agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng mellem en planets omløbstid og dens afstand fra Solen. I forelæsningsnoterne ses den generelle sammenhæng for et vilkårligt centrallegeme (med massen M 1 ) og et omkredsende objekt (med massen M ) hvor M total M 1 +M. I opgave 1 benyttes denne sammenhæng til at bestemme massen for forskellige objekter i Universet - alene ud fra omløbstider (T), hastigheder (v πa/t) og halve storakse (a). ormlerne er også angivet i kursets formelsamling som kan findes via kursets hjemmeside. 1.1: Beregn Solens masse (ved at se bort fra planetens masse) ud fra oplysningerne i tabellen i formelsamlingen. Benyt f.eks. Jordens middel-afstand fra Solen og Jordens banehastighed. 1.: De præcise omløbstider (siderisk omløb) for Venus, Jorden, Jupiter og Pluto er: P(Venus) 4,700800 døgn, P(Jorden) 365,56363 døgn (bemærk at det tropiske år er lidt kortere: 365,4198781 døgn), P(Jupiter) 433,80 døgn, P(Pluto) 90553,0 døgn og de præcise middelafstande fra Solen er: r(venus) 0,7333199 AU, r(jorden) 1.00000011 AU, r(jupiter) 5,0336301 AU, r(pluto) 39,48168677 AU. (r er lig med den halve storakse (a)). Beregn Solens masse ved at benytte disse værdier. Hvorfor er Solens masse forskellig ved at benytte værdier for Venus, Jorden, Jupiter og Pluto? 1.3: Solens afstand fra Mælkevejens centrum er 7,9 kpc (kiloparsec). Målinger af Solens bevægelse viser, at den bevæger sig i en næsten cirkulær bane - omkring Mælkevejens centrum - med en hastighed på 5 km/s. Benyt disse oplysninger til at bestemme massen af Mælkevejen i enheder af Solens masse. Side 1
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi 1.4: Undersøgelser har vist at der i centrum af Mælkevejen, findes et stort sort hul. Ud fra oplysningerne i flg. ESO pressemeddelelse (ESO-PR-17-0 http://www.eso.org/public/outreach/press-rel/pr-00/pr-17-0.html), kan flg. værdier for stjernen S - som er i kredsløb omkring Mælkevejens centrum findes, omløbstid: P(S) 15, år og vinkelafstand fra det sortehul: r(s) 0,107". Benyt at afstanden til Mælkevejens centrum er 7,9 kpc til at omsætte r fra " (buesekunder) til km. Beregn herefter massen af det sorte hul i Mælkevejens centrum (Enheden parsec findes i formelsamlingen). I ESO pressemeddelelsen: ESO-PR-17-0 findes bl.a. en animation af S's kredsløb omkring Mælkevejens centrale sorte hul. 1.5: Herunder ses en måling af rotationshastigheden for skyer af neutral brint (HI) og CO-molekyler i kredsløb i galaksen NGC 4565. Som det ses er rotationskurven stort set flad (V(rot) konstant). Benyt kurven til at beregne massen af galaksen som funktion af afstanden fra centrum (Antag at rotationshastigheden er konstant og uafhængig af radius). iguren er fra Y. Sofue's hjemmeside. lere rotationskurver kan findes på http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/~sofue/rotation/fig.htm 1.6: I galaksen M87 findes et sort hul, som er endnu større end det vi mener findes i Mælkevejens centrum. Massen af dette sorte hul er bestemt ved målinger fra Hubble Side
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Space Telescope. Rotationshastigheden for gasskyer i en afstand af 3,5 pc fra centrum af M87, er målt til 000 km/s (Enheden parsec er angivet i formelsamlingen). Hvad er massen af det sorte hul? Billede af M87's centrum. Detaljer findes i flg. HST webpage (http://hubblesite.org/gallery/album/exotic_collection/pr00000a/). Side 3
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Øvelse nr. : Tidevand Denne opgave omhandler tidevandskræfter, bl.a. høj- og lavvande på Jorden..1: Selvom tyngdekraften fra Solen er 180 gange så kraftig som tyngdekraften fra Månen - hvilket jo bl.a. er årsagen til at Jorden kredser omkring Solen og ikke omkring Månen - er det primært Månen som er årsag til tidevandet på Jorden. orklar hvorfor dette er tilfældet. orklar også hvorfor der er tidevand på såvel "forsiden" som "bagsiden". Tidevandskraften er en såkaldt differentielkraft, d.v.s. en forskel i tyngdekraften mellem to punkter på et objekt. Som det fremgår af figuren på næste side er tidevandskraften forskellen på tyngdekraften på et objekts forside (eller bagside) og tyngdekraften i objektets centrum. Side 4
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi iguren viser Jord-Måne systemet. M er Månens masse, mens den lille røde cirkel er en lille test-masse m (som indgår i ligningen herunder)..: Vis at hvis et objekt har radius R vil tidevandskraften på et legeme med massen m fra et objekt med massen M i afstanden r være: tidevand 1 Gm M Gm M Gm M 3 ( r R) r r R.3: I det følgende ser vi på to legemer i kredsløb omkring hinanden. Vis at tidevandskraften fra legeme nr. på legeme nr. 1 i forhold til tyngdekraften på overfladen af legeme nr. 1, kan bestemmes ud fra forholdet mellem de to legemers middelmassefylde, samt forholdet mellem radius (R) af legeme nr. og afstanden (r) mellem de to legemer: tidevand tyngde 3 ρ R ρ 1 r.4: Vinkeldiameteren af Solen og Månen er stort set den samme (omkring 0,5 grader). Dette betyder at R/r har samme værdi for Solen og Månen. Vis at dette medfører: tidevand tidevand ( sol) ρ sol ( måne) ρ måne (opgaven fortsættes) Side 5
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi og benyt flg. beregnede tidevandskurve (se figuren herunder), til at bestemme Månens middeltæthed, når det oplyses at Solens middeltæthed er 1,41 gange tætheden af vand..5: Vis at tidevandspåvirkningen (angivet som forholdet mellem tidevandskraften og tyngdekraften) på legeme nr. 1 (fra legeme nr. ) i forhold til tidevandspåvirkningen på legeme nr. (fra legeme nr. 1) kan beregnes som: Tidevand(1) Tidevand() ρ ρ1 R R 1 3 Hvad er tidevandspåvirkningen på Månen (fra Jorden) i forhold til tidevandspåvirkningen på Jorden (fra Månen)?.6: orklar hvorfor der er 1 timer og 5 min. mellem hvert højvande?.7: Hvordan ville tidevandets variation se ud, hvis Månen og Solen havde samme middeltæthed (uden at ændre på afstande til, radier af og omløbstider for Jord, Sol og Måne)? Side 6