Statistik Klubber Herrer Kvinder <19 19-2 >2 I alt 9 201 163 21 19 6 032 220 01 39 36 02 33 9 I dette kapitel skal du arbejde med at kunne læse og forstå statistiske undersøgelser. Du skal kunne bruge statistik til at sammenligne data, til at beskrive, hvordan data udvikler sig og undersøge, om der er sammenhænge i et datasæt, som gør det muligt at forudsige en udvikling frem i tiden. I den første del af kapitlet skal du arbejde med at lave forskellige diagrammer, som kan bruges, når du vil præsentere datasæt. Senere i kapitlet skal du undersøge sammenhænge i datasæt. Du skal også arbejde med, hvilke forskellige virkemidler du kan bruge, når du vil præsentere data. Den sidste del af kapitlet handler om stikprøver og stikprøvestørrelsers betydning for et resultat. Du kan med fordel løse mange af opgaverne og undersøgelserne i dette kapitel ved hjælp af et digitalt værktøj, fx regneark eller et geometriprogram, som kan arbejde med data. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: Du skal arbejde med: kan indsamle, bearbejde og præsentere data i statistiske deskriptorer boksplot og punktdiagrammer boksplot kan bruge og vurdere forskellige virkemidler, når punktdiagram data fra undersøgelser bliver præsenteret tendenslinje kan undersøge sammenhænge i data ved hjælp R 2 - forklaringsgrad af tendenslinjer stikprøve kan forklare, hvad det vil sige, at en stikprøve er procentpoint. repræsentativ. FORHÅNDSVIDEN Løs opgaverne på dette opslag sammen med din makker. OPGAVE 1 Datasættet viser, hvor mange gange eleverne i 8. a var på Facebook i løbet af en skoledag: 2, 0, 3, 20,, 0, 3, 28, 1,, 2, 13, 3, 0, 3, 22, 18, 21, 3, 1, 0, 20, 9, 29, 33. A Beskriv datasættet med mindst fem forskellige statistiske deskriptorer. B Lav et pindediagram, som viser fordelingen af observationerne. I 8. b har de lavet den samme undersøgelse. Klassens mindsteværdi er 12, størsteværdien er 3, medianen er 28, middeltallet er 2, og typetallet er 19. C Skriv en kort tekst, hvor I sammenligner de to klassers brug af Facebook i skoletiden ud fra deskriptorerne. I skal i jeres tekst anvende ordene: lighed, forskel, flest og færrest. 201 168 26 88 6 16 222 062 3 688 2 20 329 9 2013 162 20 91 0 1 23 39 3 39 1 3 31 32 2012 163 28 86 889 21 36 3 62 86 36 2011 16 21 682 1 23 229 262 36 16 1 32 9 2010 1618 2 1 66 61 213 3 3 10 3 2 321 222 2009 1618 29 938 63 36 20 12 33 31 3 233 313 6 2008 19 2 1 61 160 201 31 32 638 2 66 306 611 200 1620 2 9 9 19 198 68 32 31 3 8 30 6 Kilde: www.dbu.dk OPGAVE 2 Tabellen herover viser medlemstallene i Dansk Boldspil-Union (DBU) 200-201. A Fremstil et diagram, hvor du kan sammenligne medlemstallet for herrer og kvinder fra 200 til 201. Hvilket diagram vil I vælge? Forklar, hvorfor I vælger det diagram. B Forklar, hvad diagrammet viser om udviklingen i medlemstallet. C Fremstil et diagram, som viser fordelingen af de tre aldersgrupper: <19, 19-2 og >2 i 2011 og i 201. Hvilken type diagram vil I vælge? Forklar, hvorfor I vælger det diagram. D Forklar, hvad diagrammet viser om fordelingen af de tre aldersgrupper. OPGAVE 3 Freya diskuterer, om hun får et rimeligt beløb i lommepenge sammenlignet med andre unge. I tabellen herunder kan du se resultatet fra en undersøgelse, som Freya har fundet, hvor forældre blev spurgt, hvor mange penge, de giver deres børn i lommepenge om måneden. Beløb i kroner Frekvens [0-100[ 12 % [100-200[ % [200-00[ 28 % [00-00[ 10 % [00-1000[ % [1000-200[ 1 % A Beregn den summerede intervalfrekvens. B Fremstil en sumkurve, som viser den summerede intervalfrekvens af lommepengebeløbene. C Find medianen. D Freyas mor mener, at resultatet af undersøgelsen er vist på en uheldig måde. Hvad kan der være galt i den måde, tallene i tabellen er vist på? UNDERSØGELSE FIND Undersøgelse for tre til fire personer. Materialer: Computer, tablet eller mobiltelefon og aviser eller webaviser. I skal I finde eksempler på, hvordan statistik bruges, og hvad den bruges til i fx aviser, webaviser, på internettet, magasiner og lignende. A I skal finde eksempler på, hvordan statistik bliver brugt i dagens aviser eller webaviser. I kan fx finde diagrammer, tabeller mv. B Læs artiklerne og undersøg, hvordan statistikken bliver brugt i artiklen. Skal den fx vise noget om en situation? En holdning i befolkningen? Nogle fakta om en udvikling? Hvem har skrevet artiklen (afsender), og hvem er artiklen rettet mod (modtager)? C Find mindst tre forskellige eksempler i jeres gruppe.
