3 De rekursivt enumerable sprog er lukkede under snit og union. De rekursive sprog er lukkede under komplement, snit og uni- Theorem 10.4 on. Theorem 10.5 Hvis L er RE og L s komplement er RE, så er L rekursiv NSA/SA Vi definerer sproget NSA (non-self-accepting) som mængden af alle enkodninger af turingmaskiner der ikke accepterer sig selv. NSA = {w {0, 1} w = e(t ) for en TM T og w / L(T )} Bevis. NSA er ikke rekursiv enumerable For en given TM T, er enkodningen af T et element i NSA hvis og kun hvis T ikke accepterer (enkodningen af) sig selv. Men for at T kan acceptere NSA skal den netop kunne acceptere sig selv. Derfor kan ingen TM acceptere NSA. e(t ) NSA e(t ) / L(T ) L(T ) = NSA = e(t ) L(T ) Vi definerer desuden sproget SA (self-accepting) som mængden af alle enkodninger af turingmaskiner der accepterer sig selv. SA = {w {0, 1} w = e(t ) for en TM T og w L(T )} 2

3 Bevis. SA er ikke rekursiv Vi ved at mængden af alle enkodninger af Turing maskiner er E = NSA SA. E kan vi vise er rekursivt, ved at dele inputtet op i 5-tupler og teste for en række karakteristika, eks. retningsangivelserne er enten 0, 00, eller 000, svarende til S, L og R. Vi antager nu at SA er rekursiv. Men fordi rekursive sprog er lukkede under snit og komplement, så må NSA = SA E også være rekursiv, og vi får derfor modstrid. Bevis. SA er rekursivt enumerabel For at vise at SA er rekursivt enumerabel er det nok blot at give et konstruktivt bevis på hvorledes man ville kunne lave en TM der accepterer SA. Dette gøres ved at lave en TM der først tester om en input streng x = e(t ) for en eller anden TM T, således vi får testet om x E. Hvis dette ikke er tilfældet så går den til en reject tilstand med det samme. Hvis x E så beregner den den encodede version e(x) = e(e(t )) og concatenerer denne med x således vi har e(t )e(e(t )), som vi så sender igennem en universal TM som input. Resultatet af det her bliver en TM der accepterer hvis og kun hvis T accepterer e(t ) (encodningen af sig selv), altså præcis de strenge der accepteres af SA Beslutningsproblem Et beslutningsproblem er løseligt hvis det tilknyttede sprog Y (P) = {e(i) I er en JA-instans af P } er rekursivt Arg. Self-Accepting er uløselig Beslutningsproblemet Self-Accepting lyder: Self-Accepting Givet en TM T, accepterer T strengen e(t)? Bevis. Self-Accepting er uløselig At se Self-Accepting er uløselig er ganske simpelt, da vi kan se at SA præcis består af alle JA-instanser for Self-Accepting problemet, og vi har allerede vist SA ikke er rekursivt, men derimod rekursivt enumerabelt. Altså er det tilknyttede sprog Y (P ) ikke rekursivt og problemet er derved uløseligt. 2 Logik 2.1 Disposition Def. AL EksBevis. TI 3

4 Def. Truth Valuation & Tautologier Bevis. Soundness for AL Bevis. Consistency 2.2 Præsentation Def. Axiomatic System for Propositional Logic Indenfor logikken har vi mange forskellige former for logiske bevissystemer, hvoraf nogle er mere udtryksfulde end andre. Det jeg vil fokusere på er Axiomatiske bevissystemer, specifikt AL for Propositional Logik. Lad os først lige tage et kig på hvad et axiomatisk bevissystem egentlig er. Et formelt axiomatisk system har 4 ingredienser: 1. Σ: Et alfabet af symboler. 2. WF : Et sæt af well-formed formulae, WF Σ. 3. Ax: Et sæt af axiomer, Ax WF. 4. R: Et sæt af deduktionsregler. I AL er disse defineret således at vi har følgende: 1. Σ = {,, (, ), p 1, p 2,, p n, } 2. WF = {x x = p i, for i = 1, 2,, n, x = ( A), hvor A W F x = (A B), hvor A W F, B W F }. 3. Ax = Ax1 : A (B A) Ax2 : (A (B C)) ((A B) (A C)) Ax3 : ( A B) (B A). 4. R = F 1, F 2,, F n således at for hver i (1 i n) : (a) F i er et axiom (b) F i er en hypotese (c) F i er afledt vha. modus ponens fra F j, F k hvor j, k < i. Hvor p i erne kaldes propositions symboler og A, B kaldes propositions variabler. En deduktion i AL er således beskrevet vha. R og man bruger så disse til at udføre logiske beviser indenfor et given domæne. 4

