Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
|
|
- Jette Nøhr
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27
2 Sidste uge så vi på: Lidt repetition Cantors og Russells paradokser (1899, 1901), som truede mængdelærens grundlag. Et efterfølgende forsøg på at redde mængdelæren ved formalisering (Russell, Hilbert m.fl.). Gödels ufuldstændighedssætninger, som viser at alle formaliserede systemer af en vis styrke nødvendigvis enten er inkonsistente eller ufuldstændige. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 2/27
3 Ufuldstændighed og matematisk praksis Gödels resultat omhandler formelle systemer, det vil sige, systemer som overholder en streng syntaks, og hvor beviser har en strengt defineret struktur. Svarer sådanne formelle systemer til sædvanlig matematisk praksis? Med andre ord: Kan Gödels resultater overføres til rammen af sædvanlig matematisk praksis, sådan at vi kan konkludere at matematikken som sådan er ufuldstændig (eller inkonsistent)? For at tilnærme et svar kigger vi først på den aksiomatiske mængdelære, altså formaliseringer af mængdelæren. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 3/27
4 Den naive mængdelære Cantors naive mængdebegreb (1895) kan formuleres på følgende måde (jvf. forrige forelæsning): Ethvert prædikat (enhver egenskab) bestemmer entydigt en mængde bestående at de objekter som opfylder prædikatet (egenskaben). Lidt mere formelt: Ethver prædikat P bestemmer entydigt en mængde M P for hvilken der gælder x(p(x) x M P ). Mængden M P bestemt af P betegner vi normalt {y P(y)}. Ovenstående kan derfor omskrives til: For ethvert prædikat P findes mængden {y P(y)} og der gælder x(p(x) x {y P(y)}). Det leder direkte frem til følgende aksiom-skema som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 4/27
5 Formalisering af den naive mængdelære Betragt igen aksiom-skemaet som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Vi kan opnå et formelt system ved til dette aksiom at tilføje følgende slutningsregel: S Udfra xψ(x) sluttes ψ(t), for enhver formel ψ og ethvert mængde-udtryk t. Vi så sidst at det formelle system indeholdende UC og S er inkonsistent: Vi kan reproducere Russells paradoks i systemet. Konklusion. Cantors naive mængdebegreb er inkonsistent, ikke kun i en uformel sædvanlig matematisk ramme, men også i en strengt formaliseret ramme. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 5/27
6 Mod en ny mængdelære Eftersom Cantors naive mængdebegreb er inkonsistent har vi altså brug for et bedre mængdebegreb for at sikre mængdelærens grundlag. Men hvilket? Og hvordan? Først kan man se på at begrænse aksiomet UC, så det ikke kan lede til inkonsistenser. Det kan gøres ved at relativisere aksiomet: ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Nu siger aksiomet at givet en mængde M og et prædikat P kan vi altid udtage mængden af de elementer i M som opfylder P. Det oprindelige aksiom er blevet relativiseret til M. I denne form er aksiomet blevet til et delmængdeaksiom (jvf. forelæsningen om udvalgsaksiomet): Vi kan udtage vilkårlige delmængder af givne mængder. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 6/27
7 Betragt igen delmængdeaksiomet: Opbygning af mængder ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Delmængdeaksiomet leder ikke i sig selv til paradokser og inkonsistens. Men det leder heller ikke i sig selv til en mængdeteori: Hvorfra skal vi få de mængder som vi skal bruge delmængdeaksiomet til at udtage delmængder af? Indtil videre har vi ingen. Vi må tilføje nogen aksiomer som vi kan opbygge mængder med. Vi kan starte helt blødt med at erklære eksistensen af en tom mængde : ZF3 x(x ) Men den tomme mængde giver jo heller ikke i sig selv så meget sjov. Vi må have fat i nogen lidt større mængder... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 7/27
8 Mere om opbygning af mængder Potensmængder: En standard-måde at opbygge en større mængde fra en mindre på (jvf. Cantors sætning). Vi kan altså få opbygget en hel del mængder ved at hævde eksistensen af potensmængden af enhver mængde: ZF7 x(x P(M) x M), for enhver mængde M. Dette er potensmængdeaksiomet (jvf. forelæsningen om udvalgsaksiomet). Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver eksistensen af uendeligt mange forskellige mængder:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 8/27