98 99 TEORI BOKSPLOT Til at skabe overblik over et datasæt kan man bruge et boksplot. Et boksplot er et grafisk billede af nogle af de statistiske deskriptorer fra et datasæt. Af et boksplot kan man aflæse datasættets mindsteværdi og størsteværdi, samt datasættets kvartilsæt: nedre kvartil, median og øvre kvartil. Et boksplot er godt at bruge, hvis man skal sammenligne to eller flere datasæt af samme art. Datasættene herunder viser, hvor langt de mandlige og de kvindelige lærere på en skole har på arbejde målt i km. Mandlige lærere: 1 20 12 8, 1 21 19 16 38 2, 2 0,9 31 2 29 26 10 30 8 23 Kvindelige lærere: 3 6 21 8 9 2 1 10 0, 21 13 3, 28 1 6 3 11 9 21 2 Herunder kan du se to boksplot tegnet. Du kan aflæse mindsteværdi, nedre kvartil, median, øvre kvartil og størsteværdi på boksplottene. Mindsteværdi Nedre kvartil Median Øvre kvartil Størsteværdi Mandlige lærere Kvindelige lærere 0 10 1 20 2 30 3 0 Lærere Mindsteværdi Nedre kvartil Median Øvre kvartil Størsteværdi Mandlige 0,9 8 19 2 2 Kvindelige 0, 1 3 Man kan fremstille et boksplot med digitale værktøjer, eller man kan tegne dem i hånden ud fra de fem deskriptorer. Når du vil fremstille et boksplot med digitale værktøjer, kan der være lidt forskellige fremgangsmåder. Nogle værktøjer kræver, at du har kvartilsæt samt største og mindsteværdi, mens andre værktøjer kan fremstille et boksplot ud fra et datasæt. Nogle digitale værktøjer kan fremstille boksplot på flere måder. OPGAVE Se på de to boksplot i teorirammen på s. 8. A Forklar, hvordan du uden at regne kan se, at variationsbredden er størst for de mandlige lærere. B Forklar, hvordan variationsbredden kan beregnes ved hjælp af de to boksplot. OPGAVE I to klasser har eleverne målt deres højder. Klasserne har fundet 8. x 8. y Mindsteværdi 13 1 1.kvartil 18 12 Median 11 162 3. kvartil 169 12 Størsteværdi 181 18 A Tegn et boksplot for hver af de to klasser i hånden og med et digitalt værktøj. B Hvilken måde at tegne boksplot på synes du er nemmest, når du har mindsteværdi, kvartilsæt og størsteværdi for et datasæt? Hvorfor? C Sammenlign deskriptorer og boksplot for de to klasser. Er eleverne højere i x-klassen end i y-klassen? D Skriv mindst tre udsagn, som beskriver forskelle eller ligheder på højdefordelingen i de to klasser. OPGAVE 6 Tegn et boksplot, som passer med disse udsagn om, hvor mange minutter eleverne i en klasse taler i telefon på en bestemt dag. 1. Halvdelen talte i 0 minutter eller mere og den anden halvdel talte i 0 minutter eller mindre. 2. Den elev, som talte mest i telefon den dag, talte i 18 minutter. 3. Den elev, som talte mindst i telefon den dag, talte i 2 minutter.. Tre ud af fire elever talte i 90 minutter eller mindre.. En ud af fire elever talte i 10 minutter eller mindre. OPGAVE 8. a 8. b 9. a 9. b 00 02 12 00 12 02 12 10 10 10 10 10 12 02 02 12 02 00 10 00 10 02 02 10 10 02 02 10 12 10 10 02 10 10 02 10 10 12 10 02 02 12 02 12 10 10 00 I tabellen herover kan du se karaktererne fra en terminsprøve i matematik for to 8. klasser og to 9. klasser. A Du skal sammenligne karakterfordelingen i klasserne ud fra boksplot og deskriptorer. Du skal derfor tegne et boksplot for hver klasse og finde de relevante deskriptorer, fx typetal, mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde, middeltallet, kvartilsættet. B Beskriv, hvordan du synes, de fire klasser har klaret terminsprøven. Kommunen har en målsætning om, at alle elever skal have mindst 02, klassernes gennemsnit skal være højere end sidste års gennemsnit som var 6, i matematik, 0 % af eleverne skal have eller derover. C Vurder, hvordan klasserne klarer sig i forhold til kommunens målsætning.
100 101 AKTIVITET CURLINGKAST Aktivitet for to til tre personer og hele klassen. Materialer: kridt, en sten (lidt mindre end jeres knyttede hånd), målebånd, regneark til at registrere jeres resultater. Du skal arbejde sammen med din makker på denne side. I skal arbejde med at læse diagrammer og forklare, hvad diagrammer viser både mundtligt og skriftligt. I skal også selv fremstille forskellige diagrammer til samme datasæt og diskutere, hvilke diagrammer, I synes egner sig bedst. I må gerne bruge digitale værktøjer til de opgaver, I vil. OPGAVE 10 Frigga og Elias har fremstillet hver sit diagram, som viser udviklingen i antal dræbte i trafikken fra 1998 til 201. I kan se deres diagrammer herunder. Friggas diagram I skal undersøge, hvor gode I hver især er til at kaste en sten og ramme en streg. I skal sammenligne jeres resultater. A Tegn to kridtstreger med 2 meters afstand. Den første kridtstreg er jeres målstreg, og den anden er jeres startstreg. B I skal stille jer umiddelbart bag startstregen og skubbe eller kaste stenen og ramme så tæt på målstregen, som I kan. C Efter hvert kast skal I måle afstanden fra stenen til målstregen. Hvis stenen ligger 1 cm før målstregen, er resultatet -1, hvis stenen ligger 1 cm efter målstregen, er resultatet 1. Skriv resultatet i en tabel, som I kan se herunder. I kan fx bruge et regneark. D Gennemfør 20 kast for hver person i gruppen. Asta Freya Noah Kast 1 1 Kast 2 1 Kast 3 16 Kast 2 A I skal finde mindsteværdi, nedre kvartil, median, øvre kvartil og størsteværdi for hver persons datasæt. B I skal tegne et boksplot for hver person. C I skal sammenligne jeres boksplot i jeres gruppe. Hvem har den største/mindste variationsbredde? Hvilke forskelle og ligheder er der? DEL 3 A I skal sammenligne boksplot for hele klassen. I kan fx dele dem digitalt på en padlet eller lign. B I skal skrive tre udsagn hver på baggrund af jeres sammenligning af boksplot fra klassen. I jeres udsagn skal I bruge nogle af disse ord: procent, piger, drenge, flest, færrest, størst, mindst, ens, forskellig. C I skal præsentere jeres udsagn for resten af klassen. I kan evt. være -6 personer i grupperne. Læs jeres udsagn højt, og giv respons til hinandens udsagn. OPGAVE 9 I Freyas klasse har de lavet en undersøgelse af, hvor mange gange i løbet af en dag, eleverne har sendt en Snapchat. Antal Snapchats sendt på en dag 100 % Over 20 gange 90 % 16-20 gange 80 % 0 % 11-1 gange 60 % 0 % 0 % 30 % 6-10 gange 20 % 10 % 1- gange 0 gange 0 % Elias diagram Kilde: Danmarks statistik A Hvilket årstal i diagrammerne er der færrest dræbte i trafikken? B Forklar, hvorfor kurverne i de to diagrammer viser det samme, selvom de ser forskellige ud. C Hvilket diagram synes I bedst viser udviklingen i antallet af dræbte i trafikken? Forklar hvorfor. D Hvor mange procent er antallet af dræbte i trafikken cirka faldet fra 1999 til 201? OPGAVE 8 En lærer har evalueret en matematiktime med sin klasse. Eleverne skulle efter timen svare på, hvor godt de syntes, de forstod den matematik, de arbejdede med. Eleverne skulle svare fra 1 til 10. 