5 2.2.2 Bevis. Transitivity of Implication Et eksempel bevis vha. AL kunne så være Transitivity of Implication, hvor vi bruger vore deduktioner fra tidligere. Vi har følgende påstand: Bevis. AL TI Bevis {A B, B C} A C Her skal vi deducere A C fra vore hypoteser A B og B C. Vi begynder således med den anden af dem B C. 1. B C Hypothesis 2. (B C) (A (B C)) Ax1 3. A (B C) MP on 1 and 2 4. (A (B C)) ((A B) (A C)) Ax2 5. (A B) (A C) MP on 3 and 4 6. A B Hypothesis 7. A C MP on 5 and 6 Derved konkluderer vi: {A B, B C} A C. At jeg lige netop valgte det her meta-theorem fremfor en af de andre millard, er at denne faktisk bidrager til en afledt rule of deduction, TI, som blot siger at implikationspilen er transitiv Def. Truth Valuation & Tautologier Vi skal så nu kigge på 2 andre koncepter der har stor betydning for Soundness, som jeg vil komme ind på senere. Først og fremmest Truth Valuation funktionen. En truth valuation, er en funktion f fra mængden af wff til {T, F }. Altså basalt set en funktion der for ethvert statement siger om det er sandt eller falsk. Denne truth valuation funktion opfylder: 1. v( A) v(a) 2. v(a B) = F hvis og kun hvis v(a) = T og v(b) = F. 5

6 Definitionen for en truth valuation bringer os så direkte videre til definitionen af en tautologi! En wff A er en tautologi hvis for enhver truth valuation v, v(a) = T. Altså intuitivt, en tautologi er en wff der altid er sand. En taulogi skrives så som: A Bevis for Soundness Med alle de her byggesten kan vi nu tage fat på Soundness Theoremet. Et bevissystem er sound eller sundt, såfremt ethvert theorem er en tautologi, altså formelt: A A Bevissystemet AL er således sound såfremt ethvert meta-theorem i AL er en tautologi. Bevis. Soundness Theoremet Beviset er et induktionsbevis i antallet af trin i beviserne af meta-theoremerne i AL. Vi starter derfor således med et basistilfælde med n = 1, hvilket således er alle de theoremer, som er axiomer, da de er de eneste der kan bevises i et trin. Vi tager derfor hver af de 3 axiomer, et efter et. Basistilfælde Axiom 1 (Ax1): A (B A) For at v(a (B A)) = F for en valuation v, så skal: v(a) = T og v(b A) = F, og derved må: v(b) = T og v(a) = F, men det er umuligt for en truth valuation v, da denne ikke kan tildele 2 forskellige værdier til samme wff. Derfor er Ax1 en tautologi Axiom 2 (Ax2): (A (B C)) ((A B) (A C)) For at v((a (B C)) ((A B) (A C))) = F for en valuation v, så skal: v((a (B C))) = T og v(((a B) (A C))) = F. Så for at den sidste del skal være falsk må: v(a B) = T og v(a C) = F, og igen for at v(a C) = F, så skal v(a) = T og v(c) = F, og for at v(a B) = T, så skal v(b) = T. Men nu, for at første del skal være sand, så skal: v(b C) = T da v(a) = T. Derfor skal 6

7 v(c) = T, da v(b) = T, men nu har vi to modstridende krav til v(c), hvorved vi kan konkludere: Ax2 en tautologi Axiom 3 (Ax3): ( A B) (B A) For at v(( A B) (B A)) = F for en valuation v, så skal: v( A B) = T og v(b A) = F For at sidste del skal være falsk, så skal: v(b) = T og v(a) = F, hvilket negeret er v( B) = F og v( A) = T. For at første del så skal være sand og fordi vi ved v( B) = F, så har vi at: v( A) = F. Men vi ved allerede v( A) = T, så vi har modstridende krav. Derfor er Ax3 en tautologi Induktionshypotese Hvis A i n eller færre skridt, så gælder der at A. (Altså hvis et theorem A, kan deduceres i n eller færre skridt, så er A en tautologi. Induktionsskridt Vi antager nu at A i n + 1 skridt. Hvis A ikke er et axiom, må det følge som modus ponens fra to tidligere wff er: A i, A i A i beviset for A. Siden A i og A i A er bevist i n eller færre skridt, så siger induktionshypotesen, at begge disse er tautologier. Derfor må A også være en tautologi, da vi ved at v(a i ) = T, og hvis v(a) = F, så ville v(a i A) = F, hvilket er en modstrid til vores induktionshypotese. Derved er det bevist at AL er et sound bevissystem Bevis for Consistency (FEJLBEHÆFTET - Tjek bogen) En anden rar ting man gerne vil have ens bevissystem er, er at man gerne vil have det er konsistent. Et bevissystem er konsistent hvis ikke både A og A kan bevises: Bevis. Bevis Consistency for AL Vi vil nu gerne vise at AL er konsistent. Dette gør vi simpelt ved at kigge tilbage på vores netop afsluttede bevis med soundness. Vi antager at A og A. Så har vi at v(a) = T og v( A) = T, altså med andre ord v(a) = v( A), hvilket ikke kan lade sig gøre jvf. definitionen af truth valuation funktionen v. Derved er AL konsistent. 7