9 Mere om opbygning af mængder Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Men alle disse mængder har hver især kun endeligt mange elementer. For at kunne generere uendelige mængder bliver vi nødt til eksplicit at hævde eksistensen af en uendelig mængde: ZF4 I ( I x I (x {x} I )) Ovenstående kaldes uendelighedsaksiomet og betegnes ofte Inf. Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF: Ovenstående aksiomer (ZF3, ZF4, ZF7, ZF8) + et par yderligere helt naturlige aksiomer + en enkelt slutningsregel (modus ponens). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 9/27
10 Zermelo-Fraenkel mængdelære (ZF & ZFC) Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF, er et alternativ til Cantors naive mængdelære. Forskelle: Konsistens. ZF formodes at være konsistent. Ingen konsistenser kendt, Cantors og Russells paradokser kan ikke umiddelbart formaliseres i ZF (hvorfor?). Opbygning af mængder nedefra. I ZF bygges mængder op nedefra: starter med den tomme mængde og bygger mere og mere komplekse mængder op derfra. Kompleksitet. ZF er et komplekst system af ikke-trivielle aksiomer. Den naive mængdelære kunne potentielt have klaret sig med UC + meget lidt mere. Udvalgsaksiomet kan tilføjes til ZF hvorved man får ZFC. ZFC er i dag det tætteste vi er kommet på et alment accepteret formelt grundlag for matematikken. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 10/27
11 ZFC og den sædvanlige matematik Formalisering. Al mainstream matematik kan (øjensynligt) formaliseres i ZFC. Meget af den er allerede blevet formaliseret igennem computer-genererede eller computer-assisterede beviser. Forventning: hvis man kan bevise et matematisk resultat med sædvanlige midler, kan man også bevise det rent formelt i ZFC. Bemærk dog: der kan være ret stor forskel på det almindelige bevis og dets formaliserede sidestykke (formelle beviser er bl.a. altid ufatteligt lange). Konklusion. ZFC synes at være en passende formalisering af matematikken. MEN: Vi ved at ZFC må være ufuldstændigt (Gödels sætning). Hvordan kan ZFC både siges at være en formalisering af matematikken og så stadig være ufuldstændigt?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 11/27
12 ZFC og ufuldstændighed Konsistens. I det følgende antager vi stiltiende at ZFC er konsistent. Ufuldstændighed af ZFC. Et eksempel på en sætning som hverken kan bevises eller modbevises i ZFC er kontinuumshypotesen. Kontinuumshypotesen udtrykker følgende: Der findes ingen mængde som har større kardinalitet end N men mindre kardinalitet end P(N). (der ligger ikke nogen kardinalitet imellem de naturlige tal og kontinuumet). Kontinuumshypotesen forkortes ofte CH. Da CH er uafgørlig (hverken kan bevises eller modbevises) i ZFC, er både ZFC+CH og ZFC+ CH konsistente. To varianter af mængdelæren. Én hvor CH holder, og én hvor den ikke gør. Men hvad er det rigtige? Er kontinuumshypotesen så gyldig eller ej i vores sædvanlige matematiske virkelighed?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 12/27
13 Kontinuumshypotesen Det viser sig lige så umuligt at bevise kontinuumshypotesen (eller dens negation) med sædvanlige midler som i ZFC. Altså må vi indtil videre acceptere at der kan findes flere ligeværdige varianter af mængdelæren med hver deres sæt af matematiske egenskaber. Det er i virkeligheden ikke en helt ny situation i matematikken, jvf. uafhængigheden af parallel-postulatet (det 5. aksiom) i Euklids Elementer, som igennem 2000 år voldte mange matematikere alvorlige hovedbrud. Der er dog også stadig mange matematikere som mener at CH enten må være universelt sand eller universelt falsk og som leder efter passende matematisk evidens for enten den ene eller den anden påstand. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 13/27
14 Formalisme vs. matematisk praksis Generisk ufuldstændighed. ZFC og enhver udvidelse med yderligere aksiomer er ufuldstændig (Gödels sætning), så der er ikke noget håb for en entydig mængdeteori i en ren formel ramme. Kan vi så stadig tro på en entydig mængdeteori i en ikke-formel matematisk virkelighed, eller skal vi acceptere en bred vifte af sådanne mængdeteorier i lighed med Euklidisk og ikke-euklidiske geometrier? Et problem. Hvis man tror på en entydig mængdeteori, kan man ikke samtidig tro på at matematikken lader sig fuldstændigt formalisere (jvf. Gödels sætning). Formaliseringens status. Der findes i dag ikke gode eksempler på matematiske sætninger som ikke lader sig formalisere. Tilsyneladende god grund til at mene at al matematik lader sig formalisere. Mulig konklusion. Begrænsningen udtrykt i Gödels sætning omfatter ikke kun formelle systemer, men også sædvanlig matematisk praksis. Men der er stadig potentielle udveje... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 14/27