1 betyder, at eleven ikke synes, at han eller hun forstår matematikken. 10 betyder, at eleven synes, at han eller hun forstår matematikken rigtig godt. 0 2 6 8 10 A Skriv en forklaring til, hvordan I synes læreren skal læse boksplottet efter den pågældende time. B Lav et eksempel på et boksplot, som I synes, det bør se ud efter evaluering af en matematiktime. A Skriv en kort tekst, hvor I beskriver resultatet af undersøgelsen. I jeres tekst skal ordene procent, flest og færrest indgå. B Vælg et af punkterne herunder og undersøg, hvordan det bliver brugt i jeres klasse. Vis resultatet af jeres undersøgelse med et diagram og en kort tekst. Antal Snapchats sendt på en dag? Antal sms er sendt på en dag? Antal gange på Facebook på en dag? Antal Instagram posts på en dag? OPGAVE 11 I 201 var der ca. 2 00 anmeldelser af cykeltyverier, mens der i 201 var cirka 3000 flere anmeldelser. A Fremstil et diagram til en journalist, som kan få faldet i anmeldte cykeltyverier til at se stort ud, hvis man sammenligner 201 med 201. B Fremstil et diagram til en journalist, som kan få faldet i anmeldte cykeltyverier til at se lille ud, hvis man sammenligner 201 med 201. C Diskuter, hvilket diagram I synes, det er mest rimeligt at bruge.
102 103 TEORI SAMMENHÆNGE I DATASÆT Vi bruger ofte statistik til at beskrive noget fra virkeligheden, så vi kan vise forskellige ting, fx undersøgelser, holdninger og lignende. Når vi skal analysere datasæt, kan det nogle gange være en god idé at lave punktdiagrammer, fordi vi kan få et overblik over, hvordan datasættet fordeler sig. Punktdiagrammer kan også give os mulighed for at sammenligne forskellige talværdier, så vi kan undersøge, om der er en sammenhæng mellem dem. FIGUR 1 FIGUR 1 Figur 1 er et punktdiagram. Det er et diagram, der viser af udviklingen i antallet af medlemmer af Folkekirken i Sønderborg Kommune i årene 2011-2016. FIGUR 2 Hvis man forbinder punkterne med en kurve, så kan det være med til at give et bedre overblik over, hvordan udviklingen i antallet af medlemmer har været. FIGUR 2 FIGUR 3 Når man viser et datasæt som et punktdiagram og fx bruger et digitalt værktøj, skal man være opmærksom på, hvordan akserne i diagrammet er inddelt. Nogle digitale værktøjer vælger en akseinddeling for dig, men man skal altid huske at kigge kritisk på aksen, inden man drager konklusioner på sit datasæt. Man kan godt få det indtryk, at hvis vi gør enheden på y-aksen mindre, så ser billedet lidt anderledes ud. Der er fortsat FIGUR 3 et fald, men det ser ikke så drastisk ud mere. Det ligner, at antallet af medlemmer af Folkekirken i Sønderborg Kommune falder drastisk, hvis man kigger på det første punktdiagram. Men hvis vi ændrer y-aksen, så den starter ved 0, og vi gør enheden på y-aksen mindre, så ser billedet lidt anderledes ud. Der er fortsat et fald, men det ser ikke så drastisk ud mere. Kilde: Danmarks Statistik OPGAVE 12 Tabellen herunder viser antallet af ikke-medlemmer af Folkekirken i Sønderborg Kommune i årene 2011-2016. Ikke medlem af Folkekirken 2011 11 183 2012 11 681 2013 12 0 201 12 292 201 12 69 2016 13 16 Kilde: Danmarks Statistik A Fremstil et punktdiagram, som viser udviklingen i antallet af ikke-medlemmer (se s. 82). B Tegn i samme diagram også et punktdiagram, som viser udviklingen i antallet af medlemmer. C Forklar, hvad du mener punktdiagrammerne viser om udviklingen i antallet af medlemmer og antallet af ikke-medlemmer af Folkekirken i Sønderborg Kommune i årene 2011-2016. D Forklar, om du kunne få det samme overblik over udviklingen ved at se på tabellerne alene? AKTIVITET ELEFANTSKRIDT Aktivitet for tre personer. Materialer: Målebånd, kridt, papir og blyant. Statistik kan også bruges til at undersøge, om der er sammenhænge i et datasæt. I denne aktivitet skal I undersøge, om der er en sammenhæng mellem længden af elefantskridt og en persons højde. A Afmærk et startsted med en kridtstreg. B I skal undersøge og måle, hvor langt hver af jer kommer, når personen tager det længste skridt, et `elefantskridt, han eller hun kan. OPGAVE 13 Tabellen herunder viser resultatet af en undersøgelse fra Danmarks Statistik. En række familier er blevet spurgt til deres besiddelse af elektronik i hjemmet. Tabellen viser, hvor mange familier i Danmark der har smartphones og fastnettelefon i årene 2013-2016. 2013 201 201 2016 Familier med smartphones 1 9 000 1 806 000 1 9 000 2 111 000 Kilde: Danmarks statistik Familier med fastnettelefon 1 2 000 1 00 000 1 011 000 1 000 A Fremstil to punktdiagrammer, som viser udviklingen i antallet af familier med fastnettelefon og antallet af familier med smartphones. B Forklar, hvad dine punktdiagrammer viser. C Prøv, om du kan ændre på inddelingen af y-aksen, så udviklingen i antallet af familier med fastnettelefon ser enten meget lille ud eller meget stor ud. D Undersøg, hvordan tallene er i din klasse? Hvor mange elever bor i en familie, som har smartphones? Hvor mange elever bor i en familie, som har fastnettelefon? C Mål personens højde. D Lav en tabel med højde i centimeter og længden af elefantskridt i centimeter. E Forklar, hvilken sammenhæng der er mellem en persons højde og længden af de længste skridt, en person kan tage. A Sammenlign punktdiagrammerne i jeres klasse. Er der forskelle på drengenes og pigernes længste skridt? B Kan I ud fra en persons højde forudsige, hvor lange elefantskridt, personen kan tage?
10 10 TEORI KAN VI BRUGE TIL AT LAVE FORUDSIGELSER? UNDERSØGELSE HØJDER OG LÆNGDER Hvis vi har en stor mængde data, kan det nogle gange være relevant at undersøge, om der er en sammenhæng mellem de data, vi undersøger. Nogle gange kan det se ud til, at der er en sammenhæng, mens der andre gange ikke er tegn på nogen sammenhæng. Er der fx en sammenhæng mellem den gennemsnitshøjde en voksen person har, og hvornår en person er født? Diagrammet herunder viser gennemsnitshøjden for voksne danskere fra 1820 til 1980. Det ser ud som om, at jo senere man er født, desto højere bliver man. Eller at danskeres gennemsnitshøjde stiger. Vi kan indtegne en tendenslinje, som viser den tendens datasættet har. De fleste digitale værktøjer, som kan arbejde med datasæt, kan tegne en tendenslinje. En tendenslinje handler om at analy sere datasættet og vælge en matematisk model, som kan vise den sammenhæng, som datasættet måske indeholder. Det kunne fx være en ret linje, men det kunne også være en ikke-lineær sammenhæng. Man skal huske, at tendenslinjen kun er en model, og at det ikke er sikkert, at det går sådan i virkeligheden. Tendenslinjen kan give os et bud på en forudsigelse. Vi kunne fx lave en ret linje som en tendenslinje på højderne og prøve at forudsige, hvad gennemsnitshøjden for folk vil være i år 2020 eller i 200. Hvis man laver en tendenslinje i et digitalt værktøj, kan man få vist en værdi, som hedder R 2. R 2 kaldes også forklaringsgrad, og den er et udtryk for, hvor godt den model, man har valgt, passer til datasættet. Jo tættere forklaringsgraden er på 1 (forklaringsgrad på 100 %), desto bedre passer de indsamlede data til den valgte model. Hvis forklaringsgraden er 1 (100 %), så passer alle punkter i datasættet nøjagtigt med den valgte model. De to tendenslinjer fra før giver en forklaringsgrad på 90,0 % og 9,3 %. Det er altså en ikkelineær vækstmodel, nemlig den eksponentielle vækstmodel, som passer bedst med datasættet. Men derfor er det ikke sikkert, at gennemsnitshøjden udvikler sig helt som modellen. Man skal huske, at modeller netop kun er modeller. Men modellerne kan alligevel give os et overblik over et datasæt, og give os nogle pejlemærker på, hvordan datasættet kunne udvikle sig. Undersøgelse for hele klassen. Materialer: Målebånd, regneark. I skal undersøge jeres højde og længden af forskellige kropsdele. I skal lave et fælles regneark for hele klassen. Del det online, så alle kan skrive i det på samme tid. Hvis I ikke har mulighed for at arbejde i samme regneark alle sammen, så kan I evt. stille en computer et sted i klassen, hvor alle så går hen på skift og taster deres data i. A I skal blive enige om hvilke kropsdele, I vil måle. I kan fx måle jeres underarm, jeres lårben, jeres underben, jeres fodlængde, jeres håndlængde, jeres håndbredde, jeres skulderbredde, jeres rækkevidde, jeres hovedomkreds, jeres skridtlængde, jeres overkrop, jeres halsomkreds osv. I skal foretage fem til syv målinger ud over jeres højde. B Alle elever skal have målt alle syv kropsdele, I er blevet enige om. Skriv målene ned på et stykke papir, hvis I ikke kan skrive dem direkte i regnearket. Skriv dem ind i regnearket, når I er færdige med jeres målinger. A I skal nu undersøge, om I kan finde sammenhænge mellem højden og nogle af de andre mål, I har lavet. B Analyser fx højde og håndlængde, højde og skulderbredde, højde og fodlængde osv. Undersøg, om det ser ud som om, der er en sammenhæng. C Lav tre skærmoptagelser, som viser og forklarer jeres undersøgelser. Det kan fx være sammenhænge, I har fundet. Men har I fundet ud af, at der ikke er en sammenhæng, er det også en pointe. D Se en skærmoptagelse fra tre andre grupper og undersøg deres beregninger og målinger. DEL 3 A I skal undersøge, om I kan finde sammenhænge mellem ting, I selv undersøger. Det kan være, at I vil undersøge, om der er nogen sammenhæng mellem hvor meget sodavand man drikker alt efter, om man er dreng eller pige, eller om der er en sammenhæng mellem, hvor mange Snapchats man sender og ens alder osv. Husk, at det ikke altid er muligt at finde en sammenhæng, men at en manglende sammenhæng også er en konklusion. B Præsenter jeres undersøgelse og resultat for klassen.