15 Et dynamisk syn på matematikken Med et dynamisk syn på matematikken kan Gödels sætning ikke siges at give ufuldstændighed som sådan. Snapshot-formalisering. Ethvert snapshot af matematikken med de metoder og antagelser som på et givet tidspunkt opfattes som gyldige kan muligvis godt indfanges i et formelt system. Dette system er så ufuldstændigt. Matematikkens dynamik. Men matematikken er til forskel fra et formelt system noget som udvikles dynamisk, og flere aksiomer kan komme til efterhånden. Konsekvenser af Gödel under dynamisk opfattelse. Vi bliver aldrig færdige med at fastlægge matematikkens egenskaber og antagelser (aksiomer), men må til stadighed tilføje nye aksiomer i takt med at vi erobrer nyt matematisk land. Kontra-intuitiv konsekvens. Selve mængdebegrebet vil være i stadig udvikling og aldrig blive entydigt fastlagt. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 15/27
16 Pseudo-fuldstændighed En anden vej uden om Gödel kunne være følgende: Måske er ZFC eller en passende udvidelse pseudo-fuldstændig på den måde at de eneste uafgørlige sætninger er patologiske, selv-refererende formler af den type som konstrueres i Gödels bevis (en slags støj i ZFC). For at vurdere dette synpunkt må vi tage et nærmere kig på de uafgørlige formler som konstrueres i Gödels bevis... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 16/27
17 Repetition af Gödel Nummerering af formler. Ethvert formelt system har kun tælleligt mange formler, som derfor kan nummereres: ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), ϕ 3 (x),.... Repræsenterbarhed: Mængden M er repræsenterbar i det formelle system hvis der eksisterer en formel ϕ(x) så der for alle i gælder: i M ϕ(i) kan bevises i systemet. Heterologiske formler og tal: Formlen ϕ n (x) kaldes heterologisk hvis ϕ n (n) kan bevises. n kaldes da et heterologisk tal. Tilstrækkelig styrke: Et formelt system siges at have tilstrækkelig styrke hvis mængden af heterologiske tal er repræsenterbar i det. Gödels ufuldstændighedssætning. Ethvert konsistent formelt system af tilstrækkelig styrke er ufuldstændigt. Gödels bevis. Hvis systemet er konsistent og af tilstrækkelig styrke findes en formel ϕ h (x) som repræsenterer mængden af heterologiske tal. Da bliver formlen ϕ h (h) uafgørlig (formalisering af Grellings paradoks). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 17/27
18 Om Gödels uafgørlige formler Gödel konstruerer en konkret uafgørlige formel ϕ h (h). Hvad udtrykker denne formel? Der gælder: ϕ h (i) kan bevises i er et heterologisk tal ϕ i (i) kan bevises. ϕ h (i) udtrykker således: negationen af den i te formel anvendt på i kan bevises. Specielt fås at ϕ h (h) udtrykker: Negationen af den h te formel anvendt på h kan bevises. Men, hov: Den h te formel anvendt på h er jo formlen ϕ h (h) selv! Altså udtrykker formlen ϕ h (h) at dens egen negation kan bevises. (heraf følger så at formlen kan bevises hvis og kun hvis dens negation kan, og hermed må man så vælge mellem konsistens og fuldstændighed). Formlen ϕ h (h) er således en slags selv-referende formel. Er vi overhovedet interesseret i at kunne bevise den slags formler?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 18/27
19 Mere om Gödels uafgørlige formler Vi vil i det følgende prøve bedre at forstå Gödels uafgørlige formler. Vi har brug for et par nye begreber. Sekvenser af tegnstrenge. Beviserne i et formelt system er sekvenser af tegnstrenge over systemets alfabet. Mængden af sekvenser af tegnstrenge kan nummereres 0,1,2,... (f.eks. leksikografisk). Vi definerer nu følgende relation B over de naturlige tal: (p, q, r) B sekvens nr. p er et formelt bevis, og sidste element er formlen ϕ q (r). ω-konsistens: Et formelt system er ω-konsistent hvis der gælder, at når x N(ϕ(x)) kan bevises, så findes der et n N så ϕ(n) ikke kan bevises. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 19/27
20 Forfinet version af Gödels sætning Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Ethvert ω-konsistent formelt system hvori mængden B er repræsenterbar er ufuldstændigt. Bevis. Lad der være givet et formelt system som opfylder: systemet er ω-konsistent, systemet er fuldstændigt, mængden B er repræsenterbar i det. Tilstrækkeligt at vise at mængden af heterologiske tal er repræsenterbar i det (hvorfor?). Repræsenterbarhed af B giver formel ϕ b (x, y, z) repræsenterende B. Lad ψ(x) = w N(ϕ b (w, x, x)). Der gælder nu: ψ(n) kan bevises w N(ϕ b (w, n, n)) kan bevises der eksisterer m N så ϕ b (m, n, n) kan bevises der eksisterer m N så sekvens nr. m er bevis for ϕ n (n) ϕ n (n) kan bevises n er et heterologisk tal Formlen ψ(x) repræsenterer således mængden af heterologiske tal. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 20/27