106 10 OPGAVE 1 OPGAVE 1 TEORI Solenergi i TJ Vindenergi i TJ Vandkraft i TJ Antal skilsmisser og opløste partnerskaber STIKPRØVER 1990 100 219 100 2000 33 1268 33 200 19 23810 19 2010 6 2811 6 2012 12 3692 12 2013 2890 00 2890 201 331 083 331 Kilde: energinet.dk Tabellen herover viser mængden af energi i TJ (terajoule), som er blevet produceret i Danmark i årene 1990 til 201. 1 TJ = 1 000 000 000 000 J. A Lav et punktdiagram der viser mængden af solenergi i de forskellige år og lav en tendenslinje til punktdiagrammet. B Hvor godt passer tendenslinjen med punkterne? Er tendenslinjen lineær eller ikke-lineær? C Hvor meget solenergi vil der ifølge tendenslinjen blive produceret i 2020? D Undersøg på samme måde vindenergi og vandkraft. Kan du finde en tendenslinje, som passer med datasættet? Ser det ud som om, der er en udvikling? Hvordan vil energimængden være i 2020 ifølge dine modeller? E Find selv opdaterede tal, fx på nettet, og undersøg, hvordan udviklingen er fortsat frem til i dag. F Diskuter, hvor mange år frem i tiden, du mener, modellerne kan bruges. Kan man fx se 3 år frem? 10 år frem? 0 år frem? 1999 13 618 2000 1 2001 1 69 2002 1 16 2003 1 88 200 1 89 200 1 36 2006 1 200 1 188 2008 1 822 2009 1 0 2010 1 603 2011 1 63 2012 1 82 2013 19 062 201 19 639 201 16 Kilde: Danmarks Statistik Tabellen herover viser antallet af skilsmisser og opløste partnerskaber i Danmark fra årene 1999 til 201. I de næste to opgaver skal du overveje hvilke dele af datasættet, du vil bruge, når du løser opgaven. Vil du vælge hele datasættet, eller kun en del af det? A Fremstil et punktdiagram og undersøg, om du kan finde en tendenslinje, som kan fremstille udviklingen i antallet af skilsmisser og opløste partnerskaber som meget stor. B Fremstil et punktdiagram, og undersøg, om du kan finde en tendenslinje, som kan fremstille udviklingen i antallet af skilsmisser og opløste partnerskaber som meget lille. Når vi laver statistik, vil vi gerne kunne beskrive noget, fx en holdning, en tendens eller en udvikling. For at kunne sige noget generelt, laver man en undersøgelse. Ofte kan man ikke spørge hele befolkningen, og man er derfor nødt til at udvælge nogle, man kan spørge i sin undersøgelse. En sådan udvælgelse af en gruppe af en befolkning eller en population kalder man en stikprøve. I statistik er en population den gruppe, man vil sige noget om ved at lave stikprøver. Når man baserer sin undersøgelse på en stikprøve, vil der altid være usikkerhed forbundet med de resultater, undersøgelsen giver. Når man arbejder med stikprøver i statistik, skal man forsøge at sørge for, at stikprøven OPGAVE 16 Danmarks Statistik har lavet en undersøgelse af danskernes ferievaner. De har spurgt ca. 6000 danskere over 1 år om deres ferievaner. Deres beregninger er, at der er en usikkerhed på +/ 2 procentpoint på undersøgelsens resultat. Procentpoint bruges til at angive en forskel mellem procentstørrelser. Hvis tilslutningen til et politisk parti fx vokser fra 1 % til 18 %, siger man, at tilslutningen er vokset med 3 procentpoint. Det svarer i dette tilfælde til, at tilslutningen er vokset 18 1 med 1 100 % = 20 %. Destination Tyskland Tyrkiet Norge Sveruge Spanien Italien Grækenland Frankrig Kilde: Danmarks Statistik er repræsentativ for den population, man undersøger. Det betyder, at man skal sørge for, at egenskaber som fx køn og alder mm. er repræsenteret procentvis på samme måde i stikprøven som i populationen som helhed. Hvis man fx vil undersøge danskernes holdning til sociale medier, og man kun vælger at spørge de 1-2-årige, er stikprøven ikke repræsentativ, og de svar, man får, siger ikke noget om alle danskeres holdning til emnet. Størrelsen af stikprøven har også betydning. Hvis man i Danmark skal foretage en statistisk undersøgelse, der skal sige noget om hele befolkningen, regner man med at skulle arbejde med en repræsentativ stikprøve på ca. 1000-100 danskere. Ferierejser til udlandet Varighed: Mindst overnatninger (201) 0 2 6 8 10 12 1 16 % A Lav et diagram som viser, hvordan fordelingen mellem de otte lande kunne have set ud, hvis der var 2 procentpoint mindre på de tre mest besøgte lande og 2 procentpoint mere på de fem mindst besøgte lande. B Forklar, hvorfor vi kan være sikre på, at Spanien er danskernes mest foretrukne feriedestination i Europa. C Sammenlign med din egen klasse. Hvilke lande har du og dine klassekammerater haft ferierejser til det seneste år? Er din klasse repræsentativ?