21 Den forfinede version udtrykker: Gödels sætning Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Ethvert ω-konsistent formelt system hvori mængden B er repræsenterbar er ufuldstændigt. Denne version er tættere på Gödels oprindelige formulering. Begrebet tilstrækkelig styrke er nu blevet bragt lidt ned på jorden: repræsenterbarhed af B er tilstrækkeligt. Medlemskab af B kan afgøres ved en mekanisk procedure: For at afgøre om et trippel (p, q, r) er i B skal vi blot checke om sekvens nr. p (i den leksikografiske ordning) er et formelt bevis hvis sidste element er formlen ϕ q (r). Vi kan let checke om en given sekvens er et bevis, da vi blot skal checke om strengene i sekvensen er formler, der overholder slutningsreglerne for systemet (eller er aksiomer). Og vi kan naturligvis også let checke om sidste formel i en sekvens er en bestemt formel. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 21/27
22 Beregnelighed Begrebet mekanisk procedure kan gives præcist indhold igennem begrebet beregnelighed. Begrebet beregnelighed kan defineres via Turing-maskiner. Turing-maskiner. En Turing-maskine er en abstrakt form for computer med ubegrænset hukommelse. Turing-maskiner er rent matematisk defineret, og blev defineret af Turing allerede i 1936, længe før den første fysiske computer. Beregnelighed: En mængde M kaldes beregnelig hvis der findes en Turing-maskine som for alle x kan afgøre om x M eller ej (maskinen svarer ja hvis x M, ellers nej ). Turing-maskiner, computere og andre formalismer. Det kan vises at Turing-maskiner kan beregne nøjagtig de samme ting som moderne computere hvis vi ser bort fra at en computer kun har begrænset hukommelse. Desuden har alle andre forsøg på at indfange begrebet mekanisk procedure i en matematisk formalisme vist sig at lede til samme klasse af beregnelige relationer som Turing-maskinerne. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 22/27
23 Mere om beregnelighed Church-Turings tese. Da alle forsøg på at indfange begrebet mekanisk procedure har ledt til samme beregnelighedsbegreb, er det nu alment accepteret at det intuitive begreb beregnelighed har en entydig matematisk betydning, som netop indfanges af ovenstående definition via Turing-maskiner (dette synspunkt kaldes Church-Turings tese). Man kan nu vise følgende: Hvis både mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler for et formelt system er beregnelig, da er relationen B for systemet ligeledes beregnelig (hvorfor, intuitivt set, forholder det sig sådan?). Vi kan nu præcises Gödels sætning yderligere: Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Lad S være et formelt system hvori mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler begge er beregnelige. Antag at alle beregnelig relationer over de naturlige tal er repræsenterbare i S. Da gælder, at hvis S er ω-konsistent, så er S ufuldstændigt. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 23/27
24 Beregnelighed og ufuldstændighed Betragt igen den nye formulering af Gödels sætning: Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Lad S være et formelt system hvori mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler begge er beregnelige. Antag at alle beregnelige relationer over de naturlige tal er repræsenterbare i S. Da gælder, at hvis S er ω-konsistent, så er S ufuldstændigt. Kravet om beregnelighed af aksiomer (og slutningsregler) er naturligt: Ellers kan vi ikke rent mekanisk afgøre om noget er et aksiom eller ej, og dermed kan der blive tvivl om et påstået aksiom faktisk er et aksiom. Er det naturligt at forvente at alle beregnelige relationer er repræsenterbare i vores formelle systemer? Svaret er ikke umiddelbart åbenlyst, men bliver det når vi (Gödel) indser at alle systemer der som minimum indeholder aritmetik, herunder ZF og ZFC, har egenskaben. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 24/27
25 Gödels anden ufuldstændighedssætning Via repræsenterbarheden af relationen B ved en formel ϕ b (x, y, z) kan et formelt system udtrykke sin egen konsistens: y, z N x N(ϕ b (x, y, z)) Formlen udtrykker at der findes en formel ϕ y (z) for hvilken intet bevis x eksisterer. Altså: Der findes en formel som ikke kan bevises. Dette er ækvivalent med konsistens. Gödels anden ufuldstændighedssætning. Gödels anden sætning viser at ovenstående konsistensudsagn er en uafgørlig formel i ethvert konsistent system. Formelle systemer kan altså ikke bevise deres egen konsistens. Betyder det noget for matematikken? Formlen ovenfor er måske også en af de som vi ikke bør forvente afgørligheden af pga. dens selvrefererende natur. Indtil videre har vi stadig ikke noget argument imod at systemer såsom ZFC kunne være pseudo-fuldstændige. Men det kommer nu... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 25/27
26 Uendelighed og konsistens ZFC indeholder uendelighedsaksiomet Inf. Vi bruger ZFC-Inf til at betegne ZFC uden Inf. Lad Con(ZFC-Inf) betegne en formel som udtrykker konsistensen af ZFC-Inf (på samme vis som på foregående slide). Inf er uafgørlig i ZFC-Inf (ellers var der jo ikke nogen grund til at have Inf med i ZFC). Det samme er Con(ZFC-Inf), pga. Gödels anden ufuldstændighedssætning. Til gengæld kan ZFC bevise Con(ZFC-Inf), fordi ZFC-Inf er en simpel teori uden uendelige mængder (ZFC-Inf+ Inf er blot almindelig aritmetik). Når ZFC kan bevise Con(ZFC-Inf), må gælde at ZFC-Inf kan bevise Inf Con(ZFC-Inf). Da ZFC-Inf ikke kan bevise sin egen konsistens, må også gælde at ZFC-Inf kan bevise Con(ZFC-Inf) Inf. Altså fås at ZFC-Inf kan bevise Inf Con(ZFC-Inf)... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 26/27
27 Uendelighed og konsistens fortsat Som nævnt kan ZFC-Inf bevise Inf Con(ZFC-Inf). Fra ZFC-Inf s synspunkt er Inf og Con(ZFC-Inf) altså ækvivalente udsagn. Men det ene, Inf, har status af et glemt aksiom som udtrykker eksistensen af uendelige mængder, mens det andet har status af en patologisk, selv-refererende sætning produceret af Gödels paradoks-inspirerede konstruktioner. Dette viser, at vi ikke kan skelne mellem formler som udtrykker naturlige mængdeteoretiske egenskaber (såsom Inf) og patologiske, selv-reference formler der kommer fra formalisering af paradokser (såsom Con(ZFC-Inf)). Det giver med andre ord ikke mening at tale om pseudo-fuldstændighed. Når et system er ufuldstændigt indeholder det givetvis meningsfulde og vigtige udsagn som er uafgørlige, selvom selve eksistensen af uafgørlige udsagn går via en form for formalisering af selv-referende, paradoksale udsagn. Vi hænger altså godt og grundigt på den ufuldstændighed... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 27/27
Gödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs mereFormelle systemer og aksiomatisk mængdelære
Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/32 Lidt
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning
Læs mereSelvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Læs mereThomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen. 7. marts 2005
Om Gödels sætning Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen 7. marts 2005 Resumé Gödels sætning er en af det 20. århundredes mest berømte matematiske sætninger. Den er kendt langt ud over de professionelle
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereBeregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag
Beregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag Stig Andur Pedersen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 1 Matematikkens grundlagsproblemer Omkring år 1900 havde matematikken udviklet metoder
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Compute UNF foredrag, HCØ, 16. september 2014 (c_e)l[^ga=f]2 (F[_E_B])L[=A,_Ac]L[=E,_B,_E]- [E,B,E]2L[F,=B,=E]2 L[^F,C=F] Thomas Bolander, UNF, 16/9-2014
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereLIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM
LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM Denne note omhandler uendelighedsbegrebet, som det er indført af Georg Cantor omkring 1870 Vi henviser til [4] for Cantors arbejder For datiden var Cantors idéer revolutionerende,
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mere5 hurtige til de voksne
16 Interview 5 hurtige til de voksne om intuitionisme Jingyu She og Maria Bekker-Nielsen Dunbar Hvad er det, du vil med matematik? Du vil gerne opbygge nogle modeller af et eller andet, som på en eller
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereOm matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen
Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................