108 109 OPGAVE 1 I denne opgave skal du vurdere, om stikprøverne i de forskellige stikprøveundersøgelser er repræsentative. A En kommune vil undersøge, hvor meget skolerne i kommunen bruger it i undervisningen. De ud vælger derfor tilfældigt to drenge og to piger fra.,. og 6. årgang fra alle kommunens klasser til undersøgelsen. B En netavis stiller et politisk spørgsmål til sine læsere. Avisen får ca. 10 000 svar. Resultatet af undersøgelsen bruger en journalist til at konkludere, hvad den danske befolknings holdning er til det politiske spørgsmål. C Elever på 8. og 9. årgang laver en undersøgelse af, hvilket parti de ville stemme på ved næste folketingsvalg blandt alle 8. og 9. klasser i kommunen. De forudser, at et bestemt parti vil få stor fremgang til næste folketingsvalg. UNDERSØGELSE EGEN UNDERSØGELSE OPGAVE 18 Et analyseinstitut gennemfører en meningsmåling op til et folketingsvalg. Analyseinstituttet bruger formlen i boksen herunder til at beregne usikkerheden af hvert resultat. Analyseinstituttet har spurgt 100 repræsentativt udvalgte danskere over 18 år. Politisk parti Socialdemokratiet 2,9% Det Radikale Venstre,9% Det Konservative Folkeparti 2,6% Socialistisk Folkeparti,1% Liberal Alliance 8,% Kristendemokraterne 0,% Dansk Folkeparti 20,% Venstre 1,% Enhedslisten,8% Alternativet 6,9% Øvrige 0,2% OPGAVE 19 Et rejsebureau for ungdomsrejser laver en undersøgelse blandt 200 unge, som har været afsted på skiferie. 20 af de unge besvarer et spørgeskema, og af dem har 1 angivet, at de også har været på skiferie som børn. Rejsebureauet konkluderer derfor, at over halvdelen af de unge, som er på skiferie, også har været det som børn. A Forklar, om de 20 unge er et repræsentativt udvalg af unge i Danmark. OPGAVE 20 En junidag i 2016 svarede 223 personer på et spørgeskema på Karolines Køkken/Arlas hjemmeside om, hvor ofte de finder inspiration til aftensmaden på hjemmesiden. 6 % af deltagerne svarede, at de oftest finder inspiration til aftensmaden på internettet. A Forklar, om de 223 personer er et repræsentativt udvalg. Undersøgelse for to til tre elever. Materialer: Regneark, evt. digitalt spørgeskemaværktøj. A I skal finde en ting, I vil undersøge. Fx hvilken øjenfarve, hårfarve, skostørrelse mm. eleverne i en klasse har. Det kan også være, om man har spist frugt i dag, drukket sodavand i går, været i udlandet på ferie det sidste år, interesserer sig for politik eller lign. B I skal blive enige om, hvad I vil undersøge og formulere nogle spørgsmål, som giver jer mulighed for at vurdere data. Dvs. det skal helst være ja/ nej spørgsmål, spørgsmål med en kategori, fx blå, brun, grøn, grå, eller spørgsmål med en talværdi fx 1, 2, 3 osv. C I skal nu vælge en klasse ud, som I skal gennemføre jeres undersøgelse i. D I den pågældende klasse skal I udvælge fem elever, som skal være jeres stikprøve. Gennemfør undersøgelsen på de fem elever. E Hvad viser undersøgelsen? Udgør de fem elever et repræsentativt udvalg? F Udvælg nu fem elever mere, så I har i alt ti elever i jeres stikprøve. G Hvad viser undersøgelsen? Udgør de 10 elever et repræsentativt udvalg? H Gennemfør undersøgelsen med hele klassen. Hvad viser undersøgelsen? I Sammenlign resultatet af hele undersøgelsen med jeres to stikprøver. Forklar, om stikprøverne så ud til at være repræsentative. A Gennemfør den samme undersøgelse i jeres egen klasse, først med fem elever, så ti elever og til sidst hele klassen. B Hvad viser jeres stikprøver og hele undersøgelsen? Var jeres stikprøver repræsentative? u = 1,96 p (100 p) n u er usikkerheden i procentpoint p er hvor mange procent af stemmerne et parti får ifølge meningsmålingen. n er antallet af spurgte i meningsmålingen. A Beregn usikkerheden for hvert parti. Angiv det interval som hvert parti ifølge usikkerheden kan forvente, at procentdelen af stemmerne ligger indenfor. Du kan fx bruge regneark eller et CAS-værktøj til beregningerne. B Forklar, hvilke partier usikkerheden betyder mest for? De partier med få stemmer eller de partier med mange stemmer? C Undersøg, hvad der sker med usikkerheden, hvis der i stedet havde været 0 deltagere i stikprøven? 000 deltagere? 10 000 deltagere? Brug et regneark. D Forklar, hvilken sammenhæng der er mellem stikprøvens størrelse og usikkerheden.
110 111 Skriv nodeværdierne TEMA og taktarten. A KONFIRMATION EVALUERING Tema for to personer Materialer: Digitale værktøjer. På denne side skal I enten bruge arket Begreber og fagord Statistik (EX) eller jeres egen begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værktøjer. DEL 3 Boksplottet herunder viser, hvor meget saft eller sodavand eleverne i en 8. klasse drak på en uge. A I skal gennemføre en undersøgelse i jeres klasse af, om eleverne bliver konfirmeret, non-firmeret, eller slet ikke har nogen markering eller fest. B I skal tilrettelægge og gennemføre en undersøgelse af, hvad det koster at holde en konfirmation eller non-firmation eller en lign. fest. I skal selv finde ud af, hvordan I vil gennemføre jeres undersøgelse og lave en dataindsamling. C I kan fx overveje: Hvem I vil spørge? Fx forældre? Præster? Spisesteder? Elever? Hvilke informationer I har brug for? Kan I finde informationerne selv? Kan I finde oplysninger fx på nettet, som I kan bruge i jeres undersøgelse? D Hvilke forskellige måder at holde konfirmation på, kan I undersøge priser på, så I kan lave en vurdering af, hvad det cirka koster at holde en konfirmation. E Tilrettelæg jeres undersøgelse, brainstorm med de andre grupper og gennemfør den. A I skal analysere jeres resultater fra jeres undersøgelse og dataindsamling. B Hvilke konklusioner kan I drage? Hvordan kan I præsentere jeres data? C Præsenter jeres undersøgelse og konklusioner for de andre grupper. DEL 3 A I skal finde statistik over, hvordan udviklingen har været i antallet af konfirmationer i Danmark set over en årrække, fx -10 år tilbage i tiden. B Undersøg, om I kan finde en tendenslinje, som passer med udviklingen i antallet konfirmationer i Danmark. Hvordan ville antallet af konfirmationer i Danmark se ud om år, hvis udviklingen fortsætter på samme måde? DEL A I skal skrive en artikel som fortæller om jeres undersøgelse. I artiklen skal I præsentere jeres undersøgelse, jeres resultater og jeres konklusion. B I skal vælge, hvilken type medie, I skriver jeres artikel til. Det kan fx være en artikel til et ungdomsblad, en artikel til formiddagsavis, en artikel til det lokale kirkeblad, en artikel til foreningen Skole og forældre, en artikel til MetroXpress eller et lign. medie, en webavis osv. C Diskuter, hvordan I skal vinkle jeres artikel, så jeres indhold er relevant for modtagergruppen. I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire elever sammen. A Lav syv kort. Skriv et af følgende fagord eller begreber på hvert kort: TENDENSLINJE BOKSPLOT R 2 -FORKLARINGSGRAD STIKPRØVE PUNKTDIAGRAM STATISTISKE DESKRIPTORER PROCENTPOINT B Læg kortene på bordet, så I kan se dem. C Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået begrebet, så lægges kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter til alle begreber er forklaret og forstået. Det kan være en god ide at skrive stikord til de enkelte forklaringer undervejs. D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller forstå, så hænger I kortene med disse begreber op på tavlen. E Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen. Det kan være en elev eller læreren, der hjælper med at forklare begreberne. For hvert af de seks ord og begreber, du lige har arbejdet med, skal du A vise et eksempel med en tegning B skrive din egen forståelse af begrebet. 0 0,2 0, 0,6 0,8 1,0 1,2 1, 1,6 1,8 2,0 L A Aflæs kvartilsættet for undersøgelsen. B Vurder, hvordan klassen lever op til Sundhedsstyrelsens anbefaling om, at alle over år højst drikker 0, L saft eller sodavand om ugen. DEL Vejdirektoratet oplyser, at der i juni 201 var 96 trafikulykker på de danske veje, mens tallet for juni 2016 var 1061 trafikulykker. A Fremstil to diagrammer. Et, som giver indtryk af, at der er en meget stor stigning i udviklingen i antallet af trafikulykker, hvis man sammenligner de to måneder. Og et andet, som giver det modsatte indtryk. DEL Tabellen herunder viser, hvor mange procent af befolkningen, der har hhv. en stationær og en bærbar computer i hjemmet fra 2010 til 2016. 2010 2011 2012 2013 201 201 2016 Stationær computer 3 3 9 1 39 39 Bærbar computer, laptop A Fremstil et punktdiagram som viser udviklingen. B Find en tendenslinje, som beskriver udviklingen for hhv. stationære computere og for bærbare. 2 8 81 81 86 8 91
112 113 TRÆN 1 FÆRDIGHEDER TRÆN 2 FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 Herunder er 10 karakterer, som drengene i en klasse fik for en idrætsopgave: 02, 02,,,,,,, 10, 12 A Beregn gennemsnittet af drengenes karakterer. B Find størsteværdi, mindsteværdi og variationsbredde. C Find kvartilsættet og typetal. D Tegn et boksplot, som viser fordelingen af drengenes karakterer. OPGAVE 2 Boksplottet herunder viser skostørrelsen blandt 1 piger i en klasse. 3 36 3 38 39 0 1 A Aflæs mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. B Aflæs kvartilsættet. OPGAVE 3 Deskriptorerne herunder stammer fra en undersøgelse i to klasser over, hvor mange smartphones der er i hjemmene. A B Mindsteværdi 3 3 Nedre kvartil Median Øvre kvartil 6 9 Størsteværdi 12 A Tegn et boksplot, som passer til hvert sæt af deskriptorer. B Lav et boksplot der viser, hvordan du ville forvente, at resultatet ville være, hvis I lavede samme undersøgelse i din egen klasse. Sammenlign evt. med en af dine kammerater. OPGAVE Albert og Nanna er hjælpetrænere på et sommerhold i håndbold i sommerferien for børn fra 6-11 år. Tabellen viser antallet af tilmeldte børn de sidste år. År 2012 2013 201 201 2016 Antal børn 39 A Lav et punktdiagram, som viser udviklingen i antal tilmeldte børn. B Find en tendenslinje, som beskriver udviklingen i antallet af deltagere på håndboldholdet i sommerferien. Er udviklingen lineær eller ikke-lineær? C Giv et bud på, hvor mange børn Albert og Nanna kan forvente, der kommer i 201, hvis udviklingen fortsætter. OPGAVE 3 måneder før det amerikanske præsidentvalg i november 2016 lavede man en meningsmåling, der viste, at 6 % af vælgerne ville stemme på Hillary Clinton, mens 39 % af vælgerne ville stemme på Donald Trump. Usikkerheden i undersøgelsen var på +/- 3, procentpoint. A Beregn hvor stor en del af stemmerne Hillary Clinton mindst skulle have ifølge meningsmålingen. B Undersøg på nettet, hvordan resultatet af præsentvalget blev. Sammenlign meningsmålingen med resultatet af præsidentvalget og vurder, om meningsmålingen holdt stik. OPGAVE 1 En klasse har lavet en undersøgelse af, hvor mange søskende eller papsøskende de har. Deres svar er: 0, 1, 2, 1, 0,, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 1,, 1, 0, 2, 1, 1, 6, 1, 0. A Tegn et boksplot over antallet af søskende i klassen. B Bestem kvartilsættet og find det gennemsnitlige antal søskende pr. elev i klassen. OPGAVE 2 En 9. klasse med 18 elever har disse deskriptorer fra de karakterer, de fik ved en terminsprøve i skriftlig tysk. Mindsteværdi 0 Nedre kvartil 2 Median Øvre kvartil Størsteværdi 10 Middelværdi,2 A Tegn et boksplot som viser fordelingen af elevernes karakterer ved terminsprøven. B Giv et bud på et datasæt, som kunne passe med datasættets boksplot og middelværdi. OPGAVE 3 Diagrammet viser antallet af unge i alderen 12-16 år, som kommer alvorligt til skade eller bliver dræbt i trafikken i årene 2011-201. Rådet for Sikker Trafik har gennemført en kampagne, fordi de mener, at antallet af 1-16-årige, som kommer til skade i trafikken, er alt for højt. A Fremstil et diagram, som sammenligner de 16-årige drenge og piger, og som får forskellen i antal tilskadekomne/dræbte til at se meget lille ud. Astas lillesøster på 12 siger, at de 1- og de 1-årige er lige dårlige til at køre forsigtigt i trafikken. B Forklar, om du mener, at Astas lillesøster har ret. OPGAVE Tre måneder før det amerikanske præsidentvalg i november 2016 lavede man en meningsmåling, der viste, at Hillary Clinton vil få 6 % af stemmerne ved valget og Donald Trump vil få 39 % af stemmerne. I meningsmålingen er der spurgt 81 personer. Usikkerheden kan beregnes ud fra formlen herunder. u = 1,96 p (100 p) n u er usikkerheden i procentpoint p er hvor mange procent af stemmerne et parti får ifølge meningsmålingen. n er antallet af spurgte i meningsmålingen. A Beregn usikkerheden for at Hillary Clinton får 6% af stemmerne. B Vi forestiller os nu, at man spørger 2200 vælgere i en undersøgelse, og at Hillary Clinton også i denne undersøgelse får 6 % af stemmerne. Hvad ville den statistiske usikkerhed på dette resultat være? C Beregn, hvordan usikkerheden ville være, hvis der i stedet var blevet spurgt 6600 personer.
11 11 TRÆN 1 PROBLEMLØSNING TRÆN 2 PROBLEMLØSNING OPGAVE 1 Diagrammet herunder viser boksplot, som viser, hvordan snedybden på fire forskellige vintersportssteder i Europa har været over tid i perioden 2001-201. Snedybde i centimeter 19 Trysil Val Thorens 1 Livgno Maria Aim 1 13 11 9 A Sammenlign de fire vintersportssteders snedybde ved at sammenligne mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde og kvartilsæt. B Hvilken deskriptor mener du, man bør se på, hvis man skal vurdere, om der er gode muligheder for en god snedybde på et vintersportssted? Forklar hvorfor. C Hvilket af de fire vintersportssteder ville du vælge på baggrund af de fire boksplot, hvis du skulle på skiferie? Forklar hvorfor. D Find evt. opdaterede data på nettet eller find oplysninger om snedybder fra andre vintersportssteder og sammenlign med de fire vintersportssteder herover. OPGAVE 2 Salg af røgtobak (tons) 2000 2231 2001 1690 2002 132 2003 1608 200 132 200 1122 2006 1032 200 908 2008 89 2009 9 2010 1 2011 6 2012 669 2013 618 201 9 Kilde: Danmarks Statistik Tabellen viser salget af tobak i tons fra årene 2000 til 201. A Diskuter, hvordan I kan fremstille et punktdiagram, som giver et billede af, at salget af røgtobak ikke er faldet drastisk. Hvilke år vil I tage med? Hvordan skal y-aksen være i jeres diagram? B Diskuter, hvordan I kan fremstille et punktdiagram, som giver et billede af, at salget af røgtobak er faldet drastisk. Hvilke år vil I tage med? Hvordan skal y-aksen være i jeres diagram? OPGAVE 3 Et analyseinstitut vil lave en forbrugerundersøgelse om togpassageres tilfredshed med togene. De vil lave en stikprøve blandt et antal togpassagerer. A Forklar, hvornår på dagen du synes analyseinstituttet bør lave undersøgelsen. Om morgenen? Om formiddagen? Ved middagstid? Om eftermiddagen? Om aftenen? Om natten? OPGAVE 1 A Tegn et boksplot, som passer med disse udsagn om, hvor mange dage eleverne cyklede i skole på en måned med 20 skoledage. 1. Ingen elever cyklede alle dage. 2. Halvdelen af eleverne cyklede 1 dage eller mindre og den anden halvdel af eleverne cyklede 1 dage eller mere. 3. Den elev, som cyklede flest dage, cyklede 19 dage.. Tre ud af fire elever cyklede 18 dage eller mindre.. 1 af eleverne cyklede dage eller mindre. 6. En enkelt elev cyklede slet ikke. OPGAVE 2 Diagrammerne herunder viser 1- og 19-åriges interesse for politik. 1-og 19-åriges interesse for politik 0 % 1 år pige 0 % 1 år dreng 19 år pige 30 % 19 år dreng 20 % 10 % 0 % Meget Noget Lidt Slet ikke 1-og 19-åriges interesse for politik 19 år dreng 19 år pige 1 år dreng 1 år pige 0 % 10 % 20 % 30 % 0 % 0 % 60 % 0 % 80 % 90 % 100 % Meget Noget Lidt Slet ikke Kilde: Ottosen, et al (201): Børn og unge i Danmark. Velfærd og trivsel, Rosendahls Schultz Grafisk A/S, SFI Det Nationale Forskningscenter for Velfærd A Diskuter forskellen på de to diagrammer. B Hvilket diagram synes I bedst viser resultatet af undersøgelsen? Forklar, hvorfor. C Tegn et diagram, som I forventer, at eleverne i jeres klasse ville svare. OPGAVE 3 Gennemsnitlig CO 2 -udledning i ton pr. dansker pr. år 1990 9, 1991 11,69 1992 10, 1993 10,99 199 11,1 199 10,93 1996 13, 199 11,6 1998 11,2 1999 10,3 2000 9,62 2001 9,88 2002 9,69 2003 10, 200 9,3 200 8,69 2006 10,11 200 9,19 2008 8, 2009 8,06 2010 8,39 2011,2 Kilde: Globalis.dk Tabellen herover viser den gennemsnitlige CO 2 - udledning i ton pr. dansker pr. år fra 1990 til 2011. A Lav et punktdiagram som viser udviklingen og find en tendenslinje, som beskriver udviklingen. Der er et mål om, at den gennemsnitlige CO 2 -udledning i ton pr. dansker pr. år skal være højst 3 ton i 200. B Vurder, om udviklingen i tallene fra 1990 til 2011 er realistiske for at nå målet om højst 3 ton pr. dansker pr. år i 200. Undersøg, om du kan finde en tendenslinje, som rammer 3 ton i 200.