Læs mereRaymond Queneau. Litteraturens grundlag
Raymond Queneau Litteraturens grundlag Efter at have overværet en forelæsning i Halle af Wiener (ikke Norbert, selvfølgelig) om Desargues og Pappus teoremer mumlede David Hilbert tænksomt, mens han ventede
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereEpistemisk logik og kunstig intelligens
Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereDen moderne grundlagsdiskussion. Tirsdag den 22. November 2011
Den moderne grundlagsdiskussion Tirsdag den 22. November 2011 The empirical law of epistemology!"#$%"&'()*"+,"-(#./%&"0%1-2"+,"('3+*#"!"#$"%&'("'')*"'+(0.#"+,"%$*,'$-+(-,.,$/0( %'12/4"5"6/+6+*%"#+"/%,%/"#+"#$%"+0*%/7(8+-")$19$"#$%*%"%:(36'%*"1''.*#/(#%"(*"#$%"
Læs mereProjekt 7.10 Uendelighed Hilberts hotel
Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel (Materialet i dette projekt er hentet fra Hvad er matematik? A, indledningen til
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs mereEksamensopgaver i DM17, Januar 2003
Eksamensopgaver i DM17, Januar 2003 Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Odense Universitet Lørdag, den 18. Januar 2003 Alle sædvanlige
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereTuring og den universelle maskine
Hilbert forestillede sig, undslipper ikke paradokserne: den fuldstændige formalisering er umulig. Reaktionerne var til at starte med stor forbløffelse. Logikkens og matematikkens fundamenter var pludselig
Læs mereHjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996
Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige 1
Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereDen matematiske grundlagskrise 12. januar 2010. Søren Frejstrup Grav Petersen
Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010 Asger Haugstrup Helene Juncher Søren Frejstrup Grav Petersen Mikkel Nichlas Rauf Rasmus Sylvester Bryder Indhold 1 Problemformulering 2 2 Indledning 2 3 Logicisme
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereDen sene Wittgenstein
Artikel Jimmy Zander Hagen: Den sene Wittgenstein Wittgensteins filosofiske vending Den østrigske filosof Ludwig Wittgensteins (1889-1951) filosofi falder i to dele. Den tidlige Wittgenstein skrev Tractatus
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereLimitations in Formal Systems and Languages
Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results
Læs mereMatematikkens fundament i krise
Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970
Læs mereGentzen og de transfinitte bevismetoder
Gentzen og de transfinitte bevismetoder Klaus Frovin Jørgensen Afdeling for Filosofi og Videnskabsteori, RUC Den 15. november 2011 1 / 27 Konsistensbeviser og grundlagskrisen Grundlagskrisen opstod på
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereAksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Jørgen Ebbesen
"0" 1 "ƒ" 3 " " 5 " " 7 " " 9 "(" 11 ")" 13 Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger Jørgen Ebbesen Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Her kan man fx tage udgangspunkt i et eller flere eksempler
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mere1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!
1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereUendelighed og kardinalitet
Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og
Læs mere- erkendelsens begrænsning og en forenet kvanteteori for erkendelsen
Erkendelsesteori - erkendelsens begrænsning og en forenet kvanteteori for erkendelsen Carsten Ploug Olsen Indledning Gennem tiden har forskellige tænkere formuleret teorier om erkendelsen; Hvad er dens
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereTypes, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi
Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereFormaliseringens grænser i matematik og logik
i løbet af 1900-tallet afmonterede mange af de klippefaste videnskabelige overbevisninger fra 1800-tallet og erstattede dem med nye, mere præcise, men også mere relativerende lovmæssigheder. Det viste
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereLogik, computere og kunstig intelligens
Logik, computere og kunstig intelligens 218 219 Af Lektor Thomas Bolander, Professor Jørgen Fischer Nilsson og Lektor Jørgen Villadsen, DTU Informatik Med anvendt matematik tænkes almindeligvis på udvikling
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere